Microsoft Word - 94_2_stat_handout08_線性迴歸（考古題）.doc

8 第八章線性迴歸 ( 考古題 ) 006 年 4 月 9 日最後修改 8.1(94- 逢甲 - 國貿 ) (a) y = 7.776 1.77x (b) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-1 頁

β 表示 x 變動一單位會導致 y 變動 ˆ β = 1.77 單位, 即每增加 1,000 磅重量, 汽車每公升汽油行駛里程會減少 1.77 公里 (c) () (e) SSR 134.717 R = = = 0.84 SST 160 ( y ) E σ = MSE = 5.83 p = 0.001 < = 0.05 拒絕虛無假設 β 0 8.(94- 逢甲 - 保險 ) x y x² xy y² 699 4. 488601 935.8 17.64 504 1.7 54016 856.8.89 808 4.8 65864 3878.4 3.04 1015 5.9 10305 5988.5 34.81 999 6 998001 5994 36 1106 7 1336 774 49 33 1.1 10439 355.3 1.1 713 4 508369 85 16 979 5.6 958441 548.4 31.36 54.9 93764 1571.8 8.41 7688 43. 6511846 37657 0.36 (a) ˆ + x ˆ β =y ˆ + ˆ = x x β xy ( ) = 10, = x x x= 10 6,511,846 7,688 = 6,013,116 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8- 頁

y x x xy ˆ = x xx y x x xy 43. 6,511,846 7,688 37,657 = = = 1.369 6,013,116 ˆ xy xy xy x y 10 37,657 7,688 43. β = = = = 0.0074 x xx 6,013,116 ˆ y ˆ ˆ x = y βx = β = 1.369 迴歸線 : y = 1.369 + 0.0074x (b) ( ) = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = yˆ βx β x β x 19.48 ( y) SST =y = 33.74, SSE =y yˆ = 0.88 SSR = SST SSE = 3.86 變異來源 平方和 自由度 均方 F 迴歸變異 3.86 1 3.86 98.638 隨機變異 0.88 8 0.11 總和 33.74 9 (c) ( 群體 y 值估計 ) x = 500 y = ˆ + ˆ βx = 1.369 + 0.0074 500 =.333 ( x) 1 x sy V( y ) 0.156 = = + MSE = x xx y y 為 f = = 8的 t 分配,1 = 95%, t * =.3060 s y * { } { 1.974.69} CI = y y t s = y y y 8.3(94- 逢甲 - 工工 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-3 頁

x y x² xy y² 1 1 1 1 1 4 4 4 3 9 6 4 4 3 16 1 9 5 4 5 0 16 15 1 55 43 34 (a) (b) ˆ + x ˆ β =y ˆ + ˆ = x x β xy ( ) = 5, = x x x= 5 55 15 = 50 y x x xy y x x xy 1 55 15 43 ˆ = = = = 0.3 x xx 50 ˆ xy xy xy x y 5 43 15 1 β = = = = 0.7 x xx 50 迴歸線 : y = 0.3 + 0.7x s = ˆ MSE = 0.100 β (1) H : β = 0 0 ˆ β β () 檢定統計量為 f = = 3的 t 分配 s ˆ β (3) 雙尾檢定 f = 3的 t 分配 0.05 (4) 樣本檢定統計量 s ˆ β =, 拒絕區域 R= { t > 3.184} ˆ β β 0.7 = = 7 R, 拒絕虛無假設 H 0 0.1 (5) 統計上, 應視 β 0 8.4(94- 淡江 - 國貿 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-4 頁

