數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 四. 對 常 用 數 學 思 想 方 法 考 查 的 對 比 自 八 十 年 代 以 來, 數 學 教 學 中 普 遍 重 視 能 力 的 培 養, 因 此 對 數 學 思 想 方 法 的 教 育 逐 步 得 到 不 同 程 度 的 發 展

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 陳 振 宣 楊 象 富 我 們 對 大 陸 ( 統 一 考 試, 分 文 科 理 科 ) 台 灣 ( 分 社 會 組 自 然 組 ) 兩 套 高 考 試 卷 作 了 初 步 的 對 比 分 析, 現 將 結 果 羅 列 如 下, 供 兩 岸 的 專 家 和 廣 大 教 師 參 考 一. 知 識 含 蓋 面 的 對 比 大 陸 台 灣 的 教 學 大 綱 ( 課 程 標 準 ) 不 同, 互 有 出 入 台 灣 的 知 識 面 較 寬, 向 量 空 間 解 析 幾 何 概 率 統 計 簡 易 微 積 分 大 陸 暫 未 列 入 考 試 範 圍 大 陸 對 立 體 幾 何 的 要 求 明 顯 高 於 台 灣 這 些 差 異 都 反 映 到 試 卷 上 相 對 於 各 自 的 教 學 要 求, 大 陸 試 卷 的 知 識 含 蓋 面 高 於 台 灣, 但 台 灣 考 查 的 知 識 面 又 較 大 陸 為 寬 這 主 要 是 教 學 大 綱 不 同 所 導 致 的 結 果, 當 然 也 與 考 試 時 間 的 多 少 有 關, 大 陸 統 一 考 試 為 0 分 鐘 考 題 5 則, 台 灣 為 80 分 鐘 考 題 5 則 兩 套 考 題 的 知 識 含 蓋 面 情 況, 請 參 閱 附 表 二. 對 基 礎 知 識 與 基 本 技 能 的 要 求 對 比 從 兩 套 試 卷 看, 大 陸 台 灣 對 數 學 的 雙 基 的 考 試 都 很 重 視 如 大 陸 文 理 科 第 () () (3) (4) (6) (8) (6) 題 等, 台 灣 社 會 組 第 一 大 題 的 3, 第 二 大 題 的 3 5 9; 自 然 組 的 第 [ 一 ] 3, [ 二 ] 6 7, [ 三 ] 4 等 題, 所 占 比 重 都 較 大 在 這 方 面, 兩 岸 的 要 求 比 較 一 致 三. 兩 套 試 卷 的 題 型 對 比 兩 套 試 卷 的 題 型 都 分 選 擇 題 填 空 題 和 解 答 題 三 類, 大 體 上 一 致 台 灣 的 選 擇 題 安 排 了 五 個 選 擇 支, 大 陸 是 四 個 選 擇 支 台 灣 的 選 擇 題 填 空 題 有 的 是 系 列 題 逐 步 深 入, 要 求 逐 題 升 高, 大 陸 無 系 列 題 這 樣, 台 灣 此 類 試 題 的 區 分 度 可 能 高 於 大 陸, 但 知 識 含 蓋 面 會 比 大 陸 略 小 至 於 解 答 題, 大 陸 的 題 量 更 多, 難 度 也 較 高

