ثانوية محمد الخامس القنيطرة - الا ستاذ محمد غريز تصحيح الامتحان الوطني الموحد للباآلوريا الدورة - الاستدراآية - 8 الثانية علوم رياضية أ و ب http://arabmaths.ft.fr ( + )(+ ) ω= = 4 z = + z+ + التمرين الا ول : حيث : + ω= - ليكن r التطبيق الذي يربط آل نقطة M(z) بالنقطة ) z M ( + + = : و + r دوران مرآزه Ω ذات اللحق =ω + + θ arg( ) [π [ و زاويته π θ [ π] M حيث z ليكن h التطبيق الذي يربط النقطة M(z) بالنقطة z = z+ + + z' = (( )z + ) + z' = (+ )z + z' = (+ )(z) ( ) { } * h تحاآي مرآزه Ω() ونسبته - أ - لتكن M (z ) هي صورة M(z) بالتطبيق F F=hor r h M M M' z z z' + + z' = z + و z + z' = (+ )z ( + ) + z' = (+ )z( ) و بما أن F( Ω ) =Ω 4π 4π b = e a e + 4π 5π 6 4π (+ ) = e 4 π z' = e (z) 4 π فا ن z' = ب (z) e من أجل z= z = Ω هي النقطة الوحيدة التي تحقق أ B=F(A) 4 π b = (a) e و بما أن فان b = e a + e + π = e C=F(B) 4π 4π 5π 6 c = e (e a+ e ) π π 6 c= 4e a+ 4e +
4π π π 6 d = e (4e + 4e ) D=F(C) π π d= 8e a+ 8e + d= 8a 7 و منه d = 8a 8+ ب لنبين أن النقط Ω وA و D مستقيمية. d 8a7 8(a) = = a a a d = 8 a Ω وA و D مستقيمية. d بما أن عدد حقيقي فان النقط a ج لنبين أن Ω مرجح النظمة المتزنة 4Ω B+ Ω C+Ω D= {(B,4);(C,);(D,)} 4π 5π π π 6 6 4(b ) + (c ) + d = 8e a + 8e + 8e a + 8e + 8a 8 π 4π 5π π 6 6 = 8a( + e + e ) + 8(e + e ) π π π π π = 8a( + e + e ) + 8(e (e + e ) ) π π = 8a( + cos ) + 8(. cos ) = 8a( + ( )) + 8( ) = و بالتالي Ω هو مرجح النظمة المتزنة (B,4);(C,);(D,) د - d D (O,u) d = { } 8a 7 = 8a + 7 8(a a) 4 = 6 Im a 4 = 7 Im a = 8 7 إذن مجموعة النقط A(a) هي المستقيم ذو المعادلة = y 8 التمرين الثاني : (,y) * y = + y y ( )( y) = أ - لنبين أن y) ( * ()(y) (*y) = * y = + y y (*y) = + y9y 9y) (*y) = ( y + ( )( y) = (*y) y+ 9y= ومنه y) ( * (,y) ( ) ب - y* *y= + y y= y+ y = * تبادلي. (,y,z) *(y*z) = (*y)*z * تجميعي. *e = + e e = ( ) e( ) = e= = أو
= - غير ممكن لكل من إذن هو العنصر المحايد للقانون *. * بحيث = في يعني يوجد (,*) يقبل مماثلا في * ' = + ' ' = '( ) = (لان ' = ( و بالتالي,*) ( زمرة تبادلية ϕ () = أ - ن (,y) ( ) ϕ (*y) = (*y) = ( )( y) ϕ (*y) =ϕ () ϕ(y) * ϕ تشاآل من,*) ( نحو ), ( * ( y ) (! )/y =ϕ()? y =ϕ() y= y = لنبين أن نفترض أن = y = y = ( y ) تناقض مع آون * إذن ϕ تقابل من,*) ( نحو ), ( * * + ϕ ( + ) = ب - = ), ϕ(, ) لان ϕ تناقصية) ) >ϕ(, ϕ () ϕ() () * + ϕ(, ) إذن *+ ليكن y عنصرا من ϕ () = y بحيث : هل يوجد من, y = ϕ() y= y = y< y< ا ذن <y y < < * () + ϕ(, )
y, ) y ( (,y) ) * * + ϕ ( + ) = ϕ( وبالتالي, من () و () نستنتج أن = ),, ج لان,, و ليكن و y عنصران من, y *y' = *( ) y y y = ( ) y y y y + y = y y *y' = y y y + y = = y ( y) ( y) y> فان > و y < و < و بما أن y *y', < > y ( y) ( زمرة جزي ية للزمرة,*) ( و بالتالي (*,, و = ()) ( ϕ () = () =ϕ ϕ ( ) أ من أجل = Ty = + y ϕ ϕ ϕ =ϕ ϕ ( ) = ( ϕ()) () ( ) = ( ϕ()) ϕ ( ) = ( ϕ()) () ( + ) + (+ ) ( ) ( )*) =ϕ ( ) ϕ() = ( ϕ ()) ϕ() ϕ ( ) = ( ϕ()) ( + ) + () ( ) = ( ϕ()) نفترض أن و نبين أن ) لان ϕ تشاآل ( و منه () ب - ) ϕ() =ϕ (( () =ϕ (() ) () () = 4 ليكن T قانون الترآيب الداخلي المعرف على بما يلي : (,y) Ty = + y = y+ Ty = yt أ - إذن T تبادلي.