(a) (b) y = + β x y = ˆ + ˆ βx + ε i i i ( ) E = ε = ˆ + ˆ βx y = ˆ + ˆ βˆ x+ ˆ β x ˆ y ˆ β xy+ y i i i x xy ˆ x xx E = x ˆ + x ˆ β xy = 0 ˆ xy xy ˆ β = β x xx E ˆ x ˆ β y 0 yx = + = ˆ = x y x² xy y² 68 13 464 8976 1744 64 108 4096 691 11664 6 10 3844 634 10404 65 115 45 7475 135 66 18 4356 8448 16384 35 585 1145 38135 69101 ( ) = 5, = x x x= 5 1,145 35 = 100 y x x xy 585 1,145 35 38,135 ˆ = = = 40.5 100 ˆ xy x y 5 38,135 35 585 β = = = 5.5 100 迴歸線 : y = 40.5 + 5.5x (c) ( 個體 y 值估計 ) x = 63 y = ˆ + ˆ βx = 40.5 + 5.5 63 = 106 8.5(94- 雲科大 - 資管 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-5 頁

x y x² y² 7 4 49 4 11 16 11 5 13 5 169 6 0 36 400 17 51 81 739 x = y = = β = 81, 739, 0, 3 ( ) = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = = yˆ βx β x β x 9 81 79 SSE =y yˆ = 739 79 = 10 8.6(94- 雲科大 - 財金 ) (a) (b) (c) () ( ) y = 7+ 5 x, X = x+, Y = y Y = 7+ 5 X Y = 3+ 5X y = 7+ 5 x, X = x, Y = y+ Y = 7+ 5X Y = 9+ 5X X y = 7+ 5 x, X = x, Y = y Y = 7+ 5 Y = 7+.5X Y y = 7+ 5 x, X = x, Y = y = 7+ 5X Y = 14+ 10X 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-6 頁

8.7(94- 淡江 - 企管 ) = 15 x= x = 15 7. = 108, y = y = 15 45.6 = 684 ( ) ( ) x = x x + x = 811., y = y y + y = 31,350.6 xy =( x x )( y y ) + x y = 4,867.6 (1) = 15, = x x x= 504 ˆ y x x xy 57.86 ˆ β xy x = = = y = 1.70 迴歸線 : y = 57.86 1.70x () s = ˆ MSE = 0.379 β (1) H : β = 0 0 ˆ β β () 檢定統計量為 f = = 13的 t 分配 s ˆ β (3) 雙尾檢定 f = 13的 t 分配 0.05 (4) 樣本檢定統計量 s ˆ β =, 拒絕區域 R= { t >.1604} ˆ β β 1.70 = = 4.489 R, 拒絕虛無假設 H 0 0.379 (5) 統計上, 應視 β 0 即 β < 0, 顯示作業時間會隨訓練時間的增加而減少 (3) ( 群體 y 值估計 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-7 頁

(4) x = 9 y = ˆ + ˆ βx = 57.86 1.70 9 = 43.54 ( x) 1 x sy V( y ) 0.888 = = + MSE = x xx y y 為 f = = 13的 t 分配,1 = 95%, t * =.1604 s y * { } { 40.618 44.454} CI = y y t s = y y y x = 35 y = ˆ + ˆ βx = 57.86 1.70 35 = 1.76 這是不合理的結果, 因為完成一見工作的時間不能為負 8.8(94- 政大 - 國貿 ) (a) = 15 x= 75 y = 454 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-8 頁

( ) ( x) ( ) ( y) x = x x + = 9,65, y = y y + =,536.1 x y xy =( x x )( y y ) + = 14, 410 = x x x= 0,65 ˆ y x x xy 1,796.67 ˆ β xy x = = = y = 17.83 迴歸線 : y = 1,796.67 + 17.83x (b) (c) x 變動一單位會導致 y 變動 ˆ β = 17.83 單位 ( 群體 y 值估計 ) x = 7.5 y = ˆ + ˆ βx = 1,796.67 + 17.83 7.5 = 45.4 ( 7.5, 45.4 ) 在迴歸線上, 因此多加入此觀察值不會更動迴歸線係數 此觀察值會降低 ˆβ 之標準差 同時, 迴歸線的判定係數 R 也會增加 8.9(94- 政大 - 財管 ) x y x² xy y² 8 5. 784 145.6 7.04 6 5.1 676 13.6 6.01 59 8.1 3481 477.9 65.61 44 7.8 1936 343. 60.84 30 5.8 900 174 33.64 40 5.1 1600 04 6.01 8 5. 784 145.6 7.04 0 4.8 400 96 3.04 4 7.9 1764 331.8 6.41 47 6.4 09 300.8 40.96 364 61.4 14534 351.5 39.6 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-9 頁