數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 四. 對 常 用 數 學 思 想 方 法 考 查 的 對 比 自 八 十 年 代 以 來, 數 學 教 學 中 普 遍 重 視 能 力 的 培 養, 因 此 對 數 學 思 想 方 法 的 教 育 逐 步 得 到 不 同 程 度 的 發 展 從 兩 套 試 卷 可 以 發 現 大 陸 與 台 灣 都 已 開 始 注 重 數 學 思 想 方 法 的 考 查. 對 方 程 函 數 思 想 ( 數 學 模 型 方 法 ) 的 考 查 這 是 兩 套 試 卷 中 考 查 最 廣 泛 的 一 種 數 學 思 想 方 法, 如 大 陸 文 科 的 () (5) (4) (5); 理 科 的 () (5) (5) (7) (); 台 灣 社 會 組 的 [ 一 ] 4, 計 算 題 三, 自 然 組 的 填 空 題, 計 算 題 四 難 度 上 大 陸 的 高 於 台 灣, 如 大 陸 的 選 擇 題 (5). 邏 輯 推 理 的 考 查 廣, 在 這 方 面, 大 陸 的 考 試 面 比 台 灣 的 要 求 也 比 台 灣 的 高 如 大 陸 文 科 的 () () (3), 理 科 的 () () (3) 題, 台 灣 的 試 卷 中 缺 乏 這 類 試 題 3. 數 形 轉 化 的 考 查 兩 套 試 卷 對 此 都 較 重 視, 如 台 灣 社 會 組 填 空 題 第 八 題, 自 然 組 選 擇 題 [ 二 ]; 大 陸 文 科 的 () (4), 理 科 的 () (4), 值 得 提 出 的 是 台 灣 社 會 組 填 空 題 8 題, 這 類 要 求 在 台 灣 自 然 組 和 大 陸 文 理 兩 科 中 均 未 涉 及, 難 怪 有 人 說 台 灣 的 社 會 組 試 題 不 比 自 然 組 容 易 4. 等 價 轉 化 的 考 查 大 陸 台 灣 的 試 卷 對 此 都 作 了 考 查 如 台 灣 社 會 組 填 空 題 6, 自 然 組 選 擇 題 9, 計 算 題 二 大 陸 的 文 科 () 題, 理 科 () 題 在 數 學 式 的 變 形 方 面, 台 灣 側 重 於 對 數 恆 等 變 換, 而 大 陸 則 重 在 考 查 三 角 恆 等 變 換 5. 遞 推 思 想 的 考 查 大 陸 文 理 科 的 最 後 一 題 ( 第 5 題 ) 都 考 查 遞 推 這 一 重 要 數 學 思 想 方 法 大 陸 從 八 十 年 代 起 對 此 引 起 重 視, 一 度 成 為 熱 點, 如 84 年, 87 年 遞 推 的 要 求 很 高, 近 年 已 降 到 適 當 程 度 94 年 的 台 灣 試 題 中 未 出 現 此 類 問 題 6. 邏 輯 劃 分 的 考 查 大 陸 歷 年 來 都 很 重 視, 今 年 則 未 著 意 涉 及 可 能 是 有 意 採 取 降 溫 措 施, 台 灣 的 試 卷 中 也 未 涉 及 上 海 市 今 年 的 高 考 試 卷 ( 單 獨 命 題 ) 中 仍 有 這 方 面 的 要 求 五. 對 數 學 應 用 的 考 查 兩 岸 對 此 都 已 引 起 重 視, 這 是 令 人 欣 喜 的, 希 望 今 後 繼 續 適 當 加 強 我 們 希 望 兩 岸 交 流 高 考 命 題 研 究 的 成 果, 促 使 數 學 教 育 走 出 題 海 戰 術 的 怪 圈, 早 日 步 上 提 高 數 學 素 質 的 康 莊 大 道 本 文 作 者 分 別 任 職 教 上 海 市 新 學 科 研 究 所 思 維 科 學 室 暨 中 國 管 理 科 學 研 究 院 思 維 科 學 研 究 所 研 究 員 與 浙 江 省 中 學 教 學 特 級 教 師, 浙 江 省 宁 海 中 學 教 育 科 學 研 究 室 主 任

附 表 : 994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 3 994 年 兩 岸 數 學 高 考 內 容 比 較 表 高 考 內 容 文 科 理 科 社 會 組 自 然 組 集 合 函 數 ( 冪 指 對 ) 三 角 函 數 兩 角 和 ( 差 ) 的 三 角 函 數 反 三 角 函 數, 簡 單 三 角 方 程 數 學 歸 納 法 數 列 及 其 極 限 不 等 式 複 數 排 列 與 組 合 二 項 式 定 理 ( 立 體 幾 何 ) 直 線 與 平 面 多 面 體 和 旋 轉 體 ( 解 析 幾 何 ) 直 線 與 圓 圓 錐 曲 線 參 數 方 程 與 極 坐 標 多 項 式, 高 次 方 程 ( 不 等 式 ) 向 量 空 間 解 析 幾 何 行 列 式 矩 陣 概 率 與 統 計 簡 單 微 積 分 數 論 初 步 附 件 : 大 陸 994 年 高 考 數 學 試 題 答 案 及 評 分 標 準

