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微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 ( 高 教 社 同 济 大 学 第 三 版 上 册 ) 李 红 英 主 编

图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 ( 高 教 社 同 济 大 学 第 三 版 上 册 )/ 李 红 英 主 编. 上 海 : 华 东 理 工 大 学 出 版 社,03.0 ISBN978 7 568 3646 9 Ⅰ. 微 Ⅱ. 李 Ⅲ. 微 积 分 高 等 学 校 教 学 参 考 资 料 Ⅳ. 07 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (03) 第 335 号 微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 ( 高 教 社 同 济 大 学 第 三 版 上 册 ) 主 编 / 李 红 英 策 划 编 辑 / 周 永 斌 责 任 编 辑 / 郭 艳 责 任 校 对 / 金 慧 娟 出 版 发 行 / 华 东 理 工 大 学 出 版 社 有 限 公 司 地 址 : 上 海 市 梅 陇 路 30 号,0037 电 话 :(0)6450306( 营 销 部 ) (0)64574( 编 辑 室 ) 传 真 :(0)645707 网 址 :press.ecust.edu.cn 印 刷 / 常 熟 华 顺 印 刷 有 限 公 司 开 本 /787mm 09mm /6 印 张 /.5 字 数 /350 千 字 版 次 /03 年 0 月 第 版 印 次 /03 年 0 月 第 次 书 号 /ISBN978 7 568 3646 9 定 价 /9.00 元 联 系 我 们 : 电 子 邮 箱 press@ecust.edu.cn 官 方 微 博 e.weibo.com/ecustpress 淘 宝 官 网 htp://shop69506.taobao.com

前 言 微 积 分 是 高 等 院 校 理 工 科 和 经 济 管 理 类 学 科 相 关 专 业 的 一 门 重 要 基 础 课, 为 了 帮 助 广 大 在 校 生 和 自 学 者 学 好 这 门 课 程, 掌 握 这 个 有 力 的 数 学 工 具, 我 们 总 结 了 在 教 学 中 积 累 的 大 量 资 料 和 汇 集 的 考 题, 编 写 了 这 本 配 套 同 济 大 学 数 学 系 主 编 的 微 积 分 ( 第 三 版 上 册 ) 的 同 步 辅 导 书. 本 书 对 原 教 材 内 容 进 行 了 归 纳 总 结 并 逐 章 编 写, 对 部 分 知 识 点 作 了 有 益 的 扩 展 延 伸, 对 重 点 难 点 进 行 了 剖 析, 对 所 有 的 习 题 进 行 了 详 尽 的 解 答. 每 章 包 括 : 教 学 基 本 要 求 内 容 要 点 主 要 方 法 典 型 例 题 分 析 习 题 全 解 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 等 栏 目. 教 学 基 本 要 求 符 合 国 家 教 育 部 制 定 的 微 积 分 课 程 教 学 基 本 要 求, 同 时 根 据 教 学 实 践 作 了 个 别 适 当 修 改. 内 容 要 点 按 照 既 由 浅 入 深 系 统 全 面 脉 络 清 晰, 又 突 出 重 点 简 明 扼 要 详 略 得 当 的 理 念, 对 内 容 和 方 法 进 行 归 纳 总 结. 主 要 方 法 总 结 归 纳 了 针 对 每 章 内 容 的 题 目 的 解 题 方 法 步 骤 及 注 意 点. 典 型 例 题 分 析 对 每 章 的 重 点 难 点 内 容 进 行 具 体 分 析, 并 通 过 对 具 有 代 表 性 的 典 型 例 题 的 分 析 求 解, 使 抽 象 的 知 识 变 得 具 体. 习 题 全 解 对 每 章 的 习 题 均 给 出 了 详 细 解 答, 解 答 过 程 详 细 而 具 体, 跳 跃 度 很 小, 大 部 分 题 目 在 解 答 之 前 给 出 了 解 题 指 导. 同 时, 对 部 分 题 目 给 出 了 两 种 或 三 种 不 同 的 解 法, 从 不 同 的 角 度 对 同 一 个 问 题 进 行 不 同 的 求 解, 有 利 于 知 识 的 综 合 交 叉 应 用, 从 而 使 读 者 开 阔 视 野, 真 正 地 锻 炼 数 学 思 维, 提 高 对 知 识 掌 握 的 熟 练 程 度. 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 精 选 近 三 年 考 研 数 学 试 题, 进 行 解 答 与 分 析, 适 合 学 有 余 力 以 及 准 备 考 研 的 学 生 参 考. 由 于 编 者 水 平 有 限, 书 中 错 误 和 不 当 之 处 在 所 难 免, 还 望 各 位 专 家 读 者 不 吝 赐 教, 斧 正 谬 误, 以 期 本 书 能 及 时 进 行 修 正 并 不 断 完 善.

目 录 预 备 知 识 一 教 学 基 本 要 求 二 内 容 要 点 三 主 要 方 法 6 四 典 型 例 题 分 析 6 五 习 题 全 解 7 第 一 章 极 限 与 连 续 一 教 学 基 本 要 求 二 内 容 要 点 三 主 要 方 法 5 四 典 型 例 题 分 析 5 五 习 题 全 解 7 六 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 36 第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 38 一 教 学 基 本 要 求 38 二 内 容 要 点 38 三 主 要 方 法 45 四 典 型 例 题 分 析 46 五 习 题 全 解 48 六 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 87 第 三 章 一 元 函 数 积 分 学 90 一 教 学 基 本 要 求 90 二 内 容 要 点 90 三 主 要 方 法 99 四 典 型 例 题 分 析 00 五 习 题 全 解 0 六 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 40 第 四 章 微 分 方 程 4 一 教 学 基 本 要 求 4 二 内 容 要 点 4 三 主 要 方 法 45 四 典 型 例 题 分 析 45 五 习 题 全 解 48 六 近 三 年 考 研 数 学 试 题 选 解 89

