概率论与数理统计教案1.doc

概率论教案单位 : 忻州师范学院数学系教师姓名 : 兰旺森职称 : 教授

授课方式理论课课时数授课时间授课单元要求与目的重点与难点主要内容第一章随机事件与概率. 理解随机事件及样本空间的概念, 掌握事件之间的关系及运算 ;. 了解频率和概率的定义, 掌握古典概率的条件及定义, 会计算一般的古典概率 ; 理解几何概率的思想和计算方法, 能熟练运用排列组合知识解决有关古典概型的简单计算问题 ; 3. 掌握概率的基本性质并能用于计算 ; 4. 了解概率的公理化定义发展过程, 理解概率空间的数学定义 ; 5. 熟练掌握概率的加法公式与乘法公式, 理解概率的连续性 ; 6. 掌握将复合事件进行互斥分解的思想方法, 熟练掌握条件概率乘法公式全概率及贝叶斯公式, 能应用这些公式作概率计算并了解贝叶斯决策的思想 ; 7. 掌握事件独立性的定义, 能根据经验判断若干个事件相互独立, 概率的可乘性以及运用独立并的概率计算公式求解应用题, 并对可靠性问题研究有大致的了解重点 : 概率定义及性质, 加法公式, 条件概率与乘法公式, 独立性难点 : 全概率公式, 贝叶斯公式随机事件及其运算随机试验, 样本空间, 事件, 事件的关系和运算, 事件的运算性质, 事件域概率的定义及其确定方法概率的频率定义, 古典定义, 几何定义, 公理化定义 3 概率的性质基本性质 ( 单调性, 可加性, 连续性 ), 加法公式 4 条件概率条件概率的定义, 乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式 5 独立性两个事件的独立性 ( 定义性质应用 ), 三个事件的独立性, 多个事件的独立性, 独立事件之并的概率计算公式, 试验的独立性教学方法讲授式讲练结合探究式案例

探究问题案例问题参考资料概率论与数理统计教程第版. 魏宗舒等编. 高等教育出版社, 008. 概率论与数理统计第 4 版. 浙大盛骤等编. 高等教育出版社, 008. 作业

讲稿第一章随机事件与概率. 随机事件及其运算本节包括随机现象样本空间随机事件随机变量事件间的关系事件运算事件域等内容, 简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算一随机现象. 定义在一定条件下, 并不总是出现相同结果的现象称为随机现象例 () 抛一枚硬币, 有可能正面朝上, 也有可能反面朝上 ; () 掷一颗骰子, 出现的点数 ; (3) 一天内进入某超市的顾客数 ; (4) 某种型号电视机的寿命 ; (5) 测量某物理量 ( 长度直径等 ) 的误差随机现象到处可见. 特点 : 结果不止一个 ; 哪一个结果出现事先不知道 3. 随机试验 : 在相同条件下可以重复的随机现象二样本空间. 样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合, 记为 Ω { ω} 其中,ω 表示基本结果, 称为样本点. 离散样本空间和连续样本空间三随机事件. 定义随机现象的某些样本点组成的集合. 维恩图事件的集合表示 3. 例掷一颗骰子的样本空间为 : Ω {,, L,6} 事件 A 出现点, 它由 Ω 的单个样本点组成事件 B 出现偶数点, 它由三个样本点,4,6 组成事件 C 出现的点数大于 6, Ω 中的任意样本点都不在 C 中, 所以 C 是空集, 即不可能事件