= 10, = x x x= 1,844 ˆ y x x xy.837 ˆ β xy x = = = y = 0.091 迴歸線 : y =.837 + 0.0091x ( ) = ˆ + ˆ β = ˆ + ˆ βˆ + ˆ β = yˆ x x x 387.57 ( y) SST =y = 15.60, SSE =y yˆ = 5.03 SSR = SST SSE = 10.57 變異來源 平方和 自由度 均方 F 迴歸變異 10.57 1 10.57 16.819 隨機變異 5.03 8 0.63 總和 15.60 9 8.10(94- 台大 - 商學 ) x y x² xy y² 11 9 11 99 81 6 8 36 48 64 8 7 64 56 49 7 9 49 63 81 4 11 16 44 11 5 10 5 50 100 3 15 9 45 5 5 11 5 55 11 49 80 345 460 84 (1) = 8, = x x x= 359 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-10 頁

ˆ y x x xy 14.095 ˆ β xy x = = = y = 0.669 迴歸線 : y = 14.095 0.669x () (3) r ( )( ) ( x x) ( y y) x x y y xy xy = = x x x y y y 460 49 80 8 = = 0.6910 345 49 49 8 84 80 80 8 ( ) = ˆ + ˆ β = ˆ + ˆ βˆ + ˆ β = yˆ x x x 80.06 SSE =y yˆ = 84 80.06 = 1.94 SSE 1.94 MSE = = = 3.66 6 ( 群體 y 值估計 ) x = 9 y = ˆ + ˆ βx = 14.095 0.669 9 = 8.078 ( x) 1 x sy V( y ) 1.063 = = + MSE = x xx y y 為 f = = 6的 t 分配,1 = 95%, t * =.4480 s y * { } { 5.476 10.680} CI = y y t s = y y y 8.11(94- 台大 - 商學 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-11 頁

x y x² xy y² 1 4.7 1 4.7 611.0784 4.84 4 49.68 617.056 3 4.86 9 74.58 618.0196 4 5.08 16 100.3 69.0064 5 5.4 5 17.1 646.1764 6 5. 36 151. 635.04 7 5.6 49 176.8 638.0676 8 5. 64 01.76 636.0484 36 00.6 04 906.18 5030.464 (1) = 8, = x x x= 336 ˆ y x x xy 4.70 ˆ β xy x = = = y = 0.083 迴歸線 : y = 4.70 + 0.083x () x = 9 y = ˆ + ˆ βx = 4.70 + 0.083 9 = 5.448 這個題目作一下 y 數值轉換會比較好計算 ( 數值較小 ): 令 Y = y 5, 其中 y 為原變數,Y 為新權宜變數 若求得之迴歸線為 Y = ˆ + ˆ β x 則原迴歸線應為 y 5 = ˆ + ˆ βx y = ˆ + 5 + ˆ βx ( ) x y x² xy y² 1-0.8 1-0.8 0.0784-0.16 4-0.3 0.056 3-0.14 9-0.4 0.0196 4 0.08 16 0.3 0.0064 5 0.4 5.1 0.1764 6 0. 36 1. 0.04 7 0.6 49 1.8 0.0676 8 0. 64 1.76 0.0484 36 0.6 04 6.18 0.464 = 8, = x x x= 0.3333 ˆ y x x xy 0.98 ˆ β xy x = = = y = 0.083 迴歸線 : y = 0.98 + 0.083x 真正迴歸線應為 : ( ) y = 0.98 + 5 + 0.083x= 4.70 + 0.083x 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-1 頁