预 备 知 识 一 教 学 基 本 要 求. 理 解 函 数 概 念, 掌 握 函 数 的 表 示 法.. 了 解 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性. 3. 理 解 复 合 函 数 和 分 段 函 数 的 概 念, 了 解 反 函 数 的 概 念. 4. 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形, 了 解 初 等 函 数 的 概 念. 5. 会 建 立 应 用 问 题 的 函 数 关 系. 二 内 容 要 点. 基 础 知 识 () 集 合 定 义 任 意 指 定 的 有 限 多 个 或 无 限 多 个 事 物 所 组 成 的 总 体 称 为 一 个 集 合 ( 或 简 称 集 ), 组 成 这 个 集 合 的 事 物 称 为 该 集 合 的 元 素. 一 个 集 合, 若 其 元 素 的 个 数 是 有 限 的, 则 称 为 有 限 集 ; 否 则 称 为 无 限 集. 常 用 的 几 个 数 集 如 下. 实 数 集 R 表 示 全 体 实 数 的 集 合 ; 自 然 数 集 N={0,,,3,,n, }; 整 数 集 Z={0,,-,,-,,n,-n, }; { } ; 有 理 数 集 Q= q p p,q Z,q 0, 且 p 与 q 互 素 复 数 集 C={a+bi a,b R,i =-} () 邻 域 定 义 实 数 集 { -a <δ,δ>0}, 称 为 点 a 的 δ 邻 域, 记 为 U(a,δ), 即 U(a,δ)=(aδ,a+δ), 其 中 点 a 叫 做 邻 域 的 中 心,δ 叫 做 邻 域 的 半 径. 定 义 实 数 集 { 0< -a <δ,δ>0}, 称 为 点 a 的 去 心 δ 邻 域, 记 为 U ( a,δ) 或 U (a,δ), 即 U ( a,δ)=(a-δ,a) (a,a+δ), 其 中 点 a 叫 做 邻 域 的 中 心,δ 叫 做 邻 域 的 半 径. 注 : (i) 邻 域 与 去 心 邻 域 的 区 别 ; (i)(a-δ,a) 称 为 点 a 的 左 δ 邻 域,(a,a+δ) 称 为 点 a 的 右 δ 邻 域 ; >

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 (i) 邻 域 是 开 区 间.. 函 数 概 念 () 函 数 : 设 数 集 D R, 两 个 变 量 和 y, 若 对 每 一 个 D, 按 照 对 应 法 则 f, 有 唯 一 确 定 的 实 数 y 与 之 对 应, 则 称 对 应 法 则 f 为 定 义 在 数 集 D 上 的 函 数, 记 为 y=f(). 其 中 称 为 自 变 量, y 称 为 因 变 量,D 称 为 定 义 域, 记 作 D f.r f ={y y=f(), D f } 称 为 f 的 值 域. 注 : 函 数 的 两 大 要 素 是 定 义 域 和 对 应 法 则. () 复 合 函 数 : 设 函 数 y=f(u) 和 u=g(), 若 D f R g, 则 称 函 数 y=f[g()], { D g,g() D f } 为 由 y=f(u) 和 u=g() 复 合 而 成 的 复 合 函 数, 其 中 u 称 为 中 间 变 量. 注 : 条 件 D f R g. (3) 反 函 数 : 设 函 数 y=f(), D f,y R f, 若 对 每 一 个 y R f, 有 唯 一 一 个 D f 与 之 对 应 且 f()=y, 则 在 R f 上 定 义 了 一 个 函 数, 称 为 函 数 f 的 反 函 数, 记 为 f -, 即 =f - (y),y R f. 注 : (i) 反 函 数 f - 的 定 义 域 是 R f, 值 域 是 D f ; (i) 在 同 一 直 角 坐 标 系 中, 函 数 y=f() 与 =f - (y) 的 图 形 是 同 一 条 曲 线 ; 而 函 数 y=f () 与 y=f - () 的 图 形 关 于 直 线 y= 对 称 ; (i) 单 调 函 数 f 必 存 在 反 函 数, 且 其 反 函 数 具 有 与 f 相 同 的 单 调 性 ; (iv) 对 D f, 有 =f - [f()]. (4) 初 等 函 数 : 由 基 本 初 等 函 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 和 有 限 次 复 合 而 成 的 函 数 称 为 初 等 函 数. (5) 分 段 函 数 : 在 定 义 域 的 不 同 部 分 用 不 同 的 表 达 式 表 示, 这 种 函 数 称 为 分 段 函 数. 注 : 分 段 函 数 中 虽 然 有 多 个 表 达 式, 但 表 示 的 是 同 一 个 函 数. 3. 函 数 的 性 质 () 有 界 性 : 设 函 数 f() 在 区 间 I 上 有 定 义, 若 存 在 M >0, 当 I 时, 恒 有 f() M 成 立, 则 称 函 数 f() 在 I 上 有 界, 或 称 f() 是 I 上 的 有 界 函 数, 其 中 M 是 f() 在 I 上 的 一 个 界. 注 : (i) 若 存 在 M, 对 任 意 的 I, 有 f() M, 称 f() 在 I 上 有 上 界 ; (i) 若 存 在 M, 对 任 意 的 I, 有 f() M, 称 f() 在 I 上 有 下 界 ; (i) 函 数 f() 在 I 上 有 界 的 充 要 条 件 是 f() 在 I 上 既 有 上 界 又 有 下 界 ; (iv) 若 对 任 意 的 M >0, 总 存 在 0 I, 使 f(0) >M, 称 f() 在 I 上 无 界. () 单 调 性 : 设 函 数 f() 在 区 间 I 上 有 定 义,, I, 当 < 时, 若 恒 有 f()< f(), 称 f() 在 I 上 单 调 增 加 ; 若 恒 有 f()>f(), 称 f() 在 I 上 单 调 减 少. 注 : (i) 单 调 增 加 函 数 和 单 调 减 少 函 数 统 称 为 单 调 函 数 ; (i) 若 < 时,f() f()(f() f()), 称 f() 为 非 严 格 单 调 增 加 ( 减 少 ) 函 数. (3) 奇 偶 性 : 设 函 数 y=f() 的 定 义 域 D f 关 于 原 点 对 称, 若 对 任 一 D f, 都 有 f(-)= -f(), 则 称 y=f() 为 奇 函 数 ; 若 对 任 一 D f, 都 有 f(-)=f(), 则 称 y=f() 为 偶 函 数. <

