試 題 阿 財 每 年 年 初 存 入 銀 行 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 計 息 一 次, () 若 依 單 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 多 少? () 若 依 複 利 計 息, 則 第 0 年 年 底 的 本 利 和 約 為 多 少?( 近 似 值 :0 0 計 ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 高 雄 中 學 段 考 題 解 答 ()000 元 ;()00 元 () 0000 0 (0000 % 0 0000 % 9 0000 % ) 00000 0000 00 (0 9 8 ) 00000 00 55 000( 元 ) () 0000( %) 0 0000( %) 9 0000( %) 0 0000( %) (0 ) 000 ( ) 000 0 0 00 00 00( 元 ) 有 二 等 差 數 列 a,8,,8,,7, b,9,,,,7 由 這 兩 組 數 列 的 所 有 共 同 項 依 序 排 列 得 另 一 數 列 c 共 有 項, 求 : () c 之 值 () c c c 之 和 編 碼 0045 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ();()78 a,8,,8,,,7 之 首 項 為, 公 差 為 5 b,9,,,,7 之 首 項 為, 公 差 為 7 c,58,,7 之 首 項 為, 公 差 為 5 () c () c 7 ( )5 5 85 故 c c c c (c c ) ( 7) 78 在 一 直 線 上 置 有 木 樁 00 支, 每 支 相 隔 5 公 尺 在 第 0 支 的 地 方 有 一 人, 想 要 將 木 樁 逐 一 搬 運 集 中 該 處, 問 至 搬 完, 共 應 走 多 少 公 尺? 編 碼 004 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 900 公 尺
如 圖 所 示 : 至 搬 完 共 應 走 ( 5 5 5 9 5) ( 5 5 70 5) 0 ( 9) 0 ( 70) 0 9 0 0 70 7 900( 公 尺 ) 設 為 等 差 數 列, 若 a0, a 5, 求 : a () a 40 () 40 a () 第 幾 項 開 始 為 負? (4) 首 幾 項 和 最 大? (5) 首 幾 項 和 開 始 為 負? () 設 a 00, 求 之 最 小 值 (7) 若 a a a 00, 求 之 最 小 值 編 碼 0047 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 () 7 ;() 40 ;() 第 8 項 ;(4) 首 7 項 ;(5) 首 5 項 ;()5;(7)7 a0 a 9d () 設 首 項 a, 公 差 d, 則 a5 a 4d a 40 a 9d 50 9 ( ) 7 a 50, d, () 40 a S40 40 [ 50 9 ( )] 40 () 設 a 0 50 ( ) ( ) 0 5 0 5 5 7 最 小 8, 即 從 第 8 項 開 始 為 負 (4) a 8 開 始 是 負 的 首 7 項 和 最 大 (5) 設 首 項 和 開 始 為 負 [50 ( ) ( )] 0 [0 ] 0, 0, 兩 邊 乘 以 0 0 0 0 至 少 為 5, 即 首 5 項 和 開 始 為 負 () a 50 ( ) ( ) 00 5 00 5 5 5 最 小 整 數 值 5 (7) 首 項 和 [50 ( ) ( )] 00 4,
[0 ] 00 (0 ) 00, 以 正 整 數 代 入 檢 驗, 代 入 (0 ) ( 5) 80, 7 代 入 7(0 7) 7 ( 8) 9 00, 故 的 最 小 值 為 7 某 鎮 人 口 逐 年 成 長, 且 成 一 等 比 數 列, 已 知 0 年 前 該 鎮 人 口 5 萬, 現 有 0 萬, 求 距 今 0 年 後 應 有 幾 萬 人 口? 編 碼 0048 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 4 萬 0 年 前,, 年 前, 現 在, 年 後,,0 年 後 a a 0 a a a a 5 a a r r r 0 5 5 0 0 0 5 0 0 a ar a ( r ) 5 ( ) 4 ( 萬 ) 5 將 邊 長 為 4 的 正 三 角 形 T, 連 接 各 邊 中 點 得 一 正 三 角 形 T, 再 連 接 T 的 各 邊 中 點, 得 一 正 三 角 形 T, 重 複 此 步 驟 得 正 三 角 形 T 4, T 5, T, 求 所 有 正 三 角 形 的 : () 周 長 總 和 () 面 積 總 和 編 碼 0049 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 () 89 8 ;() 5 5 正 三 角 形 T, 邊 長 4 由 三 角 形 兩 邊 中 點 連 線 性 質 知 T 的 邊 長 為 4 同 理 T 邊 長 為 可 知 其 邊 長 成 等 比 且 公 比 () T 周 長, 公 比 周 長 公 比 面 積 公 比 4