(,y,z) (Ty)Tz = ( + y )Tz = + y+ z T(yTz) = T(y + z ) = + y+ z T(yTz) (Ty)Tz = لكل (,y,z) من T تجميعي. ( ) T = + = هو العنصر المحايد للقانون T يقبل مماثلا في,T) ( يعني يوجد في E بحيث : ) هذه العلاقة آافية لان T تبادلي ( T ' =,T) ( زمرة تبادلية. و بالتالي : T ' = + ' = ' = آل عنصر من له مماثل في,T) (. ب,T) ( زمرة تبادلية و,*) ( زمرة تبادلية لنبين أن * توزيعي بالنسبة للقانون T ) هذه العلاقة آافية لان * تبادلي ( (,y,z) (*y)t(*z) *(ytz) = *(ytz) = *(y+ z ) = + y+ z (y+ z ) () *(ytz) = + y + z y z z) ( * y)t( * z) = ( + y y)t( + z ( * y)t( * z) = + y y + + z z () ( * y)t( *z) = + y + z y z من () و () نستنتج أن * توزيعي بالنسبة للقانون. T,T,*) ( جسم تبادلي. و بالتالي : التمرين الثالث : آرة بيضاء و ثلاث آرات حمراء نسحب عشواي يا آرة من الصندوق نسجل لونها ثم نعيدها الى الصندوق = X رتبة السحبة التي توققت فيها التجربة RR أو BB يعني سحب آرتين بيضاوتين أو آرتين حمراوين (=X) ) ( + ) ( = ) = p(x 4 4 4 4
9 p(x = ) = + 6 6 5 p(x = ) = 8 RBB أو BRR يعني سحب (=X) إذن ) ( + ) ( = ) = p(x 4 4 4 4 4 4 9 p(x = ) = + 64 64 p(x = ) = 6 * ليكن k أ - k) (X = يعني سحب (BRBRB...BRBB) k-k- k (RBRB...RBRR) k-k- k k k k k p k = ( ).( ).( ) + ( ).( ).( ) 4 4 4 4 4 4 k+ k k+ k = ( ).( ) + ( ).( ) 4 4 4 4 k k = ( ).( ) (( ) + ( ) ) 4 4 4 4 k = ( ) 6 6 5 k p k = ( ) 8 6 (X=k+) يعني سحب : (BRBRB...BRBRR) k-k- k k+ (RBRB...BRBB) k-k- k k+ p = k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 + + 4 4 4 k k k k p = + k ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 + + + 4 4 k k = ( ) ( ) ( + ) 4 4 4 4 k k = ( ) ( ) 4 4 k p = k+ ( ) 6 k k k k k أو إذن إذن ومنه ب أو
التمرين الرابع : l( + ) f() = ; : بما يلي I = لتكن f الدالة المعرفة على +, f() = l( + ) lm f () = lm. - = = = f() إذن f متصلة في = (a ) a, + - أ لتكن h () = (l( + a) a) (l( + ) )a h a '(b) = a بحيث : محصور بين و I{ } a h(a) a h() و = a = a متصلة على المجال المغلوق الذي طرفاه و h a و ق. ش على المجال المفتوح الذي طرفاه و a حسب مبرهنة رول Rolle يوجد عدد حقيقي b محصور بين و h ' a () = (l( + a) a) ( )a + h ' a (b) = (l( + a) a)b = ( )a + b l( + a) a b = a b( + b) l( + a) a = a + b f() f() l(+ ) lm = lm ب - l( + ) بحيث : b = + b حسب س - أ - فانb< < اذا آان ) > ( l( + ) lm = lm = b + b إذن f' d = () و f ق. ش على يمين < b< فان اذا آان ) < ( f() f() lm = lm = b + b f ق. ش على يسار و = () 'f لا نها مرآب و خارج دالتين ق ش على ( I{ }) g f'() = I{ } و بالتالي f ق. ش في و أ الدالة f ق.ش على l(+ ) f'() = + ( + )l( + ) f'() = (+ ) g() f'() = (+ ) ) g() = ( + )l( + بحيث :