预 备 知 识 注 : 奇 函 数 的 图 形 关 于 原 点 对 称, 偶 函 数 的 图 形 关 于 y 轴 对 称. (4) 周 期 性 : 设 函 数 y=f() 的 定 义 域 为 D f, 若 存 在 一 个 非 零 常 数 T, 使 得 对 任 一 D f, 有 ±T D f, 且 f(+t)=f() 恒 成 立, 则 称 f() 为 周 期 函 数,T 称 为 f() 的 周 期. 注 : (i) 周 期 函 数 的 周 期 通 常 指 最 小 正 周 期 ; (i) 若 T 是 f() 的 周 期, 则 nt (n Z) 也 是 f() 的 周 期. 4. 基 本 初 等 函 数 的 图 形 及 主 要 性 质 () 幂 函 数 :y= μ ( μ 0), 见 图 0. (i) 定 义 域 : 随 μ 不 同 而 不 同. y y= y= y= (a) 当 μ 为 有 理 数 时, 记 μ= q p ( 为 既 约 分 数 ), 其 中 p 为 正 整 数,q 为 整 数, 则 p 为 奇 数,q>0 时 定 义 域 为 (-,+ ); p 为 奇 数,q<0 时 定 义 域 为 (-,0) (0,+ ); p 为 偶 数,q>0 时 定 义 域 为 [0,+ ); p 为 偶 数,q<0 时 定 义 域 为 (0,+ ). (b) 当 μ 为 无 理 数 时, 定 义 域 为 (0,+ ). (i) 主 要 性 质 (a) 无 论 μ 取 何 值, 函 数 图 形 都 经 过 点 (,). O 图 0 (b) 若 μ>0,y= μ 在 [0,+ ) 内 单 调 增 加 ; 若 μ<0,y= μ 在 (0,+ ) 内 单 调 减 少. (c) α+β = α β, α-β = α β. () 指 数 函 数 :y=a (a>0,a ), 见 图 0. (i) 定 义 域 为 (-,+ ), 值 域 为 (0,+ ). (i) 主 要 性 质 (a) 无 论 a 取 何 值, 函 数 图 形 都 过 点 (0,). (b)y=a 与 y= ö ç 的 图 形 关 于 y 轴 对 称. èa ø (c) 当 a> 时,y=a 为 严 格 单 调 增 加 函 数 ; 当 0<a< 时,y=a 为 严 格 单 调 减 少 函 数. (d)(ab) =a b, a ö ç = a èb ø b ( b 0),a y =(a ) y. (3) 对 数 函 数 :y=loga (a>0,a ), 见 图 0 3. (i) 定 义 域 为 (0,+ ), 值 域 为 (-,+ ). (i) 对 数 函 数 y=loga 与 指 数 函 数 y=a 互 为 反 函 数. (i) 主 要 性 质 (a) 无 论 a 取 何 值, 函 数 图 形 都 过 点 (0,). (b)y=loga 与 y=log a 的 图 形 关 于 轴 对 称. (c) 当 a> 时,y=loga 为 严 格 单 调 增 加 函 数 ; 当 0<a< 时,y=loga 为 严 格 单 调 减 少 函 数. 0<a< y O y O 图 0 图 0 3 a> 0<a< y= a> >3

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 (d)loga= ln lna, y loga(y)=loga+logay,loga =logay-loga,loga y =yloga. (4) 三 角 函 数 正 弦 y=sin, 余 弦 y=cos, 正 切 y=tan= sin cos, 余 切 y=cot= cos sin, 正 割 y=sec= cos, 余 割 y=csc= sin, 其 图 形 分 别 见 图 0 4 图 0 5 及 图 0 6. y=cot y y=tan y y=sin y=cos O 3 O 3 图 0 4 图 0 5 y y=sec y=csc 3 O 3 图 0 6 (i)y=sin 与 y=cos 的 定 义 域 为 (-,+ ), 值 域 为 [-,]; { }, 值 域 为 (-,+ ); y=tan 的 定 义 域 为 k+, k=0,±,±, y=cot 的 定 义 域 为 { k,k=0,±,±, }, 值 域 为 (-,+ ); { }, 值 域 为 (-,-] [,+ ); y=sec 的 定 义 域 为 k+, k=0,±,±, y=csc 的 定 义 域 为 { k,k=0,±,±, }, 值 域 为 (-,-] [,+ ). (i) 主 要 性 质 (a) 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 是 有 界 函 数, sin, cos. (b)y=sin,y=tan,y=cot,y=csc 都 是 奇 函 数,y=cos,y=sec 都 是 偶 函 数. 4<

预 备 知 识 (c)y=sin,y=cos,y=sec,y=csc 是 以 为 周 期 的 函 数,y=tan 和 y=cot 是 以 为 周 期 的 函 数. (d) 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 sin ç è - ö =cos, cos ç ø è - ö =sin, ø sin(-)=sin, cos(-)=-cos, sin=sincos, cos=cos -sin =cos -=-sin, sin = -cos, cos = +cos, sin(±y)=sincosy±cossiny, cos(±y)=coscosy±sinsiny, sinα+sinβ=sin α+ β cosα- β, sinα-sinβ=cos α+ β sinα- β, cosα+cosβ=cos α+ β cosα- β, cosα-cosβ=-sin α+ β sinα- β, sinαcosβ= [ sin(α+β ) +sin(α-β )], cosαsinβ= [ sin(α+β ) -sin(α-β )], cosαcosβ= [ cos(α+β ) +cos(α-β )], sinαsinβ=- [ cos(α+β ) -cos(α-β )], sin +cos =, +tan =sec, +cot =csc. (5) 反 三 角 函 数 y=arcsin,y=arccos,y=arctan,y=arccot,y=arcsec,y=arccsc 分 别 是 相 应 的 三 角 函 数 在 主 值 范 围 内 的 反 函 数 ẏ=arcsin,y=arccos,y=arctan 的 图 形 分 别 见 图 0 7 图 0 8 及 图 0 9. y y y O O O 图 0 7 图 0 8 图 0 9 é (i)y=arcsin 的 定 义 域 为 [-,], 值 域 为 -, ù ë ê û ú ; y=arccos 的 定 义 域 为 [-,], 值 域 为 [0,]; y=arctan 的 定 义 域 为 (-,+ ), 值 域 为 -, ö ç è ø (i) 主 要 性 质 y=arcsin 是 奇 函 数, 单 调 增 加 函 数 ; y=arccos 是 单 调 减 少 函 数 ; y=arctan 是 奇 函 数, 单 调 增 加 函 数.. >5