4 數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 994 年 普 通 高 等 學 校 招 生 全 國 統 一 考 試 試 題 答 案 及 評 分 標 準 數 學 ( 文 史 類 ) 一 選 擇 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 第 () (0) 題 每 小 題 3 分. 第 () (5) 題 每 小 題 4 分, 共 50 分. 在 每 小 題 給 出 的 四 個 選 項 中, 只 有 一 項 是 符 合 題 目 要 求 的. 把 所 選 項 前 的 字 母 填 在 題 後 括 號 內. () 點 (0,5) 到 直 線 y x 的 距 離 是 A. 5 B. 5 C. 3 D. 5 () 如 果 方 程 x +ky 表 示 焦 點 在 y 軸 上 的 橢 圓, 那 麼 實 數 k 的 取 值 範 圍 是 A. (0, + ) B. (0, ) C. (, + ) D. (0, ) (3) lim n C 0 n + C n + C n +... + Cn n + + +... + n A. 0 B. C. D. (4) 設 θ 是 第 二 象 限 的 角, 則 必 有 A. tg θ > ctgθ B. tg θ < ctgθ C. sin θ > cos θ D. sin θ < cos θ (5) 若 直 線 x + ay + 0 和 x+3y+ 0 互 相 垂 直, 則 a A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 (6) 某 種 細 菌 在 培 養 過 程 中, 每 0 分 鐘 分 裂 一 次 ( 一 個 分 裂 為 兩 個 ). 經 過 3 小 時, 這 種 細 菌 由 個 可 繁 殖 成 A. 5 個 B. 5 個 C. 03 個 D. 04 個 (7) 在 下 列 函 數 中, 以 π 為 周 期 的 函 數 是 A. y sin x + cos 4x B. y sin x cos 4x C. y sin x + cos x D. y sin x cos x (8) 已 知 正 六 稜 台 的 上 下 底 面 邊 長 分 別 為 和 4, 高 為, 則 其 體 積 為 A. 3 3 B. 8 3 C. 4 3 D. 0 3 (9) 使 ( 6 i) n 是 純 虛 數 的 最 小 自 然 數 n A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (0) 有 甲 乙 丙 三 項 任 務, 甲 需 人 承 擔, 乙 丙 各 需 人 承 擔, 從 0 人 中 選 派 4 人 承 擔 這 三 項 任 務, 不 同 的 選 法 共 有 A. 60 種 B. 05 種 A. 50 種 D. 5040 種 () 對 於 直 線 m, n 和 平 面 a β, α β 的 一 個 充 分 條 件 是 A. m n, m//a, n//β B. m n, α β m, n α C. m//n, n β, m α D. m//n, m α, n β

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 5 () 設 函 數 f(x) x ( x 0), 則 函 數 y f (x) 的 圖 象 是 C. g(x) x, h(x) lg(0x + ) x D. g(x) x, h(x) lg(0x + ) + x 二 填 空 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 每 小 題 4 分, 共 0 分. 把 答 案 填 在 題 中 橫 線 上. (6) 拋 物 線 y 8 4x 的 準 線 方 程 是. (3) 已 知 過 球 面 上 A B C 三 點 的 截 面 和 球 心 的 距 離 等 於 球 半 徑 的 一 半, 且 AB BC CA, 則 球 面 面 積 是 A. 6π 9 B. 8π 3 C. 4π D. 64π 9 (4) 如 果 函 數 y sin x + a cos x 的 圖 象 關 於 直 線 x π 8 對 稱, 那 麼 a A. B. C. D. (5) 定 義 在 (, + ) 上 的 任 意 函 數 f(x) 都 可 以 表 示 成 一 個 奇 函 數 g(x) 和 一 個 偶 函 數 h(x) 之 和. 如 果 f(x) lg(0 x + ), x (, + ), 那 麼 A. g(x) x, h(x) lg(0 x + 0 x + ) B. g(x) [lg(0x + ) + x], h(x) [lg(0x + ) x] (7) 在 (x + m) 7 (m N) 的 展 開 式 中, x 5 的 係 數 是 x 6 的 係 數 與 x 4 的 係 數 的 等 差 中 項, 則 m. 5 (8) 若 π < θ < 3 π, sin θ a, 4 則 cosθ sin θ 的 值 是. (9) 設 圓 錐 底 面 圓 周 上 兩 點 A B 間 的 距 為, 圓 錐 頂 點 到 直 線 AB 的 距 離 為 3, AB 和 圓 錐 的 軸 的 距 離 為, 則 該 圓 錐 的 體 積 為. (0) 在 測 量 某 物 理 量 的 過 程 中, 因 儀 器 和 觀 察 的 誤 差, 使 得 n 次 測 量 分 別 得 到 a, a,..., a n, 共 n 個 數 據. 我 們 規 定 所 測 量 物 理 量 的 最 佳 近 似 值 a 是 這 樣 一 個 量 : 其 他 近 似 值 比 較, 與 a 與 各 數 據 的 差 的 平 方 和 最 小. 依 此 規 定, 從 a, a,...,a n 推 出 的 a. 三 解 答 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 共 50 分. 解 答 應 寫 出 文 字 說 明 證 明 過 程 或 推 演 步 驟. () ( 本 小 題 滿 分 8 分 ) 求 函 數 y sin3x sin3 x+cos 3x cos 3 x cos x + sin x 的 最 小 值.

