2015 年第 11 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Eleventh IMC International Mathematics Contest (singapore), 2015 國小二年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 2 4 5 6 7 8 答案 D B A B A A B D 填空題 9 10 11 12 1 14 15 16 答案 1010 2 225 0 14 62 1 549 一 選擇題 ( 每小題 5 分, 共 40 分 ) 1. (201+5) (20+15) 計算結果除以 2015 的餘數為 ( ) A. 215 B. 850 C. 1025 D. 1165 答案 :D 解答 : 原式 =206 5=2060 +100=2015 +1165 2. 將五個連續數字打亂順序填入 = 的 中, 每個 填入 一個數字, 這五個數字可以是 ( ) A. 0~4 B. 1~5 C. 2~6 D. ~7 解答 :4 1=52. 斐波那契數列為 :1 1 2 5 8 1, 從第三項起每一項為其前兩項之 和, 那麼這個數列的第 11 項與前 9 項之和相差 ( ) A. 1 B. 8 C. 1 D. 15 4. 鐘錶上共有 12 個大刻度, 相鄰兩個刻度夾角為 0, 那麼 20:15 與 15:20 兩個時 刻, 分針與時針所夾角度 ( 按小於 180 度的角算 ) 之和 ( ) A. 大於 180 B. 小於 180 C. 等於 180 D. 無法計算 IMC 國際數學二年級決賽第 1 頁 / 共 5 頁
解答 :20:15 分針指, 時針走過刻度 8 15 分鐘, 夾角 150+7.5 度 ; 15:20 分針指 4, 時針走過刻度 20 分鐘, 夾角 0 10 度 ; 夾角和 <180 度 5. A B C D 四位選手在預測今天誰得金牌, A 說 : C 一定得不了金牌 B 說 : 我和 D 肯定有一人能得金牌 C 說 : A 和 D 都得不了金牌 D 說 : 我的名次肯定比 C 低 如果四人中恰有一人得了金牌, 且只有一人猜對了, 那麼獲得金牌的選手是 ( ) A. A B. B C. C D. D 解答 :(1) 若 A 對 A 得 ; (2) 若 B 對則 A 也對 ; () 若 C 對 C 得則 D 也對 ; (4) 若 D 對 D 不得, 且 B 錯則 B 不得, 且 C 錯說明 A 得則 A 對, 矛盾 6. 一種透明的觸碰型電子記分牌, 螢幕恰可以顯示 4 個數字, 每個數字均由 2~7 條線段組成 ( 如圖例 ) 螢幕可以橫向翻轉 縱向翻轉或旋轉 180 觀看 如果通過觸擊每一條線段, 可以設定其顯示或不顯示, 那麼最少要觸擊 ( ) 次便可將 2015 改成 512 A. B. 5 C. 7 D. 11 解答 : 向上翻轉即得 5012, 將 0 改成 即可 7. 一群學生圍成了一個正方形圈 ( 每邊人數相等, 間距相同, 且四角都有人 ), 另 一群學生加進來剛好填滿內部, 排成了一個前後左右間隔相同的實心方陣, 如果 第一群學生比第二群學生多 4 人, 那麼兩群學生共有 ( ) 人 A. 25 B. 6 C. 49 D. 64 解答 : 外層比內層多 8 人, 故最裡層 4 人, 中間層 12 人, 最外層 20 人, 共 6 人 IMC 國際數學二年級決賽第 2 頁 / 共 5 頁