( I) (+ ) g'() = l(+ ) (+ ) g'() = l(+ ) g'() = + = = > + > l( + ) > l( + ) < g'() < ب إذن X -/ + g () + - g() f( α ) = g من خلال جدول تغيرات الدالة g نستنتج أن : ( I < g() ) تقبل قيمة قصوى عند و هي =()g h( α ) = [, ] ( + ) { } ج - لكل من + > : I اشارة f () هي اشارة g() I و بما أن g()< لكل من { } فان f ()< f تناقصية قطعا على I l( + ) - 4 أ - lm lm f () = > > = =+ المستقيم ذو المعادلة = مقارب للمنحنى (C) l( + ) lm f () = lm + + l( + ) ( + ) lm = + ( + ) = = المستقيم ذو المعادلة =y مقارب للمنحنى (C) بجوار ب لتكن f() h() = h متصلة على ( [, ]) α [, ] h'() = f'() < [, ] l 5 h() = < تناقصية قطعا على h() = f() h و = l > < h() h() حسب مبرهنة القيم الوسيطية يوجد عدد حقيقي وحيد من بحيث :
ج انشاء المنحنى (C) ( I) ϕ () = l( + ) J = [, α] - نضع ( II و أ الدالة ϕ ق ش على المجال I لا نها مرآب دالتين ق ش على المجال I ( I) ϕ '() = + + < + < + <ϕ'() l( + α) f( α ) = = α ب - l( + α ) =α ϕα ( ) =α I تزايدية على ϕ < ϕ'() α ϕ() ϕ() ϕα ( ) < l ϕ() α ( J) <ϕ() α ϕ متصلة و ϕ(j) إذن J U = - U+ = l( + U )( ) U + (U أ - ( لكل U α U لنبين أنJ U J U = = من أجل U + J و نبين أن لكل U نفترض أن J ϕ(j) U وحسب س - ب - J J U + J ϕ(u J ) و بالتالي U J لكل
U α ب α α < α U ) ( α لكل U نفترض أن ) ( α U α + + و نبين أن ) ( ϕ متصلة على المجال المغلوق الذي طرفاه α و حسب مبرهنة التزايدات المنتهية يوجد c محصور بين و ق ش على المجال المفتوح الذي طرفاه α و بحيث : و U U ϕ(u ) ϕ( α ) = ϕ'(c) U α ϕ'(c) <ϕ'() لكل ) ( فان و بما أن U = ϕ + (U و ( و حسب س ب - =α ϕα ( ) U+ α Uα U حسب افتراض الترجع ) ) α U α + + ) ( ( ) لكل U و بالتالي ) ( α ج المتتالية ) ( متقاربة و نهايتها ) لان < < ( lm U = α متقاربة و (U حسب مصاديق التقارب المتتالية ) + F() = f (t)dt ( III لتكن F الدالة المعرفة على I بما يلي : - أ f متصلة على I تقبل دالة أصلية ψ على I ( بحيث ψ ق ش على I و f() I) ψ '() = [ ] ψ(t) F() = = ψ() ψ() F ق ش على I لانها مجموع دالتين ق ش على I ( I) F'() =ψ'() F'() = f() ( ب من خلال مبيان الدالة f نستنتج أن f()> (I F ()> F تزايدية قطعا على I F() = f (t)dt أ F() = f(t)dt+ f(t)dt F() f(t)dt
l( + t) F() dt t l(+ t) l(+ t) t + t t + t t + t l( t) l( t) + dt + dt t + t l( + t) F() dt t F() l( + t) dt + t l( + t) dt = l( + t) l'( + t)dt + t و بما أن فان ب l( + t) dt = (l( + t)) + t 4 ) (l( + )) (l = 4 4 ) F() (l( + )) (l 4 4 و بما أن =+ ) lm (l( + )) (l + 4 4 فان + = F() lm + نفترض أن الدالة F تقبل نهاية منتهية على اليمين في F تقبل تمديدا بالاتصال على اليمين في بما يلي : F الدالة المعرفة على, + أ لتكن F() = F(); I F( ) = F هي التمديد بالاتصال للدالة F على اليمين في : F متصلة على, و ق ش على, حسب مبرهنة التزايدات المنتهية T.A.F F() F( ) c, : = F'(c) +
f(c) f() ) + F'(c)( F() = F() = f (c)( + ) < c< : و بما أن f تناقصية على I فان F() f ()( + ) F() F( ) F() lm = lm + + lm f () > > > > > lm f () = + F() F( ) lm + +. ب - و بما أن فان : الدالة F غير ق ش على اليمين في بعثه : ياسر غريز