6 數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 () ( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 已 知 函 數 f(x) lgx(x R + ). 若 x, x R +, 判 斷 [f(x ) + f(x )] 與 f( x +x ) 的 大 小, 並 加 以 證 明. (3) ( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 如 圖, 已 知 A B C ABC 是 正 三 稜 柱, D 是 AC 中 點. (I) 證 明 AB // 平 面 DBC ; (II) 假 設 AB BC, BC, 求 線 段 AB 在 側 面 B BCC 上 的 射 影 長. (4)( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 已 知 直 角 坐 標 平 面 上 一 點 Q(, 0) 和 圓 C : x + y, 動 點 M 到 圓 C 的 切 線 長 與 MQ 的 比 等 於. 求 動 點 M 的 軌 跡 方 程, 說 明 它 表 示 什 麼 曲 線. (5) ( 本 小 題 滿 分 分 ) 設 數 列 {a n } 的 前 n 項 和 為 S n, 若 對 所 有 自 然 數 n, 都 有 S n n(a +a n), 證 明 {a n } 是 等 差 數 列. 數 學 試 題 ( 文 史 類 ) 參 考 答 案 及 評 分 標 準 一 選 擇 題 : 本 題 考 查 基 本 知 識 和 基 本 運 算. 第 () (0) 題 每 小 題 3 分. 第 () (5) 題 每 小 題 4 分, 共 50 分. () B () D (3) B (4) A (5) A (6) B (7) D (8) B (9) A (0) C () C () B (3) D (4) D (5) C 二 填 空 題 : 本 題 考 查 基 本 知 識 和 基 本 運 算. 每 小 題 4 分, 滿 分 0 分. (6) x 3 (7) (8) a (9) 3 π (0) n (a +a +...+a n ) 三 解 答 題 () 本 小 題 考 查 利 用 有 關 三 角 公 式 並 借 助 輔 助 角 求 三 角 函 數 式 最 小 值 的 方 法 及 運 算 能 力. 滿 分 8 分. 解 : 因 為 sin 3x sin 3 x + cos 3x cos 3 x (sin 3x sin x) sin x + (cos 3x cosx) cos x [(cos x cos 4x) sin x + (cos x + cos 4x)) cos x]..... 3 分

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 7 [(sin x + cos x) cos x +(cos x sin x) cos 4x] (cos x + cos x cos 4x) cos x( + cos 4x) cos 3 x,..... 6 分 所 以 y cos3 x + sin x cos x cos x + sin x sin(x + π 4 ). 當 sin(x + π 4 ) 時, y 取 最 小 值. 8 分 () 本 小 題 考 查 對 數 函 數 性 質 平 均 值 不 等 式 等 知 識 及 推 理 論 證 的 能 力. 滿 分 0 分. 解 : f(x ) + f(x ) lgx + lgx lg(x x ), 因 為 x, x R +, ) 所 以 x x ( x +x ( 當 且 僅 當 x x 時 取 號 ). 3 分 由 常 用 對 數 底 大 於, 有 lg(x, x ) lg ( ) x +x, 7 分 所 以 lg(x x ) lg ( ) x +x, (lgx + lgx ) lg ( ) x +x, 即 [f(x ) + f(x )] f ( ) x +x ( 當 且 僅 當 x x 時 取 號 ). [ 註 ] 將 ( 或 ) 寫 成 <( 或 >), 扣 分. (3) 本 小 題 考 查 空 間 線 面 關 係, 正 稜 柱 的 性 質, 空 間 想 像 能 力 和 邏 輯 推 理 能 力. 滿 分 0 分. (I) 證 明 : 因 為 A B C ABC 是 正 三 稜 柱, 所 以 四 邊 形 B BCC 是 矩 形. 連 結 B C, 交 BC 於 E, 則 B E EC. 連 結 DE. 在 AB C 中, 因 為 AD DC, 所 以 DE//AB, 分 又 AB 平 面 DBC, DE 平 面 DBC, 所 以 AB // 平 面 DBC. 4 分 (II) 解 : 作 AF BC, 垂 足 為 F. 因 為 面 ABC 面 B BCC, 所 以 AF 平 面 B BCC. 連 結 B F, 則 B F 是 AB 在 平 面 B BCC 內 的 射 影. 7 分 因 為 BC AB, 所 以 BC B F. 因 為 四 邊 形 B BCC 是 矩 形. 所 以 B BF BCC 90, 又 FB B C BC, 所 以 B BF BCC.