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 三 主 要 方 法. 函 数 的 运 算 及 其 表 达 式 的 计 算 方 法 () 利 用 函 数 的 四 则 运 算 复 合 运 算 求 函 数 的 表 达 式 ; () 利 用 反 函 数 求 函 数 表 达 式 ; (3) 利 用 变 量 代 换 求 函 数 表 达 式.. 讨 论 函 数 的 基 本 性 质 奇 函 数 ; () 函 数 的 奇 偶 性 (i) 积 的 性 质 : 两 个 奇 函 数 的 积 是 偶 函 数, 两 个 偶 函 数 的 积 是 偶 函 数, 奇 函 数 和 偶 函 数 的 积 是 (i) 和 的 性 质 : 两 个 奇 函 数 的 和 是 奇 函 数, 两 个 偶 函 数 的 和 是 偶 函 数, 非 零 奇 函 数 和 非 零 偶 函 数 的 和 是 非 奇 非 偶 函 数 ; (i) 复 合 函 数 F()=f(g()) 的 奇 偶 性 : 若 g() 是 偶 函 数, 则 F() 是 偶 函 数 ; 若 g() 是 奇 函 数,f() 是 偶 函 数, 则 F() 是 偶 函 数 ; 若 g() 是 奇 函 数,f() 是 奇 函 数, 则 F() 是 奇 函 数. (iv) 若 y=f() 的 定 义 域 D f 关 于 原 点 对 称, 则 f() 能 唯 一 地 分 解 为 一 个 奇 函 数 φ ( ) 与 一 个 偶 函 数 ψ ( ) 之 和, 其 中 φ ( )= [ f()-f(-)], ψ ()= [ f()+f(-)]. () 函 数 的 单 调 性 (i) 在 区 间 I 上, 若 函 数 f() 和 函 数 g() 都 是 单 调 增 加 ( 减 少 ) 的, 则 函 数 f()+g() 也 是 单 调 增 加 ( 减 少 ) 的 ; (i) 若 函 数 y=f(u) 和 u=g() 都 是 单 调 增 加 ( 减 少 ) 的, 则 复 合 函 数 y=f[g()] 是 单 调 增 加 的 ; 若 函 数 y=f(u) 和 u=g() 中, 一 个 单 调 增 加, 一 个 单 调 减 少, 则 y=f[g()] 是 单 调 减 少 的 ; (i) 函 数 与 其 反 函 数 具 有 相 同 的 单 调 性. (3) 函 数 的 周 期 性 (i) 当 函 数 是 由 多 个 周 期 函 数 之 和 构 成, 且 各 周 期 的 比 值 是 有 理 数, 则 其 周 期 是 各 个 周 期 的 最 小 公 倍 数. T (i) 若 f() 是 以 T>0 为 周 期 的 函 数, 则 f(a+b)(a>0) 是 以 为 周 期 的 函 数. a 四 典 型 例 题 分 析 6< 例 已 知 f()=e,f[ φ ()]=- 且 φ ( ) 0, 求 φ ( ) 并 写 出 它 的 定 义 域. 分 析 f[ φ ()]=e φ() =-, 解 方 程 可 得 φ ( ).

预 备 知 识 解 由 e φ() =-, 得 φ ( )= ln(-). 由 ln(-) 0, 得 -, 即 0. 所 以 φ ( )= ln(-), 0. 例 f()= sin e cos (- <<+ ) 是 ( ). (A) 有 界 函 数 (B) 单 调 函 数 (C) 周 期 函 数 (D) 偶 函 数 分 析 因 sin,e cos 都 是 偶 函 数, 故 应 选 (D). 五 习 题 全 解 习 题 ( 见 原 书 P7). 设 A={ - } B={ 0<<} 是 实 数 域 中 的 两 个 子 集, 写 出 A B A B A\B 及 B\A 的 表 达 式. 解 因 为 A={ - },B={ 0<<}, 所 以 A B={ - <}, A B={ 0< }, A\B={ - 0}, B\A={ <<}.. 两 个 集 合 A 与 B 之 间 如 果 存 在 一 一 对 应, 则 称 集 合 A 与 B 等 势. 例 如, 设 A 是 正 奇 数 集 合,B 是 正 偶 数 集 合, 如 果 定 义 从 A 到 B 的 映 射 T:T(n+)=n+, 其 中 n 为 任 一 自 然 数, 则 T 是 A 与 B 之 间 的 一 一 对 应, 因 此 这 两 个 集 合 等 势. 试 说 明 下 列 数 集 是 等 势 的 : () 整 数 集 合 Z 与 自 然 数 集 N;() 区 间 (,) 与 区 间 (3,5). 解 () 令 f:n Z, 使 f(k)=k,f(k+)=-(k+)(k=0,,, ), 则 f 为 N 与 Z 之 间 的 一 一 对 应, 故 N 与 Z 等 势. () 令 g:(,) (3,5), 使 (,),g()=+, 则 g 为 (,) 与 (3,5) 之 间 的 一 一 对 应, 故 (,) 与 (3,5) 等 势. 3. 求 下 列 函 数 的 自 然 定 义 域 : 解 ()y= + ; ( )y= -9; (3)y= + +; (4)y= - [+]. () 由 于 + 0, 即 -, 所 以 定 义 域 为 (-,-) (-,+ ). () 由 于 -9 0, 即 3 或 -3, 所 以 定 义 域 为 (-,-3] [3,+ ). (3) 由 于 - 0 且 + 0, 即 ± 且 -, 所 以 定 义 域 为 (-,) (,+ ). (4) 由 于 [+] 0, 则 (-,-) [0,+ ). 4. 下 列 函 数 f 和 φ 是 否 相 同? 为 什 么? ()f()=, φ ( )=; ()f()=, φ ()= ; (3)f()=, φ ()=sin +cos ; (4)f()=, φ ()=sec -tan. 解 () 由 于 f() 的 定 义 域 为 (-,0) (0,+ ), 而 φ ( ) 的 定 义 域 是 实 数 域 R, 所 以 f() 与 φ ( ) 不 是 一 个 函 数. () 由 于 f() 的 值 域 是 R, 而 φ ( ) 的 值 域 是 [0,+ ), 所 以 f() 与 φ ( ) 不 同. (3) 由 于 f() 与 φ ( ) 的 定 义 域 和 对 应 法 则 相 同, 所 以 f() 与 φ ( ) 相 同. { }, 所 以 f() 与 φ ( ) (4) 由 于 f() 的 定 义 域 是 R, 而 φ ( ) 的 定 义 域 是 k+, k Z >7

