整 數 統 整 複 習 整 數 計 算 是 所 有 計 算 的 基 礎, 利 用 分 配 律 和 交 換 律 等 規 則, 可 以 有 效 地 簡 化 計 算 程 序 想 要 學 習 一 些 整 數 計 算 的 技 巧 嗎? 關 於 正 整 數 和 整 數 的 專 門 課 題, 也 就 是 稱 為 整 數 論 或 簡 稱 為 數 論 的 一 支 數 學, 已 經 完 全 從 高 中 課 程 移 去 某 些 學 校 可 能 會 以 選 修 或 課 外 活 動 方 式 提 供 整 數 論 課 程 在 隨 後 的 高 中 數 學 課 程 中, 的 確 不 再 需 要 關 於 整 數 的 專 門 知 識 但 是, 正 整 數 ( 和 整 數 ) 畢 竟 是 最 基 本 的 算 術, 我 們 以 這 一 篇 課 外 讀 物, 為 同 學 們 整 理 關 於 整 數 的 概 念 性 複 習 和 實 用 性 技 術 這 一 篇 比 較 長, 其 他 的 課 外 讀 物 都 不 會 這 麼 長 所 以, 建 議 讀 者 將 它 印 出 來, 慢 慢 地 讀, 最 好 還 拿 起 筆 來 做 一 些 計 算 的 練 習 1. 自 然 數 自 然 數 又 稱 為 正 整 數, 是 我 們 最 初 經 驗 的 數 自 然 數 用 來 點 數 (ㄕㄨˇ), 例 如 計 算 全 班 共 有 48 人 ; 也 用 來 指 稱 第 幾 個, 例 如 在 第 九 週 舉 行 期 中 考 有 時 候 自 然 數 只 被 用 來 當 作 標 籤 而 已, 例 如 數 獨 遊 戲 中 的 數 字, 其 實 可 以 改 成 香 蕉 芭 樂 之 類 不 同 符 號, 它 們 沒 有 數 的 意 義 現 在 我 們 用 的 十 個 數 目 字 :0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 和 9 是 所 的 阿 拉 伯 或 印 度 - 阿 拉 伯 數 目 字 配 合 十 進 制, 也 就 是 集 滿 十 就 進 一 位 的 記 數 規 則, 我 們 可 以 用 這 十 個 數 目 字 寫 出 任 意 自 然 數 但 是 0 本 身 並 不 是 自 然 數 作 為 一 個 數,0 的 意 義 是 沒 有 : 既 然 沒 有 就 不 必 點 數, 所 以 它 不 是 自 然 數 0 有 兩 個 重 要 用 途 : 第 一 是 作 為 十 進 制 數 字 中 的 佔 位 符 號, 第 二 是 在 數 線 上 當 作 原 點 如 果 沒 有 0 來 佔 位, 像 壹 佰 零 壹 (101) 和 壹 仟 零 壹 (1001) 這 兩 個 數 字, 就 不 容 易 分 辨 了 同 學 們 早 就 熟 練 的 加 減 乘 除 直 式 演 算 法, 就 是 配 合 十 進 制 數 字 發 展 出 來 的 雖 然 有 多 得 數 不 盡 的 自 然 數, 但 是 在 概 念 上 可 以 將 它 們 視 為 一 個 整 體, 數 學 術 語 稱 之 為 自 然 數 集 合 所 謂 n 是 一 個 自 然 數, 也 可 以 說 成 n 屬 於 自 然 數 集 合, 或 者 簡 化 成 n 屬 於 自 然 數 書 上 常 用 表 示 自 然 數 集 合, 有 些 老 師 也 會 在 黑 板 上 這 樣 寫 n 屬 於 自 然 數 的 符 號 寫 法 是 n, 其 中 稱 為 屬 於 符 號 而 不 屬 於 就 寫 成, 例 如 0 不 是 自 然 數 的 符 號 寫 法 是 0 數 線 上 0 與 1 之 間 的 距 離 稱 為 這 條 數 線 的 單 位 長, 以 固 定 的 單 位 長 向 右 依 序 標 定 代 表, 3, 4, 的 點 按 照 數 線 的 慣 例, 我 們 規 定 向 右 是 向 上 而 向 左 是 向 下, 並 且 規 定 右 側 的 數 比 左 側 的 大, 例 如 8 > 5或 5< 8 從 向 上 數 (ㄕㄨˇ) 和 向 下 數 的 實 際 操 作, 人 們 創 造 了 自 然 數 相 加 和 相 減 的 意 義 例 如 5+3 是 從 五 開 始, 向 上 數 三 個 自 然 數 : 六 七 八, 所 以 5+ 3= 8; 又 如 8 3是 從 八 開 始, 向 下 數 三 個 自 然 數 : 七 六 五, 所 以 8 3= 5 因 為 向 上 數 之 後 再 向 下 數 同 樣 數, 會 回 到 原 先 的 數, 所 以 有 加 減 互 逆 關 係 : 1