8 數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 所 以 B B BC BF CC BF B B. 又 F 為 正 三 角 形 ABC 的 BC 邊 中 點, 因 而 B B BF BC, 於 是 B F B B + BF 3, 所 以 B F 3. 即 線 段 AB 在 平 面 B BCC 內 的 射 影 長 為 3. 0 分 (4) 本 小 題 考 查 曲 線 與 方 程 的 關 係, 軌 跡 的 概 念 等 解 析 幾 何 的 基 本 思 想 以 及 綜 合 應 用 知 識 的 能 力. 滿 分 0 分. 解 : 如 圖, 設 MN 切 圓 於 N, 則 動 點 M 組 成 的 集 合 是 P {M MN MQ }, 因 為 圓 的 半 徑 ON, 分 所 以 MN MO ON MO. 4 分 設 點 M 的 坐 標 為 (x, y), 則 x + y (x ) + y. 6 分 整 理 得 x + y 8x + 9 0. 經 檢 驗, 坐 標 適 合 這 個 方 程 的 點 都 屬 於 集 合 P, 故 這 個 方 程 為 所 求 的 軌 跡 方 程. 8 分 化 方 程 為 (x 4) + y 7, 知 它 表 示 一 個 圓, 圓 心 坐 標 為 (4,0), 半 徑 為 7. 0 分 (5) 本 小 題 考 查 等 差 數 列 的 基 礎 知 識, 數 學 歸 納 法 及 推 理 論 證 能 力. 滿 分 分. 證 法 一 : 令 d a a. 下 面 用 數 學 歸 納 法 證 明 a n a + (n )d (n N). () 當 n 時 上 述 等 式 為 恆 等 式 a a. 當 n 時, a + ( )d a + (a a ) a, 等 式 成 立. 4 分 () 假 設 當 n k(k ) 時 命 題 成 立, a k a + (k )d. 由 題 設, 有 S k k(a +a k ), S k+ (k + )(a + a k+ ), 又 S k+ S k + a k+, 所 以 (k+)(a +a k+ ) k(a +a k ) +a k+. 8 分 把 a k a + (k )d 代 入 上 式, 得 (k + )(a + a k+ ) ka + k(k )d + a k+. 整 理 得 (k )a k+ (k )a + k(k )d. 因 為 k, 所 以 a k+ a + kd.

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 9 即 當 n k + 時 等 式 成 立. 由 () 和 (), 等 式 對 所 有 的 自 然 數 n 成 立, 從 而 {a n } 是 等 差 數 列. 分 證 法 二 : 當 n 時, 由 題 設, S n (n )(a +a n ), S n n(a +a n). 所 以 a n S n S n n(a +a n) (n )(a +a n ).... 5 分 同 理 有 a n+ (n+)(a +a n+ ) n(a +a n).... 7 分 從 而 a n+ a n (n+)(a +a n+ ) n(a + a n ) + (n )(a +a n ). 0 分 整 理 得 a n+ a n a n a n 對 於 任 意 n 成 立. 因 此 a n+ a n a n a n... a a, 從 而 {a n } 是 等 差 數 列...... 分 數 學 ( 理 工 農 醫 類 ) 一 選 擇 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 第 () (0) 題 每 小 題 3 分. 第 () (5) 題 每 小 題 4 分, 共 50 分. 在 每 小 題 給 出 的 四 個 選 項 中, 只 有 一 項 是 符 合 題 目 要 求 的. 把 所 選 項 前 的 字 母 填 在 題 後 括 號 內. () 極 坐 標 方 程 ρ cos ( π 4 θ) 所 表 示 的 曲 線 是 A. 雙 曲 線 B. 橢 圓 C. 拋 物 線 D. 圓 () 如 果 方 程 x +ky 表 示 焦 點 在 y 軸 上 的 橢 圓, 那 麼 實 數 k 的 取 值 範 圍 是 A. (0, + ) B. (0, ) C. (, + ) D. (0, ) (3) lim n C 0 n +C n +C n +...+Cn n ++ +...+ n A. 0 B. C. D. (4) 設 θ 是 第 二 象 限 的 角, 則 必 有 A. tg θ > ctg θ B. tg θ < ctg θ C. sin θ > cos θ D. sin θ < cos θ (5) 若 直 線 x+ay+ 0 和 x+3y+ 0 互 相 垂 直, 則 a A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 (6) 某 種 細 菌 在 培 養 過 程 中, 每 0 分 鐘 分 裂 一 次 ( 一 個 分 裂 為 兩 個 ). 經 過 3 小 時, 這 種 細 菌 由 個 可 繁 殖 成 A. 5 個 B. 5 個 C. 03 個 D. 04 個 (7) 在 下 列 函 數 中, 以 π 為 周 期 的 函 數 是 A. y sin x + cos 4x B. y sin x cos 4x C. y sin x + cos x D. y sin x cos x

