Û ÒÐ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ½¼º ÎÓÖÐ ÙÒ ½ ¼ ¼¼ ÆÙÑ Ö Å Ø Ó Ò Á Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ÅÓÒØ ÒÙÒ Ú Ö ØØ Ä Ó Ò ½ º Å ¾¼½
Ð ÖÙÒ ½¼º ÎÓÖÐ ÙÒ ½ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÙÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ÆÙÑ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ï Ø Î Ö Ö Ò Å Ö Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ë ÖØ ØØÛ Ø Ò¹ËØ Ù ÖÙÒ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾
Ò Ø ÓÒ Ö Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÜÔÐ Þ Ø Û ÒÐ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ½º ÇÖ ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ù Ø Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ y = y(x)º Ë ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò y (x) = f(x,y(x)) y(x ¼ ) = y ¼ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ò Ò ÙÒ Ï ÒÒ f Ò x Ø Ø Ø ÙÒ Ò Ö Ä Ô ØÞ Ò ÙÒ Ò Ø ÒÒ Ü Ø ÖØ Ò Ò ÙØ Ä ÙÒ Ò Ö ÍÑ ÙÒ Ò Ò ÔÙÒ Ø x ¼ º Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ï Ø Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ÓÑ ØÖ ¹ Ò ÙÐ ÒØ ÖÔÖ Ø ÖØ Ô Ð Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ 4 y = xy/ ½ Ò ÖØ Ò Ê ØÙÒ Ð Ù Ñ ÈÙÒ Ø (x,y) Ø ËØ ÙÒ Ê ØÙÒ µ Ö Ä ÙÒ 3 2 Ä ÙÒ ÙÖÚ Ò ÓÐ Ò Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ö ÓÖØ Ò Ò Ê ØÙÒ Ö Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ú Ö Ò Ò Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ò ØÖ Ò 1 0 0 1 2 3 4
Ï Ø Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ÓÑ ØÖ ¹ Ò ÙÐ ÒØ ÖÔÖ Ø ÖØ Ô Ð Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ 4 y = xy/ ½ Ò ÖØ Ò Ê ØÙÒ Ð Ù Ñ ÈÙÒ Ø (x,y) Ø ËØ ÙÒ Ê ØÙÒ µ Ö Ä ÙÒ 3 2 Ä ÙÒ ÙÖÚ Ò ÓÐ Ò Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ö ÓÖØ Ò Ò Ê ØÙÒ Ö Ä ÙÒ Ò ÞÙ Ú Ö Ò Ò Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ò ØÖ Ò 1 0 0 1 2 3 4
Ð ÖÙÒ ½¼º ÎÓÖÐ ÙÒ ½ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÙÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ÆÙÑ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ï Ø Î Ö Ö Ò Å Ö Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ë ÖØ ØØÛ Ø Ò¹ËØ Ù ÖÙÒ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
ÆÙÑ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÙÐ Ö ÈÓÐÝ ÓÒÞÙ Ú Ö Ö Ò Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ ÙÒ Ò Ò Ò ÙÒ y = xy/ ½ y(¼) = Ò Ü Ø Ä ÙÒ ÓÛ Ö Æ ÖÙÒ Ò Ñ Ø Ë Ö ØØÛ Ø Ò h = ½; ½ ¾ ; ½ Ò ØÖ Òº 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4
Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ð Ù Ñ ½ ¾ Ï Ð Ë Ö ØØÛ Ø h ÙÒ Ñ Ü Ñ Ð Ë Ö ØØÞ Ð N ØÞ x ¼ ÙÒ y ¼ Ð ÙØ Ò Ò Ò ÙÒ Ö Ò Ö i = ¼, ½,...,N x i+½ = x i +h ; y i+½ = y i +hf(x i,y i,h). Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò ÙÒØ Ö Ò Ò Ö Ï Ð Ö Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F Ø ÑÑØ ÓÖØ Ö Ø¹Ê ØÙÒ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò F(x,y(x),h) = f(x,y(x)), ÑÔÐ Þ Ø ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò F(x,y(x),h) = f(x +h,y(x +h)), ÅÓ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò F(x,y(x),h) = f ( x + h ¾,y(x)+ h ¾ f(x,y(x))) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F(x,y,h) F Ö Ò Ø Ê ØÙÒ ÚÓÒ ÈÙÒ Ø (x i,y i ) ÞÙ ÈÙÒ Ø (x i+½,y i+½ )º F ÒØ ÔÖ Ø Ò Ñ Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ Ò y/ x F Ø Ò Ø D = y/ x Ö Ü Ø Ò Ä ÙÒ Ñ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ø ÑÑØ F Ñ Ø Ö Ò Ò ¹Ê ØÙÒ Ö ËØ ÙÒ Ñ ËØ ÖØÔÙÒ Ø Ö Ò F(x,y,h) = f(x,y) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F(x,y,h) F Ö Ò Ø Ê ØÙÒ ÚÓÒ ÈÙÒ Ø (x i,y i ) ÞÙ ÈÙÒ Ø (x i+½,y i+½ )º F ÒØ ÔÖ Ø Ò Ñ Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ Ò y/ x F Ø Ò Ø D = y/ x Ö Ü Ø Ò Ä ÙÒ Ñ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ø ÑÑØ F Ñ Ø Ö Ò Ò ¹Ê ØÙÒ Ö ËØ ÙÒ Ñ ËØ ÖØÔÙÒ Ø Ö Ò F(x,y,h) = f(x,y) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F(x,y,h) F Ö Ò Ø Ê ØÙÒ ÚÓÒ ÈÙÒ Ø (x i,y i ) ÞÙ ÈÙÒ Ø (x i+½,y i+½ )º F ÒØ ÔÖ Ø Ò Ñ Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ ÒØ Ò y/ x F Ø Ò Ø D = y/ x Ö Ü Ø Ò Ä ÙÒ Ñ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ø ÑÑØ F Ñ Ø Ö Ò Ò ¹Ê ØÙÒ Ö ËØ ÙÒ Ñ ËØ ÖØÔÙÒ Ø Ö Ò F(x,y,h) = f(x,y) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ï Ø Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò F(x,y,h) ÅÓ Þ ÖØ ÙÐ ÖÚ Ö Ö Ò F(x,y,h) = f ( x + h ¾,y + h ¾ f(x,y)) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ ÒÙÖ Ò Ð Ò Ï Û ÖØ ÓÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÖ ØÙÒ Ð F y y i y i h 2 y i' x i x i h 2 x i 1 x F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ï Ø Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò F(x,y,h) ÅÓ Þ ÖØ ÙÐ ÖÚ Ö Ö Ò F(x,y,h) = f ( x + h ¾,y + h ¾ f(x,y)) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ ÒÙÖ Ò Ð Ò Ï Û ÖØ ÓÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÖ ØÙÒ Ð F y y i y i h 2 y i' x i x i h 2 x i 1 x F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ï Ø Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò F(x,y,h) ÅÓ Þ ÖØ ÙÐ ÖÚ Ö Ö Ò F(x,y,h) = f ( x + h ¾,y + h ¾ f(x,y)) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ ÒÙÖ Ò Ð Ò Ï Û ÖØ ÓÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÖ ØÙÒ Ð F y y i y i 1 F y i 1 y i h 2 y i' x i x i h 2 x i 1 x F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Ï Ø Ö Î Ö Ö Ò ÙÒØ ÓÒ Ò F(x,y,h) ÅÓ Þ ÖØ ÙÐ ÖÚ Ö Ö Ò F(x,y,h) = f ( x + h ¾,y + h ¾ f(x,y)) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ ÒÙÖ Ò Ð Ò Ï Û ÖØ ÓÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÖ ØÙÒ Ð F y D y i F y i 1 y i h 2 y i' x i x i h 2 x i 1 x F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½» ¾
Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ F(x,y,h) = ½ ¾ (k ½ +k ¾ ) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ò ÙÐ Ö¹Ë Ö ØØ Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f(x +h,y +hf(x,y)) Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ (k ½ +k ¾)/¾ Ð F F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½¼» ¾
Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ F(x,y,h) = ½ ¾ (k ½ +k ¾ ) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ò ÙÐ Ö¹Ë Ö ØØ Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f(x +h,y +hf(x,y)) Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ (k ½ +k ¾)/¾ Ð F F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½¼» ¾
Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ F(x,y,h) = ½ ¾ (k ½ +k ¾ ) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ò ÙÐ Ö¹Ë Ö ØØ Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f(x +h,y +hf(x,y)) Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ (k ½ +k ¾)/¾ Ð F F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½¼» ¾
Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ F(x,y,h) = ½ ¾ (k ½ +k ¾ ) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ò ÙÐ Ö¹Ë Ö ØØ Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f(x +h,y +hf(x,y)) Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ (k ½ +k ¾)/¾ Ð F F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½¼» ¾
Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ F(x,y,h) = ½ ¾ (k ½ +k ¾ ) Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ò ÙÐ Ö¹Ë Ö ØØ Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f(x +h,y +hf(x,y)) Ú ÖÛ Ò Å ØØ ÐÛ ÖØ (k ½ +k ¾)/¾ Ð F F D Ö F ØÖ Ø ÙØÐ Ö Ð Ñ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½¼» ¾
ÃÐ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ¹Î Ö Ö Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F Ø Ò Û Ø Ø Å ØØ Ð Ù Ú Ö Ê ØÙÒ Ò ËØ ÙÒ Òµ Ñ Ø F(x,y,h) = ½ (k ½ + ¾k ¾ + ¾k +k ) k ½ k ¾ k = f(x,y) ( = f x + h ¾,y + h ) ¾ k ½ ( = f x + h ¾,y + h ) ¾ k ¾ k = f(x +h,y +hk ). Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½½» ¾
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
Ñ Ø Ò Ò ¹ËØ ÙÒ k ½ = f(x,y) Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k ¾ = f ( x + h ¾,y + h ¾ k½ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k ¾ Ò Ð Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f ( x + h ¾,y + h ¾ k¾ ) ÒÓ ÒÑ Ð ÚÓÑ Ò Ò Ñ Ø ËØ ÙÒ k Ò ÒÞ Ë Ö ØØÛ Ø Û ÖØ Ê ØÙÒ Ð Ò Ù Ù k = f(x +h,y +hk ) Ò ÐØ Ö Ë Ö ØØ Ñ Ø F = ½ (k½ + ¾k¾ + ¾k +k )
