Homework9 答案 1. 粒子在一维势场 V (x) = k x ν 中运动,k, ν > 0. 利用测不准关系估算基态能级和 x. 解 : 粒子在某个态下的能量期望值可以写成 : p E = m + k x ν (1) 考虑 x ν x ν/ V (x) = k x ν 是偶函数, 因而 Schrodinger 方程的解必然具有宇称对称性, 从而可以得到 : 所以 < x >= 0, < p >= 0 x = x 1/, p = p 1/, 这里我们取 Heisenberg 不确定原理的极限 x p = h/, 得到 p = h/ x () 这样我们就可以把粒子的能量在写成坐标 x 的函数 E ( ) h + k x ν (3) m x 即 求极值 (4) ( de d x = h ) 8m x 3 + kν x ν 1 = 0 (5) h 4m x 3 + kν xν 1 = 0 (6) ( h x = 4mkν ) 1 ν+ (7) 1
E = ν + h k( 4mkν ) ν ν+ (8) *** 注 : 在 k, ν = 时, 正好就是一维线性谐振子的基态能级, 大家可以自己验证.. 对于一维谐振子,(a) 处于能量本征态 n 利用代数方法求动能期望值和势能期望值, 及其标准差 (b) 初态 ψ(0) ψ 0 + 1 ψ 1, 在 S-pic 和 H-pic 下分别计算 p(t) 解 :(a) 利用 a, a 表示 ˆx, ˆp 把式 9,10 代入动能项 ˆT 和势能项 ˆV 得到 h ˆx = ( mω ) 1 (a + a ) (9) ˆp = i( m hω ) 1 (a a ) (10) ˆT = ˆp m = hω 4 (a a )(a a ) = hω 4 (a + (a ) a a 1) = hω 4 (a + (a ) ˆN 1) (11) ˆV mωˆx = hω 4 (a + a )(a + a ) = hω 4 (a + (a ) + a a + 1) = hω 4 (a + (a ) + ˆN + 1) (1) 因为只相同数量的 a, a 的乘积组成的项平均值才不为零 因此, 由式 11,1 得到 n ˆT n = hω 4 n a + (a ) ˆN 1 n = hω 4 n ˆN 1 n = hω(n + 1) 4 n ˆV n = hω 4 n a + (a ) + ˆN + 1 n = hω 4 n ˆN + 1 n = hω(n + 1) 4
n ˆT n = ( hω 4 ) n (a + (a ) ˆN 1) n = ( hω 4 ) n (a + (a ) n 1) n = ( hω 4 ) n a (a ) + (a ) a + (n + 1) n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n a(aa )a + a (a a)a n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n a(a a + 1)a + a ˆNa n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n a ˆNa + aa + a ˆNa n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n ( ˆN + 1)aa + ˆN + 1 + ( ˆN 1)a a n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n ( ˆN + 1) + ˆN + 1 + ( ˆN 1) ˆN n (n + 1) hω = ( ) + ( hω 4 4 ) n ˆN + ˆN + n = ( hω 4 ) [(n + 1) + n + n + ] n ˆV n = ( hω 4 ) n (a + (a ) + ˆN + 1) n 由以上结果得到其标准偏差 = ( hω 4 ) (n + 1) + ( hω 4 ) n a (a ) + (a ) a n = ( hω 4 ) [(n + 1) + n + n + ] T = < T > < T > = hω 4 n + n + (13) V = < V > < V > (b) 在 Schrodinger picture 下, 我们很容易可以得到 t 时刻的波函数 = hω 4 n + n + (14) ψ(t) e ī h E0t 0 + 1 e ī h E1t 1 e i 1 ωt 0 + 1 e i 3 ωt 1 由 t 时刻的波函数我们可以计算 < p > t = ψ(t) p ψ(t) 3