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 不 同. 5. 讨 论 下 列 函 数 的 奇 偶 性 : ()y=+ - 3 ; ()y=a+bcos; 8< (3)y=+sin+e ; (4)y=sin. 解 () 由 于 y(-)=-+ + 3 y(),y(-) -y(), 所 以 y 非 奇 非 偶. () 由 于 y(-)=a+bcos(-)=a+bcos=y(), 所 以 y 是 偶 函 数. (3) 由 于 y(-)=--sin+e - y(),y(-) -y(), 所 以 y 非 奇 非 偶. (4) 由 于 y(-)=-sin - ö ç =sin è ø =y (), 所 以 y 是 偶 函 数. 6. 证 明 : 两 个 偶 函 数 之 积 是 偶 函 数, 两 个 奇 函 数 之 积 是 偶 函 数 ; 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 积 是 奇 函 数. 证 设 f() 与 g() 都 是 定 义 在 D 上 的 偶 函 数, φ () 与 ψ ( ) 都 是 定 义 在 D 上 的 奇 函 数, 则 F()=f() g(),g()=φ ( ) ψ(),h ()=f() ψ(), D. 则 D,F(-)=f(-) g(-)=f() g()=f(), G(-)=φ ( -) ψ(-)=[-φ ( )] [-ψ ( )]=φ ( ) ψ()=g(), H (-)=f(-) ψ(-)=f() [-ψ ( )]=-f() ψ()=-h (). 故 F() G() 为 定 义 在 D 上 的 偶 函 数,H () 是 定 义 在 D 上 的 奇 函 数, 结 论 成 立. 7. 设 f() 是 定 义 在 对 称 区 间 (-l,l) 内 的 任 何 函 数, 证 明 : () φ ()=f()+f(-) 是 偶 函 数, ψ ()=f()-f(-) 是 奇 函 数 ; () 定 义 在 区 间 (-l,l) 内 的 任 何 函 数 可 以 表 示 为 一 个 偶 函 数 与 一 个 奇 函 数 的 和. 证 () 由 于 φ ( -)=f(-)+f()=φ ( ), 所 以 φ ( ) 是 偶 函 数 ; 由 于 ψ ( -)=f(-)-f()=-ψ ( ), 所 以 ψ ( ) 是 奇 函 数. () 令 f()= φ( )+ψ ( ), 由 () 知 φ ( ) 是 偶 函 数, 则 φ( ) 也 是 偶 函 数, ψ () 是 奇 函 数, ψ( ) 也 是 奇 函 数, 故 结 论 成 立. 8. 证 明 :() 两 个 单 调 增 加 ( 单 调 减 少 ) 的 函 数 之 和 是 单 调 增 加 ( 单 调 减 少 ) 的 ; () 两 个 单 调 增 加 ( 单 调 减 少 ) 的 正 值 函 数 之 积 是 单 调 增 加 ( 单 调 减 少 ) 的 ; 证 (3) 两 个 单 调 增 加 的 函 数 的 复 合 函 数 是 单 调 增 加 的, 又 问 两 个 单 调 减 少 的 函 数 的 复 合 函 数 情 况 如 何? () 设 f() 与 g() 都 是 定 义 在 D 上 的 单 调 增 加 的 函 数, 令 F()=f()+g(), D., D, 且 <, 则 有 f()<f(),g()<g(), 从 而 F()=f()+g()<f()+g()=F(), 故 F() 是 D 上 的 单 调 增 加 的 函 数, 即 两 个 单 调 增 加 的 函 数 之 和 是 单 调 增 加 的. 类 似 可 证 单 调 减 少 的 情 况. () 设 f() 与 g() 都 是 定 义 在 D 上 的 单 调 增 加 的 正 值 函 数, 令 G()=f() g(), D., D, 且 <, 则 有 f()<f(),g()<g(), 从 而 G()=f() g()<f() g()=g(), 故 G() 是 D 上 的 单 调 增 加 的 函 数. 类 似 可 证 单 调 减 少 的 情 况. (3) 设 f() 和 g() 是 两 个 单 调 增 加 的 函 数, 令 H ()=f(g()), D. 任 取, D, 且 <, 则 g()<g(), 从 而 f(g())<f(g()),

预 备 知 识 即 H ()<H (), 故 H () 是 单 调 增 加 的 函 数, 结 论 成 立. 设 φ ( ) 与 ψ ( ) 是 两 个 单 调 减 少 的 函 数, 令 Φ()=φ ( ψ ( )), D. 任 取, D, 且 <, 则 ψ ( )>ψ ( ), 从 而 φ ( ψ ( ))<φ ( ψ ( )), 即 Φ()<Φ(), 故 Φ() 是 单 调 增 加 的 函 数, 即 两 个 单 调 减 少 的 函 数 的 复 合 函 数 是 单 调 增 加 的. 9. 求 下 列 函 数 的 反 函 数 及 反 函 数 的 定 义 域 :, 当 - <<, ()y= - (- 0); ()y= { 3 -, 当 <+. 解 () 由 y= - 解 得 =- -y 且 0 y, 所 以 反 函 数 为 y=- -, [0,]. () 当 - << 时,- <y<, 且 = 3 y; 当 <+ 时, y<+, 且 =logy+, 所 以 反 函 数 为 0. 作 出 下 列 函 数 的 图 形 : ()y=sgn(cos); 解 () 设 f()=sgn(cos), 则 R, { 3, - <<, y= log+, <+. ()y=-[]. f(-)=sgn(cos(-))=sgn(cos), f(+)=sgn(cos(+))=sgn(cos), 所 以 f() 既 是 偶 函 数, 又 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数. é 当 0, ö ë ê 时,y=f()=; 当 ç ø è,3 ö 时,y=f()=-; ø 当 3 ù ç, è û ú 时,y=f()=, 且 f ö ç è =f 3 ç ø è ö =0, ø 于 是 可 得 函 数 的 图 形 ( 图 0 0). y y O O 3 图 0 0 图 0 () 设 g()=-[], 则 R, 有 g(+)=+-[+]=-[]=g(), 所 以 g() 是 以 为 周 期 的 函 数. 当 [0,) 时,y=g()=; 且 g()=0, 于 是 可 得 函 数 图 形 ( 图 0 ).. 给 定 函 数 y=f(), (-,+ ), 令 f()=-f(); f()=f(-); f3()=-f(-). 说 明 函 数 y=f(),y=f(),y=f3() 的 图 形 与 y=f() 的 图 形 的 位 置 关 系. 解 y=f() 与 y=f() 关 于 轴 对 称 ;y=f() 与 y=f() 关 于 y 轴 对 称 ; y=f3() 与 y=f() 关 于 坐 标 原 点 中 心 对 称.. 证 明 :()sinh+sinhy=sinh +y -y cosh ; >9