四随机变量等等. 定义用来表示随机现象结果的变量. 例掷骰子, 出现的点数是一个随机变量 ; 不合格产品数是一个随机变量, 五事件之间的关系事件之间的关系包括包含关系相等关系互不相容关系等, 以及各种关系的维恩图表示六事件运算. 事件运算 : 并交差补. 事件的运算性质 : () 交换律 : () 结合律 : (3) 分配律 : AUB BUAA, IB BI A; ( AUB) UC AU( BUC),( AIB) IC AI( BI C) ; ( AUB) IC ( AIC) U( BIC),( AIB) UC ( AUC) I( BU C) ; (4) 对偶律 ( 德莫根公式 ): 七事件域 AUB AIBA, IB AU B. 定义设 Ω 为一样本空间, F 为 Ω 的某些子集组成的集合, 如果 F 满足 : () Ω F ; () 若 A F, 则 A F ; (3) 若 A F,,, L, 则 U A F 则称 F 为一事件域或 σ 代数. 常见事件域 +

例常见事件域 : { AAΩ} F,,, ; F σω (, ω, Lω, L) ; 等 3. 波雷尔事件域 : σ ((, x), x R) F. 概率的定义及其确定方法本节包括概率的公理化定义排列与组合公式确定概率的频率方法古典方法几何方法及主观方法主要介绍概率的定义, 在排列组合公式的基础上, 利用频率方法古典方法几何方法及主观方法计算事件的概率一概率的公理化定义. 定义设 Ω 为一样本空间, F 为 Ω 上的某些子集组成的一个事件域, 如果对任意事件 A F, 定义在 F 上的一个实值函数 P(A) 满足 : () 非负性公理 : PA ( ) 0; () 正则性公理 : PA ( ) ; (3) 可列可加性公理 : 若 A, A, LA, L 两两互不相容, 有 + + P( U A) PA ( ); 则称 P(A) 为事件 A 的概率, 称三元素 ( Ω, F, P) 为概率空间. 概率是关于事件的函数二排列与组合公式. 两大计数原理乘法原理, 加法原理介绍略. 排列组合的定义及计算公式 () 排列 r! P,( r )! ( r) () 重复排列 r (3) 组合

r! C,( r ) r! r! ( ) (4) 重复组合三确定概率的频率方法 r C + r. 定义在次独立重复试验中, 记 (A) 为事件 A 出现的次数, 又称 (A) 为事件 A 的频数, 称为事件 A 出现的频率 ( ) A ( ) f A. 基本思想在与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行的条件下, 记事件 A 的频率为 f( A ), 随着的增加, f( A ) 会稳定在一常数 α 附近, 这个频率的稳定值就是所求事件 A 的概率 3. 说明频率稳定性的例子例投硬币次, 正反面出现的概率分别为 /; 等四确定概率的古典方法. 基本思想 () 所涉及的随机现象只有有限个样本点, 譬如个 ; () 每个样本点发生的可能性相等 ; (3) 若事件 A 含有 k 个样本点, 则 A 的概率为事件 A所含样本点个数 k PA ( ). Ω中所含样本点个数. 例 ( 抽样模型 ) 一批产品共有 N 个, 其中 M 个不合格品,N-M 个合格品, 从中抽取个, 求事件分析略解略 A m 取出的个产品中有 m 个不合格品的概率例 ( 彩票模型 ) 在 35 选 7 的彩票中, 即从 0,0,L35 中不重复的开出 7 个基本号码和一个特殊号码求各等奖中奖的概率 ( 附 : 中奖规则 ) 分析略

解略五确定概率的几何方法. 基本思想 () 如果一个随机现象的样本空间 Ω 充满某个区间, 其度量可用 S Ω 表示 ; () 任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的 : (3) 若事件 A 为 Ω 中的某个子区域, 其度量为 S A, 则事件 A 的概率为 P(A) S A S Ω. 例 ( 会面问题 ) 甲乙两人约定在下午 6 时到 7 时之间在某处会面, 并约定先到者等候另一个人 0 分钟, 过时即可离去求两人能会面的概率分析略解略六确定概率的主观方法. 定义统计界的贝叶斯学派认为 : 一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性给出的个人信念这样给出的概率称为主观概率. 例 : 气象预报中, 明天下雨的概率为 90% ; 一个教师认为, 甲能考取大学的可能性为 95%.3 概率的性质本节包括概率的可加性单调性一般加法公式和连续性等内容, 主要介绍概率的性质及利用性质计算概率一概率的可加性. 有限可加性若有限个事件 A, A, L A 互不相容, 则有. 对任一事件 A, 有 : P( U Ai) PA ( i) i i PA ( ) PA ( )