89 周 長 和 4 8 8 () T 面 積 4 4 4, 公 比 4 面 積 和 4 4 4 5 4 5 5 4 4 [ ( ) ] 將 邊 長 為 4 的 正 方 形 T, 連 接 各 邊 中 點 得 一 正 方 形 T, 再 連 接 T 的 各 邊 中 點, 得 一 正 方 形 T, 重 複 此 步 驟 得 正 方 形 T 4, T 5, T, 求 所 有 正 方 形 的 : () 周 長 總 和 () 面 積 總 和 編 碼 0040 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ()4( ) ;() 正 方 形 T 邊 長 為 4 由 圖 形 可 得 正 方 形 T 的 邊 長 為 邊 長 的 公 比 周 長 公 比 4, 面 積 公 比 ( ) () T 周 長, 公 比 [ ( ) ] 4 周 長 和 4( ) () T 面 積 4, 公 比 面 積 和 8 4 將 邊 長 為 4 的 正 方 形, 作 其 內 切 圓 C, 然 後 作 C 的 內 接 正 方 形, 再 作 其 內 切 圓 C, 繼 續 此 步 驟 共 得 圓 C, C,, C, 求 這 些 圓 的 : () 周 長 和
() 面 積 和 編 碼 004 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 () 4 7 ;() 8 最 大 圓 C 的 半 徑 最 大 正 方 形 邊 長 又 圓 C 的 內 接 正 方 形 的 對 角 線 圓 C 的 直 徑 4 第 二 個 正 方 形 的 邊 長 為 正 方 形 邊 長 公 比 內 切 圓 半 徑 公 比 亦 為 4 4 ( 圓 是 附 屬 在 正 方 形 上 ) () 圓 C 周 長 4, 周 長 公 比 半 徑 公 比 4 [ ( ) ] 7 4 7 周 長 和 () 圓 C 面 積 4, 面 積 公 比 ( 半 徑 公 比 ) ( ) 4 [ ( ) ] 面 積 和 8 某 人 參 加 銀 行 儲 蓄 存 款, 每 年 年 初 存 入 0000 元, 年 利 率 %, 每 年 一 期, 複 利 計 算, 則 第 0 年 年 底 可 得 本 利 和 約 多 少 元?( 0 0 7908 ) 編 碼 004 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 9708 元 第 年 的 萬 元 至 期 滿 可 得 0000 ( %) 0
第 年 的 萬 元 至 期 滿 可 得 0000 ( %) 9 + 第 0 年 的 萬 元 至 期 滿 可 得 0000 ( %) 0 9 共 得 本 利 和 0000 (0 0 0) 0000 0 0 (0 ) 0 0 07908 0000 00 9708 ( 元 ) 小 峰 將 等 差 數 列 按 附 圖 排 列 : () 第 0 層 的 第 個 數 為 何? () 第 0 層 的 數 字 和 為 何? 第 層 第 層 5 第 層 7 9 第 4 層 5 7 9 編 碼 004 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ()9;()000 () 第 層 至 第 9 層 共 有 9 45 個 數 故 第 0 層 第 個 數 為 此 等 差 數 列 的 第 4 個 數 a4 45 9 [9 9 ] 0 () S 000 某 銀 行 月 利 率 %, 每 月 複 利 一 次 計 算 利 息, 今 小 峰 每 月 月 初 存 入 0000 元, 則 一 年 後 本 利 和 約 為 多 少 元?( 註 : 0 7) 編 碼 0044 難 易 易 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 7700 元 本 利 和 公 式 a( r% ) 故 本 利 和 0000 0 0000 0 0000 0 00000 [0 ] 000 07 7700 0 00 () 試 以 的 記 號 表 示 4 5 ( )? ( 元 )
() 試 計 算 4 5 ( ) 的 和 為 何? 編 碼 0045 難 易 中 出 處 師 大 附 中 段 考 題 解 答 () ( ) ;() ( )( 5) () 一 般 項 a ( ) 原 式 () ( ) ( ) a ( ) ( )( ) ( ) ( )( 5) 利 用 的 性 質 求 級 數 : ( ) ( ) ( 4) ( 4 50) 之 和 編 碼 004 難 易 中 出 處 臺 南 女 中 段 考 題 解 答 00 一 般 項 a ( ) 原 式 50 a 50 ( ) 50 50 (50 ) (50 ) [ ( ) ( )( ) ]( 公 式 : ( ) ) 00 由 ( ) 及 的 和 ( )( ), 求 5 7 ( ) 編 碼 0047 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 ( )(4 5) 解 答 5 7 ( ) () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(4 5) [( ) ]