证 微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 ()cosh-coshy=sinh +y -y sinh. ()sinh +y -y cosh = e +y -e - +y +e - e-y -y = e +e y -e -y -e - = e -e - -e -y +ey =sinh+sinhy, 证 毕. ()sinh +y -y sinh = e +y -e - +y -e - e-y -y = e -e y -e -y +e - = e +e - +e -y -ey =cosh-coshy, 证 毕. ì, 当 <, ï 3. 设 f()= í 0, 当 =, g()=e, 求 f[g()] 和 g[f()], 并 作 出 这 两 个 函 数 的 图 ï î-, 当 >. 形, ì, 当 g() =e <, 即 <0, ï 解 f[g()]= í 0, 当 g() =e =, 即 =0, ï î-, 当 g() =e >, 即 >0. ì e, 当 <, ï g[f()]=e ()= f í, 当 =, ï îe -, 当 >. 图 形 略. 4.() 设 f(-)= -+3, 求 f(+); () 设 f sin ö ç =+cos, 求 f(cos). è ø 解 ()f(-)=(-) +(-)+3, 从 而 有 f()= ++3, 所 以 f(+)=(+) +(+)+3= +6+. ()f sin ö ö ç =+ ç-sin =-sin è ø è ø, 从 而 有 f()=-, 所 以 f(cos)=-cos =sin. 0<

第 一 章 极 限 与 连 续 一 教 学 基 本 要 求. 了 解 数 列 极 限 和 函 数 极 限 ( 包 括 左 极 限 与 右 极 限 ) 的 概 念.. 理 解 函 数 极 限 与 左 右 极 限 之 间 的 关 系. 3. 了 解 极 限 的 性 质 与 极 限 存 在 的 两 个 准 则 ( 夹 逼 准 则 和 单 调 有 界 准 则 ), 掌 握 极 限 的 四 则 运 算 法 则, 掌 握 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限 的 方 法. 4. 理 解 无 穷 小 量 的 概 念 和 基 本 性 质, 掌 握 无 穷 小 量 的 比 较 方 法, 了 解 无 穷 大 量 的 概 念 及 其 与 无 穷 小 量 的 关 系. 5. 掌 握 利 用 等 价 无 穷 小 求 极 限, 利 用 无 穷 小 的 性 质 求 极 限. 6. 理 解 函 数 连 续 性 的 概 念 ( 含 左 连 续 和 右 连 续 ), 会 判 别 函 数 间 断 点 的 类 型. 7. 了 解 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性, 会 利 用 函 数 的 连 续 性 求 极 限. 8. 理 解 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 有 界 性 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 零 点 定 理 ), 并 会 应 用 这 些 性 质. 二 内 容 要 点. 数 列 极 限 () 定 义 设 数 列 { n }, 如 果 存 在 常 数 a, ε>0, N Z +, 当 n>n 时, 恒 有 n-a <ε 成 立, 则 称 a 是 数 列 { n } 的 极 限, 或 者 称 数 列 { n } 收 敛 于 a, 记 为 lim n=a. () 性 质 (i) 唯 一 性 : 收 敛 数 列 的 极 限 必 唯 一. (i) 有 界 性 : 若 数 列 { n } 收 敛, 则 { n } 有 界. (i) 保 号 性 : 若 lim n=a, 且 a>0( 或 a<0), 则 N Z +, 当 n>n 时, 恒 有 n>0( 或 n<0). n (iv) 收 敛 数 列 与 其 子 数 列 的 关 系 : n (a) 数 列 { n } 收 敛 于 a 它 的 任 一 子 数 列 也 收 敛, 且 极 限 都 为 a. (b) 数 列 { n } 收 敛 于 a 子 数 列 { n },n- { } 均 收 敛 于 a. (3) 数 列 极 限 的 四 则 运 算 法 则 设 lim n =A,lim yn=b, 则 lim (n ±yn)=a±b; lim (nyn)=ab; n n n n 当 yn 0 (n=,, ) 且 B 0 时, 有 lim n n yn = A B. >

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 (4) 数 列 极 限 存 在 准 则 (i) 夹 逼 准 则 : 如 果 数 列 { n } yn { } zn { } 满 足 条 件 : N Z +, 当 n>n 时,yn n zn, 且 lim yn=lim zn=a, 则 lim n=a(a 为 有 限 值 或 为 ). n n n (i) 单 调 有 界 准 则 : 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限. n (i) 重 要 极 限 lim + ö ç n è n =e. ø <. 函 数 极 限 () 定 义 设 函 数 f() 在 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 定 义, ε>0, δ>0, 当 0< -0 < δ 时, 有 f()-a <ε, 则 称 常 数 A 为 函 数 f() 当 0 时 的 极 限, 记 作 定 义 lim f()=a. 设 函 数 f() 在 (0,0+h)( 或 (0-h,0))(h>0) 内 有 定 义, ε>0, δ>0(δ<h). 当 0<<0+δ ( 或 0-δ<<0) 时 有 f()-a <ε, 则 称 常 数 A 为 函 数 f() 当 0 时 的 右 极 限 ( 或 左 极 限 ), 记 为 lim f()=a + 0 ( 或 lim f()=a) - 0 或 f(0+0)=a ( 或 f(0-0)=a). 定 义 3 设 函 数 f() 在 a 时 有 定 义, ε>0, X >0, 当 >X 时, 有 f()-a < ε, 则 称 常 数 A 为 函 数 f() 当 时 的 极 限, 记 为 定 义 4 lim f ()=A. 设 函 数 f() 在 a ( 或 a) 时 有 定 义, ε>0, X >0, 当 >X ( 或 <-X) 时, 有 f()-a <ε, 则 称 常 数 A 为 函 数 f() 当 + ( 或 - ) 时 的 极 限, 记 为 lim f ()=A + () 极 限 存 在 的 充 要 条 件 ( 或 lim - f ()=A). (i)lim f()=a lim f()=lim f()=a; - 0 + 0 (i)lim ()=A lim ()= lim ()=A. + - (3) 函 数 极 限 性 质 (i) 唯 一 性 : 若 lim f() 存 在, 则 极 限 值 唯 一. (i) 局 部 有 界 性 : 若 lim f() 存 在, 则 f() 在 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 界. (i) 局 部 保 号 性 : 若 lim f()=a 且 A>0 ( 或 A<0), 则 存 在 0 的 某 一 去 心 邻 域, 使 f() >0 ( 或 f()<0). (iv) 若 在 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 f() 0 ( 或 f() 0), 且 lim f()=a, 则 A 0 ( 或 A 0). (4) 函 数 极 限 的 四 则 运 算 法 则 设 lim f()=a,lim g()=b, 则 lim [f()±g()]=a±b; lim [f() g()]=ab; lim Cf()=CA; lim [f()] n =A n ; f() lim g() =A B ( B 0).