3. 例抛一枚硬币 5 次, 求既出现正面又出现反面的概率分析略解略二概率的单调性. 若 A B, 则 PA ( B) PA ( ) PB ( ). 若 A B, 则 PA ( ) PB ( ) 3. 对任意两个事件 A,B, 有 4. 例口袋中有编号为,, L,N 的 M 个球的最大号码为 K 的概率分析略解略三概率的加法公式. 对任意两个事件 A,B, 有对任意个事件 A, A, L A, 有 PA ( B) PA ( ) PAB ( ) 的 N 个球, 从中有放回地任取 M 次, 求取出 PA ( U B) PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) ( U i) ( i) ( i j) + ( i j k) + L( ) ( L ) i i < i j < i j< k P A PA PAA PAAA PAA A 分析略证略. 对任意两个事件 A,B, 有 PA ( U B) PA ( ) + PB ( ) 例已知事件 A,B, AU B的概率为 0.4,0.3,0.6, 求 PAB ( )

解略四概率的连续性. 定义对 F 中的任意单调不减的事件序列 F F LF L, 称可列并为 { F } 的极限事件, 记为 + U F lim F U F + + 对 F 中的任意单调不增的事件序列 E E L EL, 称极限事件, 记为对 F 上的一个概率 P, lim E I E + + () 若它对 F 中任一单调不减序列 { F }, 均成立 lim PF ( ) P(lim F ), + 则称概率 P 是下连续的 + () 若它对 F 中的任一单调不增序列 { E } 均成立 lim PE ( ) P(lim E ), + 则称概率 P 是上连续的 + + I E 为 { E }. 概率的连续性 : 若 P 是 F 上的概率, 则 P 既是下连续又是上连续的 3. 定理若 P 是 F 上满足 P( Ω ) 的非负集合函数, 则它具有可列可加性的充要条件是 : () 它是有限可加的 ; () 它是下连续的的

.4 条件概率本节包括条件概率的定义加法公式全概率公式和贝叶斯公式等内容, 主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用一条件概率的定义. 定义设 A,B 是样本空间 Ω 中的两事件, 若 PB ( ) > 0, 则称 PA ( B) PAB ( ) PB ( ) 为在 B 发生下 A 的条件概率, 简称条件概率. 性质条件概率是概率, 即若 PB ( ) > 0, 则有 () PA ( B) 0, A F; () P( Ω B) ; (3) 若 F 中的 A, A, L A, 两两互不相容, 则二乘法公式. 若 PB ( ) > 0, 则 + + P( U A B) PA ( B). PAB ( ) PBPA ( ) ( B). 若 L PAA ( A ) > 0, PAA ( LA) PA ( ) PA ( A) PA ( 3 AA ) LPA ( AA L A ).. 例 ( 罐子模型 ) 设罐子中有 b 个黑球,r 个红球, 每次随机取出一个球, 取出后将原球放回, 还加入 c 个同色球和 d 个异色球记 B i 为第 i 次取出的是黑球, R j 为第 j 次取出的是红球求连续从罐中取出两个红球一个黑球的概率分析略解略