求 級 數 的 和 ( )( ) 編 碼 0048 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 ( )( ) 5 5 7 ( )( ) () 求 () 求 0 ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] 5 5 7 ( ) () 利 用 數 學 歸 納 法 證 明 你 在 () 所 求 得 的 答 案 是 正 確 的 編 碼 0049 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 ( )(4 ) 解 答 ()95;() ;() 見 解 析 () () 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 95 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [( ) ] ( )(4 ) ( )(4 ) () 欲 證 5 7 9 ( ) 對 所 有 正 整 數 都 成 立 當 5 時, 5 的 情 況 成 立
( )(4 ) 若 時 成 立, 即 5 7 9 ( ) 成 立 ( 是 正 整 數 ) 則 5 7 9 ( ) ( )[( ) ] ( )(4 ) ( )( 5) [ (4 ) ( 5)] ( ) [4 0] ( ) ( )(4 5) ( )[( ) ][4( ) ] 情 況 亦 成 立 ( )(4 ) 故 5 7 9 ( ) 對 所 有 正 整 數 都 成 立 () 求 () 求 0 ( ) ( ) () 利 用 數 學 歸 納 法 證 明 你 在 () 所 求 得 的 答 案 是 正 確 的 編 碼 0040 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ()40;() ( )( ) ( ) ;() 見 解 析 () 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 40 4 () ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ] ( )( )( ) () 欲 證 0 ( ) ( )( )( )
當 時, 左 式 0 05 右 式 若 時 成 立, 即 0 ( ) ( )( )( ) 成 立 則 0 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )[( )( ) ( )] ( )[ 0] ( )( )( 5) 恰 為 右 式 用 代 入 的 結 果 亦 成 立 0 ( ) ( )( )( ) 對 所 有 正 整 數 都 成 立 () 求 5 7 5 () 求 5 7 ( ) () 利 用 數 學 歸 納 法 證 明 你 在 () 所 求 得 的 答 案 是 正 確 的 編 碼 004 難 易 中 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ()78;() ( )(4 5) ;() 見 解 析 () 5 7 5 ( ) ( ) 5 78 () 5 7 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [( ) ] ( )(4 5) () 欲 證 5 7 ( ) ( )(4 5) 當 時, 左 式 9 右 式 若 時 成 立, 即 5 7 () 則 5 7 ( ) ( )( ) ( )(4 5) 成 立
( )(4 5) ( )( ) ( )[ (4 5) ( )] ( )[4 7 8] ( )( )(4 9) 恰 為 右 式 以 代 入 的 結 果 亦 成 立 5 ( ) ( )(4 5) 對 所 有 正 整 數 都 成 立 已 知 數 列 < a > 的 首 項 a,a + a a,,,,,() 試 證 明 數 列 < a > 為 等 比 數 列 () 試 求 < a > 的 前 項 和 S 編 碼 004 難 易 難 出 處 康 熹 自 命 題 4 解 答 () 見 解 析 ;() () a + a a, a, a a a ( ), 又 a a a,, a 數 列 < a > 為 以 為 首 項, 為 公 比 的 等 比 數 列 () 由 () 知, a a, a T, T 設, T ( ) S T, a a a a a =
( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) 4 已 知 點 (, ) 是 函 數 f (x) a x (a > 0 且 a ) 上 一 點, 等 比 數 列 < a > 的 前 項 和 為 f ()c, 數 列 < b >(b > 0) 的 首 項 為 c, 且 前 項 和 S 滿 足 S S S S ( ), () 求 數 列 < a > 與 < b > 中 的 第 項 ( 以 表 示 ) () 若 數 列 < > 前 項 和 為 T, 則 T > 000 的 最 小 正 整 數 為 多 少? bb 009 編 碼 004 難 易 難 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 ()a ( ), ;b, ;() () f () a, f (x) ( )x, 令 < a > 的 前 項 和 為 U f ()c, a U f ()c c, a U U [f ()c][f ()c] ( ) ( ) 9 a U U [f ()c][f ()c] ( ) ( ), 7 a,a,a 成 等 比, ( ) ( 9 c )( ) c 7 首 項 a a, 公 比 r a a ( ) ( ),, 又 S S ( S S ) ( S S ) S S,, S, b > 0, S 0 S 數 列 < S > 為 等 差 數 列 且 首 項 S b c, 公 差 d, S ( ),S b S S (),, 又 b
b, () T b b b b b b b b 5 5 7 ( )( ) 4 [( ) ( ) ( ) ( )] 5 5 7 000 ( ), 000, 至 少 為 009 9 9 某 次 網 球 比 賽 共 有 8 位 選 手 參 加, 採 單 淘 汰 制, 每 輪 淘 汰 一 半 的 選 手, 剩 下 一 半 的 選 手 進 入 下 一 輪 在 第 輪 被 淘 汰 的 選 手 可 獲 得 萬 元, 在 第 輪 被 淘 汰 的 選 手 可 獲 得 萬 元, 在 第 輪 被 淘 汰 的 選 手 可 獲 得 萬 元, 而 冠 軍 則 可 獲 得 8 萬 元, 試 問 全 部 比 賽 獎 金 共 多 少 萬 元? 編 碼 0044 難 易 中 出 處 9 學 測 解 答 57 萬 元 4 4 88 4 4 8 4 7 8 57 設 一 等 差 級 數 有 項, 已 知 公 差 是 4, 5 且 末 項 是, 求 此 級 數 的 和 編 碼 0045 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 9 設 首 項 為 a, 則 5 a a 9, 故 a, 4 級 數 和 (a d) ( 9) 9 設 一 等 比 級 數 共 有 7 項, 首 項 是, 第 項 是, 求 此 級 數 的 和 編 碼 004 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 9 7 [ ( ) ] 9 公 比 r, 級 數 和 4 ( ) ( ) 8 已 知 等 差 級 數 的 公 差 為 5, 且 第 0 項 開 始 為 負 數, 其 值 為, 若 級 數 和 a a a 0, 試 求 的 最 小 值
編 碼 0047 難 易 中 出 處 教 冊 題 解 答 9 a a 9 ( 5), 可 得 a 9, 0 因 為 正 整 數 使 a a a 之 值 為 負, 且 值 最 小, ( a a ) [9 ( ) ( 5)] 則 是 使 0 的 最 小 正 整 數, 可 得 8 5 5 0, 5 9, 即 8, 所 以 最 小 為 9 試 將 下 列 級 數 以 符 號 表 示 : () 4 8 0 4 8 40 4 5 () 5 7 9 () 4 5 4 5 7 8 79 9 編 碼 0048 難 易 中 出 處 教 冊 題 0 解 答 () ( ) (4 ) ;() ( ) ;() 7 9 ( ) ( ) () 若 第 項 為 a, 則 易 知 a ( ) (4 ), 故 級 數 4 8 40 ( ) (4 ) () 若 第 項 為 a, 則 a 0 ( ),,,,7, 7 因 此, 5 ( ) () 第 項 為 a 時, a ( ) ( ),,,,9, 因 此, 4 5 9 ( ) ( ) 試 將 下 列 級 數 以 符 號 表 示 : () 等 差 級 數 7 8 9 ( 4) 8 () 等 比 級 數 54 7 () 4 9 編 碼 0049 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () [7 9( )] ;() 54 ( ) ;() 7
() 設 4 7 ( ) ( 9), 得, 故 7 8 9 ( 4) [7 9( )] 8 () 設 54 ( ), 得 ( ) ( ), 即 7, 7 8 故 54 54 ( ) 7 7 () 下 列 以 符 號 表 示 的 級 數, 寫 出 它 的 展 開 式 : () 5 () )( ) ( () 編 碼 00440 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () 4 5 7 ;() 0 4 5 4 5 7 ;() () () 5 4 5 7 ( )( ) 0 4 5 4 5 7 () 下 列 以 符 號 表 示 的 級 數, 寫 出 它 的 展 開 式 : () () () 0 0 00 ( ) ( )( 4) 編 碼 0044 難 易 易 出 處 教 冊 題 解 答
