32 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 對 於 微 分 運 算 來 講, 我 們 有 如 下 的 公 式 ( 寫 成 導 數 形 式, 假 設 函 數 都 是 可 微 的 ): (1) ( u(x) + v(x) ) = u (x) + v (x); (2) ( u(x) v(x

數 學 傳 播 3 卷 3 期, pp. 31-41 微 積 分 五 講 一 一 第 三 講 微 積 分 的 各 種 對 立 龔 昇 張 德 健 一. 微 分 與 積 分 的 公 式 及 定 理 的 對 應 在 上 一 講 中, 根 據 微 分 與 積 分 是 微 積 分 這 門 學 科 中 的 主 要 對 立 運 算 的 觀 點, 闡 述 了 微 積 分 這 門 學 科 的 內 容 是 由 三 部 分 組 成, 即 微 分 積 分 指 出 微 分 與 積 分 是 一 組 對 立 運 算 的 微 積 分 基 本 定 理, 並 且 著 重 ( 講 了 ) 多 元 微 積 分 中 指 出 微 分 和 積 分 是 一 組 對 立 運 算 的 微 積 分 基 本 定 理, 即 Stokes 公 式, 這 時 用 了 外 微 分 形 式 才 把 這 點 說 清 楚 對 這 個 公 式, 我 們 還 強 調 這 是 微 積 分 的 頂 峰, 是 從 古 典 走 向 近 代 的 公 式, 即 使 在 微 分 流 形 上, 這 個 公 式 依 然 成 立, 且 是 其 中 最 重 要 的 公 式 之 一 在 微 積 分 中, 除 了 微 分 與 積 分 這 組 對 立 運 算 外, 還 有 沒 有 其 他 一 些 次 要 的 對 立? 這 當 然 有 例 如 : 離 散 與 連 續 局 部 與 整 體 有 限 與 無 限 數 與 形 特 殊 與 一 般 等, 這 些 對 立 幾 乎 在 數 學 的 所 有 分 支 中 都 扮 演 著 重 要 的 角 色, 在 微 積 分 這 門 學 科 中 當 然 也 是 這 樣 在 這 一 講 中, 我 們 將 繼 續 用 對 立 統 一 的 觀 點 來 考 察 與 認 識 微 積 分 中 的 一 些 主 要 內 容, 為 了 易 於 說 清 楚, 這 裡 著 重 講 的 是 一 元 微 積 分 在 這 一 節 中, 我 們 由 微 分 與 積 分 是 微 積 分 這 門 課 程 的 主 要 對 立 的 觀 點, 來 梳 理 清 楚 微 積 分 的 一 些 定 理 與 公 式 在 這 個 觀 點 下, 原 則 上 講, 微 分 中 的 一 個 定 理 或 公 式, 在 積 分 中 也 應 有 相 應 的 定 理 與 公 式 反 之 亦 然, 即 它 們 之 間 是 相 互 對 應 的 也 就 是 說, 它 們 之 間, 既 是 對 立 的 ( 一 個 是 微 分 的 形 式, 一 個 是 積 分 的 形 式 ), 又 是 統 一 的 ( 它 們 表 達 的 往 往 是 同 一 件 事, 是 同 一 件 事 物 的 兩 種 不 同 的 表 達 形 式 ) 在 數 學 中 引 入 一 個 概 念 或 運 算 之 後, 往 往 就 要 討 論 作 用 到 被 作 用 之 對 象 的 算 術 (arithemetic), 即 加 減 乘 除, 作 用 到 被 作 用 之 對 象 的 合 成 (composition), 作 用 到 被 作 用 之 對 象 的 逆 (inverse) 等 等, 這 幾 乎 是 例 行 公 事 在 微 積 分 中, 運 算 是 微 分 與 積 分, 被 作 用 之 對 象 是 函 數, 於 是 就 有 了 雙 方 的 相 應 的 公 式 31

32 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 對 於 微 分 運 算 來 講, 我 們 有 如 下 的 公 式 ( 寫 成 導 數 形 式, 假 設 函 數 都 是 可 微 的 ): (1) ( u(x) + v(x) ) = u (x) + v (x); (2) ( u(x) v(x) ) = u (x) v (x); (3) ( u(x)v(x) ) = u (x)v(x) + u(x)v (x); ( ) (4) u(x) v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x) ; v 2 (x) (5) 假 設 y = f(u), u = g(x), 則 dy dx = f (g(x))g (x); (6) 假 設 x = g(y) 是 y = f(x) 的 逆 函 數, 且 f (x), 則 g (y) = 1 f (x) ; 等 等 其 中 (1) (4) 是 算 術 運 算, 公 式 (5) 是 對 合 成 的 運 算, 公 式 (6) 是 對 