若 k = m+ n, 則 k n= mmn,, (P1) 從 向 上 數 和 向 下 數 的 具 體 操 作, 我 們 得 知 自 然 數 的 加 法 具 有 交 換 律 : n+ m= m+ n, m, n (P) 例 如 5 + 3是 從 五 向 數 三 個 自 然 數,3+ 5是 從 三 向 上 數 五 個 自 然 數, 結 果 都 是 八 自 然 數 加 法 也 具 有 結 合 律 : 例 如 ( + 3) + 4= 5+ 4是 9 而 ( m+ n) + p= m+ ( n+ p), m, n, p (P3) + 3+ 4 = + 7也 是 9 就 因 為 三 數 連 加 時, 先 加 哪 兩 個 並 不 要 緊, 所 以 可 以 省 略 括 號 不 寫, 而 記 作 m+ n+ p 就 自 然 數 數 言, 乘 法 並 不 是 一 個 獨 立 的 計 算 方 法, 它 其 實 只 是 同 數 連 加 多 次 的 簡 化 記 錄, 例 如 4 3是 4+ 4 + 4的 簡 化 紀 錄 乘 法 只 有 簡 化 紀 錄, 它 本 身 並 沒 有 簡 化 計 算 ; 我 們 是 靠 著 背 誦 九 九 乘 法 表 而 達 到 簡 化 計 算 的 效 果 乘 法 是 最 基 本 的 排 列 組 合 計 算 方 法 例 如, 將 學 生 排 成 八 伍, 每 伍 六 人, 則 不 必 一 一 點 數 就 知 道 共 有 6 8 =48人 而 同 一 批 學 生 亦 可 視 為 每 列 八 人, 排 成 六 列, 總 數 仍 然 是 8 6= 48人 在 這 種 具 體 意 義 之 下, 我 們 建 立 了 自 然 數 的 乘 法 交 換 律 : n m= m n, m, n (M) 如 果 有 兩 班 學 生, 一 班 排 成 伍, 另 一 班 九 伍, 每 伍 都 是 六 人, 則 兩 班 共 有 6 8 + 6 9 = 48 + 54 = 10人 但 也 可 以 先 合 併 成 十 七 伍, 再 算 共 有 6 8 + 9 = 6 17 = 10 在 這 種 具 體 意 義 之 下, 我 們 建 立 了 自 然 數 乘 法 對 加 法 的 分 配 律 : p ( m+ n) = p m+ p n, m, n, p (D) 其 實 乘 法 對 ( 大 數 減 小 數 的 ) 減 法 也 有 分 配 律 : p ( m n) = p m p n, m, n, p 且 m > n (1) 例 如 前 述 十 七 伍 學 生 若 解 散 了 六 伍, 可 以 計 算 剩 下 6 17 6 6 = 10 36 = 66 人, 也 可 以 先 扣 除 六 伍, 再 算 剩 下 6 ( 17 6) = 6 11= 66人 此 外, 我 們 也 在 計 算 長 方 體 體 積 的 具 體 操 作 中 建 立 了 自 然 數 的 乘 法 結 合 律 : ( m n) p= m ( n p), m, n, p (M3) 因 為 三 數 連 乘 時, 先 乘 哪 兩 個 並 不 要 緊, 所 以 可 以 省 略 括 號 不 寫 而 記 作 m n p k 一 個 數 n 連 乘 k 次 稱 n 的 k 次 方, 記 作 n, 例 如 3 3= 3 次 方 只 有 簡 化 紀 錄, 它 本 身 並 沒 有 簡 化 計 算 我 們 可 以 透 過 指 數 與 對 數 的 查 表 而 達 簡 化 計 算 的 效 果, 詳 情 在 第 三 章 將 會 展 現
在 國 中 時 期 已 經 學 會 : 當 符 號 不 虞 混 淆 的 時 候, 我 們 可 省 略 乘 號 不 寫 例 如 乘 法 交 換 律 和 結 合 律 可 以 簡 化 成 nm = mn 和 ( mn) p = m( np) = mnp 而 m + n或 m n可 以 合 併 成 m n, 所 以 分 配 律 可 以 寫 成 p m± n = pm± pn( 假 設 m> n) ± 平 分 的 操 作 則 形 成 了 除 法 的 具 體 意 義, 例 如 48 名 學 生 每 六 人 排 成 一 伍, 共 可 排 成 八 伍, 記 作 48 6 = 8 如 此 建 立 了 自 然 數 的 乘 法 互 