( 群體 y 值估計 ) x = 9 y = ˆ + ˆ βx = 4.70 0.083 9 = 5.448 8.1(93- 雲科大 - 企管 ) x y x² y² xy 3..9 10.4 8.41 9.8 4.6 4.7 1.16.09 1.6 3.6 3. 1.96 10.4 11.5 5.3 5 8.09 5 6.5 6. 5.7 38.44 3.49 35.34 3. 3.3 10.4 10.89 10.56 3.6 3.4 1.96 11.56 1.4 4.5 4.3 0.5 18.49 19.35 34. 3.5 154.34 139.17 146.41 (1) () xy xy r = = 0.9806 x xx y yy 由相關係數得知 x y 接近完全相關 ( r = 1), 兩者自有線性關係 = 8, = x x x= 65.08 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-13 頁

ˆ y x x xy 0.136 ˆ β xy = = = x y = 0.919 迴歸線 : y = 0.136 + 0.919x ( ) = ˆ + ˆ β = ˆ + ˆ βˆ + ˆ β = yˆ x x x 138.90 ( y) SST =y = 7.14, SSE =y yˆ = 0.7 SSR = SST SSE = 6.86 變異來源 平方和 自由度 均方 F 迴歸變異 6.86 1 6.86 149.870 隨機變異 0.7 6 0.05 總和 7.14 7 假設檢定 : (1) H : = β = 0 0 MSR () 檢定統計量 F = 為 f = MSE ( 1, ) = ( 1, 6) 的 F 分配 (3) 右檢定 f = ( 1, 6) 的 F 分配 0.05 R= F > 5.9874 MSR (4) 樣本檢定統計量 F = = 149.87 R, 拒絕虛無假設 H 0 MSE (5) 迴歸係數不全為零 ( 該迴歸線可以接受 ) =, 拒絕區域 { } (3) ( x x)( y y) r = ( x x) ( y y) 由以上公式得知, 新增的觀察值 ( x, y ), 不會變動 ( x x)( y y) ( x x ) ( y y) 等值, 因此相關係數不會改變 新增的觀察值 ( x, y ) 在迴歸線上, 因此迴歸線也會改變 SST =( y y ), SSE =( y yˆ ) 由以上公式得知, 新增的觀察值 ( x, y ), 不會改變 SST SSE SSR 等值, 但是樣本數變成 = 9, 新迴歸 ANOVA 表如下 : 變異來源 平方和 自由度 均方 F 迴歸變異 6.86 1 6.86 174.848 隨機變異 0.7 7 0.04 總和 7.14 8 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-14 頁

8.13(93- 逢甲 - 經濟 ) (1) SSE 103.0196 MSE = = = 0.5451 ( a) 189 SSR 0.376 R = = = 0.003 ( b) SST 103.57 ˆ ˆ β t = = s s ˆ ˆ β ˆ 0.3440 t = = = 6.515 ( c) s ˆ 0.058 s = ˆ β t = 0.0054 1.96 = 0.0106 ( ) ˆ β 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-15 頁

s = ˆ 0.058 = 0.00788 ( e) s ˆ ˆ = s, ˆ = 6510 ( f ) β β, ˆ s = ˆ ( ) = 0.0106 = 0.00011 ( ) β () (3) 變異數分析表中得知 * p= P F > F = 0.5100 > = 0.05 ( ) 因此會拒絕虛無假設 (1) H : β = 0 0 () 檢定統計量 ˆ β β s ˆ β (3) 雙尾檢定 f = 189 的 t 分配 0.10 (4) 樣本檢定統計量 為 f = = 189 的 t 分配 ( 大樣本, 可查 z 表 ) s ˆ β =, 拒絕區域 R= { t > 1.645} ˆ β β = 1.96 R, 拒絕虛無假設 H 0 (5) 統計上, 應視 β 0 即 β > 0, 顯示牛奶的攝取量對身高有正面影響 8.14(93- 淡江 - 國貿 ) x y x² y² xy 6 8 36 64 48 1 4 1 5 5 4 10 4 3 16 9 1 6 4 36 16 4 7 6 49 36 4 30 4 166 130 138 (1) = 6, = x x x= 96 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-16 頁