逆 的 運 算 這 是 一 般 的 微 積 分 書 中 必 列 的 公 式 對 積 分 運 算 來 講, 可 以 將 公 式 (1) (6) 寫 成 積 分 形 式 如 與 (1) (3) (5) 相 應 的 是 ( 寫 成 不 定 積 分 形 式, 假 設 函 數 都 是 可 積 的 ): (1 ) ( f(x) + g(x) ) dx = f(x) dx + g(x) dx; (3 ) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx; (5 ) f (g(x))g (x) dx = f(g(x)) + C, C 為 不 定 常 數 當 然 也 可 寫 出 與 (2) (4) (6) 相 應 的 (2 ) (4 ) (6 ) 但 只 要 仔 細 分 析 一 下, 公 式 (2) 可 由 (1) 推 出, 只 要 將 u(x) v(x) 寫 成 u(x) + ( v(x)) 即 可 ; 公 式 (4) 可 由 公 式 (3) 推 出, 只 要 對 ( u(x) ) v(x) = u(x) v(x) 兩 邊 求 導 數 即 可 ; 公 式 (6) 可 由 (5) 推 出, 只 要 對 g(f(x)) = x 兩 邊 求 導 數 即 可, 所 以 在 微 分 運 算 中, 重 要 而 具 有 本 質 性 的 公 式 是 (1) (3) 及 (5) 同 樣 的, 在 積 分 運 算 中, 重 要 的 具 有 本 質 性 的 公 式 是 其 相 應 的 公 式 (1 ) (3 ) 及 (5 ), 而 這 三 個 公 式, 就 是 微 積 分 書 中 必 講 的 積 分 計 算 的 三 種 主 要 方 法 其 中 公 式 (1 ) 之 用 途 非 常 之 廣, 尤 其 用 於 求 有 理 函 數 的 積 分 P(x) Q(x) dx, P(x) 其 中 P(x) 與 Q(x) 均 為 多 項 式, 將 分 拆 成 多 個 有 理 分 式 之 和, 每 個 有 理 分 式 的 分 母 為 一 Q(x) 次 或 二 次 多 項 式, 分 子 為 次 數 低 於 分 母 的 一 次 多 項 式 或 常 數, 然 後 逐 個 求 積 分 ; 公 式 (3 ) 就 是 部 分 積 分 法 ; 公 式 (5 ) 就 是 換 元 法 ( 即 變 換 變 數 法 ) 所 以 微 分 運 算 中 的 三 個 主 要 公 式 (1) (3)

微 積 分 五 講 33 及 (5), 在 積 分 運 算 中 就 對 應 求 積 分 的 三 個 主 要 方 法, 即 : 將 被 積 函 數 分 拆 成 幾 個 易 於 求 積 分 的 函 數 之 和, 然 後 分 別 求 積 分 ; 部 分 積 分 法 和 換 元 法, 而 這 些 組 成 了 一 元 微 積 分 中 的 微 分 運 算 與 積 分 運 算 的 主 要 內 容 微 分 運 算 中 的 三 個 主 要 公 式, 與 積 分 運 算 中 的 三 個 主 要 方 法, 說 的 實 際 上 是 一 件 事, 不 過 用 不 同 形 式 表 達 而 已 在 微 積 分 的 教 科 書 中, 都 會 列 上 兩 張 表, 一 張 是 微 分 的 公 式 表, 一 張 是 積 分 的 公 式 表, 而 這 兩 張 表, 實 際 上 是 初 等 函 數 的 微 分 與 積 分 公 式 表 在 這 兩 張 表 中, 微 分 公 式 與 積 分 公 式 往 往 是 一 一 對 應 的, 即 說 的 是 同 一 件 事, 不 過 用 不 同 形 式 來 表 達 而 已 例 如 : 微 分 公 式 表 ( 寫 成 導 數 的 形 式 ) 大 致 上 都 會 包 括 以 下 的 這 些 公 式 : (a) (C) =, C 為 一 常 數 ; (b) (x α ) = αx α 1, 其 中 α 為 一 實 數 ; (c) (sin x) = cosx; (d) (cosx) = sin x; (e) (tanx) = sec 2 x; (f) (cotx) = csc 2 x; (g) (sec x) = sec x tan x; (h) (csc x) = csc x cot x; (i) (log e x) = 1 x ; (j) (e x ) = e x ; (k) (a x ) = a x log e a; (l) (arcsin x) = 1 1 x 2; (m) (arccosx) = 1 1 x 2;; (n) (arctanx) = 1 1+x 2 ; (o) (arccot x) = 1 1+x 2. 等 等 對 積 分 公 式 來 講, 可 以 將 公 式 (a) (o) 寫 成 積 分 形 式, 如 與 (b), (c), (i), (j) 相 應 的 公 式 是 ( 寫 成 不 定 積 分 形 式 ): (b ) x n dx = xn+1 n+1 + C, n 1, C 為 一 常 數 ; (c ) cosxdx = sin x + C; (i ) 1 x dx = log e x + C; (j ) e x dx = e x + C; 當 然 也 可 以 寫 出 與 微 分 公 式 表 中 其 餘 的 公 式 相 應 的 公 式

