1. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求 = = ==2 在 中 -<<+ 解 : 延长 到, 使 = 是 中点 = 在 和 中 = =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 =2 1 2. 已知 : 是 中点, =90, 求证 : 2 延长 与 P, 使 为 P 中点 连接 P,P P=,= P 为平行四边形又 =90 平行四边形 P 为矩形 =P=1/2 3. 已知 :=, =, =, 是 中点, 求证 : 1= 2 证明 : 连接 和 =,=, = 三角形 全等于三角形 ( 边角边 ) =, = 连接 在三角形 中,= = = = = 在三角形 和三角形 中 =,=, = + = + = 三角形 和三角形 全等 = ( 1= 2) 12 4. 已知 : 1= 2,=,//, 求证 :=
1 2 过 作 G 交 的延长线于点 G G, 可得, =G = = G( 对顶角 ) G =G G= 又,, = 1 1= 2 G= 2 G 为等腰三角形, =G 又 =G = 5. 已知 : 平分,=+, 求证 : =2 证明 : 延长 取点, 使 =, 连接 平分 = =,= (SS)
= =+ =+ =+ = = = + =2 =2 6. 已知 : 平分,, + =180, 求证 :=+ 证明 : 在 上取, 使 =, 连接 = =90 =,=, = + =180, + =180 = 平分 = = (SS) = =+=+ 7. 已知 :=4,=2, 是 中点, 是整数, 求
解 : 延长 到, 使 = 是 中点 = 在 和 中 = = = ==2 在 中 -<<+ =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 =2 1 8. 已知 : 是 中点, =90, 求证 : 2 解 : 延长 到, 使 = 是 中点 = 在 和 中 =
= = ==2 在 中 -<<+ =4 即 4-2<2<4+2 1<<3 =2 9. 已知 :=, =, =, 是 中点, 求证 : 1= 2 12 证明 : 连接 和 =,=, = 三角形 全等于三角形 ( 边角边 ) =, = 连接 在三角形 中,= = 又 = = = 在三角形 和三角形 中, =,=, = + = + = 三角形 和三角形 全等 = ( 1= 2) 10. 已知 : 1= 2,=,//, 求证 :=
1 2 过 作 G 交 的延长线于点 G G, 可得, =G = = G( 对顶角 ) G =G G= 又 = 1 1= 2 G= 2 G 为等腰三角形, =G 又 =G = 11. 已知 : 平分,=+, 求证 : =2 证明 : 延长 取点, 使 =, 连接 平分 = =,= (SS) = =+ =+ =+ = =
= + =2 =2 12. 已知 : 平分,, + =180, 求证 :=+ 在 上取, 使 =, 连接 = =90 =,=, = + =180, + =180 = 平分 = 又 = (SS) = =+=+ 12. 如图, 四边形 中,, 分别平分, 且点 在 上 求证 :=+ 在 上截取 =, 连接 平分
= 又 = (SS) = // + =180º + =180º = 又 = 平分 = (S) = =+=+ 13. 已知 ://, =,=,=, 求证 : =, 得 : + = + =180 度, =, =, 四边形 是平行四边形 得 :=, =,=, 三角形 全等于三角形, = 14. 已知 :=, =, 求证 : = 证明 : 设线段, 所在的直线交于,( 当 < 时, 点是射线, 的交点, 当 > 时, 点是射线, 的交点 ) 则: 是等腰三角形 =
而 = = ( 等量加等量, 或等量减等量 ) 是等腰三角形 =. 15. P 是 平分线 上一点,>, 求证 :P-P<- P 在 上取点, 使 = = P=P P=, P P P=P P<+P P<(-)+P P-P<- 16. 已知 =3, 1= 2,, 求证 :-=2 证明 : 在 上取一点, 使得角 = 角 =3 = - =3 - =2 ; = + =2 ; = =-==
