ii 内容简介,,,,,,,,,,, 图书在版编目 (CIP) 数据保险风险管理中的破产渐近分析 : 重尾分布 / 杨洋, 王开永著. 北京 : 科学出版社, 2013 ISBN Ⅰ.1 保 Ⅱ.1 杨 2 王 Ⅲ.1 保险企业 - 风险管理 - 研究 Ⅳ. F8

保险风险管理中的破产渐近分析重尾分布杨洋王开永著 ( 国家自然科学基金资助项目 ) 北京科学出版社职教技术出版中心 www.aboo

ii 内容简介,,,,,,,,,,, 图书在版编目 (CIP) 数据保险风险管理中的破产渐近分析 : 重尾分布 / 杨洋, 王开永著. 北京 : 科学出版社, 2013 ISBN 978-7-03-034301-7 Ⅰ.1 保 Ⅱ.1 杨 2 王 Ⅲ.1 保险企业 - 风险管理 - 研究 Ⅳ. F840.32 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2012) 第 094866 号责任编辑 : 王钰杨阳 / 责任校对 : 王万红责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室出版北京东黄城根北街 16 号邮政编码 : 100717 http://www.sciencep.com 印刷科学出版社发行各地新华书店经销 * 2013 年 3 月第一版开本 :B5 (720 1000) 2013 年 3 月第一次印刷印张 :20 字数 :392 000 定价 :70.00 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 ) 销售部电话 010-62135157 编辑部电话 010-62135517-2038 版权所有, 侵权必究举报电话 : 010-64030229; 010-64034315; 13501151303

前言 was it heavy? Did it achieve total heaviosity? Alvie (Woody Allen) to Annie (Diane Keaton) in Annie Hall, 1977. 重尾分析是极值理论中的分支之一, 用于研究由重大事件造成的极端现象它既包括概率模型, 也需要统计分析, 其数学工具主要建立在分布理论正则变换渐近理论和概率测度极限理论上近十年来, 重尾分析广泛应用于保险风险管理中, 其最主要的原因是, 大量极端事件的发生例如,2001 年的 9.11 恐怖袭击 2004 年的印度洋海啸 2005 年的 Katrina 飓风 2008 年的汶川大地震 2010 年的海地大地震 2011 年的日本大地震, 特别是近年来的金融危机等这些极端事件往往带来重尾索赔额等数据显示, 经典的轻尾分布刻画的经验公式存在着明显的偏差, 重尾分析获得的保险公司破产概率的渐近结果更为合理本书以重大灾害风险相关理论为依据, 主要研究重尾风险模型, 包括经典的更新风险模型和一些与保险业息息相关的复杂化的非经典模型, 以及相应破产概率的渐近性问题在一些非经典的风险模型中, 作为主要对象的索赔额过程, 它们之间不必是相互独立的, 如可以是某种负相依关系或其他地相依关系 ; 相应地, 索赔间隔时间过程也可以不必相互独立 ; 但我们仍然要求索赔额过程与索赔间隔时间过程彼此是相互独立的尽管本书研究了各种经典与非经典的风险模型, 但它们都有两点共同之处 : 其一, 每个索赔额到达时, 造成保险公司的索赔额或者净损失分布都是重尾的, 特别是次指数或带有控制变换尾的在保险业, 特别是财产保险业中, 许多重大的风险都是由一个 ( 或一些 ) 大额索赔造成, 其分布往往是重尾而非轻尾的因此, 本书将重尾风险模型作为主要的研究对象其二, 各种破产概率渐近性的研究, 与极限理论中的大偏差理论, 随机游动理论和分布理论等紧密相关因此, 本书将以此作为重尾风险理论研究的主要工具本书的结构如下 : 第 1 章给出本书的研究背景和经典的风险模型, 包括本书常用的一些风险量, 并给出 Cramér-Lundberg 风险模型中轻尾索赔额时破产概率的估计 ; 第 2 章详细介绍重尾分布的特征和常用的重尾分布子族, 如正则变换科学出版社职教技术出版中心 www.aboo