34 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 但 再 仔 細 分 析 一 下, 在 微 分 公 式 表 中, 最 最 重 要 的 是 公 式 (b), (c), (i), (j), 因 為 所 有 其 他 的 公 式 都 可 以 很 容 易 從 公 式 (b), (c), (i), (j) 以 及 (1) (6) 中 推 導 出 來 而 積 分 公 式 (b ), (c ), (i ), (j ) 與 微 分 公 式 (b), (c), (i), (j) 實 際 上 說 的 是 同 一 件 事, 只 是 用 不 同 形 式 表 達 而 已 從 上 面 論 述 中 還 可 以 看 到, 在 學 習 中 往 往 會 遇 到 很 多 公 式, 但 這 許 多 公 式 中, 不 是 每 一 條 同 樣 重 要 的, 有 的 很 重 要, 有 的 不 很 重 要, 那 些 從 這 些 公 式 中 可 以 導 出 其 他 的 公 式 的, 往 往 是 重 要 的 本 質 的, 例 如 前 面 說 到 的 (1), (3), (5), (b), (c), (i), (j) 等 這 些 最 重 要 的 公 式 往 往 是 十 分 簡 單, 易 於 記 憶 的 這 樣 在 學 習 過 程 中 只 要 記 住 這 幾 個 最 簡 單, 但 卻 是 最 重 要 的 公 式 就 可 以 了 大 可 不 必 要 去 記 一 大 堆 公 式, 而 這 是 難 於 做 到 的 實 在 要 用 時, 去 查 一 下 就 可 以 了 再 加 上 由 於 微 分 公 式 與 積 分 公 式 是 相 互 一 一 對 應 的, 是 同 一 件 事 的 兩 種 不 同 表 達 方 式, 明 白 了 這 點 就 可 以 知 其 一 而 立 即 知 其 二, 這 樣 要 記 住 的 東 西 就 更 少 了 實 際 上, 要 記 住 的 東 西 愈 少 愈 易 記 住, 愈 多 愈 難 記 住 在 一 元 微 積 分 中, 有 兩 個 重 要 的 定 理, 叫 中 值 定 理 (Mean Value Theorem) 微 分 中 值 定 理 : 若 F(x) 在 [a, b] 上 可 微, 則 在 [a, b] 中 一 定 存 在 一 點 ξ, 使 得 F(b) F(a) = F (ξ)(b a). 積 分 中 值 定 理 : 若 f(x) 是 [a, b] 上 的 連 續 函 數, 則 在 [a, b] 中 一 定 存 在 一 點 ξ, 使 得 b a f(x)dx = f(ξ)(b a). 這 兩 個 中 值 定 理 有 十 分 明 確 的 幾 何 意 義 微 分 中 值 定 理 表 示 在 [a, b] 中 一 定 存 在 一 點 ξ, 曲 線 y = F(x) 在 這 點 的 切 線 平 行 於 連 結 點 (a, F(a)) 與 (b, F(b)) 的 割 線 ( 見 圖 3.1); 而 積 分 中 值 定 理 表 示 在 [a, b] 中 一 定 存 在 一 點 ξ, 曲 線 y = f(x) 在 [a, b] 上 覆 蓋 的 曲 線 梯 形 的 面 積 等 於 以 b a 及 f(ξ) 為 邊 長 的 長 方 形 面 積 ( 見 圖 3.2) 因 此, 從 表 面 上 看, 這 兩 個 中 值 定 理 是 兩 個 完 全 不 同 的 幾 何 定 理, 一 個 定 理 說 的 是 切 線 ( 即 微 分 ), 一 個 說 的 是 面 積 ( 即 積 分 ), 而 已 知 求 切 線 ( 微 分 ) 與 求 面 積 ( 積 分 ) 是 互 為 逆 運 算, 所 以 當 我 們 令 x a f(t) dt = F(x) 時, 就 可 發 現, 這 兩 個 中 值 定 理 實 際 上 說 的 同 一 件 事, 只 是 一 個 用 微 分 形 式 來 表 達, 一 個 用 積 分 形 式 來 表 達 而 已

