2018-05-31 商品期货投资组合优化 华泰期货研究所量化组 罗 剑 量化组组长 报告摘要 : 马科维茨提出的现代资产组合理论 (MPT), 提出以投资组合的预期收益与组合方差两个数学定量的概念, 明确定义投资者偏好和解释投资分散化原理, 并构建有效边界模型, 在实际资产组合应用中作为基础模型广泛流传 luojian@htfc.com 从业资格号 :F3029622 投资咨询号 :Z0012563 现代资产组合理论 (MPT) 的基本假设 收益率的正态分布, 在商品期货组合中并不能有效满足, 所以无论使用方差 标准差或风险价值 (VaR) 进行组合优化仍然存在尾部风险, 本文尝试利用条件涉险价值 (CVaR) 考虑收益率分布厚尾的风险测度, 进行商品期货投资组合优化, 对比现代资产组合理论 (MPT) 的均值 - 方差模型对传统商品投资组合效果, 同时探讨现代资产组合理论的实际应用方法
一 现代资产组合理论 (MPT) 概念 1952 年哈里. 马科维茨发表论文 投资组合的选择 提出如何权衡收益与风险的关联问 题, 通过收益率的波动来量化衡量风险, 即可用数学的方法计算资产收益时间序列的方差 或标准差 投资组合期望收益 : 投资组合方差 : E(x p ) = ω i E(x i ) i σ p 2 = ω i 2 σ i 2 i + ω i ω j σ i σ j ρ ij i 同时, 马科维茨希望解决在多资产投资组合的时候如何配置不同类别资产的资金比例 因为组合资产间存在相关性, 并非投入资产预期收益最大的品种就是最佳投资组合, 往往 利用投资组合的资产分散性, 投资相关性不强的资产组合, 可以达到增加组合的收益水平, 且有效地降低风险, 在以组合方差或标准差衡量的风险指标最小化为目标函数, 确定不同 资产投资比例, 以此为基础延伸构建有效组合, 即以最小的组合风险获得最大可能预期收 益形成组合有效前沿 j i 图 1: 资产投资组合有效组合前沿 图 2: 分散化对组合风险的作用 数据来源 :wikipedia, 华泰期货研究院 数据来源 :Active Portfolio Management 华泰期货研究 院 图 2 显示两个不同风险度的资产组合, 对比实线相关系数为 1 时的组合风险率与虚线 相关系数为 62.9% 时的组合风险差异, 即图 2 实线与虚线的风险度差异表示非完全相关的 资产组合有利于降低组合风险 2018-05-31 2 / 9
二 商品期货收益分布特征马科维茨的现代资产组合理论的基于假设资产的收益分布为正态分布, 在对商品期货投资组合进行建模时, 首先要验证商品期货的单个收益分布情况 为达到现代资产组合理论的风险分散化效果, 所选品种来自国内三大商品交易所流动性较好的 10 个板块 表 1: 商品期货组合的品种选择 类别谷物油脂油料软商品农副产品有色贵金属煤焦钢矿非金属建材能源化工 具体品种玉米 玉米淀粉 豆一 豆粕 豆油 棕榈油 菜油 菜粕郑糖 棉花鸡蛋沪铜 沪铝 沪锌 沪镍沪金 沪银螺纹钢 热轧卷板 铁矿石 焦煤 焦炭 PVC 玻璃动力煤橡胶 PTA 聚丙烯 塑料 沥青 甲醇 数据来源 :Wind, 华泰期货研究所表 2 展示 2010 年至 2018 年 5 月单品种期货的日收益表现情况, 包括采样天数 ( 自上市以来 ) 平均日收益率 日波动率水平 最大日亏损 最大日盈利 偏度 超额峰度和及其 25% 50% 75% 的分位数情况, 为了防止期货合约换月跳价影响, 主力合约均经过复权处理, 具体算法参照 CTA 量化策略因子系列 表 2: 2010 年至 2018 年商品期货收益表现情况 count mean std min 25% 50% 75% max skewness kurtosis AL 2526-0.0002 0.0104-0.0629-0.0045 0.0000 0.0043 0.0552-0.29529 5.113279 BU 1132-0.0009 0.0169-0.0853-0.0068 0.0000 0.0065 0.0666-0.54532 2.657536 C 2526 0.0000 0.0069-0.0546-0.0029 0.0000 0.0029 0.0412-0.17798 6.338317 CF 2526 0.0000 0.0115-0.0680-0.0046 0.0000 0.0046 0.0586-0.00942 5.060569 CS 836-0.0001 0.0107-0.0497-0.0060 0.0000 0.0054 0.0411 0.072108 1.723631 CU 2526 0.0000 0.0151-0.0657-0.0071 0.0003 0.0075 0.0616-0.15212 2.77021 FG 1331 0.0002 0.0134-0.0521-0.0068 0.0000 0.0069 0.0565 0.123925 1.985541 HC 1021 0.0004 0.0172-0.0790-0.0075 0.0000 0.0084 0.0824-0.13299 3.029232 I 1125 0.0000 0.0217-0.0763-0.0118 0.0000 0.0116 0.0736-0.02223 1.279863 J 1731-0.0002 0.0177-0.0991-0.0078-0.0003 0.0075 0.0911-0.11293 3.81758 JD 1110-0.0003 0.0126-0.0531-0.0063 0.0000 0.0053 0.0606-0.04182 2.760812 JM 1260 0.0001 0.0194-0.0854-0.0092 0.0000 0.0094 0.0916-0.03356 2.838788 2018-05-31 3 / 9