逆 關 係 : 若 k = m n, 則 k n= mmn,, (M1) 最 基 本 的 自 然 數 演 算 法 就 是 所 謂 的 直 式 算 則 但 是, 基 本 的 心 算 能 力, 以 及 巧 妙 地 運 用 自 然 數 的 運 算 規 律, 我 們 可 以 隨 時 簡 化 生 活 中 臨 時 遇 到 的 算 術 問 題 例 如 340 5 = 340 ( 100 4) = ( 340 100) 4 = 850 0 190 4 = ( 000 80) 4 = 500 0 = 480 17 7 = 17 ( 30 3) = 510 51 = 460 1 = 459 8 3 = ( 30 ) ( 30 + ) = 900 4 = 896 若 k = m n, 則 m 和 n 都 整 除 k, 記 作 mk 和 nk 那 麼 m 和 n 都 稱 作 k 的 因 數, 而 k 是 它 們 的 倍 數 例 如 是 6 的 因 數,6 是 的 倍 數 因 為 1 n= n所 以 任 一 個 大 於 1 的 自 然 數 必 然 有 兩 個 因 數 :1 和 本 身 除 了 這 兩 個 顯 然 因 數 以 外 別 無 因 數 的 大 於 1 自 然 數 稱 為 質 數, 否 則 為 合 成 數 例 如 6 的 因 數 有 1,, 3 和 6, 它 是 合 成 數 而 7 的 因 數 只 有 1 和 7, 它 是 質 數 1 既 不 是 質 數 也 不 是 合 成 數 把 1 排 除 在 外 的 原 因 是 為 了 數 學 家 說 話 方 便 : 他 們 經 常 說 到 設 p 是 個 質 數, 則 那 樣 的 話, 而 那 種 敘 述 經 常 要 排 除 1 那 個 特 例, 所 以 乾 脆 定 義 1 不 是 質 數 以 絕 後 患 所 以 最 小 的 質 數 就 是, 而 它 也 顯 然 是 唯 一 的 偶 質 數 在 此 特 地 聲 明, 當 我 們 談 質 數 因 數 或 倍 數, 都 只 談 自 然 數, 不 討 論 負 因 數, 也 沒 有 負 的 質 數 最 小 的 質 數 是 0 或 被 整 除 的 自 然 數 稱 為 偶 數, 其 他 自 然 數 稱 為 奇 數 奇 偶 性 質 將 自 然 數 完 整 地 分 為 兩 類 : 任 意 一 個 自 然 數, 不 是 奇 數 即 是 偶 數 請 依 序 列 出 8 的 所 有 因 數 要 判 斷 n >1是 否 為 質 數, 只 能 用 比 它 小 的 正 整 數 一 一 測 試 是 否 整 除 只 要 發 現 一 個 不 是 1 的 自 然 數 整 除 了 n, 它 就 是 合 成 數 ; 否 則 它 就 是 質 數 3
請 依 序 寫 出 小 於 50 的 所 有 質 數 其 實, 稍 微 累 積 一 點 經 驗, 就 會 發 現 可 以 稍 微 偷 懶 : 只 要 測 試 小 於 n 的 所 有 質 數 就 行 了 ( 如 果 n 是 質 數, 則 n 是 完 全 平 方 數, 則 它 一 定 是 合 成 數 ) 那 是 因 為, 如 果 有 某 質 數 q 符 合 n < q< n且 能 整 除 n, 令 n p =, 則 p 符 合 1 < p< n且 q n = pq, 亦 即 p 也 整 除 n 要 不 p 自 己 是 質 數 或 者 有 一 個 比 它 更 小 的 質 數 能 整 除 p, 因 此 也 整 除 n 所 以, 如 果 已 經 依 序 測 試 了 所 有 小 於 n 的 質 數, 就 相 當 於 已 經 試 過 了 q 整 除 n 的 可 能 性, 那 就 可 以 不 必 再 試 [ 範 例 ] 請 判 斷 503 和 507 是 否 為 質 數? [ 解 ] 只 要 測 試 < 50 的 質 數 ; 也 就 是 說, 只 要 拿 50 以 下 的 質 數 一 一 測 試 即 可, 承 上 題 結 果 503 是 質 數, 但 是 507 = 3 109 事 實 上 從 50 = 500 到 51 = 601之 間 的 質 數 只 有 503, 51, 531, 539, 543, 549, 551, 557, 579, 591 和 593 注 意 這 一 段 自 然 數 之 中, 只 有 一 對 孿 生 質 數, 亦 即 連 續 兩 個 都 是 質 數 的 奇 數 :591 和 593 請 問 417 和 419 是 不 是 孿 生 質 數? 