第 一 部 分 : 選 擇 題 一 單 一 選 擇 題 9 年 數 學 科 學 科 能 力 測 驗 說 明 : 第 至 6 題, 每 題 選 出 最 適 當 的 一 個 選 項, 每 題 答 對 得 5 分, 答 錯 不 倒 扣.. 已 知 一 等 差 數 列 共 有 十 項, 且 知 其 奇 數 項 之 和 為 5, 偶 數 項 之 和 為 0, 則 下 列 哪 一 選 項 為 此 數 列 之 公 差?() () () () (5) 5 解 :(a +a +a 6 +a 8 +a 0 ) (a +a +a 5 +a 7 +a 9 ) = 0 5 = 5, (a a ) + (a a ) + (a 6 a 5 ) + (a 8 a 7 ) + (a 0 a 9 ) = 5d=5, 故 所 求 d= 故 選 () ( ). 下 列 選 項 中 的 數, 何 者 最 大? [ 其 中 n!=n (n-) ] () 00 0 () 0 00 () 50 50 () 50! (5) 50! 解 :0 00 =(0 ) 50 =00 50, () 00 0 <00 50 = (0 ) 50 = 0 00 () 50 50 <00 50 = (0 ) 50 = 0 00 00! () 50! = 509 <5050 5050 = 50 50 <00 50 = (0 ) 50 = 0 00 00! (5) 50! 0099 55<0000 0000 = 0050 故 選 (). 右 圖 陰 影 部 分 所 示 為 複 數 平 面 上 區 域 9 學 測 A {z:z r (cos isin ),0 r, 5 } 之 略 圖 9 學 測 令 D {w:w z,z A}, 試 問 下 列 選 項 中 之 略 圖, 何 者 之 陰 影 部 分 與 區 域 D 最 接 近? () () () () (5) 解 : 由 棣 美 弗 定 理 知 :w=z =r (cosθ +isinθ ), 其 中 0<r <, 9 5 故 選 (5)
( ). 在 坐 標 空 間 中 給 定 兩 點 A(,, ) 與 B(7, 6, 5) 令 S 為 xy- 平 面 上 所 有 使 得 向 量 PA垂 直 於 向 量 PB 的 P 點 所 成 的 集 合, 則 () S 為 空 集 合 () S 恰 含 一 點 () S 恰 含 兩 點 () S 為 一 線 段 (5) S 為 一 圓 解 : PA PB APB 90, P 點 在 以 AB 為 直 徑 的 球 面 K上, 且 K:(x) +(y) +(z) =, r 又 因 球 心 (,, ) 到 xy 一 平 面 的 距 離 大 於 球 半 徑, 所 以 球 面 K 與 xy- 平 面 不 相 交, 故 S 為 空 集 合 故 選 () ( ) 5. 設 ABC 為 平 面 上 的 一 個 三 角 形,P 為 平 面 上 一 點 且 AP AB t AC, 其 中 t 為 一 實 數 解 : 請 問 下 列 哪 一 選 項 為 t 的 最 大 範 圍, 使 得 P 落 在 ABC 的 內 部? 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! () 0 t () 0 t () 0 t () 0 t (5) 0 t 令 D 滿 足 AD AB AC, D 在 BC上, 如 圖 所 示 若 P 落 在 ABC 的 內 部, 且 AP AB t AC 0 t 故 選 () ( ) 6. 台 灣 證 券 交 易 市 場 規 定 股 票 成 交 價 格 只 能 在 前 一 個 交 易 日 的 收 盤 價 ( 即 最 後 一 筆 的 成 交 價 ) 的 漲 跌 7% 範 圍 內 變 動 例 如 : 某 支 股 票 前 一 個 交 易 日 的 收 盤 價 是 每 股 00 元, 則 今 天 該 支 股 票 每 股 的 買 賣 價 格 必 須 在 9 元 至 07 元 之 間 假 設 有 某 支 股 票 的 價 格 起 伏 很 大, 某 一 天 的 收 盤 價 是 每 股 0 元, 次 日 起 連 續 五 個 交 易 日 以 跌 停 板 收 盤 ( 也 就 是 每 天 跌 7%), 緊 接 著 卻 連 續 五 個 交 易 日 以 漲 停 板 收 盤 ( 也 就 是 每 天 漲 7%) 