ÄÓ Ð Ö Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö d(x,y,h) ÍÒØ Ö ÞÛ Ò Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ F = ( y/ x) ÒÙÑ Ö ÙÒ Ü Ø Ñ Ö ÒÞ ÒÕÙÓØ Ò Ò D = ( y/ x) Ü Ø d(x,y,h) = F(x,y,h) D(x,y,h) À Ö Ø Î Ö Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Ö Ø ÐÐغ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÐÓ Ð Ö Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Á Ø Y Ü Ø Ä ÙÒ Ö Ò Ò Û ÖØ Ù y = f(x,y), y(x ¼ ) = y ¼, ÙÒ y m Æ ÖÙÒ Ð ÙÒ Ò Ö ËØ ÐÐ x m Ó Ò ÒÒØ Ñ Ò Ö ÒÞ e(x m,h) = y m Y(x m ) Ò ÐÓ Ð Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Öº Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÇÖ ÒÙÒ Ò Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö d(x,y,h) Û Ö Ö h ¼ ÑÑ Ö Ð Ò Öº Ï Ö Ö Ø Ò Ø ÖÐ Ð p Ñ Ø Ø ÇÖ ÒÙÒ Î Ö Ö Ò º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ d(x,y,h) = O(h p ) ÇÖ ÒÙÒ ½ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙ h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ð Ö Ð Ö ÇÖ ÒÙÒ ¾ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò ÑÑØ ÕÙ Ö Ø Ò h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ú ÖØ ÐØ Ò Ð Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÇÖ ÒÙÒ Ò Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö d(x,y,h) Û Ö Ö h ¼ ÑÑ Ö Ð Ò Öº Ï Ö Ö Ø Ò Ø ÖÐ Ð p Ñ Ø Ø ÇÖ ÒÙÒ Î Ö Ö Ò º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ d(x,y,h) = O(h p ) ÇÖ ÒÙÒ ½ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙ h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ð Ö Ð Ö ÇÖ ÒÙÒ ¾ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò ÑÑØ ÕÙ Ö Ø Ò h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ú ÖØ ÐØ Ò Ð Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÇÖ ÒÙÒ Ò Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö d(x,y,h) Û Ö Ö h ¼ ÑÑ Ö Ð Ò Öº Ï Ö Ö Ø Ò Ø ÖÐ Ð p Ñ Ø Ø ÇÖ ÒÙÒ Î Ö Ö Ò º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ d(x,y,h) = O(h p ) ÇÖ ÒÙÒ ½ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙ h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ð Ö Ð Ö ÇÖ ÒÙÒ ¾ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò ÑÑØ ÕÙ Ö Ø Ò h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ú ÖØ ÐØ Ò Ð Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÇÖ ÒÙÒ Ò Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö d(x,y,h) Û Ö Ö h ¼ ÑÑ Ö Ð Ò Öº Ï Ö Ö Ø Ò Ø ÖÐ Ð p Ñ Ø Ø ÇÖ ÒÙÒ Î Ö Ö Ò º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ d(x,y,h) = O(h p ) ÇÖ ÒÙÒ ½ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ö Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙ h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ð Ö Ð Ö ÇÖ ÒÙÒ ¾ ÙØ Ø Ö Ð Ö Ò ÑÑØ ÕÙ Ö Ø Ò h Ð Ë Ö ØØÛ Ø Ú ÖØ ÐØ Ò Ð Ö Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Á