0 數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 (8) 已 知 正 六 稜 台 的 上 下 底 面 邊 長 分 別 為 和 4, 高 為, 則 其 體 積 為 A. 3 3 B. 8 3 C. 4 3 D. 0 3 (9) 使 ( 6 i) n 是 純 虛 數 的 最 小 自 然 數 n A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (0) 有 甲 乙 丙 三 項 任 務, 甲 需 人 承 擔, 乙 丙 各 需 人 承 擔. 從 0 人 中 選 派 4 人 承 擔 這 三 項 任 務, 不 同 的 選 法 共 有 A. 60 種 B. 05 種 C. 50 種 D. 5054 種 () 對 於 直 線 m n 和 平 面 α β, α β 的 一 個 充 分 條 件 是 A. m n, m//α, n//β B. m n, α β m, n α C. m//n, n β, m α D. m//n, m α, n β () 設 函 數 f(x) x ( x 0), 則 函 數 y f (x) 的 圖 象 是 (3) 已 知 過 球 面 上 A B C 三 點 的 截 面 和 球 心 的 距 離 等 於 球 半 徑 的 一 半, 且 AB BC CA, 則 球 面 面 積 是 A. 6 9 π B. 8 3 π C. 4π D. 64 9 π (4) 函 數 y arc cos(sin x) ( π ) < x < 3 π 的 值 域 是 3 A. ( π, ) 5π B. [ ) 0, 5π 6 6 6 C. ( π, ) π D. [ π, ) π 3 3 6 3 (5) 定 義 在 (, + ) 上 的 任 意 函 數 f(x) 都 可 以 表 示 成 一 個 奇 函 數 g(x) 和 一 個 偶 函 數 h(x) 之 和. 如 果 f(x) lg(0 x + ), x (, + ), 那 麼 A. g(x) x, h(x) lg(0 x +0 x + ) B. g(x) [lg(0x + ) + x], h(x) [lg(0x + ) x] C. g(x) x, h(x) lg(0x + ) x D. g(x) x, h(x) lg(0x +)+ x 二 填 空 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 每 小 題 4 分, 共 0 分. 把 答 案 填 在 題 中 橫 線 上. (6) 拋 物 線 y 8 4x 的 準 線 方 程 是. (7) 在 (x + m) 7 (m N) 的 展 開 式 中, x 5 的 係 數 是 x 6 的 係 數 與 x 4 的 係 數 的 等 差 中 項, 則 m. (8) 若 5 4 π < θ < 3 π, sin θ a, 則 cosθ sin θ 的 值 是.

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 (9) 設 圓 錐 底 面 圓 周 上 兩 點 A B 間 的 距 離 為, 圓 錐 頂 點 到 直 線 AB 的 距 離 為 3, AB 和 圓 錐 的 軸 的 距 離 為, 則 該 圓 錐 的 體 積 為. (0) 在 測 量 某 物 理 量 的 過 程 中, 因 儀 器 和 觀 察 的 誤 差, 使 得 n 次 測 量 分 別 得 到 a, a,..., a n, 共 n 個 數 據. 我 們 規 定 所 測 量 物 理 量 的 最 佳 近 似 值 a 是 這 樣 一 個 量 : 與 其 他 近 似 值 比 較, a 與 各 數 據 的 差 的 平 方 和 最 小. 依 此 規 定, 從 a, a,...,a n 推 出 的 a. 三 解 答 題 : 本 大 題 共 5 小 題 ; 共 50 分. 解 答 應 寫 出 文 字 說 明 證 明 過 程 或 推 演 步 驟. () ( 本 小 題 滿 分 8 分 ) 已 知 z + i. (I) 證 明 AB // 平 面 DBC ; (II) 假 設 AB BC, 求 以 BC 為 稜, DBC 與 CBC 為 二 面 角 a 的 度 數. (4)( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 已 知 直 角 坐 標 平 面 上 一 點 Q(, 0) 和 圓 C : x + y, 動 點 M 到 圓 C 的 切 線 長 等 於 圓 C 的 半 徑 與 MQ 的 和. 求 動 點 M 的 軌 跡 方 程, 說 明 它 表 示 什 麼 曲 線, 並 畫 出 草 圖. (I) 設 ω z + 3 z 4, 求 ω 的 三 角 形 式 ; z (II) 如 果 +az+b z z+ 數 a, b 的 值. i, 求 實 () ( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 已 知 函 數 f(x) tgx, x ( 0, ) π. 若 x, x ( 0, ) π, 且 x x, 證 明 [f(x ) + f(x )] > f( x + x ). (3)( 本 小 題 滿 分 0 分 ) 如 圖, 已 知 A B C ABC 是 正 三 稜 柱, D 是 AC 中 點. (5)( 本 小 題 滿 分 分 ) 設 {a n } 是 正 數 組 成 的 數 列, 其 前 n 項 和 為 S n, 並 且 對 於 所 有 的 自 然 數 n, a n 與 的 等 差 中 項 等 於 S n 與 的 等 比 中 項. (I) 寫 出 數 列 {a n } 的 前 3 項 ; (II) 求 數 列 {a n } 的 通 項 公 式 ( 寫 出 推 證 過 程 ).