() 5 9 ;() 5 4 5 7 4 8 0 4 ;() 5 7 00 () () () 0 0 5 9 5 7 ( ) ( )( 4) 5 4 5 7 4 8 0 4 00 00 求 下 列 各 級 數 的 和 : () () () 0 0 0 () ( ) ( ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 教 冊 題 解 答 ()85;()45;()0 () () () 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 770 55 85 0 0 0 0 ( ) (9 ) 9 0 0 0 9 0 45 0 0 45 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ) 求 下 列 級 數 的 和 : () ( 5 7) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 4 (050 55 55) 70 0
() 8 ( 4 5) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 課 本 題 (9 5 ) 解 答 () ;()508 () 方 法 一 () (9 5 ) ( 5 7) ( 5 7) [ ( ) ( 5)] 方 法 二 ( ) 5 5 4 (9 5 ) ( 5 7) 5 7 5 7 ( ) 8 8 8 8 897 89 ( 4 5) 4 5 4 40 求 下 列 各 級 數 和 : () () ( ) ( )( ) 44 40 508 編 碼 00444 難 易 中 出 處 教 冊 題 解 答 () 45 ;() 8 8 () 因 為 ( ), ( ) 所 以 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 8 () 因 為, ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 所 以 [ ], ( )( ) ( ) ( )( ) 因 此, [ ] ( )( ) ( ) ( )( )
[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) 7 45 ( ) 4 4 8 求 級 數 ( )! 的 和 ( 提 示 : ) ( )!! ( )! 編 碼 00445 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 ( )! 因 為, ( )! ( )! ( )!! ( )! 故 ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ( )!!!!!! 4!! ( )! ( )! 求 級 數 0 的 和 ( )( ) 編 碼 0044 難 易 中 出 處 教 冊 題 解 答 5 4 [ ], ( )( ) ( ) ( )( ) 故 0 0 [ ] ( )( ) ( ) ( )( ) [( ) ( ) ( )] 4 0 5 ( ) 4 4 求 級 數 的 和 編 碼 00447 難 易 難 出 處 教 冊 題
解 答 9 9 4 4 4 S, 設 S, 則 由 得 S [ ( ) ] ( ) 9, 9 9 S 4 4 故 求 等 差 級 數 5 8 80 的 和 編 碼 00448 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 05 公 差 為 8 5, 設 此 級 數 有 項, 則 80 5 ( ), 得, 故 和 S (5 80) 85 05 0 求 等 比 級 數 ( ) ( ) ( ) 的 和 編 碼 00449 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 049 [ ( ) ] 公 比 為, 故 和 S 049 設 一 等 比 數 列 的 第 項 是, 第 項 是 4, 試 求 此 數 列 的 前 0 項 總 和 編 碼 00450 難 易 易 出 處 課 本 題
解 答 09 4 設 首 項 為 a, 公 比 為 r( r 0 ar ), 由 題 知 ar 5, 得 r 8, 即 r, 4 代 回 得 a, 故 S 4 0 ( 0 ) 09 4 4 下 列 以 符 號 表 示 的 級 數, 寫 出 它 的 展 開 式 : () 5 ( ) () 5 () ( ) 編 碼 0045 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () + + 5 + 7 + 9;() 4 9 5 ;() + 4 + 4 5 + 5 + 7 4 5 () () () 5 ( ) 5 7 9 5 4 9 5 4 5 ( ) 4 45 5 7 試 將 下 列 各 級 數 以 符 號 表 示 : () 等 差 級 數 5 9 89 4 5 7 () 4 5 編 碼 0045 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () (4 ) ;() [( ) ]