微 積 分 五 講 35 圖 3.1 圖 3.2 當 然 還 有 在 第 二 講 第 一 節 中 說 到 最 為 重 要 的 一 元 微 積 分 的 基 本 定 理, 它 有 微 分 形 式, 也 有 積 分 形 式, 而 這 兩 種 形 式 說 的 是 同 一 件 事 在 一 元 微 積 分 中, 還 有 重 要 的 泰 勒 (Broox Taylor, 1685-1731) 展 開 式 : 若 f(x) 在 x = a 點 附 近 是 n + 1 次 可 微 的, 則 f(x) 在 x = a 的 附 近 可 以 寫 成 f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2! 其 中 R n (x) 稱 為 Taylor 展 開 式 中 的 餘 項 微 分 形 式 (x a) 2 + + f(n) (a) (x a) n + R n (x) n! 這 個 公 式 可 以 用 多 次 求 導 數 得 到, 也 可 用 多 次 分 部 積 分 法 得 到, 而 餘 項 R n (x) 既 可 表 達 成 R n (x) = f(n+1) (ξ)(x a) n+1 (n + 1)! 式 中 ξ 位 於 a 與 x 之 間, R n (x) 也 可 表 成 積 分 形 式 : R n (x) = 1 n! x a (x t) n f (n+1) (t) dt 我 們 可 以 證 明 : 這 兩 個 餘 項 公 式, 利 用 中 值 定 理 是 相 互 可 以 推 導 的, 這 些 都 是 微 分 與 積 分 這 組 對 立 運 算 在 Taylor 展 開 式 上 的 體 現 順 便 說 一 下, Taylor 展 開 式 在 一 元 微 積 分 中 是 很 重 要 的, 因 為 求 極 值 的 問 題, 中 值 定 理, G.F.A.L Hospital (1661-174) 法 則 等 都 是 它 的 簡 單 推 論 作 為 一 元 微 積 分 的 理 論 部 分 ( 還 有 應 用 部 分 ), 上 述 論 及 的 那 些 結 果, 雖 然 不 是 它 的 全 部, 卻 也 是 其 中 極 為 重 要 的 部 分 所 以, 如 果 我 們 緊 緊 抓 住 微 分 與 積 分 是 微 積 分 中 互 為 對 立 運 算 的 觀 點, 那 麼, 理 解 一 元 微 積 分 就 顯 得 十 分 自 然 容 易 與 簡 單 了

36 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 二. 三 個 初 等 函 數 在 微 積 分 課 程 中 的 定 義 公 式 及 定 理, 往 往 說 的 是 一 般 的 連 續 函 數 可 微 函 數 或 可 積 函 數 但 是, 例 題 與 習 題 的 大 部 份 卻 是 討 論 以 下 三 個 大 家 十 分 熟 悉 的 初 等 函 數 以 及 它 們 的 合 成 函 數 甚 至 可 以 說, 微 積 分 教 材 中 有 很 大 的 篇 幅 是 用 來 討 論 初 等 函 數 的, 所 謂 的 初 等 函 數 是 指 由 下 列 初 等 函 數 及 其 合 成 函 數 所 組 成, 這 三 個 初 等 函 數 為 : (1) 冪 函 數 以 及 它 的 反 函 數, 如 x µ, 而 µ 為 任 意 實 數 (2) 三 角 函 數 以 及 它 的 反 函 數, 如 sin x, cos x,..., arcsin x, arccos x,...; (3) 指 數 函 數 以 及 它 的 反 函 數, 如 e x, log x,...; 微 積 分 中 這 三 個 不 同 的 初 等 函 數, 在 複 分 析 的 觀 點 下, 這 三 個 初 等 函 數 實 際 上 是 同 一 個 函 數 這 是 因 為 我 們 有 前 面 已 屢 次 提 到 的 Euler 公 式 e z = cosz + i sin z. 於 是 這 三 個 函 數 是 可 以 相 互 表 達 的, 三 角 函 數 可 以 用 指 數 函 數 來 表 達 : sin z = eiz e iz 2i, cosz = eiz + e iz. 2 冪 函 數 也 可 以 用 指 數 函 數 及 它 的 反 函 數 對 數 函 數 來 表 達 : z µ = e µ ln z, 這 裡 z 為 複 變 數, µ 為 複 常 數 這 時, 三 個 初 等 函 數 就 成 為 一 個 初 等 函 數 指 數 函 數 及 它 的 反 函 數 了 但 是 在 微 積 分 課 程 中, 它 們 仍 為 三 個 不 同 的 初 等 函 數 由 於 初 等 函 數 的 重 要 性, 在 微 積 分 的 教 學 中, 如 果 對 這 三 個 初 等 函 數 掌 握 好 了, 那 麼 有 關 一 般 函 數 的 定 義 公 式 與 定 理 也 就 易 於 掌 握 與 理 解 了 例 如 : 在 上 一 節 中 列 舉 的 微 分 公 式 表 和 積 分 公 式 表 實 際 上 是 這 三 個 初 等 函 數 的 微 分 公 式 表 與 積 分 公 式 表, 同 樣 的 對 於 Taylor 級 數, 對 富 立 葉 (J. Fourier, 1768-183) 級 數 與 富 立 葉 積 分, 首 先 要 講 清 楚 的 也 是 這 三 個 初 等 函 數 的 Taylor 級 數 Fourier 級 數 與 Fourier 積 分 初 等 函 數 為 什 麼 這 樣 重 要? 