ˆ y x x xy 1.65 ˆ β xy x = = = y = 1.15 迴歸線 : y = 1.65 + 1.15x () (3) ( ) = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = yˆ βx β x β x 116.5 ( y) ( y) SST =y = 34, SSR =yˆ = 0.5 SSR 0.5 R = = = 0.5956 SST 34 x 增加一單位,y 會增加 β = 1.15 單位 故所得增加一萬元, 儲蓄會增加 115 元 (4) SSE =y yˆ = 138 116.5 = 13.75 SSE 13.75 MSE = = = 3.44 4 ( 個體 y 值估計 ) x = 5.6 y = ˆ + ˆ βx = 1.65 + 1.15 5.6 = 4.675 ( x) 1 x sy V( y ) 1.00 = = + + MSE = x xx y y 為 f = = 4的 t 分配,1 = 95%, t * =.7764 s y * { } { 0.938 10.88} CI = y y t s = y y y 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-17 頁

8.15(93- 政大 - 國貿 ) x y x² y² xy 6 10 36 100 60 3 7 9 49 1 4 8 16 64 3-3 1 9 1-3 6 4 36 1-4 16 4-8 0 5 0 5 0-1 3 1 9-3 -5 5 4-10 - 1 4 1-0 45 10 93 99 (a) = 10, = x x x= 100 ˆ y x x xy 4.5 ˆ β xy x = = = y = 0.85 迴歸線 : y = 4.5 + 0.85x ( ) = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = yˆ βx β x β x 84.18 ( y) ( y) = = =ˆ = SST y 90.5, SSR y 81.68 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-18 頁

(b) SSR 81.68 R = = = 0.905 SST 90.5 ˆ σ 1 V ˆ = = = β σ σ 1 ˆ ˆ σ ˆ β, x x x σ σ ˆ, ˆ ˆ x x x β β x 其中 = = x x x x x 即 x x ˆ =, ˆ =, β ˆ, ˆ = β σ σ σ σ σ σ SSE =y yˆ = 93 84.18 = 8.8 SSE 8.8 E( σ ) = MSE = = = 1.10 8 ( x E σ ) ( ˆ = E σ ) = 0.110 E E ( σ ) E β ( σ ) ˆ = = 0.009 x ( σ ) ( ) ˆ E σ β = = 0 ˆ, (c) (1) H : σ = 1 0 () 檢定統計量 ( ) s SSE = 為 f = = 8的 χ 分配 σ σ (3) 雙尾檢定 f = 8 的 χ 分配 0.1 R = χ <.73 或 χ > 15.51 SSE (4) 樣本檢定統計量 8.8 R σ =, 無法拒絕虛無假設 H 0 (5) 統計上, 應視 σ = 1 =, 拒絕區域 { } 8.16(93- 政大 - 財管 ) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-19 頁

x y x² y² xy 13 76 45369 5776 16188 196 65 38416 45 1740 184 6 33856 3844 11408 0 68 40804 464 13736 1 71 48841 5041 15691 47 75 61009 565 1855 163 417 6895 9135 8888 = 6, = x x x= 14,601 ˆ y x x xy 5.43 ˆ β xy x = = = y = 0.09 迴歸線 : y = 5.43 + 0.09x ( ) = ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = yˆ βx β x β x 9,088. ( y) ( y) = = =ˆ = SST y 153.5, SSR y 106.67 SSR 106.67 R = = = 0.6949 SST 153.5 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-0 頁