在等腰三角形 中, 是角 的角平分线, 垂直 点 一定在直线 上, 在等腰三角形 中,=, 垂直 点 也是 的中点 =2 ==- -=2 17. 已知, 是 中点,=,=5,=7, 求 作 G 交 延长线于 G G 全等 G==5 G =G=5 ==2 18. 如图, 在 中,=, 1= 2, 求证 :. 解 : 延长 至 于点, = 是等腰三角形 = 又 1= 2 + 1= + 2 即 = 是等腰三角形 = 在 和 中 {= 1= 2 = 和 是全等三角形 ( 边角边 )
= 是 的中垂线 19. 如图,OM 平分 POQ,M OP,M OQ, 为垂足, 交 OM 于点 N. 求证 : O= O 证明 : OM 平分 POQ POM= QOM M OP,M OQ MO= MO=90 OM=OM OM OM (S) O=O ON=ON ON ON (SS) O= O, ON= ON ON+ ON=180 ON= ON=90 OM 20.(5 分 ) 如图, 已知, P 的平分线与 的平分线相交于, 的连线交 P 于. 求证 :+=. P 做 的延长线, 与 P 相交于 点, P// P+ =180, 又,, 均为 P 和 的角平分线 + =90 =90, 为直角三角形在三角形 中,, 且 为 的角平分线 三角形 为等腰三角形,=,= 在三角形 与三角形 中, =, 且 =, =, 三角形 与三角形 为全等三角形, = ==+=+
21. 如图, 中, 是 的平分线, 且 =+, 求证 : =2 延长 到 使 = 连接 =+ = 可得 = 为等腰 =2 22.(6 分 ) 如图 1, 分别为线段 上的两个动点, 且 于, 于, 若 =,=, 交 于点 M. (1) 求证 :M=M,M=M (2) 当 两点移动到如图 2 的位置时, 其余条件不变, 上述结论能否成立? 若成立请给予证明 ; 若不成立请说明理由. (1) 连接,. 于, 于, = =90,, 在 Rt 和 Rt 中, =,=, Rt Rt (HL), =. 四边形 是平行四边形. M=M,M=M; (2) 连接,. 于, 于, = =90,, 在 Rt 和 Rt 中,
=,=, Rt Rt (HL), =. 四边形 是平行四边形. M=M,M=M. 23. 已知 : 如图,, 且 =, 为 的中点, (1) 求证 :. (2) 观看图前, 在不添辅助线的情况下, 除 外, 请再写出两个与 的面积相等的三角形.( 直接写出结果, 不要求证明 ): O 证明 : = =,= 为 中点 = = = = 24.(7 分 ) 如图, 中, =90 度,=, 是 的平分线, 的延长线垂直于过 点的直线于, 直线 交 的延长线于. 求证 :=2. 证明 :
= =90 四点共元 = = = 取线段 的中点 G, 连接 G, 则 :G=G=G G= G 而 : = G ( 同弧上的圆周角相等 ) = = G= G 而 := G =G=G =2 25 如图:=,=, = 求证: 证明 : =, -=-, 即 =, 在 和 中, =, =,= (SS) 26 ( 10 分 ) 如图 : 交于点 M, 点在 M 上,,= 求证 :M 是 的中线
M 证明 : = M, M= M = M M M=M M 是 的中线. 27 ( 10 分 ) 如图 : 在 中,=, 是 的中点 求证 : 和 的三条边都相等 = = = =90 28 ( 10 分 )=,=, 是 的延长线上的一点 求证 :=
在 与 中 = = = = = 在 与 中 = = = = 29 ( 12 分 ) 如图 :=,=,= 求证:= = =, = +=+ = =
= = = = 30. 公园里有一条 Z 字形道路, 如图所示, 其中, 在,, 三段路旁各有一只小石凳,,M, 且 =,M 在 的中点, 试说明三只石凳,,M 恰好在一条直线上. 证明 : 连接 = M 是 中点 M=M 在 M 和 M 中 = = M=M M M(SS) = 31. 已知 : 点 在同一条直线上,=,,=. 求证 :. =,=. =. //, = ( 两直线平行, 内错角相等 ) = : (SS) 32. 已知 : 如图所示,=,=, 分别是 的中点, 求证 : =
连接 ; = = = = ; 两角相加, = ; = \ 是中点 =; = = = = 33. 如图, 在四边形 中, 是 上的一点, 1= 2, 3= 4, 求证 : 5= 6. 1 2 5 6 3 4 证明 : 在, 中 =, =, = ( 两角加一边 ) =,= 在 与 中 =,=,= ( 两边夹一角 ) = 34. 已知,,, 在 上, 且 =, 求证 :.
