GeoGebra 3.2 壹 GeoGebra 是 什 麼 : GeoGebra(Geometry+Algebra) 是 一 套 結 合 幾 何 代 數 和 微 積 分 的 數 學 軟 體, 由 任 教 於 美 國 佛 羅 里 達 州 亞 特 蘭 大 學 (Florida Atlantic) 的 數 學 教 授 Markus Hohenwarter 為 學 校 數 學 教 育 所 研 發 的 貳 GeoGebra 使 用 : 1. 軟 體 : 依 據 GNU General Public License 條 約, 您 可 以 免 費 使 用 並 散 佈 GeoGebra 可 以 安 裝 網 頁 版 在 網 頁 中 使 用 2. 版 本 :GeoGebra 3.2 for Windows 3. 網 頁 :http://www.geogebra.org/ 4. 下 載 :http://www.geogebra.org/download/install.htm 5. 手 冊 :http://www.geogebra.org/help/docuzh_tw.pdf 6. Java:http://www.java.com/zh_TW/ 參 畫 面 說 明 : 功 能 表 選 單 構 圖 工 具 / 模 組 代 數 視 區 幾 何 視 區 試 算 表 視 區 指 令 列 指 令 選 單 說 明 : 1. 不 論 物 件 如 何 產 生, 同 一 物 件 的 所 有 表 徵 會 動 態 連 結 及 同 步 調 整 其 他 表 徵 2. 按 下 Enter 後, 可 直 接 在 指 令 列 輸 入 代 數 表 示 式, 在 按 下 Enter 後 會 在 代 數 視 區 出 現 代 數 表 示 式, 同 時 在 幾 何 視 區 會 出 現 圖 形 表 徵 3. 在 代 數 視 區 中, 數 學 物 件 分 成 自 變 物 件 應 變 物 件 輔 助 物 件 當 輸 入 新 的 值 時, 會 覆 蓋 舊 的 值 4. 在 試 算 表 視 區 中, 每 一 個 表 格 都 有 指 定 名 稱 用 來 指 定 表 格 的 位 置 可 輸 入 數 值 及 數 學 物 件 ( 點 座 標 函 數 指 令 ), 且 數 學 物 件 會 立 即 顯 示 圖 形 表 徵 於 幾 何 視 區 中, 並 被 歸 類 為 輔 助 物 件 假 如 想 要 隱 藏 在 代 數 視 區 的 代 數 表 徵, 可 以 將 物 件 指 定 為 輔 助 物 件 Geogebra 教 材 P1
肆 自 訂 使 用 者 介 面 : 1. 畫 面 設 定 : 可 按 滑 鼠 中 鍵 縮 放 幾 何 視 區, 或 (Ctrl++) 放 大 及 (Ctrl+-) 縮 小 按 滑 鼠 右 鍵, 可 設 定 座 標 軸 格 線 縮 放 倍 率 x 軸 與 y 軸 間 的 比 例 ( 可 按 Shift+ 拖 曳 座 標 軸 或 Ctrl+ 拖 曳 座 標 軸 ) 標 準 比 例 屬 性 (x 軸 與 y 軸 的 相 關 設 定 ) 2. 移 動 繪 圖 工 作 區 : 按 下 Ctrl+ 滑 鼠 來 移 動 繪 圖 工 作 區 3. 物 件 設 定 : 物 件 上 按 滑 鼠 右 鍵, 可 設 定 極 座 標 或 直 角 座 標 顯 示 物 件 顯 示 標 籤 顯 示 移 動 軌 跡 紀 錄 痕 跡 至 試 算 表 複 製 到 指 令 列 重 新 命 名 刪 除 屬 性 4. 物 件 屬 性 : 物 件 上 按 滑 鼠 右 鍵, 選 擇 屬 性, 在 屬 性 對 話 框 中 左 側, 物 件 會 自 動 分 類, 可 選 擇 標 題 或 配 合 Shift 改 變 數 個 物 件 的 屬 性, 在 右 側 的 標 籤 可 改 變 一 般 顏 色 樣 式 代 數 進 階 等 屬 性 5. 物 件 選 取 : 藉 由 按 住 Ctrl, 然 後 點 擊 不 同 的 物 件, 則 可 以 同 時 選 取 許 多 物 件 6. 