() 5 9 89 [ ( ) 4] (4 ) 4 5 7 () 4 5 [( ) ] 試 求 下 列 各 級 數 之 和 : () () () ( 5) ( ) ( ) 編 碼 0045 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () +8;() [ ( ) ] ;() ( ) () () () ( ) ( 5) 5 5 8 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 試 求 下 列 各 級 數 之 和 : () () ( ) (4 ) () 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 求 最 小 0 個 正 偶 數 的 立 方 和 ) 編 碼 00454 難 易 中 出 處 課 本 題 ( )( 7) 解 答 () ;() ( 4 5 ) ;()400
() () () ( )( ) ( ) ( )( 7) ( ) (4 ) 4 ( ) ( )( ) ( ) 4 [ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( )( ) ( ) ] 0 0 0 ( 4 5 ) ( ) 8 ( ) 400 某 人 參 加 銀 行 儲 蓄 存 款, 每 年 年 初 存 入 萬 元, 採 固 定 利 率, 年 利 率 %, 每 年 複 利 一 次, 試 求 存 至 第 0 年 年 底 的 本 利 和 ( 已 知 (0) ) 0 編 碼 00455 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 00 元 0 9 0000 ( 00) 0000 ( 00) 0000 ( 00) 0 0000 (0)[(0) ] 000 ( ) 00 元 0 00 求 下 列 各 級 數 之 和 : () ( ) () ( )( ) () ( 提 示 : 利 用 ) ( )! ( )!! ( )! 編 碼 0045 難 易 中 出 處 課 本 題 ( 5) 解 答 () 4( )( ) ;() ;() ( )! () [ ] ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] 4 5 ( 5) ( ) 4( )( )
() () [ ] ( )( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] 5 5 7 ( ) [ ] ( )!! ( )! ( ) ( ) ( ) [ ]!!! 4!! 5!! ( )!!! ( )! ( )! ( )! 將 正 奇 數 由 小 而 大 排 成 一 列, 並 分 組 如 下 : (), (, 5), (7, 9, ),, 其 中, 第 組 恰 含 個 數, 試 求 : () 第 組 的 首 項 () 第 組 各 項 的 和 編 碼 00457 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 () ;() () 因 為 第 組 的 首 項 正 好 為 全 部 的 第 ( ) ( ) ( ) 項, 所 以 第 組 的 首 項 為 ( ) () 第 組 的 末 項 為 全 部 的 第 ( ) ( ) 項, 所 以 第 組 的 末 項 為 ( ), 第 組 各 項 的 和 為 [( ) ( )] 設 < a > 為 等 差 數 列, 且 S a a a(,,, () 試 證 : S, S S, S S 也 成 等 差 數 列 () 若 S8 5, S4 0, 試 求 S 之 值 ) 編 碼 00458 難 易 難 出 處 課 本 題 解 答 () 見 解 析 ;()5 () 設 < a > 的 公 差 為 d, S a a a, 又
S S a a a, S S a a a, 則 ( S S ) S ( a a ) ( a a ) ( a a ) d d d 個 d ( S S ) ( S S ) ( a a ) ( a a ) ( a a ) d d d d, 個 d 故 S, S S, S S 為 公 差 d 的 等 差 數 列 () 由 () 知,S 8,S S 8,S 4 S 成 等 差 數 列, d, 則 5,S 5,0 S 成 等 差, 所 以 ( S 5) 5 (0 S ), 得 S 5 為 求 等 差 數 列 8,,7 的 總 和, 小 虎 利 用 等 差 級 數 的 求 和 公 式 計 算, 因 在 求 項 數 值 時, 因 為 誤 算 使 其 值 少, 而 得 到 錯 誤 的 總 和 介 於 00 和 400 之 間, 求 此 等 差 數 列 的 公 差 編 碼 00459 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 (8 7)( ) 95( ) 00 95( ) 400 47, 整 數 4, 即 5, 設 公 差 為 d, 則 7 8 (5 ) d 8 4d, 得 d 試 求 由 到 00 的 正 整 數 中, 所 有 7 的 倍 數 的 總 和 編 碼 0040 難 易 易 出 處 習 作 題 解 答 75 等 差 數 列 7, 4,, 8,, 98 共 有 4 項, 由 等 差 級 數 的 公 式, 4 得 S (7 98) 75 等 差 數 列 a, 前 面 項 的 和 S 5, 試 問 公 差 編 碼 004 難 易 易 出 處 習 作 題 解 答 0 a S S (5 ) [5( ) ( )] 0 4,