如 果 p 既 是 質 數 也 是 n 的 因 數, 則 稱 p 是 n 的 質 因 數 例 如 和 7 都 是 8 的 質 因 數 合 成 數 等 於 某 些 質 數 的 連 乘 積, 後 者 稱 為 它 的 質 因 數 分 解 例 如 8 = 7 所 以 說 7或 7 是 8 的 質 因 數 分 解 國 中 時 期 學 過 一 個 系 統 性 的 方 法, 從 質 因 數 分 解 算 出 所 有 的 因 數 回 顧 那 個 方 法, 已 知 84 的 質 因 數 分 解 是 71, 請 寫 出 它 的 所 有 因 數 自 然 數 的 除 法 計 算 觸 發 了 質 數 合 成 數 因 數 和 倍 數 等 觀 念, 並 從 這 些 觀 念 發 展 出 數 學 中 最 絢 爛 瑰 麗 的 一 部 分 內 容 : 數 論 由 於 篇 幅 所 限, 我 們 不 能 多 談 數 論, 只 在 以 下 的 習 題 中, 列 舉 幾 個 常 見 的 有 趣 命 題 4
我 們 不 辭 嘮 叨 地 重 複 說 明 人 盡 皆 知 的 自 然 數 計 算 性 質, 除 了 複 習 學 生 熟 知 而 可 能 忽 略 了 的 原 始 意 義 以 外, 更 希 望 以 這 些 自 然 數 的 性 質 作 為 基 礎, 發 展 整 數 計 算 規 則, 以 表 現 數 學 內 部 的 一 致 性 這 就 是 下 一 節 的 主 題 習 題 1. 請 問 有 哪 些 數 是 偶 質 數?. 次 方 又 稱 為 平 方, 請 列 出 11, 1,, 0 的 平 方 英 國 的 數 學 課 程 要 求 學 生 記 住 這 些 平 方 數, 我 們 也 這 樣 建 議 3.3 次 方 又 稱 為 立 方, 請 列 出 1,,, 1 的 立 方 英 國 的 數 學 課 程 要 求 學 生 記 住 這 些 立 方 數, 我 們 也 這 樣 建 議 3 10 4. 請 算 出,,, 因 為 電 子 計 算 機 的 發 展, 將 來 經 常 有 機 會 用 到 這 些 二 的 次 方 數, 值 得 記 住 5. 除 了 一 個 數 本 身 以 外 的 因 數, 稱 為 它 的 真 因 數 質 數 只 有 一 個 真 因 數, 就 是 1 請 寫 出 0 的 質 因 數 分 解, 然 後 據 以 列 出 它 的 所 有 真 因 數 4 6. 已 知 496 的 質 因 數 分 解 是 31, 請 列 出 496 的 所 有 真 因 數 7. 自 然 數 的 分 解 靠 的 是 乘 法, 但 是 改 成 加 也 有 令 人 意 外 的 發 現 有 一 則 稱 為 哥 德 巴 赫 猜 想 的 敘 述 是 : 大 於 的 偶 數 都 是 兩 個 奇 質 數 的 和 例 如 6= 3 +3, 8= 3 + 5,10 = 3+ 7 等 人 們 用 電 腦 做 了 非 常 多 實 驗, 至 今 還 找 不 到 一 個 不 能 寫 成 兩 個 奇 質 數 和 的 ( 4 ) 偶 數, 但 是 也 不 能 證 明 這 個 敘 述 對 無 窮 無 盡 的 偶 數 都 正 確 試 將 4, 44, 46, 48 寫 成 兩 個 奇 質 數 的 和 8. 如 果 n 是 大 於 1 的 自 然 數, 若 它 的 真 因 數 之 和 等 於 本 身, 則 n 稱 為 完 全 數 ; 例 如 6= 1 + + 3是 一 個 完 全 數 請 驗 證 8496 都 是 完 全 數 下 一 個 完 全 數 就 飆 到 818 了, 所 以 很 少 有 人 提 起 9. 如 果 自 然 數 n 的 真 因 數 之 和 等 於 m, 而 m 的 真 因 數 之 和 等 於 n, 則 n 和 m 稱 為 一 對 友 誼 數 請 驗 證 0 和 84 是 一 對 友 誼 數 下 一 對 友 誼 數 是 1184 和 110 可 見 友 誼 非 常 難 得 10. 有 一 個 和 質 數 或 因 數 都 沒 關 係 的 神 秘 現 象 :3x + 1問 題 隨 便 拿 一 個 自 然 數 x x 當 作 開 始, 若 x 是 奇 數 則 產 生 3x + 1, 若 x 是 偶 數 則 產 生 ; 如 果 產 生 的 數 是 1 則 停 止, 否 則 按 照 同 樣 規 則 再 產 生 下 一 個 數 例 如 從 5 開 始, 則 依 序 產 生 16, 8, 4, 0, 1 神 秘 的 現 象 是, 不 論 從 哪 個 自 然 數 開 始 上 述 程 序, 總 會 遇 到 1 而 停 下 來 試 從 17, 19, 1, 3 開 始 執 行 問 題 的 程 序. 整 數 西 方 數 學 家 認 為 自 然 數 是 上 帝 創 造 的 數 ; 言 下 之 意, 其 他 種 類 的 數 都 是 人 創 造 的 既 然 是 人 的 發 明, 就 是 由 人 來 決 定 它 們 的 運 算 性 質 以 及 用 途 而 所 謂 5