L 2526 0.0000 0.0149-0.0650-0.0074 0.0005 0.0079 0.0685-0.18238 1.836843 M 2526 0.0003 0.0135-0.0567-0.0068 0.0000 0.0076 0.0619-0.09921 2.073642 MA 1599 0.0000 0.0136-0.0648-0.0068-0.0003 0.0065 0.0530 0.04289 2.003532 NI 773 0.0000 0.0164-0.0684-0.0094 0.0006 0.0096 0.0600-0.16515 1.219997 OI 2526-0.0002 0.0123-0.0760-0.0056 0.0000 0.0058 0.0538-0.40303 4.558485 P 2526-0.0004 0.0143-0.0594-0.0077 0.0000 0.0076 0.0544-0.27064 1.731941 PB 1745 0.0000 0.0118-0.0741-0.0055 0.0000 0.0052 0.0696-0.07349 4.83349 PP 1036 0.0004 0.0139-0.0558-0.0072-0.0001 0.0077 0.0520 0.07411 1.279815 RB 2229-0.0001 0.0141-0.0790-0.0064 0.0000 0.0057 0.0665 0.049967 4.28835 RM 1312 0.0004 0.0133-0.0609-0.0068 0.0004 0.0072 0.0562-0.02448 1.662604 RU 2526-0.0005 0.0198-0.0755-0.0111 0.0000 0.0106 0.0650-0.21738 1.064251 SR 2526-0.0001 0.0111-0.0778-0.0056 0.0000 0.0052 0.0455-0.07293 3.036719 TA 2526-0.0001 0.0135-0.0801-0.0065 0.0000 0.0068 0.0560-0.25614 2.7477 V 2190-0.0002 0.0112-0.0487-0.0055 0.0000 0.0050 0.0523-0.01937 3.008629 Y 2526-0.0004 0.0130-0.0649-0.0065 0.0000 0.0065 0.0622-0.31838 2.652476 ZC 1136 0.0003 0.0128-0.0576-0.0054-0.0003 0.0058 0.0448-0.0948 2.429922 ZN 2526-0.0001 0.0155-0.0709-0.0074 0.0003 0.0082 0.0638-0.32518 2.171852 数据来源 : 华泰期货研究所从偏度和峰度可以得到大多数品种的收益率分布不是正态分布,29 个品种里有 24 个品种负偏, 全部具于超额峰度, 尤其玉米 棉花 铝等品种具于较高超额峰度水平, 说明尾部风险较大 图 3: 单品种日收益率分布情况 图 4: 单品种风险价值变化情况 图 3 展示从 29 个品种选取的铝 橡胶和镍的日收益分布情况, 可以看到此三个品种均有不同程度的尖峰肥尾特征, 不属于正态分布 而图 4 的风险价值变化情况, 也可以得到在尾部时具有风险急速放大的情况, 尤其铝和镍在置信水平 95% 以外, 呈现大尾巴的情况, 风险价值水平快速提高 2018-05-31 4 / 9
最后对商品期货收益变量进行 Jarque-Bera 检验, 检验序列是否符合正态分布 Jarque- Bera 检验通过检验随机误差 u i 的近似值残差 e i 的正态性来估计随机误差 u i 的分布, 具体计算 公式如下 : 偏度系数 skewness: 峰度系数 kurtosis: JB 统计量 : S = (x i x ) 3 nσ x 3 K = (x i x ) 4 nσ x 4 JB = n 6 [S2 + (K 3)2 ] 4 其中 n 为样本容量,S 为偏度系数,K 为峰度系数, 假设序列服从正态分布, 根据正 态分布的峰度和偏度定义, 将有 S=0 和 K=3, 即 JB 统计量为 0 若非正态分布,JB 统计 量将为一个逐渐增大的值, 且在以显著性水平 5% 的情况下, 服从正态分布的 JB 统计量临 界值 χ 2 为 5.99147 由图 5 的 Jarque-Bera 正态分布检验可以发现, 单品种的 JB 统计量都比较大, 且 P- Value 都远小于正态分布的 JB 统计量临界值, 证明采样数据的商品期货收益率分布非正态 图 5: 单品种 Jarque-Bera 正态分布检验 图 6:29 个商品期货等权组合的收益率分布 JB 统计量 P-Value 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 AL C CS FG I JD L MA OI PB RB RU TA Y ZN 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 同时对 29 个商品期货等权组合收益率进行 Jarque-Bera 正态分布检验,JB 统计量为 532,P-Value 小于正态分布的 JB 统计量临界值 5.99147 2018-05-31 5 / 9