可 以 至 少 從 以 下 幾 點 來 加 以 說 明 : 首 先, 人 們 熟 悉 的 大 量 自 然 現 象 與 社 會 現 象 是 可 以 用 初 等 函 數 來 描 述 或 近 似 描 述 最 最 簡 單 的 如 : 自 由 落 體 人 口 增 長 利 息 計 算 等 等 在 這 方 面, 美 國 的 有 些 微 積 分 教 材 就 寫 得 比 較 詳 盡, 在 微 積 分 教 學 一 開 始 就 讓 同 學 通 過 計 算 機 認 識 這 些 初 等 函 數 及 其 合 成 函 數 的 圖 形, 並 有 大 量 的 實 際 的 ( 不 全 是 虛 構 的 ) 例 題 與 習 題 來 認 識 這 些 初 等 函 數, 讓 同 學 們 認 識 到 大 量 的 自 然 現 象 與 社 會 現 象 的 模 型 ( 或 近 似 的 模 型 ) 是 用 初 等 函 數 描 述 的, 並 通 過 對 初 等 函 數 的 討 論, 可 以 得 到 對 這 些 現 象 的 進 一 步 認 識 不 是 初 等 函 數 及 其 合 成 函 數 的 函 數 稱 為 特 殊 函 數 或 超 越 函 數, 這 往 往 是 為 了 討 論 某 一 個 特 定 的 問 題 而 產 生 的 這 在 微 積 分 教 材 及 以 後 有 關 課 程 中 會 不 斷 地 遇 到 但 這 些 特 殊 函 數 實 際 上 往 往 都 是 從 初 等 函 數 演 化 過 來 的, 並 且 由 初 等 函 數 來 表 達 的, 而 這 些 特 殊 函 數 的 一 些 性 質, 也 可 以 由 初 等 函 數 的 性 質 得 到 例 如, 大 家 十 分 熟 悉 的 Γ 函 數 Γ(s) = t s 1 e t dt (s > )

和 B 函 數 B(p, q) = 1 t p 1 (1 t) q 1 dt (p >, q > ) 微 積 分 五 講 37 都 不 是 初 等 函 數, 但 卻 是 初 等 函 數 的 積 分, 所 以, 它 們 的 一 些 性 質 都 可 以 從 初 等 函 數 的 性 質 導 出 因 此, 初 等 函 數 了 解 得 愈 清 楚, 我 們 就 愈 能 掌 控 非 初 等 函 數 的 性 質, 這 是 初 等 函 數 重 要 性 的 第 二 點 說 明 更 為 重 要 的 是 以 下 的 第 三 點 說 明 在 微 積 分 中, 有 一 個 非 常 重 要 的 部 分 就 是 級 數 理 論 可 以 這 樣 來 理 解 : 由 於 對 一 般 函 數 的 研 究 與 討 論 並 非 那 麼 容 易, 於 是 有 了 用 初 等 函 數 來 表 示 或 逼 近 的 想 法, 這 是 因 為 對 初 等 函 數 是 很 易 於 討 論 與 研 究 這 樣 的 表 示 或 逼 近 是 在 一 點 附 近 展 開 的, 且 清 楚 地 刻 畫 了 這 個 函 數 在 這 一 點 附 近 的 行 為, 所 以 這 是 很 有 用 的 做 法, 也 可 以 說, 為 什 麼 微 積 分 以 前 也 被 稱 作 為 : 無 窮 小 分 析 的 原 因 用 冪 級 數 來 表 示 一 般 函 數 f(x) 在 點 x = a 處 的 級 數 為 f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + 2! 這 是 大 家 熟 悉 的 Taylor 級 數, 如 果 在 右 邊 只 取 二 項, y = f(a) + f (a)(x a), 這 是 f(x) 在 x = a 處 的 切 線, 也 就 是 用 切 線 來 近 似 f(x) 在 x = a 附 近 的 行 為, 這 是 將 函 數 在 一 點 附 近 局 部 線 性 化 在 x = a 附 近 用 上 式 右 邊 的 有 限 項, 即 多 項 式 來 逼 近 f(x), 這 就 是 前 面 提 到 的 Taylor 多 項 式 同 樣, 用 三 角 函 數 的 級 數 來 表 示 一 般 函 數 f(x), 這 就 是 Fourier 級 數 這 裡 a n = 1 π f(x) = a 2 + ( an cos nx + b n sin nx ) π π n=1 f(x) cosnxdx, b n = 1 π π π f(x) sin nxdx, n =, 1, 2,... 