點 的 移 動 : 直 線 上 的 一 點 也 可 用 + 或 - 鍵 來 移 動 (1) Shift+ 方 向 鍵 : 可 讓 點 一 次 跳 0.1 個 單 位 (2) Ctrl+ 方 向 鍵 : 可 讓 點 一 次 跳 10 個 單 位 (3) Alt+ 方 向 鍵 : 可 讓 點 一 次 跳 100 個 單 位 7. 顯 示 狀 態 : 在 代 數 視 區 中, 每 個 物 件 左 方 的 圖 示 顯 示 物 件 目 前 的 顯 示 狀 態 8. 重 新 計 算 : 可 以 使 用 此 選 項 來 產 生 新 的 亂 數, 快 速 鍵 為 F9 9. 圖 層 : 在 GeoGebra 中, 當 使 用 者 同 時 點 選 多 個 物 件 時, 圖 層 被 使 用 來 決 定 哪 些 物 件 會 被 選 取 或 拖 曳 預 設 值, 所 有 物 件 被 繪 製 在 圖 層 0, 也 就 是 所 謂 的 幾 何 視 區 的 背 景 層 總 共 有 10 個 圖 層 (0 到 9), 越 大 的 號 碼 表 示 越 上 在 選 取 任 意 一 個 物 件 後, 然 後 在 編 輯 選 單 中 選 擇 選 取 目 前 圖 層 ( 或 快 捷 鍵 Ctrl+L), 可 選 取 同 一 圖 層 的 所 有 物 件 10. 動 態 色 彩 : 在 GeoGebra 中, 可 以 使 用 物 件 的 屬 性 對 話 框 中 的 顏 色, 可 以 更 改 物 件 的 顏 色 然 而, 也 可 以 讓 此 物 件 的 顏 色 以 動 態 地 更 改 : 開 啟 物 件 的 屬 性 對 話 框 在 進 階 中, 就 會 發 現 一 個 動 態 色 彩, 裡 面 有 紅 綠 藍 三 個 文 字 欄 位 在 這 些 文 字 欄 位 中, 可 以 輸 入 數 值 介 於 0 與 1 之 間 的 任 何 函 數 11. LaTex 數 學 式 : 在 GeoGebra 您 亦 可 寫 數 學 式, 在 文 字 模 組 的 對 話 方 塊 中 勾 選 LaTex 數 學 式, 並 以 LaTex 語 法 輸 入 您 的 數 學 式, 若 不 勾 選 擇 表 示 文 字 為 純 文 字 指 令 間 不 需 空 白 分 開, 指 令 與 文 字 間 則 需 空 白 分 隔 例 如 :x^{2} 表 平 方 x_{1} 表 下 標 \frac{a}{b} 表 分 數 \sqrt{x} 表 根 號 \vec{v} 表 向 量 \overline{ab} 表 線 段 Geogebra 教 材 P2
伍 功 能 表 選 單 : 1. 匯 出 網 頁 : 檔 案 + 輸 出 + 匯 出 網 頁, 可 以 建 立 互 動 式 網 頁, 稱 為 動 態 工 作 單, 會 輸 出 html ggb geogebra.jar 等 三 種 檔 案, 需 放 在 同 一 資 料 夾 中 才 可 執 行 動 態 網 頁 可 用 任 何 瀏 覽 器 觀 看 ( 例 如 :Mozilla,Internet Explorer), 為 使 動 態 構 圖 有 效 運 作, 電 腦 必 須 安 裝 Java 2. 匯 出 圖 檔 : 檔 案 + 輸 出 + 匯 出 圖 檔, 可 複 製 幾 何 視 區 到 剪 貼 簿 成 為 PNG 圖 形 ( 畫 素 的 圖 形 格 式, 解 析 度 愈 高 (dpi), 品 質 愈 好, 一 般 取 300dpi) 此 圖 檔 可 任 意 貼 到 其 他 程 式 中 ( 例 如 : Microsoft Word 文 件 ) 3. 檢 視 : 設 定 坐 標 軸 格 線 代 數 區 試 算 表 輔 助 物 件 窗 格 左 右 或 上 下 並 排 指 令 列 指 令 選 單 作 圖 過 程 選 示 前 進 或 後 退 按 鈕 4. 作 圖 過 程 : 檢 視 + 作 圖 過 程, 可 將 過 程 錄 製 下 來, 並 播 放 於 此 可 檢 視 名 稱 定 義 指 令 代 數 暫 停 點, 列 印 作 圖 過 程 並 輸 出 為 網 頁 5. 