數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 數 學 試 題 ( 理 工 農 醫 類 ) 參 考 答 案 及 評 分 標 準 一 選 擇 題 : 本 題 考 查 基 本 知 識 和 基 本 運 算. 第 ()-(0) 題 每 小 題 3 分, 第 ()- (5) 題 每 小 題 4 分, 共 50 分. ()D ()D (3) B (4)A (5)A (6)B (7) D (8)B (9)A (0)C () C ()B (3)D (4)B (5) C 二 填 空 題 : 本 題 考 查 基 本 知 識 和 基 本 運 算. 每 小 題 4 分, 滿 分 0 分. (6) x 3 (7) (8) a (9) 3 π (0) n (a + a +... + a n ) 三 解 答 題 () 本 小 題 考 查 共 軛 複 數 複 數 的 三 角 形 式 等 基 礎 知 識 及 運 算 能 力. 滿 分 8 分. 解 : (I) 由 z + i, 有 (a + b) + (a + )i i (a + ) (a + b)i. 6 分 由 題 設 條 件 知 (a+) (a+b)i i. 根 據 複 數 相 等 的 定 義, 得 { a, 解 得 b { a +, (a + b). 8 分 () 本 小 題 考 查 三 角 函 數 基 礎 知 識 三 角 函 數 性 質 及 推 理 論 證 的 能 力. 滿 分 0 分. 證 明 : tgx + tgx sin x + sin x cos x cosx sin x cosx + cosx sin x cosx cosx sin(x + x ) cos x cosx sin(x + x ) cos(x + x ) + cos(x x ). 5 分 ω z + 3 z 4 ( + i) + 3( + i) 4 i + 3( i) 4 i, ( ω 的 三 角 形 式 是 cos 5 π + 4 i sin 5 4 π). 4 分 (II) 由 z + i, 有 z + az + b z z + ( + i) + a( + i) + b ( + i) ( + i) + 因 為 x, x ( 0, π ), x x, 所 以 sin(x +x ) > 0, cosx cosx > 0, 且 0 < cos(x x ) <, 從 而 有 0 < cos(x + x ) + cos(x x ) < + cos(x + x ). 7 分 由 此 得 tgx + tgx > sin(x +x ) +cos(x +x ), 所 以 (tgx + tgx ) > tg x + x, 即 [f(x ) + f(x )] > f( x +x ). 0 分