被 稱 為 Fourier 係 數 由 於 三 角 函 數 的 週 期 性, f(x) 也 要 假 設 是 週 期 函 數 ( 這 個 假 設 其 實 並 不 重 要 ) 用 Fourier 級 數 的 有 限 項 來 逼 近 f(x), 這 就 是 Fourier 三 角 多 項 式 如 同 Taylor 級 數 Taylor 展 開 式 一 樣, Fourier 級 數 及 Fourier 三 角 多 項 式 也 是 局 部 性 質, 即 在 一 點 的 附 近 進 行 研 究 與 討 論 至 於 為 什 麼 沒 有 用 指 數 函 數 的 級 數 或 多 項 式 來 表 示 或 逼 近 一 般 的 函 數, 一 方 面 當 然 可 以 用 函 數 系 統 的 正 交 性 完 備 性 等 來 解 釋, 但 也 可 以 用 前 面 所 說 的 複 分 析 的 觀 點 來 解 釋 因 為 在 此 觀 點 下, 指 數 函 數 與 三 角 函 數 是 可 以 相 互 表 達 的 事 實 上, 用 Euler 公 式 e ix = cosx + i sin x, 上 述 Fourier 級 數 也 可 以 寫 為 f(x) = c k e ikx k=

38 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 這 裡 c k = 1 π 2π π f(x)e ikx dx, k =, ±1, ±2,.... 在 這 種 認 識 下, 在 微 積 分 中, Taylor 級 數 及 展 開 式 與 Fourier 級 數 及 展 開 式 成 為 最 基 本 的 內 容 之 一, 其 實 這 也 是 十 分 自 然 的 事, 而 這 實 質 上 就 是 用 初 等 函 數 來 表 示 與 逼 近 一 般 的 函 數 這 種 想 法, 到 了 高 維 空 間, 也 一 樣 的 重 要, 例 如 : x = [x 1...x n ] T 是 在 n 維 Euclid 空 間 中 一 個 區 域 D 中 的 點, f 1 (x) f(x) =. f n (x) 是 D 上 定 義 的 無 窮 次 可 微 函 數, a = [a 1,..., a n ] T D, 則 f(x) 在 x = a 點 附 近 可 展 開 成 Taylor 級 數 這 也 可 以 寫 成 f f 1 (x) f 1 (a) 1 x. =. + 1 (a) fn x 1 (a).. + f f n (x) f n (a) n x 1 (a) fn x n (a) f(x) = f(a) + J f (a)(x a) + 此 處 J f 為 f 的 Jacobi 矩 陣 在 a 點 取 值, 如 果 在 上 式 只 取 二 項 f(a) + J f (a)(x a), 則 這 是 將 函 數 在 x = a 點 的 局 部 線 性 化 而 對 它 進 行 討 論, 就 化 為 對 矩 陣 J f (a) 進 行 討 論 但 這 是 線 性 代 數 的 事 了, 因 此, 大 致 上 可 以 說, 微 積 分 將 函 數 進 行 局 部 線 性 化, 之 後 是 線 性 代 數 的 工 作 了 從 上 述 的 討 論 中 可 以 看 出 : 三 個 初 等 函 數 與 一 般 的 連 續 函 數 可 微 函 數 及 可 積 函 數 的 關 係 是 特 殊 與 一 般 的 關 係 人 們 通 過 用 特 殊 的 函 數 ( 三 個 初 等 函 數 ) 的 表 示 與 逼 近 來 認 識 一 般 的 函 數 ( 連 續 函 數 可 微 函 數 及 可 積 函 數 ); 另 一 方 面, 在 微 積 分 中 幾 乎 所 有 的 定 義 定 理 與 公 式 都 是 對 一 般 的 函 數 說 的, 但 大 部 分 的 例 題 與 習 題 卻 是 討 論 這 特 殊 的 三 個 初 等 函 數 以 及 它 們 的 合 成 函 數 的, 通 過 對 這 些 特 殊 函 數 的 討 論 來 認 識 這 些 一 般 的 函 數 的 定 義 定 理 與 公 式 三. 其 他 一 些 對 立 在 微 積 分 這 門 學 科 中, 還 存 在 著 很 多 對 立 它 們 是 在 微 分 與 積 分 這 對 主 要 對 立 運 算 下 存 在 和 發 展, 並 且 也 起 著 重 要 作 用 在 本 講 一 開 始, 就 列 舉 了 一 些 這 樣 的 對 立 在 這 一 節 中, 將 就 離 散 與 連 續 這 組 對 立 多 做 一 些 介 紹, 而 對 其 他 的 對 立 只 略 略 地 介 紹