請 問 經 過 這 十 個 交 易 日 後, 該 支 股 票 每 股 的 收 盤 價 最 接 近 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 價 格? () 9 元 () 9.5 元 () 0 元 () 0.5 元 (5) 元 解 : 最 後 的 收 盤 價 為 0(7%) 5 (+7%) 5 = 0 0.9 5.07 5, log(0.9 5.07 5 ) = 5(log0.9+log.07)=5(0.9685+0.09) =5(0.00)=0.005=+0.9895=+log9.76=log0.976 ( 查 表 得 0.9895=log9.76) 所 以 收 盤 價 約 為 0 0.976 = 9.080 9, 故 選 () K d= xy 平 面 d>r 不 相 交 B E Q(,, ) A P D G C
二 多 重 選 擇 題 說 明 : 第 至 5 題, 每 題 至 少 有 一 個 選 項 是 正 確 的, 選 出 正 確 選 項. 每 題 答 對 得 5 分, 答 錯 不 倒 扣, 未 答 者 不 給 分. 只 錯 一 個 可 獲.5 分, 錯 兩 個 或 兩 個 以 上 不 給 分. ( ). 中 山 高 速 公 路 重 慶 北 路 交 流 道 南 下 入 口 匝 道 分 成 內 外 兩 線 車 道, 路 旁 立 有 標 誌 外 側 車 道 大 客 車 專 用 請 選 出 不 違 反 此 規 定 的 選 項 :() 小 型 車 行 駛 內 側 車 道 () 小 型 車 行 駛 外 側 車 板 道 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! () 大 客 車 行 駛 內 側 車 道 () 大 客 車 行 駛 外 側 車 道 (5) 大 貨 車 行 駛 外 側 車 道 解 : 此 標 誌 意 思 為 外 側 車 道 只 限 行 駛 大 客 車, 而 內 側 車 道 則 無 限 制, 因 此 不 違 反 此 規 定 的 選 項 有 ()()() 故 選 ()()() ( ). 在 坐 標 平 面 上, 下 列 哪 些 方 程 式 的 圖 形 可 以 放 進 一 個 夠 大 的 圓 裡 面? () x=y () x +y = () x -y = () x+y = (5) x + y = 解 : 所 求 圖 形 須 為 一 封 閉 曲 線 () x=y 表 開 口 向 右 的 拋 物 線, 非 封 閉 曲 線 () x +y = 表 直 立 型 的 橢 圓, 為 封 閉 曲 線 () x -y = 表 左 右 開 口 的 雙 曲 線, 非 封 閉 曲 線 () x+y = x+y= 或 x+y=- 表 二 平 行 直 線, 非 封 閉 曲 線 (5) x + y = 圖 形 為 正 方 形 ( 如 右 圖 ), 為 封 閉 曲 線 故 選 ()(5) ( ). 如 右 圖 O-ABCD 為 一 金 字 塔, 底 是 邊 長 為 之 正 方 形, 頂 點 O 與 A B C D 之 距 離 均 為 板 試 問 下 橋 列 哪 些 高 式 子 中 是 正 確 數 的? 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! () OA OB OC OD 0 OA OB OC OD () OA OB OCOD (5) OA OC () OA OB OC OD 0 () 0 OA OB OC OD OA OB OC OD 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快 H! OA OC OH OB OD OA OB OC OD OAOB OA OB AOB AOB, cos cos AOB COD OA OB OCOD ( ) OAOC AOC 解 : 設 OH 垂 直 平 面 ABCD 於 H, () OA OC OH, OB OD OH OA OB OC OD 0 () 0 () 0 () cos cos (5) cos 故 選 ()() OCOD OC OD COD COD