Ø Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö ÚÓÒ Ö ÇÖ ÒÙÒ p ½ ÙÒ Ò Ø F Ò Ö Ä Ô ØÞ Ò ÙÒ Ó Ø Ù Ö ÐÓ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ñ Ø Ö ÇÖ ÒÙÒ Ò ÆÙÐÐ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÚÓÒ Ö ÇÖ ÒÙÒ pº Ë Ö ØØÛ Ø ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ð ÖÓÖ ÒÙÒ p Ñ Î Ö ÐØÒ ǫ ¾ ǫ ½ = ( ) p h¾ h ½ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÆÙÑ Ö Ä ÙÒ Ú Ö Ö Ò Ï Ø Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ò ÙÐ Ö ÈÓÐÝ ÓÒÞÙ Ú Ö Ö Ò Û Ð Ò Ø Ø Î Ö Ö Ò ½º ÇÖ ÒÙÒ µ Î Ö Ö Ò ÚÓÒ À ÙÒ ÑÓ Þ ÖØ ÙÐ Ö¹Î Ö Ö Ò Û Ð Ò Ù Ö Ò Î Ö Ö Ò ¾º ÇÖ ÒÙÒ µ ÁÑÔÐ Þ Ø ÙÐ ÖÚ Ö Ö Ò Û Ð Ø Ð Øµ ÃÐ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ¹Î Ö Ö Ò Û Ð Ñ Ò Ñ Ø Ò Ö ÈÖ Ü Ó Ø Ö Ò Ø Î Ö Ö Ò º ÇÖ ÒÙÒ µº ÊÃ¹Î Ö Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÖÑ Ò ¹ÈÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ð Û Ð Å ØÐ Ó Ñ Ø Ö Ò Ø ÇÖ ÒÙÒ Ñ Ø ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ÒÙÒ º ÇÖ ÒÙÒ µº Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
ÅÓ ÖÒ ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ¹Î Ö Ö Ò ÃÐ ÊÃ¹Î Ö Ö Ò Û ÖØ Ø f(x,y) Ú ÖÑ Ð ÔÖÓ Ë Ö ØØ Ù f(x,y), f (x + h¾,y + h¾ ) k½, f (x + h¾,y + h¾ ) k¾, f(x +h,y +hk ). Æ Ù Ö Î Ö Ö Ò Û ÖØ Ò f Ò Ô Þ ÐÐ Ò Ø Ò Û Ò Ø ÐÐ Ò Ù ÙÒ Ð ÖÒ Ð Þ Ø ÞÛ Ï ÖØ Ñ Ø ÙÒØ Ö Ð Ö Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ö ÒÞ Ð Öµº Î Ö Ö Ò Êà µ ÚÓÒ ÓÖÑ Ò ÙÒ ÈÖ Ò Å ÌÄ Ó µ Û ÖØ Ø f Ñ Ð Ù ÙÒ Ð ÖØ Ö Ò Ñ Ø Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ú ÖÛ Ò Ø Ö Ò Ñ Ø Ð ÖÓÖ ÒÙÒ ÞÙÖ Ö ÒÞ Ð ÙÒ ÙÒ Ð Ö ØÞÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
Ò¹ ÙÒ Å Ö Ö ØØÚ Ö Ö Ò ÊÙÒ ¹ÃÙØØ ¹Î Ö Ö Ò Ò Ò Ö ØØ¹Î Ö Ö Ò ÙÑ y(x +h) ÞÙ Ö Ò Ò Ö Ù Ò Ä ÙÒ ÒÙÖ Ñ ÙÒÑ ØØ Ð Ö ÚÓÖ Ö Ò Ò ÈÙÒ Ø y(x)º Å Ö Ö ØØ¹Î Ö Ö Ò Ú ÖÛ Ò Ò ÞÙÖ Ö ÒÙÒ ÚÓÒ y(x +h) Ï ÖØ ÚÓÒ Ñ Ö Ö Ò ÞÙÖ Ð Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò y(x),y(x h),y(x ¾h)...º Ô Ð Ñ ¹ ÓÖØ ¹ÅÓÙÐØÓÒ¹Î Ö Ö Òº Ò Î Ö ÒØ ÚÓÒ Ø Ð Ó ½½ Ò Å ÌÄ Ú Ö Öº ÎÓÖØ Ð ÚÓÒ Å Ö Ö ØØ¹Î Ö Ö Ò Ó Ò Ù Ø Ñ Î Ö ÐØÒ ÞÙÑ Ê Ò Ù Û Ò ÓÒ Ö Ø ÙÖ Ö Ù Û ÖØÙÒ ÚÓÒ f º Æ Ø Ð ÚÓÒ Å Ö Ö ØØ¹Î Ö Ö Ò Ö Ù Ø ÒÐ Ù Ô º Æ Ø Ò Ú Ö Ð Ö Ë Ö ØØÛ Ø º Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ½» ¾
Ð Ö ÓÒØÖÓÐÐ Ë Ö ØØÛ Ø Ò Ø Ù ÖÙÒ Ð Ö ØÞÙÒ Ê Ò Ò Ò Ë Ö ØØ Ñ Ø Ó Ö ÇÖ ÒÙÒ ÙÒ ÒÓ Ñ Ð ÞÙÖ ÃÓÒØÖÓÐÐ Ñ Ø ÙÑ ½ Ö Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ º Ö ÍÒØ Ö ǫ ½ Ø Ò Ë ØÞÙÒ Ø Ø Ð Ò Ð Ö º Ë Ö ØØÛ Ø ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ð ÖÓÖ ÒÙÒ p Ñ Î Ö ÐØÒ ǫ ¾ ǫ ½ = ( ) p h¾ ÍÑ Ò Û Ò Ø ǫ ¾ ÞÙ ÖÖ Ò Ò Ö Ë Ö ØØÛ Ø h Ñ h ½ ( ) ½ ǫ¾ p h ¾ = h ½ ǫ ½ ËØ Ù ÖÙÒ Ò Å ØÐ Ë Ö Ò Ò Ö Ö Ð Ø Ú Ò ÙÒ ÓÐÙØ Ò Ð Ö ÓÔØ ÓÒ Ó Ø ³Ê ÐÌÓг ½º ¹ ³ ÌÓг ½º ¹½¼µ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾¼» ¾