選 項 : 選 項 可 設 定 吸 附 格 線 角 的 單 位 ( 度 或 弧 度 rad) 小 數 位 數 (0 位 至 15 位 小 數 或 有 效 位 數 ) 連 續 性 ( 避 免 交 點 跳 動 ) 點 的 樣 式 ( 實 心 圓 空 心 圓 或 叉 叉 ) 勾 選 框 大 小 ( 大 或 小 ) 直 角 樣 式 ( 方 形 或 圓 弧 形 ) 座 標 物 件 標 籤 ( 是 否 顯 示 ) 字 體 大 小 語 言 繪 圖 區 ( 座 標 軸 與 格 線 ) 儲 存 設 定 回 復 預 設 值 陸 構 圖 工 具 / 模 組 : 1. 使 用 模 組 要 先 選 模 組, 再 選 相 關 物 件 從 工 具 列 中 選 擇 其 中 一 種 構 圖 工 具, 可 藉 由 工 具 列 說 明 ( 在 工 具 列 後 方 ) 來 得 知 如 何 使 用 所 選 擇 的 工 具 工 具 列 中 的 每 一 個 圖 示 代 表 一 個 工 具 盒, 包 含 一 些 相 似 的 構 圖 工 具 可 以 按 下 圖 示 右 下 角 的 小 箭 頭 來 打 開 工 具 盒 2. 插 入 圖 片 : 在 選 擇 此 工 具 後, 可 將 圖 片 從 電 腦 的 剪 貼 簿 上 直 接 貼 至 幾 何 視 區 可 以 在 屬 性 + 一 般 中 指 定 某 一 圖 片 為 背 景 圖, 背 景 圖 會 放 在 座 標 軸 的 後 面, 且 無 法 用 滑 鼠 來 選 取 為 了 讓 在 圖 片 後 面 的 物 件 或 座 標 軸 可 以 看 得 到, 圖 片 可 在 屬 性 + 樣 式 中 設 定 為 透 明 3. 軌 跡 : 先 選 應 變 數 點, 再 選 自 變 數 點 4. 變 換 : (1) 平 移 : 先 選 取 進 行 平 移 的 物 件, 再 點 擊 平 移 向 量 (2) 旋 轉 : 先 選 取 進 行 旋 轉 的 物 件, 再 點 擊 旋 轉 中 心, 然 後 在 出 現 的 對 話 視 窗 的 文 字 方 塊 輸 入 旋 轉 角 度 (3) 伸 縮 : 先 選 取 進 行 伸 縮 的 物 件, 再 點 擊 伸 縮 中 心, 然 後 在 出 現 的 對 話 視 窗 的 文 字 方 塊 輸 入 伸 縮 倍 率 (4) 對 稱 : 先 選 取 進 行 對 稱 的 物 件, 再 點 擊 對 稱 中 心 5. 角 度 : 角 度 通 常 是 逆 時 針 產 生 因 此, 選 取 物 件 的 順 序 與 角 度 是 相 關 的 若 要 限 制 角 度 最 大 為 180, 在 屬 性 + 一 般 中 取 消 角 度 可 以 大 於 180 的 選 項 6. 數 值 滑 桿 : 在 數 值 滑 桿 的 對 話 視 窗 上 可 以 輸 入 或 π, 另 外 在 增 量 與 範 圍 欄 位 上 可 以 使 用 下 列 快 速 鍵 (1) Alt+O: 可 以 出 現 角 度 符 號 (2) Alt+P: 可 以 出 現 pi 符 號 π Geogebra 教 材 P3
柒 指 令 : 1. 指 令 列 : (1) 在 任 何 時 候 按 下 Enter 可 以 快 速 切 換 到 指 令 列 與 幾 何 視 區 (2) 直 接 輸 入 物 件 的 定 義 後, 要 按 Enter (3) 可 以 使 用 上 下 鍵 和, 一 步 一 步 瀏 覽 先 前 輸 入 的 指 令 (4) 點 擊 在 指 令 列 左 邊 的 標 誌, 會 顯 示 指 令 列 的 說 明 (5) 當 GeoGebra 在 指 令 列 中 輸 入 指 令, 軟 體 會 嘗 試 著 自 動 地 補 齊 指 令 2. 名 稱 : (1) 要 以 不 同 函 數 名 稱 定 義 不 同 函 數, 否 則 會 出 現 錯 誤 訊 息 (2) 可 在 物 件 名 稱 上 使 用 下 標, 如 a_1 或 r_{xy} 表 a 1 或 r xy (3) 指 令, 有 分 大 小 寫, 首 字 要 大 寫 物 件 的 標 籤 有 分 大 小 寫 點 的 大 小 寫 也 有 差 (4) 輸 入 代 數 式 時, 空 白 表 示 乘 法, 乘 法 若 沒 有 輸 入 空 白 時, 會 出 現 錯 誤 訊 息 (5) 座 標 用 小 括 號, 函 數 用 小 括 號, 指 令 用 中 括 號, 集 合 用 大 括 弧 3. 