的 其 他 數 至 少 包 括 零 和 負 整 數, 因 此 我 們 需 要 決 定 零 負 整 數 和 它 們 與 自 然 數 之 間 的 運 算 規 則 人 人 知 道 這 些 規 則, 此 處 我 們 希 望 讀 者 能 了 解 訂 定 這 些 規 則 的 緣 由, 並 且 活 用 於 計 算 過 程 中 自 然 數 和 零 合 稱 為 非 負 整 數, 又 稱 為 全 數 正 整 數 零 和 負 整 數 又 合 稱 為 整 數 數 學 文 件 用 Z 表 示 整 數 集 合, 有 些 老 師 也 會 在 黑 板 上 這 樣 寫 何 以 採 用 Z 表 示 整 數? 那 是 來 自 德 文 數 (Zahr) 的 第 一 個 字 母 其 實, 直 到 第 二 次 世 界 大 戰 以 1, 數 學 的 主 要 語 言 還 是 法 文 和 德 文, 英 文 ( 特 別 是 美 國 人 的 英 文 ) 是 在 戰 後 才 開 始 變 得 強 勢 的 所 謂 n 是 一 個 整 數 也 可 以 說 成 n 屬 於 整 數 集 合, 或 簡 化 成 n 屬 於 整 數, 符 號 記 成 n 整 數 包 含 了 自 然 數, 就 好 像 整 數 是 自 然 數 的 昇 級 版, 昇 級 之 後 當 然 應 該 和 原 來 的 版 本 相 容 數 學 是 所 有 知 識 體 系 當 中 最 在 乎 相 容 性 的, 三 千 年 來, 數 學 總 是 內 部 一 致 的, 也 就 是 相 容 的 人 們 在 任 何 候 學 習 的 數 學, 都 可 以 放 心 用 一 輩 子, 不 會 改 變 也 不 會 落 伍 就 整 數 計 算 而 言, 要 與 自 然 數 相 容, 至 少 得 保 持 加 一 個 自 然 數 就 是 沿 著 數 線 向 上 數 (ㄕㄨˇ) 的 意 涵, 而 減 一 個 自 然 數 就 是 沿 著 數 線 向 下 數 此 外, 還 要 維 持 基 本 的 計 算 性 質, 也 就 是 將 前 面 (P1-3) 與 (M1-3) 這 些 規 則 中 的 改 成 也 都 仍 然 成 立 負 整 數 擴 充 了 自 然 數 的 減 法 意 義, 使 得 小 數 可 以 減 大 數 例 如 1 1就 是 沒 有, 所 以 1 1= 0, 而 1 比 沒 有 更 糟 ; 它 不 夠 一, 我 們 用 -1 表 示 維 持 自 然 數 減 法 的 向 下 數 意 涵 1,-1 應 該 是 0 的 下 一 個 整 數 同 理,- 應 該 是 -1 的 下 一 個 整 數 在 這 個 意 義 之 下, 我 們 規 定 了 整 數 在 數 線 上 的 位 置 : 以 單 位 長 為 間 隔, 從 0 開 始 向 左 依 序 標 定 代 表 -1, -, -3, 的 負 整 數 而 維 持 自 然 數 在 數 線 上 右 邊 大 左 邊 小 的 規 定, 我 們 也 規 定 在 右 邊 的 整 數 比 左 邊 的 大 例 如 1< 0而 < 1 請 從 小 到 大 依 序 列 出 以 下 整 數 : 44 4-9 39-44 -15 31-49 若 n 是 正 整 數,n 和 -n 互 彼 此 的 相 反 數 例 如 - 是 的 相 反 數, 是 - 的 相 反 數 在 數 線 上,n 在 0 的 右 邊 n 個 單 位 長,-n 在 0 的 左 邊 n 個 單 位 長 ; 我 們 說 n 和 -n 跟 原 點 0 的 距 離 都 是 n 例 如 與 原 點 距 離 為 3 的 數 有 3 和 -3 互 相 相 反 的 兩 個 數, 分 別 在 原 點 的 兩 側 而 且 與 原 點 的 距 離 相 等 ; 我 們 稱 這 兩 個 