. 從,,,0 這 十 個 數 中 隨 意 取 兩 個, 以 p 表 示 其 和 為 偶 數 之 機 率, q 表 示 其 和 為 奇 數 之 機 率 試 問 下 列 哪 些 敘 述 是 正 確 的? () p q () p q () p q 0 解 : 若 兩 數 之 和 為 偶 數, 則 兩 數 必 都 是 奇 數 或 都 是 偶 數 () p q 0 5 5 C 0 C (5) p C + 0+ 0 p 5 9 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 5 5您 順 心 愉 快! 若 兩 數 的 和 為 奇 數, 則 兩 數 必 是 一 奇 數 一 偶 數 C C 5 5 q 故 選 ()() C 5 9 0 <9 學 測 > 5. 設 f (x) 為 三 次 實 係 數 多 項 式, 且 知 複 數 i 為 f (x) 0 之 一 解 試 問 下 列 哪 些 敘 述 是 正 確 的? () f ( i) 0 () f ( i) 0 () 沒 有 實 數 x 滿 足 f (x) x () 沒 有 實 數 x 滿 足 f (x ) 0 (5) 若 f (0) 0 且 f () 0, 則 f () 0 <9 學 測 > 解 :() 實 係 數 方 程 式, 虛 根 必 成 對 f ( + i) f ( i) 0 () 三 次 且 f ( + i) f ( i) 0 另 一 根 為 實 根 f ( i) 0 () f (x) x f (x) x 0 為 三 次 方 程 式 ( 奇 數 次 ) 必 有 一 實 根 () f (x ) 0 為 九 次 方 程 式 ( 奇 數 次 ) 必 有 一 實 根 (5) f (0) 0 且 f () 0 0 之 間 必 有 一 實 根, 且 沒 其 它 實 根, 故 f () 0 故 所 求 為 ()()(5) 0 x 第 二 部 分 : 填 充 題 說 明 : 第 至 9 題, 每 題 完 全 答 對 給 5 分, 答 錯 不 倒 扣, 未 完 全 答 對 不 給 分.. 某 數 學 老 師 計 算 學 期 成 績 的 公 式 如 下 : 五 次 平 時 考 中 取 較 好 的 三 次 之 平 均 值 佔 0%, 兩 次 期 中 考 各 佔 0%, 期 末 考 佔 0%. 某 生 平 時 考 成 績 分 別 為 68 8 70 7 85, 期 中 考 成 績 分 別 為 86 79, 期 末 考 成 績 為 90, 則 該 生 學 期 成 績 為.( 計 算 到 整 數 為 止, 小 數 點 以 後 四 捨 五 入 ) 板 橋 8 高 7 85中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! 解 : 學 期 成 績 為 + + 0%+86 0%+79 0%+90 0% = 8. 某 電 視 臺 舉 辦 抽 獎 遊 戲, 現 場 準 備 的 抽 獎 箱 裡 放 置 了 四 個 分 別 標 有 000,800,600,0 元 獎 額 的 球 參 加 者 自 行 從 抽 獎 箱 裡 摸 取 一 球 ( 取 後 即 收 回 ), 主 辦 單 位 即 贈 送 與 此 球 上 數 字 等 額 的 獎 金, 並 規 定 抽 取 到 0 元 的 人 可 以 再 摸 一 次, 但 是 所 得 獎 金 折 半 ( 若 再 摸 到 0 就 沒 有 第 三 次 機 會 ) 則 一 個 參 加 者 可 得 獎 金 的 期 望 值 是 多 少 元?( 取 整 數, 小 數 點 以 後 四 捨 五 入 ) <9 學 測 > 解 : 機 率 分 配 如 下 所 示, 故 所 求 期 望 值 (000 800 600) (500 00 00) 675 元 6 金 額 ( 元 ) 000 800 600 500 00 00 0 機 率 6 6 6 6