物 件 : (1) 點 與 向 量 : 點 和 向 量 可 以 用 直 角 座 標 或 極 座 標 來 輸 入 英 文 大 寫 名 稱 代 表 點, 小 寫 名 稱 代 表 向 量 例 如 : 在 直 角 座 標, 輸 入 點 P 或 向 量 v, 使 用 P = (1, 0) or v = (0, 5) (2) x 的 函 數 : 您 可 以 用 已 有 的 變 數 或 函 數 來 輸 入 一 個 新 的 函 數, 如 果 要 限 制 函 數 的 定 義 域, 請 使 用 指 令 Function (3) 直 線 : 輸 入 直 線 時, 名 稱 後 面 要 加 上 冒 號, 格 式 為 名 稱 : 方 程 式, 也 可 用 參 數 式 輸 入, 並 可 用 已 知 的 變 數 或 函 數 定 義 另 一 個 新 的 變 數 或 函 數 (4) 圓 錐 曲 線 : 圓 錐 曲 線 可 以 用 x 和 y 的 二 元 二 次 方 程 式 來 輸 入 (5) 複 數 :GeoGebra 不 直 接 支 援 複 數, 但 可 以 使 用 點 來 模 擬 複 數 運 算 範 例 : 若 在 指 令 列 輸 入 複 數 3 + 4i, 則 在 幾 何 視 區 可 以 得 到 一 個 點 (3,4), 此 點 的 座 標 在 代 數 視 區 顯 視 為 3 + 4i (6) 角 : 角 可 輸 入 角 度 或 弧 度 rad, 對 於 徑 度 常 數 π 是 很 有 用 的, 也 可 以 用 pi 輸 入 輸 入 角 度 時, 可 用 代 數 輸 入 區 中 的 快 速 選 單 (7) 滑 桿 : 點 或 角 度 可 以 設 定 滑 桿 顯 示 物 件 才 會 出 現 滑 桿 (8) 動 態 文 字 : 文 字 的 靜 態 部 分 必 須 使 用 雙 引 號 括 起 來, 並 使 用 + 這 個 符 號 來 連 結 文 字 的 其 它 同 部 分 4. 指 令 列 插 入 物 件 的 定 義 數 值 或 名 稱 : (1) 選 擇 工 具 移 動 並 選 取 想 要 插 入 定 義 的 物 件, 然 後 按 下 鍵 盤 上 的 F3 鍵, 則 在 指 令 列 中 會 插 入 物 件 的 定 義 (2) 選 擇 工 具 移 動 並 選 取 想 要 插 入 數 值 的 物 件, 然 後 按 下 鍵 盤 上 的 F4 鍵, 則 在 指 令 列 中 會 插 入 物 件 的 數 值 (3) 選 擇 工 具 移 動 並 選 取 想 要 插 入 名 稱 的 物 件, 然 後 按 下 鍵 盤 上 的 F5 鍵, 則 在 指 令 列 中 會 插 入 物 件 的 名 稱 5. 指 令 選 單 : 可 以 在 指 令 列 的 右 方 按 下 Command 按 鈕 來 開 啟 指 令 選 單 在 選 單 中 選 擇 一 個 指 令 後 ( 或 直 接 在 指 令 列 中 輸 入 指 令 名 稱 ) 可 以 按 下 F1 取 得 指 令 的 語 法 結 構 以 及 所 需 的 引 數 等 資 訊 Geogebra 教 材 P4
6. 數 學 運 算 與 指 令 : 欲 輸 入 數 值 坐 標 或 等 式, 您 可 以 用 算 數 表 示 法 及 括 號, 以 下 各 種 的 運 算 : 運 算 結 果 功 能 指 令 功 能 指 令 度 布 林 單 位 If 指 令 法 向 量 UnitPerpendicularVector 平 方 2 ^ 或 長 度 Length 線 段 Segment 次 方 3 面 積 Area 射 線 Ray 圓 周 率 Π 距 離 Distance 多 邊 形 Polygon 開 平 方 根 sqrt(x) 模 數 Mod 直 線 Line 開 立 方 根 cbrt(x) 整 數 