知 公 差 d 0 試 求 等 比 級 數 的 和 4 8 04 編 碼 004 難 易 易 出 處 習 作 題 解 答 0 04 a, r, 0, 0 0 S 0 [ ( ) ] 04 數 列 a, a,, a,, a0 0 共 有 0 項, 且 其 和 為 00, 試 問 a a a0 的 值 編 碼 004 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 5 ( a ) ( a ) ( a 0) 00, 0 ( a a a ) ( 0) 00, 0 因 9 0 5, a a a0 00 5 5 已 知 等 差 數 列 共 有 0 項, 且 知 奇 數 項 之 和 為 5, 偶 數 項 之 和 為 0, 試 求 此 數 列 的 公 差 編 碼 0044 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 設 等 差 數 列 的 公 差 為 d, 則 a a a5 a7 a9 5, a a4 a a8 a0 0 由, 得 ( a a ) ( a4 a ) ( a a5 ) ( a8 a7 ) ( a0 a9 ) 5, 5d 5, 得 d 等 比 數 列 a 的 前 項 和 S 與 第 項 a 滿 足 4S 4 a, 試 問 此 數 列 的 公 比 編 碼 0045 難 易 中 出 處 習 作 題
解 答 4 時, 4S 4 a, 因 S a, 得 a, 4 時, 4S 4 a, 因 a, 4 4( a a ) 4 a, 得 a, 9 由 a a r, 得 r 有 一 等 比 數 列, 首 三 項 的 和 為, 首 六 項 的 和 為 4, 試 問 此 數 列 的 公 比 編 碼 004 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 設 a 為 等 比 數 列, 首 項 為 a, 公 比 為 r, a ar ar, 4 5 a ar ar ar ar ar ( a ar ar ) r ( a ar ar ) r 由 r 4, 得 r 7, 知 r 請 逐 項 展 開 0 ( ) 並 求 其 和 編 碼 0047 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 55 0 ( ), 表 a 的 等 差 級 數, 0 ( ) 5 8 9 55 已 知 等 差 級 數 4 7 0 0, 試 用 ( a b) 的 形 式 表 示 編 碼 0048 難 易 中 出 處 習 作 題
解 答 00 ( ) 因 一 般 項 a, 知 a, 47 0 0, 共 有 00 項, 00 因 此 可 表 示 為 ( ) 等 比 數 列 a 的 前 項 和 為 S, 且 S 是 S 的 9 倍, 試 問 此 數 列 的 公 比? 編 碼 0049 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 設 首 項 為 a, 公 比 為 r, S a ar ar, S a ar ar ar ar ar 4 5 ( a ar ar ) r ( a ar ar ) ( r ) S, 由 r 9, 知 r 請 善 用 Σ 的 運 算 公 式, 試 求 級 數 ( ) 99 00 的 和 編 碼 00470 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 00 數 列 的 第 項, a ( ), 99 99 99 99 得 原 式 ( ) ( ) 9900 99 9900 00 請 善 用 Σ 的 運 算 公 式, 試 求 級 數 ( ) ( ) ( 4) 的 和 編 碼 0047 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 00 數 列 的 第 項, a ( ),