第 一 章 极 限 与 连 续 (5) 夹 逼 准 则 : 设 在 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 有 f() g() h(), 且 lim f()=lim h()= A, 则 lim g()=a (A 为 有 限 数 或 ). sin (6) 重 要 极 限 :lim 0 =,lim (+) =e,lim + ö ç 0 è =e. ø 注 : 函 数 极 限 的 性 质 四 则 运 算 夹 逼 准 则 重 要 极 限 对 0, 0 -, 0 +,, +, - 均 成 立. 3. 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 () 定 义 如 果 函 数 f() 当 0( 或 ) 时 极 限 为 零, 则 称 f() 为 0( 或 ) 时 的 无 穷 小 量, 简 称 无 穷 小. 特 别 地, 若 lim n=0, 则 称 数 列 {n} 为 n 时 的 无 穷 小 量. n 定 义 设 函 数 f() 在 0 的 某 一 去 心 邻 域 内 ( 或 a 时 ) 有 定 义. 对 于 M >0, δ>0 ( 或 X>0). 当 0< -0 <δ ( 或 >X) 时, 有 f() >M, 称 f() 为 0( 或 ) 时 的 无 穷 大 量, 简 称 无 穷 大. 特 别 地, 对 于 {n}, 若 M >0, N >0, 当 n>n 时 有 n >M, 称 {n} 为 n 时 的 无 穷 大 量. () 无 穷 大 的 运 算 性 质 (i) 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中, 如 果 f() 是 无 穷 大, 则 是 无 穷 小 ; 反 之, 如 果 f() 是 f() 无 穷 小 且 f() 0, 则 是 无 穷 大. f() (i) 无 穷 大 与 无 穷 大 的 乘 积 仍 为 无 穷 大. (i) 无 穷 大 与 有 界 函 数 的 和 仍 为 无 穷 大. (3) 无 穷 小 的 运 算 性 质 (i) 无 穷 小 与 极 限 之 间 的 关 系 :lim f()=a f()=a+α(), 其 中 lim α()=0. (i) 有 限 个 无 穷 小 的 和 是 无 穷 小. (i) 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小. (iv) 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小. (v) 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小. (4) 无 穷 小 的 比 较 (i) 设 α, β 均 为 无 穷 小, 若 lim β α =0, 称 β 是 比 α 高 阶 的 无 穷 小, 记 为 β=o(α), 或 称 α 是 比 β 低 阶 的 无 穷 小. (i) 设 α, β 均 为 无 穷 小, 若 lim β α =c ( 0), 称 β 与 α 是 同 阶 无 穷 小, 记 为 β=o (α), 或 α=o( β ). (i) 设 α, β 均 为 无 穷 小, 若 lim β α =, 称 β 与 α 是 等 价 无 穷 小, 记 为 β~α. 显 然, 若 β~α, 则 α~β ; 若 α~β, β~γ, 则 α~γ. (5) 等 价 无 穷 小 的 定 理 (i) 等 价 代 换 定 理 : 设 α~α', β ~β', 且 lim β ' 存 在, 则 lim β α' α =limβ ' α'. >3

微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 (i) β ~α β=α+o(α) 或 α=β+o( β ). (i) 若 β=o(α), 则 α+β~α, 或 α+o(α)~α. (6) 几 个 重 要 的 等 价 无 穷 小 0 时,~sin~tan~arcsin~arctan~ln(+)~e -, a -~lna,(+) μ -~μ,-cos~. 4. 连 续 函 数 () 定 义 若 lim f()=f(0), 称 f() 在 点 0 处 连 续. 定 义 若 lim +f ()=f(0), 称 f() 在 点 0 处 右 连 续 ; 若 lim -f ()=f(0), 称 f() 在 点 0 处 左 连 续. () 性 质 (i) 若 f() 在 点 0 处 连 续, 则 f() 在 点 0 既 左 连 续 又 右 连 续. (i) 若 f(),g() 在 点 0 处 连 续, 则 f()±g(),f() g(), f () g() ( g(0) 0) 在 点 0 处 也 连 续. (i) 若 y=f(u) 在 点 u0 处 连 续, 而 u=g() 在 点 0 处 连 续 且 g(0)=u0, 则 y=f[g()] 在 点 0 处 连 续. (iv) 若 y=f() 在 区 间 I 上 单 调 且 连 续, 则 其 反 函 数 =f - (y) 在 对 应 区 间 I y ={y y= f(), I} 上 单 调 且 连 续, 且 单 调 性 与 f() 相 同. (v) 基 本 初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 处 处 连 续, 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 处 处 连 续. 5. 间 断 点 的 分 类 () 第 一 类 间 断 点 :lim +f () 和 lim -f () 都 存 在 的 间 断 点. (i) 若 0 是 间 断 点,lim +f ()= lim -f (), 称 0 是 可 去 间 断 点 ; (i) 若 0 是 间 断 点,lim +f () lim -f (), 称 0 是 跳 跃 间 断 点 ; () 第 二 类 间 断 点 :lim +f () 和 lim -f () 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点. 6. 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 () 有 界 性 定 理 : 闭 区 间 上 连 续 函 数 必 有 界. () 最 值 定 理 : 闭 区 间 上 连 续 函 数 必 能 取 到 其 最 大 值 和 最 小 值. (3) 零 点 定 理 : 设 f() 在 [a,b] 上 连 续, 且 f(a) f(b)<0, 则 至 少 存 在 一 点 ξ (a,b), 使 f( ξ )=0. (4) 介 值 定 理 : 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 必 能 取 得 介 于 最 大 值 M 和 最 小 值 m 之 间 的 一 切 值. 4<