0 p 0 + 1 1 p 1 + 1 eiωt 1 p 0 + 1 e iωt 0 p 1 eiωt 1 p 0 + 1 e iωt 0 p 1 = i( m hω ) 1 1 (eiωt 1 a a 0 + e iωt 0 a a 1 ) = ( m hω ) 1 sinωt (15) 在 Heisenberg picture 下, 由 Heisenberg 运动方程得 dˆp(t) dˆx(t) [ˆp(t), Ĥ(t)] i h = mω ˆx(t) (16) [ˆx(t), Ĥ(t)] i h ˆp(t) (17) m 我们可以得到关于 p(t) 的二阶微分方程 d ˆp(t) = ω ˆp(t) dp(t) t=0 = mω ˆx(0) ˆp(t) = mω ˆx(0)sinωt + ˆp(0)cosωt (18) ˆp(t) 期望值为 ˆp(t) = ψ 0 ˆp(t) ψ 0 = mω sinωt ψ 0 x(0) ψ 0 + cosωt ψ 0 p(0) ψ 0 = mω h sinωt( mω ) 1 + 0 = ( m hω ) 1 sinωt (19) 3. 利用 [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B, 证明 : (a).[x n, p] = i hnx n 1. (b).[f(x), p] = i h df(x) dx. (c).[x, p n ] = i hnp n 1 证明 :(a) 对易关系式中若包含幂函数形式, 采用数学归纳法是最为方便的, 此处我们考虑用数学 4
归纳法对 (a) 和 (c) 进行证明, 先来证明 (a). (i)n 时,[x, p] = i h 显然是成立的 ; (ii) 假设 n = k 时,[x k, p] = i hkx k 1 成立 ; (iii) 则 n = k + 1 时, [x k+1, p] = [x k x, p] = x k [x, p] + [x k, p]x = x k (i h) + (i hkx k 1 ) x = i h(k + 1)x k (0) 任然成立, 原式得证! (b) 该证明有两种办法, 其一就是将对易式作用于任意波函数 Ψ(x) 上, 求作用结果 ; 其二就是将 f(x) 展开成幂级数的形式. 设 f(x) = a 0 + a 1 x + a x +,, 并考虑 (a) 的证明结果, (c) 仿照 (a) 的证明即可! [f(x), p] = [a 0 + a 1 x + a x +,, p] = [a 0, p] + [a 1 x, p] + [a x, p] + = i h(a 1 + a + 3a 3 x +, ) = i h df(x) dx (1) 4. 质量为 m 电荷 q 的粒子在匀强电场中运动 ( 场强 ɛ) 已知 t = 0 时 x = 0, p x = p 0 利用 Heisenberg 方程计算 x(t), p x (t) 解 : 哈密顿量为 H = p x m ɛqx, 得到 x, p 的 Heisenberg 运动方程为 dx(t) dp x (t) i h [x(t), H] = p x(t) m i h [p x(t), H] = ɛq x(t), p x (t) 的期望值为 p x (t) = p x (0) + ɛqt x(t) = x(0) + p x(0) m t + 1 ɛqt m p x (t) = p x (0) + ɛqt = p 0 + ɛqt x(t) = x(0) + p x(0) m t + 1 ɛq = p 0 m t + 1 ɛq m t 5 m t
5. 带电粒子在 z 方向磁场中运动 哈密顿量近似为 H = p /m ωl z, ω = qb/(mc). (a) 已知 t = 0 时刻, p = (p 0, 0, 0), 求 t > 0 时 p(t). (b) 指出守恒量 解 : 此题描述的是磁场中带电粒子的运动, 类似于经典粒子受 Lorentz 力作用 (a) 由 Heisenberg 方程得 由以上方程得到微分方程 和初始条件 p(t) 的期望值为 dp x (t) dp y (t) dp z (t) i h [p x(t), H] = ω i h [p x(t), L z ] = ωp y (t) () i h [p y(t), H] = ωp x (t) (3) i h [p z(t), H] = 0 (4) d p x (t) = ω p x (t) d p y (t) = ω p y (t) dp z (t) = 0 dp x (t) t=0 = ωp y (0) dp y (t) t=0 = ωp x (0) p x (t) = cotωtp x (0) + sinωtp y (0) p y (t) = cotωtp y (0) sinωtp x (0) p z (t) = p z (0) p x (t) = cosωt p x (0) + sinωt p y (0) = cosωtp 0 p y (t) = cosωt p y (0) sinωt p x (0) = sinωtp 0 p x (t) = p z (0) = 0 p(t) = (cosωtp 0, sinωtp 0, 0) (5) 6
(b) 由于 [p z, H] = [L z, H] = [T, H] = [ L, H] = 0 (6) 守恒量有 p z, L z, T, L 7