數 對 稱 於 原 點 我 們 不 必 假 設 同 學 是 第 一 次 見 到 負 整 數 大 家 其 實 已 經 在 生 活 以 及 過 去 的 學 習 經 驗 中 使 用 了 負 數 舉 例 來 說, 在 攝 氏 溫 度 計 上, 負 整 數 用 來 表 示 冰 點 以 下 的 溫 度 在 地 形 圖 上, 負 整 數 用 來 表 示 海 平 面 以 下 的 深 度 在 帳 本 上, 負 整 數 用 來 表 示 虧 損 或 負 債 在 彈 簧 的 物 理 問 題 上, 負 整 數 用 來 表 示 彈 簧 被 壓 縮 的 長 度 在 運 動 的 物 理 問 題 上, 負 整 數 用 來 表 示 相 反 方 向 的 位 移 6
抽 象 地 說, 負 數 都 是 在 人 們 賦 予 某 種 方 向 意 義 之 後 才 發 生 的 例 如 認 定 了 水 銀 的 膨 脹 是 正 的 方 向, 所 以 收 縮 是 負 的 認 定 海 拔 上 升 是 正 的 方 向, 所 以 下 降 是 負 的 定 金 錢 收 益 是 正 的 方 向, 所 以 虧 損 是 負 的 認 定 彈 簧 拉 長 是 正 的 方 向, 所 以 壓 縮 是 負 的 認 定 朝 南 行 進 是 正 的 方 向, 所 以 朝 北 是 負 的 至 於 正 和 負 之 間, 則 需 要 一 個 分 界 點, 也 就 是 標 定 0 的 位 置, 稱 為 原 點 讀 者 不 難 在 前 面 所 舉 的 五 種 例 子 當 中, 指 出 原 點 的 定 義 例 如 純 水 在 常 壓 下 的 冰 點, 定 為 攝 氏 溫 度 的 原 點 ; 海 平 面 的 平 均 高 度, 定 為 海 拔 的 原 點 順 帶 一 提, 海 平 面 相 對 陸 地 的 高 度 並 非 全 球 皆 準 例 如 巴 拿 馬 運 河 兩 端 的 大 西 洋 和 太 平 洋 海 面 並 不 一 樣 高, 而 聖 母 峰 的 世 界 第 一 高 峰 的 海 拔 高 度, 是 以 印 度 南 端 的 印 度 洋 海 岸 為 原 點 的 測 量 結 果 以 上 的 闡 述, 要 提 醒 讀 者, 負 整 數 其 實 是 人 們 根 據 經 驗 的 累 積 和 度 量 的 需 要 而 發 明 的 數 負 整 數 這 種 數 詞 並 不 指 涉 固 定 的 具 體 物 或 現 象, 而 是 在 我 們 將 物 質 或 現 象 賦 予 某 種 方 向 和 原 點 的 意 義 之 後, 將 負 整 數 套 上 去 的 應 用 對 稱 的 作 用 會 逆 轉 左 右 的 關 係, 例 如 在 3 的 左 邊, 它 們 對 稱 於 原 點 的 相 反 數, 卻 是 - 在 -3 的 右 邊 這 也 就 是 說 < 3但 是 < 3 所 以 相 反 數 的 大 小 關 係 與 原 來 的 關 係 相 反 對 應 數 線 上 的 對 稱 關 係, 如 果 n 是 負 數, 則 它 的 相 反 數 是 正 數 例 如 7 ( 7) 7 是 -7 的 相 反 數, 也 就 是 7, 所 以 = 這 是 同 學 們 在 國 中 時 期 學 習 的 負 負 得 正 若 m, n 和 p 三 個 整 數 之 中, 最 小 的 是 p = 7, 請 問 -m, -n 和 -p 之 中, 最 大 的 是 多 少? 負 整 數 究 竟 是 什 麼 並 不 重 要, 重 要 是 它 們 具 有 哪 些 性 質 我 們 將 逐 步 體 會, 數 學 這 個 語 言 著 重 的 是 內 部 的 一 致 性, 數 學 物 件 ( 例 如 自 然 數 和 負 整 數 ) 並 不 對 應 固 定 的 具 體 物 質 或 現 象, 它 只 是 被 賦 予 一 致 的 作 用 ( 例 如 相 加 減 ) 和 性 質 ( 例 如 加 減 互 逆 ), 然 後 被 人 用 來 描 述 一 些 物 質 或 現 象 接 著, 我 們 就 要 表 現 整 數 的 計 算 性 質 依 整 數 在 數 線 上 的 位 置, 維 持 加 自 然 數 的 向 上 數 ㄕㄨˇ 意 涵, 得 知 是 從 - 開 始 向 上 數 三 個 整 數 :-1, 0, 1 所 以 +3 ( ) + 3= 1 而 維 持 減 自 然 數 的 向 下 數 意 ( ) 3 涵, 得 知 則 是 從 - 開 始, 向 下 數 三 個 整 數 :-3, -4, -5, 所 以 3= 5 以 上 規 定 了 負 整 數 加 減 自 然 數 的 算 法, 至 於 3+ ( ) 這 種 自 然 數 加 負 整 數 的 計 7