第 一 章 极 限 与 连 续 三 主 要 方 法. 数 列 极 限 的 计 算 方 法 () 利 用 初 等 变 换 简 化 后 再 求 极 限 ; () 利 用 四 则 运 算 求 极 限 ; (3) 利 用 单 调 有 界 准 则 求 极 限 ; (4) 利 用 夹 逼 准 则 求 极 限 ; n (5) 利 用 重 要 极 限 lim + ö ç n è n =e 计 算 极 限 ; ø (6) 利 用 函 数 求 极 限 的 方 法 计 算 极 限.. 函 数 极 限 的 计 算 方 法 () 先 将 函 数 简 化 后 求 极 限 ; () 利 用 四 则 运 算 求 极 限 ; (3) 利 用 无 穷 小 的 运 算 性 质 求 极 限 ; (4) 利 用 等 价 无 穷 小 代 换 定 理 及 常 用 的 等 价 无 穷 小 求 极 限 ; (5) 利 用 两 个 重 要 极 限 lim + ö ç è ø (6) 利 用 夹 逼 准 则 求 极 限 ; (7) 利 用 函 数 的 连 续 性 求 极 限 ; sin =e,lim 0 = 求 极 限 ; (8) 分 段 函 数 分 段 点 处 的 极 限 利 用 左 右 极 限 进 行 求 解. 3. 间 断 点 的 分 类 求 解 步 骤 () 先 找 出 可 能 的 间 断 点 0, 使 函 数 没 有 定 义 的 点 或 分 段 函 数 的 分 段 点 ; () 计 算 点 0 处 的 左 右 极 限, 若 0 的 两 侧 表 达 式 相 同, 也 可 直 接 计 算 lim f(); (3) 判 断 间 断 点 的 类 型. 4. 方 程 根 的 存 在 或 等 式 的 证 明 方 法 () 利 用 零 点 定 理 ; () 利 用 介 值 定 理. 四 典 型 例 题 分 析 例 - 求 lim tan 分 析 由 于 当 时, 0, 所 以 不 能 直 接 运 用 无 穷 小 代 换. >5

6< 微 积 分 同 步 辅 导 与 习 题 全 解 - 解 lim tan =lim (-)(+) -tan(-) =lim (-)(+) -(-) =lim + - =-. 例 - cos 设 f()= (-cos ), 0, ù ç è 4 û ú, 试 补 充 定 义 f(0), 使 得 f() é 在 0, ù ê ë 4 ú 上 连 续. û 分 析 显 然 f() 在 0, ù ç è 4 û ú 上 连 续, 只 要 使 f(0)=lim f () 即 可. 0+ 解 lim f - cos ()=lim 0+ 0+ (-cos ) =lim -cos ö ç 0+ è(-cos ) + cos ø ö = ç lim ç = 0+ ç è, ø 由 于 f() 在 0, ù ç è 4 û ú 上 连 续, 因 此 定 义 f()=, 就 可 使 f() é 在 0, ù ë ê 4 û ú 上 连 续. 例 3 设 函 数 f()= e - -, 求 f() 的 间 断 点 并 判 断 其 类 型. 分 析 f() 是 初 等 函 数, 则 不 在 f() 定 义 域 内 的 点 即 为 间 断 点, 然 后 再 按 间 断 点 的 分 类 进 行 判 断. 解 由 于 函 数 在 =0, 处 无 定 义, 所 以 =0, 是 间 断 点. 由 于 lim f ()=, 所 以 =0 是 第 二 类 ( 或 无 穷 ) 间 断 点. 0 由 于 lim f ()=lim =-,lim f ()=lim =0, 所 以 = 是 第 一 类 ( 或 跳 - - - - + + - - e 跃 ) 间 断 点. 例 4 若 函 数 f() 在 [0,6] 上 连 续, 且 f(0)=f(6), 证 明 : 存 在 ξ [0,3], 使 分 析 f( ξ )=f( ξ +3). 所 证 等 式 等 价 于 证 明 方 程 f()=f(+3) 在 [0,3] 上 存 在 根, 可 以 构 造 辅 助 函 数 F()=f()-f(+3), 利 用 零 点 定 理. 证 明 设 F()=f()-f(+3), 则 F() 在 [0,3] 上 连 续, 且 F(0)=f(0)-f(3),F(3)=f(3)-f(6)=f(3)-f(0), 若 F(0)=F(3)=0, 则 取 ξ=0 或 3, 使 F( ξ )=0, 即 f( ξ )=f( ξ +3); 若 F(0)F(3)<0, 由 零 点 定 理, ξ (0,3), 使 F( ξ )=0, 即 f( ξ )=f( ξ +3). 综 上 可 知, 存 在 ξ [0,3], 使 f( ξ )=f( ξ +3). 例 5 分 析 设 =, 且 n= +3n- +n- e (n=,3, ), 证 明 数 列 {n} 收 敛, 并 求 lim n. n 这 是 一 个 由 通 项 满 足 的 递 推 关 系 式 给 出 的 数 列 极 限 问 题, 难 点 在 于 通 项 表 达 式 难 以 求 出, 这 类 问 题 往 往 利 用 单 调 有 界 准 则 判 定 收 敛. 再 设 lim n=a, 则 a= +3a n +a, 解 方 程 求 出 a. 解 因 =,n= +3n- =+ n- +n- +n-, 所 以 0<n<3, 即 {n} 是 有 界 数 列. 又 = 5, 且 > n+-n= + n ö ç - + n- ö n-n- ç = è +n ø è +n- ø (+n)(+n-), 可 知 若 n-<n, 则 n<n+. 由 数 学 归 纳 法 可 知, 数 列 {n} 单 调 递 增. 根 据 单 调 有 界 收 敛 准 则,{n} 收 敛.