微 積 分 五 講 39 關 於 離 散 與 連 續 這 組 對 立 在 微 積 分 中 的 體 認, 最 易 說 明 的 例 子 是 級 數 與 積 分, 數 項 級 數 n= a n 與 無 窮 積 分 f(x)dx, 就 是 離 散 與 連 續 的 關 係 ; 函 數 項 級 數 n= u n(x) 與 含 參 變 量 的 無 窮 積 分 f(u, x)du, 就 是 離 散 與 連 續 的 關 係 ; Fourier 級 數 與 Fourier 積 分 a 2 + ( an cosnx + b n sin nx ) 1 2π n= dλ f(ξ)e iλ(ξ λ) dξ 也 是 離 散 與 連 續 的 關 係 無 窮 級 數 函 數 項 級 數 與 Fourier 級 數 都 是 離 散 地 求 和, 且 它 們 發 展 起 來 的 理 論 定 理 與 公 式, 都 是 離 散 形 式 的 理 論 定 理 與 公 式 ; 而 無 窮 積 分 含 參 變 量 的 無 窮 積 分 與 Fourier 積 分 都 是 連 續 地 求 和, 且 它 們 發 展 起 來 的 理 論 定 理 與 公 式, 都 是 連 續 形 式 的 理 論 定 理 與 公 式 在 離 散 與 連 續 是 一 組 對 立 的 觀 點 下, 這 些 微 積 分 的 定 理 與 公 式, 往 往 是 有 一 個 離 散 形 式 的 定 理 與 公 式, 就 會 有 一 個 連 續 形 式 的 定 理 與 公 式, 反 之 亦 然 這 是 離 散 與 連 續 這 組 對 立 在 微 積 分 中 的 具 體 體 認 現 在 舉 幾 個 極 為 簡 單 的 例 子 來 說 明 之 無 窮 級 數 例 1: 對 無 窮 級 數, 有 如 下 一 個 大 家 十 分 熟 悉 的 Cauchy 判 別 準 則 (Cauchy Criterion): a k = a + a 1 + + a n + k= 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 為 : 對 任 一 給 定 的 ε >, 一 定 存 在 一 自 然 數 N(ε), 當 n > m > N 時, Sn S m < ε 成 立, 即 am+1 + a m+2 + + a n < ε 成 立, 這 裡 S n = a + a 1 + + a n, n = 1, 2,... 是 無 窮 級 數 的 n 項 部 分 和 對 於 無 窮 積 分, 有 如 下 一 條 與 之 對 應 的 Cauchy 判 別 準 則 : 積 分 a f(x)dx 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 為 : 對 任 一 給 定 的 ε >, 一 定 存 在 X > a, 只 要 x, x > X 時, x x f(x)dx < ε

4 數 學 傳 播 3 卷 3 期 民 95 年 9 月 比 較 這 兩 條 判 別 準 則, 其 差 別 只 是 : 一 個 是 離 散 地 求 和, 一 個 是 連 續 地 求 和 ( 即 積 分 ), 兩 者 本 質 上 完 全 一 樣, 這 是 離 散 與 連 續 這 組 對 立 在 收 斂 判 別 準 則 上 的 體 認 例 2. 對 函 數 項 級 數, 有 如 下 的 Cauchy 判 別 準 則 : 函 數 項 級 數 n=1 u n(x) 在 區 間 [a, b] 上 一 致 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 : 對 任 一 給 定 的 ε >, 一 定 有 不 依 賴 於 x 的 自 然 數 N 存 在, 使 得 當 n > N 時, 對 所 有 m > 都 成 立 un+1 (x) + u n+2 (x) + + u n+m (x) < ε 對 於 含 參 變 量 的 無 窮 積 分, 有 如 下 一 條 與 之 對 應 的 Cauchy 判 別 準 則 : f(u, x)du 在 [a, b] 上 一 致 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 為 : 對 任 一 給 定 的 ε >, 總 存 在 一 個 僅 與 ε 有 關 的 A, 使 得 當 A, A > A 時, 對 所 有 [a, b] 上 的 x 都 成 立 A A f(u, x)du < ε 比 較 這 兩 條 判 別 準 則, 其 差 別 仍 然 是 : 一 個 是 離 散 地 求 和, 一 個 是 連 續 地 求 和 ( 即 積 分 ), 儘 管 表 面 上 看 來 有 差 別, 但 本 質 上 完 全 一 樣, 這 也 是 離 散 與 連 續 這 組 對 立 在 收 斂 判 別 準 則 上 的 體 認 例 3. 在 Fourier 級 數 中, 有 這 樣 一 條 定 理, 若 f(x) 是 在 [, 2π] 上 H. L. Lebesgue (1875-1941) 平 方 可 積 的 函 數 ( 將 在 第 五 章 中 論 及 這 種 積 分 ), 則 Parsevel 等 式 1 2π f 2 (x)dx = 1 ( π 2 a2 + a 2 n + bn) 2 成 立, 這 裡 a n b n 為 f(x) 的 Fourier 級 數 的 Fourier 係 數 n=1 a 2 + ( an cosnx + b n sin nx ) n= 在 Fourier 積 分 中, 有 與 Parsevel 等 式 相 當 的 普 朗 歇 爾 (Plancherel) 等 式 : 若 f(x) 是 (, ) 上 Lebesgue 平 方 可 積 函 數, 稱 ˆf(ξ) = 1 π f(x)e ix ξ dx 為 f 的 Fourier 變 換 ( 與 Fourier 級 數 中 的 Fourier 係 數 相 當 ), 則 ˆf(ξ) 2 dξ = f 2 (x)dx