4 4 4 ( ) 得 原 式 ( ) 4 5 49 4 5 ( ) 00 如 圖 是 從 事 網 路 工 作 者 經 常 用 來 解 釋 網 路 運 作 的 蛇 形 模 型 ; 數 字 出 現 在 第 一 列 ; 數 字, 出 現 在 第 列 ; 數 字,5,4( 從 左 至 右 ) 出 現 在 第 列 ; 數 字 7,8,9,0 出 現 在 第 4 列 ; 依 此 類 推, 試 問 : () 第 0 列 最 右 邊 的 數 字 () 第 列, 從 右 至 左, 第 個 數 字 編 碼 0047 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 ()0;() () 第 0 列 最 右 邊 的 數 字 為 0 0 () 第 列 的 數 字 由 右 到 左 為,,,, 第 個 數 字 為 0 如 圖 是 由 一 堆 積 木 所 組 成, 已 知 第 一 層 有 個, 第 層 有 個, 第 層 有 個,, 依 此 規 則 堆 成 層, 試 問 : () 第 層 的 積 木 個 數 ( 用 表 示 ) () 全 部 積 木 的 總 個 數 編 碼 0047 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 () ( ) ;()4 ( ) () 第 層 有 ( 個 ) () S ( ) ( ) ( ) 4 ( 個 )
已 知, 5, 7 9, 4 5 7 9,, 可 表 成 個 連 續 正 奇 數 的 和, 當 a a a 時, 試 問 a 的 值 編 碼 00474 難 易 中 出 處 習 作 題 解 答 8 a a a 時, a 是 等 差 數 列 中 的 第 9 ( 項 ), 知 a 9 8 等 差 數 列 a 中, a 0 且 前 項 的 和 S, 滿 足 S a a 4, 試 問 此 數 列 的 公 差 編 碼 00475 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 S a a 4 且 a S, 知 a 4, S a a 4 且 S a a 4 a, 由 (4 a ) a a 4, 得 a 7, 因 a 是 等 差 數 列, d a a 7 4 將 同 樣 大 小 的 正 立 方 體 積 木 堆 成 一 系 列 的 階 梯 形 狀, 圖 ( 一 ) 有 個 積 木, 圖 ( 二 ) 有 個 積 木, 圖 ( 三 ) 有 個 積 木, 令 a 表 示 第 個 圖 中 的 積 木 總 數, () 試 問 a 與 a 的 關 係 () 試 求 一 般 項 a 編 碼 0047 難 易 難 出 處 習 作 題 解 答 ()a + a +(+);()a () a, a a, a a,, 得 a a ( ) () a a a a a a a a ( ) ( ) ( )
求 等 差 級 數 7 95 的 和 編 碼 00477 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 7 公 差 為 7 4, 設 此 級 數 有 項, 則 95 ( ) 4,, 4, 4 故 和 S ( 95) 98 7 0 求 等 比 級 數 7 7 7 7 的 和 編 碼 00478 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 49 首 項 是 7, 公 比 是, 項 數 是, 7( ) 故 其 和 S 7 047 49 試 將 下 列 級 數 以 Σ 符 號 表 示 : () 等 差 級 數 7 95 0 () 等 比 級 數 7 7 7 7 () 4 ( ) 編 碼 00479 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 () 4 ) ;() (4 7 ;() ( ) () 首 項 為, 公 差 為 4, 第 項 為 ( ) 4 4 設 95 4, 則 4, 共 4 項, 故 7 95 (4 ) () 首 項 為 7, 公 比 為, 第 項 為 7 () 第 項 為 ( ),,,,, 故 下 列 以 Σ 符 號 表 示 的 級 數, 寫 出 它 的 展 開 式 4 0, 共 項, 故 7 7 7 7 7 4 ( ) ( )
() ) () ( 5 i () i i j j( j ) 編 碼 00480 難 易 易 出 處 課 本 題 解 答 見 解 析 () ) 5 7 9 ( () 5 i 4 5 i i 5 0 7 () j j( j ) 8 5 ( ) 求 下 列 級 數 的 和 : () ( ) () 0 ( 4) 編 碼 0048 難 易 中 出 處 課 本 題 解 答 () ( )( ) ;()80 () ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[( ) ] ( )( 4) ( )( ) 0 0 0 0 0 () ( 4) 4 0 0 0 40 05 770 5 40 80 4 求 級 數 的 和 ( ) 編 碼 0048 難 易 難 出 處 課 本 題 解 答 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
設 數 列 a, a, S a a a,,,,, 且 a, S, S成 等 差 數 列, 試 求 : () S () S 一 般 項 ( 以 表 之 ) 編 碼 0048 難 易 難 出 處 康 熹 自 命 題 解 答 () 7 4 ;() S ( ),,,, S S, S ( S ), 由 S a S S 故 S ( S )( ) S ( ), 7 故 () S ( ), 4 () S ( ),,,