. 設 a,b,c 為 正 整 數, 若 alog 50 +blog 50 5+clog 50 =, 則 a+b+c=. 解 :alog 50 +blog 50 5+clog 50 =, log 50 ( a 5 b c )= a 5 b c = 50 = ( 5 ) = 9 5 a+b+c = 9++ = 5. 設 ABC 為 一 等 腰 直 角 三 角 形,BAC=90. 若 P Q 為 斜 邊 BC 的 三 等 分 點, <9 學 測 > 則 tan PAQ=.( 化 成 最 簡 分 數 ) 5 解 : 令 AB AC, BC, ACQ 中, AQ ( ) cos 5 5 AQ 9 5 同 理, AP 5 5 + ( ) 9 9 PAQ 中, cospaq, 5 5 5 板 橋 高 又 因 中 PAQ 數 為 銳 學 角, 所 求 tan PAQ 科 祝 福 您 順 心 愉 快! 板 69橋 高 6 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 快! + AP AQ 另 解 : 令 AP (, ), AQ (, ) cos PAQ 9 9 AP AQ 5 5 5 9 9 5. 某 高 中 招 收 高 一 新 生 共 有 男 生 008 人 女 生 9 人 報 到 學 校 想 將 他 們 依 男 女 合 班 的 原 則 平 均 分 班, 且 要 求 各 班 有 同 樣 多 的 男 生, 也 有 同 樣 多 的 女 生 ; 考 量 教 學 效 益, 並 限 制 各 班 總 人 數 在 0 與 50 人 之 間, 則 共 分 成 班 解 : 設 共 分 成 d 班, 則 d 為 008 與 9 的 公 因 數 ( 各 班 有 同 樣 的 男 生 數, 也 有 同 樣 的 女 生 數 ) 008 與 9 的 最 大 公 因 數 為 8= 9 7, 且 每 班 的 人 數 須 介 於 0 與 50 之 間, d 9 9 9 又,,, 故 所 求 d=( 班 ), 且 每 班 有 6 人 8 8 6. 在 坐 標 空 間 中, 平 面 xy+z=0 上 有 一 以 點 P(,, ) 為 圓 心 的 圓 Γ, 而 Q(9, 9, 7) 為 圓 Γ 上 一 點 n n 若 過 Q 與 圓 Γ 相 切 的 直 線 之 一 方 向 向 量 為 (a, b, ), 則 a=,b= 解 : 令 d ( a, b,), n (,,) 如 圖 d, d PQ d / /( n PQ) (,,) PQ ( 0,8, 6) d ( a, b,) (5,,), 故 所 求 a 5, b n PQ ( 60, 6, ) (5,,) P 注 意 : 因 為 切 線 為 割 線 的 極 限 圓 Γ 與 圓 的 切 線 L 必 共 平 面 E 割 線 切 線 L Q n 5
7. 設 70<A<60 且 sina+cosa=sin00, 若 A=m, 則 m= 解 : 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 y 愉 快! sin A cos A (sin A cos A ) =(sinacos0+cosasin0)=sin(a+0), 又 00<A+0<90, 且 00=605+0, O sin00=sin0= sin(800)=sin()=sin6, 所 以 A+0=6, 故 所 求 A=m=06 80= =0 x 8. 坐 標 平 面 上 的 圓 C:(x 7) (y 8) 9 上 有 個 點 與 原 點 的 距 離 正 好 是 整 數 值 <9 學 測 > 解 : 圓 C:(x7) +(y8) =9 的 圓 心 為 K(7, 8), 半 徑 r=, y 設 P 為 圓 C 上 任 一 點,O 為 原 點, 板 橋 高 中 7 數 8 學 科 祝. 福 您 順 心 愉 快 K! 則 OP 的 最 大 值 OK r +, OP 的 最 小 值 OK r 7 + 8 7., 則 OP 的 整 數 值 為 8,9,0,,,, 共 六 個 8 x 分 別 以 8,9,0,,, 為 半 徑 畫 弧, 與 圓 C 共 交 於 個 點 O 故 所 求 為 個 8 9. 在 坐 標 平 面 上, 設 直 線 y= x+ 與 拋 物 線 :x =y 相 交 於 P,Q 兩 點 若 F 表 拋 物 線 的 焦 點, 則 PF QF <9 學 測 > 解 : 設 交 點 P(x, y ),Q(x, y ), y= x+ 代 入 x =y 得 y 8y+=0, y x =y 板 橋 高 中 數 學 科 祝 福 您 順 心 愉 P(x 快,y )! 由 根 與 係 數 得 y +y =8, x =y 的 焦 點 F(0,), 準 線 y=, 故 PF QF ( y ) ( y ) 8 0 Q(x,y ) y + y + F y= x+ L:y= 6