注当 c-,d0 时, 为不返回抽样 ; 当 c0,d0 时, 为返回抽样 ; 当 c>0, d0 时, 为传染病模型 ; 当 c0, d>0 时, 为安全模型三全概率公式. 全概率公式 : 设 B, B, L B 为样本空间 Ω 的一个分割, 即 B, B, L B 两两互不相容, 且 U Bi Ω, 如果 PB ( i ) > 0, i,, L, 则对任意事件 A, 有 i PA ( ) PB ( ) PA ( B) i. 例 ( 摸彩模型 ) 设在张彩票中有一张奖券, 求第二人摸到奖券的概率是多少? 分析略解略四贝叶斯公式. 贝叶斯公式设 B, B, L B 是样本空间 Ω 的一个分割, 即 B, B, L B 两两互不相容, 且 U Bi Ω, 如果 PA> ( ) 0, PB ( i ) > 0, 则 i PB ( i) PA ( Bi) PB ( i A). PB ( ) PA ( B ) j i. 例某地区居民的肝癌发病率为 0.0004, 先用甲胎蛋白法进行普查医学研究表明, 化验结果是存有错误的已知患有肝癌的人其化验结果 99% 呈阳性 ( 有病 ), 而没患肝癌的人其化验结果 99.9% 呈阴性 ( 无病 ) 现某人的检查结果呈阳性, 问他真的患肝癌的概率是多少? 解答略小结条件概率的三大公式中, 乘法公式是求交事件的概率, 全概率公式是 j i j

求一个复杂事件的概率, 而贝叶斯公式是求一个条件概率.5 独立性本节内容包括两个事件的独立性多个事件的相互独立性和试验的独立性等主要介绍事件独立性的概念及有关独立性的概率的计算问题一两个事件的独立性定义如果对于事件 A,B, 有 PAB ( ) PAPB ( ) ( ), 则称事件 A,B 相互独立, 简称 A 与 B 独立, 否则称 A 与 B 不独立或相依二多个事件的相互独立性. 定义 : 设 A,B,C 是三个事件, 如果有 PAB ( ) PAPB ( ) ( ), PAC ( ) PAPC ( ) ( ), PBC ( ) PBPC ( ) ( ), 则称 A,B,C 两两独立, 若还有 PABC ( ) PAPBPC ( ) ( ) ( ), 则称 A,B,C 相互独立. 定义 : 设有个事件 A, A, L A, 对任意的 i< j < k < L, 如果以下等式均成立 K PAA ( ) PA ( ) PA ( ), i j i j PAAA ( ) PA ( ) PA ( ) PA ( ), i j k i j k 则称此个事件相互独立 PAA ( LA ) PA ( ) PA ( ) L PA ( ), 3. 例设 A,B,C 相互独立, 试证 AU B与 C 相互独立

例有两名选手比赛射击, 轮流对同一目标进行射击, 甲命中目标的概率为 α, 乙命中目标的概率为 β 甲先射, 谁先命中谁得胜问甲乙两人获胜的概率各为多少? 解略三试验的独立性. 定义设有两个试验 E 和 E, 假如试验 E 的任意结果 ( 事件 ) 与试验 E 的任意结果 ( 事件 ) 都是相互独立的事件, 则称这两个试验相互独立类似可定义多个试验相互独立的概念. 例某彩票每周开奖一次, 每次提供十万分之一的中奖机会, 且各周开奖是相互独立的若你每周买一次彩票, 尽管你坚持十年 ( 每年 5 周 ) 之久, 你从未中奖的可能性是多少? 解答略.6 补充例题例已知 p ( AB) A B), p ( A) p, 求 p (B) 解 AB) A B) A B) [ A) + B) AB)] B) p 例已知 p ( A) B) C), AB) BC) 0, AC), 求 A,B,C 4 8 至少有一个发生的概率解 p ( A B C) P( A) + P( B) + P( C) AB) AC) BC) + ABC) 4 + 4 + 4 0 8 0+ 0 5 8 例 3 ( 摸球模型不放回用组合问题求解 ) 在盒子中有 6 个球,4 个白球个红球, 从中任取两个 ( 不放回 ) 求取出的两个球都是白球的概率, 两球颜色相同的概率, 至少有一个白球的概率解设 A: 两个球都是白球,B: 两个球都是红球,C: 至少有一个白球基本事件总数为 C 5 6