微 積 分 五 講 41 成 立 比 較 Parsevel 等 式 與 Plancherel 等 式, 在 等 式 的 右 邊, 一 個 是 離 散 地 求 和 ( 級 數 ), 一 個 是 連 續 地 求 和 ( 即 積 分 ), 但 它 們 都 是 用 來 表 達 f 2 (x)dx ( 即 f 的 范 數 的 平 方 ) 與 f 的 Fourier 係 數 之 間 的 關 係 的 所 以 本 質 上 是 一 樣 的 這 是 離 散 與 連 續 這 組 對 立 在 Fourier 分 析 中 的 體 現 當 然, 在 微 積 分 中, 這 樣 離 散 與 連 續 這 組 對 立 的 種 種 體 現, 還 可 以 舉 出 很 多 來 不 僅 如 此, 離 散 與 連 續 這 組 對 立 是 可 以 相 互 轉 化 的 例 如 : 求 函 數 所 描 繪 的 曲 線 覆 蓋 下 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 ( 連 續 求 和 ) 是 通 過 Riemann 和 ( 離 散 求 和 ) 取 極 限 過 程 得 到 的 而 一 些 級 數 求 和 ( 離 散 求 和 ) 是 通 過 積 分 求 和 ( 連 續 求 和 ) 得 到 的, 反 之 亦 然 再 例 如 : 函 數 f(x) 的 微 分 df = f (x)dx 是 連 續 的 差, 差 分 f = f(x + x) f(x) 是 離 散 的 差 因 此, 從 原 則 上 講, 有 微 分 的 公 式 或 定 理, 也 應 有 與 之 相 對 應 的 差 分 的 公 式 或 定 理 反 之 亦 然, 且 微 分 與 差 分 之 間 可 相 互 表 達 相 互 轉 化 離 散 與 連 續 在 數 學 的 其 他 分 支 中 都 有 所 體 現, 可 以 舉 出 更 多 這 樣 的 例 子, 這 裡 只 說 一 個 由 V. Volterra (186-194) E.I. Freholm (1866-1927) 以 及 Hilbert 等 建 立 起 來 的 積 分 方 程 理 論 的 一 個 基 本 想 法 是 將 積 分 方 程 ( 連 續 ) 化 為 線 性 方 程 組 ( 離 散 ) 來 考 慮, 然 後 再 回 到 積 分 方 程 中 來 關 於 離 散 與 連 續 這 組 對 立 就 說 到 這 裡, 對 於 其 他 的 對 立, 只 是 十 分 簡 略 地 介 紹 一 下 我 們 知 道, 微 分 是 局 部 性 質, 積 分 是 整 體 性 質, 微 積 分 的 基 本 定 理 刻 畫 了 局 部 性 質 ( 微 分 ) 與 整 體 性 質 ( 積 分 ) 之 間 的 關 係 數 學 中 的 無 限 的 概 念 是 由 現 實 中 的 有 限 建 立 起 來 的 如 級 數 求 和 無 窮 積 分 Taylor 級 數 等 等 都 是 從 求 級 數 的 部 分 和 有 限 的 上 下 限 的 積 分 Taylor 展 開 式 等 有 限 的 量, 通 過 求 極 限 而 得 到 的 反 之, 一 些 有 限 的 量 是 可 以 通 過 求 無 限 的 量 而 得 到 的 有 限 和 無 限 這 組 對 立, 在 微 積 分 中 可 以 說 是 貫 徹 始 終 的 同 樣, 數 與 形 這 組 對 立 也 是 這 樣 如 函 數 表 示 了 曲 線 曲 面 等, 曲 線 曲 面 可 以 用 函 數 來 表 達 如 二 次 方 程 表 示 了 二 次 曲 線 二 次 曲 面 反 之, 一 些 幾 何 的 量 可 以 用 數 的 關 係 表 達 出 來, 如 曲 率 等 一 些 數 量 關 係 的 推 導 可 以 導 出 幾 何 圖 形 的 意 義 反 之, 一 些 幾 何 圖 形 的 考 察 與 研 究 可 以 導 出 數 量 關 係 至 於 導 數 表 示 切 線 方 向, 積 分 表 示 面 積 等, 更 是 在 微 積 分 一 開 始 就 體 現 了 數 與 形 這 組 對 立 的 例 子 至 於 特 殊 與 一 般 這 組 對 立 在 上 一 節 中 已 討 論 過 的 三 個 初 等 函 數 與 一 般 函 數 之 間 的 關 係 就 是 一 個 例 子 本 文 作 者 龔 昇 任 教 於 中 國 科 技 大 學 ; 張 德 健 任 教 於 美 國 Georgetown University 數 學 系