算, 則 為 了 保 持 交 換 律 (P) 必 須 等 於 ( ) + 3, 也 就 是 使 我 們 規 定 m ( n) 顯 了, 例 如 3+ = 1 這 個 需 求 + 就 是 m n的 意 思 (n 是 正 整 數 ) 於 是 負 數 相 加 的 意 義 也 明 ( 3) + ( ) = ( 3) = 5 再 者, 為 保 持 加 減 互 逆 (P1), 若 則 p+ = p =3, 因 此 推 算 5 p =, 也 就 是 3 = p 3 = 5 這 個 需 求 使 我 們 規 定 m ( n) 就 是 m+ n的 意 思 (n 是 正 整 數 ) 這 是 負 負 得 正 的 另 一 個 形 式 於 是 負 數 相 減 的 意 義 也 明 顯 了, 例 如 ( 3) ( ) = ( 3) + = 1 計 算 16 1,7 13, 18 6, 1 + 8 最 後, 因 為 加 零 或 減 零 表 示 向 上 或 向 下 數 零 個 數, 所 以 n+ 0 = n, n 0 = n, n (P0) 這 就 將 加 減 計 算 從 自 然 數 擴 充 到 了 整 數 根 據 以 上 規 則 我 們 發 現 整 數 加 法 也 滿 足 結 合 律 (P3), 例 如 + ( 4) + 7= + 7=5 等 於 + 4 + 7 = + 3= 5 有 了 整 數 之 後, 減 法 再 也 不 必 限 定 於 大 數, 而 且 因 為 m n= m+ ( n) 也 就 是 減 某 數 等 於 加 其 相 反 數, 所 以 減 法 可 以 被 看 成 加 法 這 就 是 一 種 抽 象 化 ; 抽 象 化 不 但 能 簡 化 觀 念, 更 能 增 廣 應 用 的 範 圍, 它 的 威 力 無 窮 例 如 雖 然 減 法 並 沒 有 交 換 律, 但 是 像 17 9 7 + 這 種 計 算 卻 可 以 改 變 順 序 成 17 7 + 9 = 19, 這 只 是 把 17 9 7 視 為 17 + 9 + 7 然 後 運 用 整 數 加 法 的 交 換 律 與 結 合 律 而 已 + 有 時 候, 改 變 連 續 加 減 的 順 序 會 比 較 容 易 算 請 討 論 17 4 7 改 成 甚 麼 順 序 比 較 簡 單? 接 著 我 們 將 自 然 數 的 乘 法 運 算 擴 充 到 整 數 為 了 保 持 與 自 然 數 乘 法 的 相 容 性, 需 要 維 持 乘 法 的 交 換 律 與 結 合 律 按 照 乘 以 自 然 數 n 就 是 連 加 n 次 的 意 涵, 得 知 負 數 乘 以 自 然 數 的 作 法, 例 如 ( 3) = ( 3) + ( 3) = 6 至 於 自 然 數 乘 以 負 8
數, 例 如 ( 3), 則 依 照 交 換 律 以 觀 察 3 = 3 = 6來 計 算 ( 1) 1= 1, ( 1) = ( 1) 1=, 1 3= 1= 3, 我 們 發 現 若 n 是 自 然 數 則 n= ( 1) n, 所 以 ( 3) 也 可 以 視 為 是 所 謂 的 提 出 負 號 由 結 合 律 可 做 ( 1) 3 = ( 1) ( 3 ) = ( 1) 6= 6 這 個 想 法 就 導 出 兩 個 負 數 相 乘 的 算 法, 例 如 綜 合 而 言, 若 m, n 是 自 然 數, 則 3 = 1 3 = 6 =6 ( m) n= m ( n) = ( m n) 而 m n = m n 1 3 這 就 所 以 其 實 牽 涉 負 整 數 的 乘 法 計 算, 全 都 可 以 用 自 然 數 的 乘 法 也 就 是 經 由 背 誦 九 九 乘 法 表 而 完 成 做 以 下 計 算 : ( 1) 3,7 ( 13 ),( 16) ( 1 ),( 1) ( 8) 運 用 整 數 加 法 和 乘 法 的 規 則, 我 們 可 以 驗 證 乘 法 對 君 法 的 分 配 律, 也 就 是 前 一 節 的 (D) 式, 將 改 成 也 成 立 提 出 負 號 是 分 配 律 的 特 殊 應 用, 也 就 是 ( m) + ( n) = ( 1) m+ ( 1) n= ( 1) ( m+ n) = ( m+n ) 例 如 7 36 16 可 以 先 提 出 後 兩 數 的 負 號 以 簡 化 計 算 : 7 36 + 16 = 0 [ 範 例 ] 4 16 96 69 + 76 計 算 77 和 [ 解 ] 77 4 16 = 77 ( 4 + 16) = 77 40 = 37, 96 69 + 76 = 76 96 69 = 0 69 = 89 9