= = // = 又 // = (S) 35. 已知 : 如图,=,,, 垂足分别为, 相交于点, 求 证 :=. 证明 : =90 =90 = =90 = = = Rt Rt (S) =
36 如图, 在 中, 为 的平分线, 于, 于 求证 :=. 证明 : 是 的平分线 =, = =90 与 =90 在 与 中 = = = (S) = 在 O 与 O 中 O= O O=O = O O(SS) O= O=90
37. 已知 : 如图, 于, 于, 于, =. 若 = 5, 求 的 长? = 又 于, 于 根据三角形角度之和等于 180 度 = =, (S) ==5 38. 如图 :=,M,M, 垂足分别为,M=M 求证 :M=M M 证明 : = = M,M M= M=90 在 M 和 M 中 = M= M=90 M=M M M(S) M=M. 39. 如图, 给出五个等量关系 :1 2 3 4 5. 请你以其中两个为条件, 另三个中的一个为结论, 推出一个正确的结论 ( 只需写出一种情况 ), 并加以证明. 已知 :1=,5 =
求证 : 证明 : =, = 又 = 40. 在 中, 90,, 直线 MN 经过点, 且 MN 于, MN 于.(1) 当直线 MN 绕点 旋转到图 1 的位置时, 求证 : 1 ; 2 ; (2) 当直线 MN 绕点 旋转到图 2 的位置时,(1) 中的结论还成立吗? 若成立, 请给出证明 ; 若不成立, 说明理由. (1) 1 = = =90, + =90, + =90, + =90. =. =,. 2, =,=. =+=+. (2) = = =90, =. 又 =,. =,=. =-=- 41. 如图所示, 已知,,=,= 求证 :(1)=;( 2)
M (1),, = =90, + = +, 即 =, 在 和 中, =, =,=, (SS), =; (2) 如图, 根据 (1),, =,, =90, + =90, = M( 对顶角相等 ), + M=90, 在 M 中, M=180 - - M=180-90 =90,. 42. 如图 :,,M=,N= 求证:(1)M=N;( 2)M N N 4 3 M 1 证明 : (1), 2
M+ =90, N+ =90 M= N M=,N= M N M=N (2) M N M= N N+ N=90 M+ N=90 即 MN=90 M N 43. 如图, 已知 =,=,=,=. 求证 : 在 和 中,= = = ( 边角边 ) = 在四边形 中 = = 四边形 是平行四边形 44. 如图, 已知, 分别平分 和, 过点, 则 与 + 相等吗? 请说明理由
在 上取点 N, 使得 N= = N 为公共, N N= 又 平行 + =180 而 N+ N=180 N= N= N 为公共边 N =N =N+N=+ 45 ( 10 分 ) 如图, 已知 : 是 上的中线, 且 =. 求证 :. 证明 : 是 的中线 = =( 已知 ) = 则 = ( 内错角相等, 两直线平行 ) 46 (10 分 ) 已知 : 如图,=,,,, 是垂足,. 求证 :.
证明 :, = =90º 又 =,= Rt Rt (HL) = = // 47 (10 分 ) 如图, 已知 1= 2, 3= 4, 求证 :=. 1 2 3 4, 3= 4 O=O 在 O 和 O 中 1= 2 O=O O= O O O O=O O+O=O+O = 在 和 中 =, 3= 4 = = 48 (10 分 ) 如图, 已知,,=,=, 试猜想线段 与 的大小与位置关系, 并证明你的结论.
> 当 越小, 则 越小 证明 : 过 作 平行线与 交于, 连接 由已知条件知 为平行四边形, 为矩形, 且 为等腰三角形 RT 中, 为锐角, 即 <90 // = <90 中 = =(180 - )/2>45 RT 中, =90 - <45 =90 - >45 > = = > 49 (10 分 ) 如图, 已知 =,=,=, 求证 :=. =,=,=, = 又 =,= = 50. 如图 9 所示, 是等腰直角三角形, =90, 是 边上的中线, 过 作 的垂线, 交 于点, 交 于点, 求证 : =. 图 9
作 G, 交 于 H, 则 H=45º, H=45º H=90º-, =90º- H= 又 =, H= =45º H, H= 又 H= =45º, = =