三 商品期货组合相关性从马科维茨的现代资产组合理论, 认识到资产的分散化可以有效地增加组合的收益率, 同时降低组合的风险水平 在大类资产配置里, 商品投资利用自身与股票 债券之间的低相关性或负相关性, 可以有效分散风险提高收益 在商品期货的投资组合里, 并非越多的商品种类就能达到越多的分散化作用, 如果盲目加入相关性很高的商品投资组合分散因子或品种, 并不能有效的达到风险分散化, 还需要考虑商品期货投资组合间的相关性问题 如表 3 所示, 为保证商品期货投资组合的风险分散性, 在构建组合时尽量包含不同板块的的品种, 从整体平均相关程度上看, 铜 橡胶与其他品种的相关性相比玉米 玉米淀粉 鸡蛋等品种较高 表 3: 29 个商品期货相关性矩阵 数据来源 : 华泰期货研究所四 构建有效的商品期货投资组合根据前文的结论, 无论从单商品还是商品组合的角度出发, 由于它们的收益率分布呈非正态化, 与马科维茨的现代投资组合理论的前提假设 收益率呈正态分布相违背, 使得现代投资组合理论中以方差或标准差量化风险水平的方法, 在构建商品期货投资组合时容易面对收益非正态化引起的尾部风险 在 Artzner et al. 1999 Rockafellar and Uryasev 2000, Embrechts, Kaplanski and Kroll 2003 等人在风险测度等文献中提出以条件涉险价值 (CVaR) 代替另一个广泛使用的风险价值指标 (VaR) 来解决商品投资组合的尾部风险问题 2018-05-31 6 / 9
图 7:VaR 损失概率分布图 图 8:CVaR 损失概率分布图 阴影部分面积为 0.95, 代表损 失小于 5 万的概率有 95% CVaR: 大于 95%VaR 部分 的期望损失为 10 万 95%VaR:5 万 95%VaR:5 万 风险价值指标 (VaR) 表示在市场正常波动下, 在一定概率水平 ( 置信度 ) 下, 某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失 条件涉险价值 (CVaR) 则指某资产组合在给定的持有期内, 损失超过风险价值的条件均值 CVaR 也可称为平均超额损失 (Mean Excess Loss) 期望短缺(Expected Shortfall) 或尾部 VaR(Tail VaR), 反映了超额损失的平均水平 若资产收益率非正态分布, 则尾部风险加大, 风险价值并不能完全反应商品或商品组合的可能的风险水平, 条件涉险价值将远超风险价值水平 图 9: 商品投资组合期望收益与 VaR 有效前沿 图 10: 商品投资组合期望收益与 CVaR 有效前沿 以构建多头商品指数的方法进行商品投资组合测试, 只能做多商品期货主力合约, 限 制每个商品头寸的上限为 25%, 最后利用 SLSQP (Sequential Least SQuares Programming optimization algorithm) 方法进行约束问题的求解配置权重 2018-05-31 7 / 9
-0.100-0.096-0.092-0.088-0.084-0.080-0.076-0.072-0.068-0.064-0.060-0.057-0.053-0.049-0.045-0.041-0.037-0.033-0.029-0.025-0.021-0.017-0.013-0.009-0.005-0.001 0.003 0.007 0.011 0.015 0.019 0.023 0.027 0.030 0.034 0.038 0.042 0.046 0.050 0.054 0.058 0.062 0.066 0.070 0.074 0.078 0.082 0.086 0.090 0.094 华泰期货 量化策略专题 图 11: 商品投资组合 CVaR 有效边界的目标收益率与品种权重变化 AL BU C CF CS CU FG HC I J JD JM L M MA NI OI P PB PP RB RM RU SR TA V Y ZC ZN 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 数据来源 : 华泰期货研究所由图 11 和图 12 显示, 以最优条件涉险价值 CVaR 的不同的预期收益目标观察商品权重的变化, 可以发现品种选择数量越多, 在有效前沿的条件涉险价值 CVaR 越小, 说明不同商品间的不完全相关性起到了分散风险的作用, 与现代投资组合理论的结论一致 图 12: 商品投资组合与 CVaR 关系 商品数量 CVaR 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.01 从收益风险特征发现, 不同的单品种收益分布与风险特征差别很大, 在构建有效的商品组合与单个商品投资对比, 组合具有赚取可能更高的预期收益和不同商品组合风险分散化的降低组合风险的特征, 但是也需要投资者承担更多的条件涉险价值 CVaR 来换取更高的收益 综上所述, 利用马科维茨的现代投资组合理论能够根据风险价值的定义, 构建有效投资组合, 可在回顾历史情境时, 利用模型计算商品最优有效组合权重 但策略构建时, 预期收益与风险测度是模型有效性的关键因素, 本文主要介绍现代投资组合理论的基本原理, 并未对这两者进行详细计算讨论, 仅利用历史平均收益率与历史方差与分布作为拟合未来预期收益与风险, 在实际应用中可采取其他更有效的计算预测方法进行测度使用 2018-05-31 8 / 9
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