有 時 候, 改 變 加 減 的 順 序 序 並 提 出 負 號, 會 比 較 容 易 算 請 討 論 1+ 4 9 怎 樣 改 比 較 簡 單? 提 高 到 整 數 層 次 之 後, 不 必 額 外 討 論 減 法 計 算 例 如 乘 法 對 減 法 自 動 就 會 有 分 配 律, 而 不 必 像 前 一 節 的 (1) 式 那 樣 另 外 規 定 例 如 49 7 = ( 50 1) 7 = 343 而 善 用 分 配 律, 可 以 簡 化 整 數 的 計 算 [ 範 例 ] 計 算 19 1,18 6 7 [ 解 ] ( 19) 1 = ( 1 0) 1 = 1 40 = ( 40 1) = 18, 18 ( 6) 7 = ( 6) ( 18 + 1) = ( 6 140) = 840 因 為 m 0 的 意 義 是 零 個 m, 所 以 規 定 m 0= 0, m (M0) 這 就 將 乘 法 計 算 從 自 然 數 擴 充 到 了 整 數 注 意 0= ( 1) 0= 0 至 於 整 數 除 法 計 算, 我 們 不 再 詳 細 討 論, 只 請 讀 者 認 識 : 提 高 到 分 數 層 次 之 後, 除 以 整 數 就 是 乘 上 其 倒 數, 所 以 除 法 可 以 被 視 為 ( 分 數 的 ) 乘 法, 而 不 必 額 外 討 論 整 數 的 除 法 具 有 乘 除 互 逆 性 質 (M1), 例 如 因 為 5 = ( 17) 3, 所 以 51 3 = 17 除 法 對 加 法 有 一 側 的 分 配 律 : ( m+ n) p= ( m p) + ( n p), m, n, p p 0 且 () 1 例 如 116 4 = ( 10 4) 4 = 30 1 = 9 只 是 把 它 視 為 ( 10 4) 然 後 運 用 分 數 計 4 算 的 分 配 律 而 已 前 面 強 調 一 側 是 因 為 除 法 沒 有 交 換 律 雖 然 除 法 不 能 交 換, 但 是 像 3 11 4 這 種 計 算 卻 可 以 改 變 順 序 成 ( 3 4) 11 = 8 11 = 88 這 只 是 把 1 它 視 為 3 11 然 後 運 用 分 數 乘 法 的 交 換 律 與 結 合 律 而 已 4 所 以 抽 象 化 的 計 算 規 則 是 不 是 幫 了 很 大 忙? 活 用 這 些 計 算 規 則, 可 以 奇 妙 地 簡 化 許 多 生 活 中 臨 時 遇 到 的 算 術 問 題 課 本 的 附 錄 B 也 舉 出 了 一 些 針 對 計 算 的 建 議 10
習 題 1. 請 寫 出 以 下 數 據 中 位 數 : 3-13 5-1 0 13 - -4 16. 請 找 一 個 計 算 ( 37) + 8 + 67 的 方 便 變 化, 並 計 算 之 3. 請 找 一 個 計 算 71 4 16 的 方 便 變 化, 並 計 算 之 4. 請 算 出 以 下 數 據 的 平 均 值 :- 9 8 8 9 5. 活 用 因 數 與 倍 數 關 係, 有 時 候 也 能 簡 化 計 算 例 如 請 試 著 利 用 100 4 = 5 簡 化 76 5 並 計 算 之 6. 請 設 法 利 用 分 配 律 改 寫 13 ( 98) 並 計 算 之 7. 請 設 法 利 用 分 配 律 改 寫 7 59 77 並 計 算 之 8. 如 果 x 是 一 個 整 數, 對 所 有 可 能 的 整 數 n 都 符 合 x n= n, 請 討 論 有 哪 些 可 能 的 x? 9. 如 果 x 是 一 個 整 數, 對 所 有 不 是 零 的 整 數 n 都 符 合 x n= n, 請 討 論 有 哪 些 可 能 的 x? 10. 如 果 m 和 n 是 整 數 而 且 m< n, 請 問 m n是 否 必 定 為 負 整 數? 請 說 明 你 的 理 由 11