A 的有利样本点数为 C 6, P(A)6/5/5 4 B 的有利样本点数为 C, P(B)/5 P(A+B)P(A)+P(B)7/5 P(C)-P(B)4/5 例 4 ( 摸球模型有放回用二项分布求解 ) 在上题中, 取球方法改成有放回, 结果如何? 解用 X 表示取到白球数 4 P(A) p { X } C 3 3 9 P(B) p { X 0} C 3 P(A+B)P(A)+P(B)5/9 P(C)-P(B)8/9 0 0 0 3 9 例 5 ( 抽签原理 ) 有 a 个上签,b 个下签, 个人依次抽签, 采用有放回与无 a 放回抽签, 证明每个人抽到上签的概率都是 a + b 证放回抽样结论是显然的 ; a 不放回可用全概率公式证明 p a + b 例 6 ( 几何概型 ) 在区间 (0, ) 中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为. 解以 x 和 y 分别表示甲乙约会的时间, 则 Ω { ( x, y) 0 < x <, 0 < y < } 两人到会面出时间差不超过 5 分钟 A {( x, y) 0 < x <,0 < y <, x y 0.5 S A) A S Ω 3 4 例 7 某工厂有三条生产线生产同一中产品, 该 3 条流水线的产量分别占总产量的 0%,30%,50%, 又这三条流水线的不合格品率为 5%,4%,3%, 现在从出厂的产品中任取一件,

() 问恰好抽到不合格品的概率为多少? () 已知抽到不合格品, 求该产品来自一车间的概率解 () 设 B i : 表示产品来自第 i 条生产线 A : 表示抽到不合格品由题意 p B) 0., B ) 0.3, B ) 0. 5 ( 3 p ( A B ) 0.05, A B ) 0.04, A B3 ) 0.03 3 P(A) p ( Bi ) A B i ) 0. 0.05 + 0.3 0.04 + 0.5 0. 03 i 0.037 () p ( B A) B ) A B 3 B ) A i ) 0. 0.05 0. 0.05 + 0.3 0.04 + 0.5 0.03 ) i B i 点评通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法例 8 甲乙两人同时射击同一目标, 甲命中的概率为 0.6, 乙命中的概率为 0.5 已知已命中目标, 求是甲命中目标的概率分析咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解, 但仔细分析个目中只有一个过程, 应用条件概率求解解 A: 甲命中,B: 乙命中,C: 命中,CA+B 0 37 p ( A C) AC) P( AC) A) P( A + B) A) + P( A) B) A) B) 0.6 0.6 + 0.5 + 0.6 0.5 3 4 例 9 一个盒子中有 4 件产品,3 件一等品, 件二等品, 从中任取两件, 设事件 A 表示第一次取到一等品, B 表示第二次取到一等品, 求 ( B A) / 3/ 4 3 4 解 ( ) / 3 p B A AB) C / C P( A) 3/ 4 这一结果的意义是明显的例 0 假定某人做 0 个选择题, 每个题做对的概率均为 () 该同学做对 3 道题的概率 ; () 该同学至少做对 3 道题的概率 ; ; 求 4 p

解 p { X 3} C 3 3 3 0 4 4 - p {X 0} + p {X } + p { X } 0 0 0 3 3 - C 0 4 4 -C0 -C 4 4 7 9 0 4 3 4 点评至少, 通过对立事件求解例某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 0<p<), 则此人第 4 次射击恰好第次命中目标的概率为 9 (A) (C) 3 p - ). (B) 3 p p ( - ). (D) 6 p - ). 6 p p ( - ). [ C ] 例设 AB, 为随机事件, 且 PB ( ) > 0, PA ( B), 则必有 (A) PA ( B) > PA ( ) (B) PA ( B) > PB ( ) (C) PA ( B) PA ( ) (D) PA ( B) PB ( ) [ C ] 例 3 设随机变量 X 服从正态分布 N ( µ, σ ),Y 服从正态分布 N ( µ, σ ), 且 P{ X µ } P{ Y µ } < > <, 则必有 (A) σ < σ (B) σ > σ (C) µ < µ (D) µ > µ [ A ]

教学后记