8. 圖中一共可以數出多少個三角形? A. 10 B. 11 C. 12 D. 1 答案 :D 解答 : 獨立的 7+=10 個, 合併的 個, 共 1 個 二 填空題 ( 每小題 5 分, 共 40 分 ) 9. 202 5555 與 222 5050 的計算結果相差 答案 :1010 解答 : 原式 =2222 505 2220 505=2 505=1010 10. 將一個 6cm 12cm 的長方形紙片剪出一個橫與豎粗細相同的 I 字形, 圖形的周長增加了 8cm, 那麼面積減少了 cm 2 答案 :2 解答 : 短虛線長 8 4=2cm, 長虛線長 12 2 (6 2 2)=8cm, 面積減少 2 8 2=2cm 2 11. IMC 組委會為某國代表團安排車輛, 有大小兩種規格, 已知 1 輛大車和 1 輛小車一共可以承載 60 名乘客, 如果組委會共派出 4 輛大車 輛小車, 恰能乘載全團師生 如果組委會共派出 輛大車 4 輛小車, 則有 0 人無法乘坐, 那麼此國代表團共有人 答案 :225 解答 : 大 + 小 =60, 大 小 =0, 則大 =45, 小 =15; 共 4 45+ 15=225 人 12. 在 15 15 的表格中, 按圖中規律填入自然數, 那麼表中最大的數為 答案 :0 解答 :15+16+17+18+19+20+ +29=15 44 2=0 1 2 1 14 15 5 7 27 29 1 6 9 12 42 45 48 10 14 18 58 62 66 15 20 25 75 80 85 IMC 國際數學二年級決賽第 頁 / 共 5 頁
1. 按圖中路線從 A 走到 B, 只能沿右上 右下或者向下的格線, 那麼從 A 到 B 共有 種不同的路線 A B 答案 :14 解答 : 如圖標數 A 2 1 5 11 14 B 14. 如果把一個自然數乘以 2 後加 1, 得到的結果再乘以 2 後加 1, 如此下去若干次得到結果 2015, 那麼原來的自然數最小為 答案 :62 解答 :2015=2 1007+1,1007=2 50+1,50=2 251+1,251=2 125+1, 125=2 62+1; 或 2015+1=2 5 (62+1) 15. 從 0~7 中選 7 個數字填入算式 ( ) 中, 使其結果得 2015, 每個數字最多用一次, 且每個 中只能填入一個數字, 那麼其中沒有填入的數字是 答案 :1 解答 :(1)2015=5 40, 用掉 5, 還剩 0 1 2 4 6 7; (2) =40, 十位必發生借位, 故個位只能為 0 和 7, 還剩 1 2 4 6; 十位差 1, 百位差 4,6 2=4,4 =1; (640 27) 5=2015; 故未用數字 1 16. 如圖豎式, I M C 代表三個不同的數字, 在每個 中填入恰當的數字, 使得豎式成立, 那麼 IMC 代表的三位數為 答案 :549 C 2 1 M 0 I 5 解答 :(1)I=5,C=9,M 是偶數 ; (2)M 只能是 4 或 8,4 05 或 4 55,8 15 或 8 65 () 只有 105 9=945, 故 105 49=5145 IMC 國際數學二年級決賽第 4 頁 / 共 5 頁
三 簡答題 ( 每小題 10 分, 共 20 分, 請簡要寫出解答過程 ) 17. 一次比賽有三支參賽隊 三支隊的總平均分為 88 分, 一 二兩隊的平均分為 85 分, 一隊平均分為 87 分, 已知第三隊的人數相當於另兩隊人數之和, 第二隊人數相當於另兩隊人數和的一半, 那麼第三隊平均分比第二隊平均分多幾分?( 平均分 = 總分 人數 ) 答案 :7 解答 : 依題意可設第三隊 人, 第二隊 2 人, 第一隊 1 人 ; (1) 第三隊平均 :88 2 85=91 分 ; (2) 第二隊平均 :(85 87) 2=84 分 ; 相差 91 84=7 分 18. 將數字 0~9 填入圖中 內, 其中 2 0 1 5 已經填好, 要 求在同一條線段上的三個 ( 共 6 組, 如圖標註方向 ) 內所 填數之和相差儘量小, 那麼最大的和與最小的和至少相差多少? ( 請給出一種填法 ) 答案 :6 解答 :(1) 橫線上出現最大值 ; 0+1+2+ +9=45, 故兩個橫線之和為 45 1 2 5=7, 最大值至少為 19; (2) 斜線上出現最小值 ; 所在斜線上最大和為 +1+9=1; 故至少相差 19 1=6; 按圖中填法即可 ( 上下行可以交換 ) 6 7 9 2 0 1 5 4 2 0 1 5 8 IMC 國際數學二年級決賽第 5 頁 / 共 5 頁