Ð ÖÙÒ ½¼º ÎÓÖÐ ÙÒ ½ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÙÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ÆÙÑ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ï Ø Î Ö Ö Ò Å Ö Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ë ÖØ ØØÛ Ø Ò¹ËØ Ù ÖÙÒ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾½» ¾
ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ËÝ Ø Ñ ÜÔÐ Þ Ø Ö Û ÒÐ Ö Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ½º ÇÖ ÒÙÒ Ñ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ò Î ØÓÖ ÐÐ Ë Ö Û Ñ Ë Ö ÔØÙÑ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÛ Ù Öص Þ Ø Ò ÐÓ ÞÙÑ Ò Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò ÜÔÐ Þ Ø ½º ÇÖ ÒÙÒ Ù Ø Ø Ò Ú ØÓÖÛ ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ý = Ý(x)º Ë ÓÐÐ Ö ÐÐ Ò Ý (x) = (x, Ý(x)) Ý(x ¼ ) = Ý ¼ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ò Ò ÙÒ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò ÙÐ Ö Ö ÈÓÐÝ ÓÒÞÙ À ÙÒ Øº µ Ð Ò Ö Ø Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖÒº ÆÙÑ Öº Ä ÙÒ Ñ Å ÌÄ Ñ Ø Ó Ò ÐÓ ÞÙ Ò Ö º Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾¾» ¾
Ð ÖÙÒ ½¼º ÎÓÖÐ ÙÒ ½ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÙÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ¾ ÆÙÑ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ò Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ö Ø ÖÙÒ Ð Ö Ð ÖÓÖ ÒÙÒ Ï Ø Î Ö Ö Ò Å Ö Ö ØØÚ Ö Ö Ò Ë ÖØ ØØÛ Ø Ò¹ËØ Ù ÖÙÒ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾
Û ÒÐ Ö ÒØ Ð Ð ÙÒ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ó Ö Ò ËÝ Ø Ñ ÓÐ Ö µ Ð Ø ÙÖ Ò Ö Ò ÚÓÒ À Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ËÝ Ø Ñ ÚÓÒ ½º ÇÖ ÒÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òº Ô Ð Å Ø Ñ Ø È Ò Ð ÿ(t) = Ò(y(t)) ØÞ y(t) = z ½ (t) ẏ(t) = z ¾ (t) Ò Ù Ð Ý Øº z ½ (t) = z ¾ (t) z ¾ (t) = Ò(z ½ (t)) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾
Ô Ð Ð Ù ¹ Ð ÙÒ y (x) = y(x)y (x)/¾ Ö Ø ËØÖ ÑÙÒ Ò Ð Ñ Ò Ö Ö Ö ÒÞ Ø ØÞ y(x) = z ½ (x) y (x) = z ¾ (x) y (x) = z (x) Ò Ù Ð Ý Øº z ½ (x) = z ¾(x) z ¾ (x) = z (x) z (x) = z ½(x)z (x)/¾ Ð Ó Þ (x) = (Þ,x) Ò Ñ ÐÐ Ò Ø Ò Ø ÜÔÐ Þ Ø ÚÓÒ x µ Ñ Ø z ½ z ¾ z ¾ = z z z ½ z /¾ Ï Ø Ö Ô Ð Ò Ò ÙÒ ÙÒØ ÖÐ Ò Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾
ÐÐ Ñ Ò ÍÑ ÓÖÑ Ò ÚÓÒ y (d) (x) = f(x,y(x),y (x),...,y (d ½) (x)) Å Ò ØÞØ z ½ = y, z ¾ = y,..., z d = z (d ½) ÙÒ Ö Ø z ½ (x) = z ¾(x) z ¾ (x) = z (x) º z d ½ (x) = z d(x) z d (x) = f(x(x),z ½(x),...,y d (x)) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾
ÐÐ Ñ Ò ÍÑ ÓÖÑ Ò ÚÓÒ y (d) (x) = f(x,y(x),y (x),...,y (d ½) (x)) Å Ò ØÞØ z ½ = y, z ¾ = y,..., z d = z (d ½) ÙÒ Ö Ø z ½ (x) = z ¾(x) z ¾ (x) = z (x) º z d ½ (x) = z d(x) z d (x) = f(x(x),z ½(x),...,y d (x)) Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ö À Ù Ò Ð ½ º Å ¾¼½ ¾» ¾