(3) 本 小 題 考 查 空 間 線 面 關 係, 正 稜 柱 的 性 質, 空 間 想 像 能 力 和 邏 輯 推 理 能 力. 滿 分 0 分. (I) 證 明 : 因 為 A B C ABC 是 正 三 稜 柱, 所 以 四 邊 形 B BCC 是 矩 形. 連 結 B C, 交 BC 於 E, 則 B E EC. 連 結 DE. 在 AB C 中, 因 為 AD DC, 所 以 DE//AB, 分 又 AB 平 面 DBC, DE 平 面 DBC, 所 以 AB // 平 面 DBC. 4 分 (II) 解 : 作 DF BC, 垂 足 為 F. 則 DF 面 B BCC. 連 結 EF, 則 EF 是 ED 在 平 面 B BCC 上 的 射 影. 因 為 AB BC, 由 (I) 知 AB //DE, 所 以 DE BC, 從 而 EF BC, 所 以 DEF 是 二 面 角 α 的 平 面 角. 7 分 設 AC 則 DC, 因 為 ABC 是 正 三 角 形, 994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 3 所 以 在 Rt DCF 中, DF DC sin C 3, CF DC 4 cosc. 4 取 BC 中 點 G, 因 為 EB EC, 所 以 EG BC. 在 Rt BEF 中, EF BF GF, 又 BF BC FC 3 4, GF 4, 所 以 EF 3 4 4, 即 EF 3 4. 所 以 tg DEF DF 所 以 DEF 45. 故 二 面 角 α 為 45. 3 4 EF 3 4, 0 分 (4) 本 小 題 考 查 曲 線 與 方 程 的 關 係, 軌 跡 的 概 念 等 解 析 幾 何 的 基 本 思 想 以 及 綜 合 運 用 知 識 的 能 力. 滿 分 0 分. 解 : 如 圖, 設 MN 切 圓 於 N, 又 圓 的 半 徑 ON, 所 以 OM MN + ON MN +, 分 依 題 意, 動 點 M 組 成 的 集 合 為 P {M MN MQ + } {M OM MQ + }. 4 分 設 點 M 的 坐 標 為 (x, y), 則 x + y (x ) + y +. 6 分 整 理 得 x 3 (x ) + y 0, 即 3x y 8x+5 0 ( x 3 ).

4 數 學 傳 播 十 八 卷 三 期 民 83 年 9 月 經 檢 驗, 坐 標 適 合 這 個 方 程 的 點 都 屬 於 集 合 P, 故 這 個 方 程 為 所 求 的 軌 跡 方 程. 8 分 所 求 方 程 可 化 為 (x 4 3 ) 9 y 3 ( x 3 ). 它 所 表 示 的 曲 線 是 以 點 ( 4 3, 0) 為 中 心, 實 軸 在 x 軸 上 的 雙 曲 線 的 右 支, 頂 點 坐 標 為 ( 5 3, 0). 如 圖 所 示. 0 分 (5) 本 小 題 考 查 等 差 數 列 等 比 數 列 等 基 礎 知 識, 考 查 邏 輯 推 理 能 力 和 分 析 問 題 與 解 決 問 題 的 能 力. 滿 分 分. (I) 解 : 由 題 意, 當 n 時 有 a + S, S a, a + 所 以 a, 解 得 a. 當 n 時 有 a + S, S a +a, 將 a 代 入, 整 理 得 (a ) 6, 由 a > 0, 解 得 a 6. 當 n 3 時 有 a 3 + S 3, S 3 a +a +a 3, 將 a, a 6 代 入, 整 理 得 (a 3 ) 64, 由 a 3 > 0, 解 得 a 3 0. 故 該 數 列 的 前 3 項 為, 6, 0, 4 分 (II) 解 法 一 : 由 (I) 猜 想 數 列 {a n } 有 通 項 公 式 a n 4n. 下 面 用 數 學 歸 納 法 證 明 數 列 {a n } 的 通 項 公 式 是 a n 4n (n N).... 6 分 () 當 n 時, 因 為 4, 又 在 (I) 中 已 求 出 a, 所 以 上 述 結 論 成 立. 7 分 () 假 設 n k 時 結 論 成 立, 即 a 有 a k 4k. 由 題 意, 有 k + Sk, 將 a k 4k 代 入 上 式, 得 k S k, 解 得 S k k. 由 題 意, 有 a k+ + S k+, S k+ S k + a k+, 將 S k k 代 入, 得 ( a k+ + ) (ak+ + k ), 整 理 得 a k+ 4a k+ +4 6k 0. 0 分 由 a k+ > 0, 解 得 a k+ + 4k, 所 以 a k+ + 4k

994 年 海 峽 兩 岸 大 學 聯 考 試 題 比 較 5 4(k + ). 這 就 是 說, 當 n k + 時, 上 述 結 論 成 立. 根 據 () (), 上 述 結 論 對 所 有 的 自 然 數 n 成 立. 解 法 二 : 由 題 意, 有 a n + S n (n N), 整 理 得 S n 8 (a n + ), 分 由 此 得 S n+ (a 8 n+ + ), 所 以 a n+ S n+ S n [(a 8 n+ + ) (a n + ) ], 8 分 整 理 得 (a n+ +a n )(a n+ a n 4) 0, 由 題 意 知 a n+ + a n 0, 所 以 a n+ a n 4. 即 數 列 {a n } 為 等 差 數 列, 其 中 a, 公 差 d 4. 所 以 a n a + (n )d + 4(n ), 即 通 項 公 式 為 a n 4n. 分