除 法 Div 垂 直 線 Perpendicular 絕 對 值 abs(x) 斜 率 Slope 中 垂 線 LineBisector 符 號 函 數 sgn(x) 半 徑 Radius 角 平 分 線 AngularBisector x 的 最 大 整 數 floor(x) 周 長 Circumference 切 線 Tangent x 的 最 小 整 數 ceil(x) 參 數 Parameter 對 稱 軸 Axes 四 捨 五 入 round(x) 迭 代 Iteration 圓 Circle 0 與 1 之 間 的 亂 數 random(x) 最 大 值 Max 拋 物 線 Parabola 等 於 a==b 最 小 值 Min 多 項 式 Polynomial 不 等 於 a!=b 角 度 Angle 函 數 Function 小 於 a<b 點 Point 半 圓 Semicircle 大 於 a>b 中 點 Midpoint 弧 CircularArc 小 或 等 於 a<=b 焦 點 Focus 扇 形 CircularSector 大 或 等 於 a>=b 頂 點 Vertex 軌 跡 Locus 階 乘! 重 心 Centroid 序 列 Sequence x 坐 標 x() y 坐 標 y() 交 點 Intersect 迭 代 IterationList 指 數 函 數 exp(x) 或 x 求 根 Root 平 移 Translate 自 然 對 數 ln(x) 或 log(x) 極 值 Extremum 旋 轉 Rotate 以 10 為 底 的 對 數 lg(x) 向 量 Vector 對 稱 Mirror 以 2 為 底 方 向 ld(x) 的 對 數 向 量 Direction 縮 放 Dilate 正 弦 函 數 sin(x) 單 位 餘 弦 函 數 cos(x) 向 量 UnitVector 正 切 函 數 tan(x) 法 向 量 PerpendicularVector Geogebra 教 材 P5
捌 模 組 : 按 下 工 具 按 鈕 右 下 角 的 小 箭 頭, 可 看 到 其 它 模 組 工 具 一 般 向 量 多 邊 形 數 值 與 角 度 移 動 向 量 ( 過 兩 點 ) 測 量 角 度 轉 動 向 量 ( 指 定 起 點 向 量 ) 畫 指 定 角 點 多 邊 形 測 量 距 離 新 點 正 多 邊 形 測 量 面 積 交 點 圓 錐 曲 線 斜 率 線 段 中 心 點 圓 ( 指 定 圓 心 與 一 點 ) 圓 ( 指 定 圓 心 與 半 徑 ) 幾 何 變 換 線 對 稱 直 線 ( 過 兩 點 ) 圓 ( 過 三 點 ) 點 對 稱 線 段 ( 過 兩 點 ) 半 圓 ( 過 兩 點 ) 反 演 線 段 ( 指 定 起 點 長 度 ) 圓 弧 ( 指 定 圓 心 與 兩 點 ) 旋 轉 射 線 ( 過 兩 點 ) 圓 弧 ( 過 三 點 ) 平 移 直 線 扇 形 ( 指 定 圓 心 與 兩 點 ) 垂 直 線 扇 形 ( 過 三 點 ) 格 式 伸 縮 平 行 線 圓 錐 曲 線 ( 過 五 點 ) 移 動 繪 圖 區 中 垂 線 文 字 圖 片 按 鈕 放 大 角 平 分 線 滑 桿 縮 小 切 線 極 線 或 徑 線 物 件 群 組 隱 藏 顯 示 鈕 揷 入 文 字 顯 示 或 隱 藏 物 件 顯 示 或 隱 藏 標 籤 迴 歸 線 揷 入 圖 片 複 製 格 式 軌 跡 判 斷 物 件 關 係 刪 除 Geogebra 教 材 P6
玖 練 習 : 1. 斜 率 4. 指 數 函 數 2. 向 量 5. 對 數 函 數 6. 三 角 函 數 的 疊 和 3. 阿 波 羅 圓 7. 正 切 函 數 餘 切 函 數 Geogebra 教 材 P7
8. 拋 物 線 12. 滑 桿 與 序 列 9. 橢 圓 13. 常 態 分 配 10. 雙 曲 線 14. 遞 迴 11. 輪 子 滾 動 的 軌 跡 Geogebra 教 材 P8