ii 保险风险管理中的破产渐近分析重尾分布长尾分布控制变换尾分布次指数分布等 ; 第 3 章和第 4 章分别介绍带利率和不带利率的多种重尾风险模型, 包括各种相依的风险模型复合更新风险模型带红利干扰的风险模型等, 研究这些经典或者非经典风险模型中有限时破产概率和无限时破产概率的渐近性以及一致渐近性 ; 第 5 章以随机加权和尾概率的研究为基础, 讨论带保险风险和金融风险的离散时风险模型 ; 第 6 章简单介绍大偏差理论, 包括精致大偏差和粗略大偏差, 并且研究独立更新风险模型中, 带有固定初始资本的有限时破产概率的渐近性本书的第 1~4 章和第 6 章由杨洋编写, 第 5 章由王开永编写第 3 章和第 6 章的内容包含我的博士毕业论文, 在此对我的博士生导师苏州大学王岳宝教授致以深深的感谢, 感谢他悉心的指导和热情的鼓励 ; 本书的第 3 和第 4 章是我在立陶宛 Vilnius University 访学期间完成, 这两章内容得到了 Remigijus Leipus 教授和 Jonas Šiaulys 教授的讨论和帮助, 在此对他们表示衷心的感谢 ; 同时我还要深深的感谢南京审计学院方习年教授和东南大学林金官教授, 他们在很多方面给予了我关心帮助和大力支持 ; 最后感谢国家自然科学基金 (11001052) 江苏省自然科学基金 (BK2010480) 江苏省青蓝工程和南京审计学院学术专著出版资助项目对本书的资助由于编者水平有限, 书中纰漏在所难免, 恳求广大读者批评指正杨洋 2012 年 2 月

目录前言第 1 章引论 1 1.1 风险过程与破产概率 3 1.2 索赔额分布 7 1.2.1 轻尾分布 8 1.2.2 重尾分布 9 1.2.3 常见的重尾分布子族及其性质 10 1.3 索赔到达过程 14 1.4 Cramér-Lundberg 估计 18 第 2 章重尾分布 27 2.1 重尾分布族及其性质 27 2.2 正则变换 30 2.3 长尾函数与长尾分布 34 2.4 次指数分布 42 2.5 控制变换尾分布与 b 正则函数 57 2.6 重尾分布间的控制关系 61 第 3 章不带利率的重尾风险模型 73 3.1 Veraverbeke 定理 73 3.2 独立增量随机游动极大值尾概率的估计 80 3.3 两类相依风险模型的无限时破产概率 88 3.3.1 带有被调节索赔额过程破产概率的渐近性 91 3.3.2 带有负上象限相依索赔额过程破产概率的渐近性 96 3.4 带有次指数索赔额独立风险模型的有限时破产概率 98 3.5 带有负下象限相依索赔时间间隔风险模型的有限时破产概率 104 3.6 红利干扰模型中的无限时破产概率 117 3.6.1 随机游动极大值尾概率的渐近性 117 3.6.2 负相协更新门限超出概率的渐近性 123 3.6.3 红利干扰风险模型中破产概率的渐近性 127 科学出版社职教技术出版中心 www.aboo

iv 保险风险管理中的破产渐近分析重尾分布第 4 章带利率的重尾风险模型 131 4.1 独立风险模型中的有限时破产概率 132 4.2 负相依风险模型中的有限时破产概率 140 4.3 负相依复合更新风险模型中的有限时破产概率 157 4.3.1 控制变换情形下随机和尾概率的估计 158 4.3.2 Gumbel 最大值吸引场情形下随机和尾概率的估计 163 4.3.3 相依复合更新风险模型中破产概率的渐近性 168 4.4 宽象限相依更新风险模型中有限时破产概率的一致渐近性 170 第 5 章随机加权和 191 5.1 独立随机加权和 191 5.1.1 有界权重情形 191 5.1.2 一般权重情形 209 5.2 相依随机加权和 222 5.2.1 上尾独立情形 222 5.2.2 准渐近独立情形 233 第 6 章大偏差理论 247 6.1 大偏差理论简介及回顾 248 6.2 独立次指数随机变量差的精致大偏差及应用 251 6.2.1 精致大偏差结果 252 6.2.2 随机游动首次上穿时的尾渐近性 264 6.2.3 固定的初始资本下有限时破产概率的渐近性 271 6.3 带控制变换尾实值随机变量和的精致大偏差 274 6.3.1 负相协随机变量的基本更新定理 274 6.3.2 控制变换尾分布族随机变量和的精致大偏差 Ⅰ 279 6.3.3 控制变换尾分布族随机变量和的精致大偏差 Ⅱ 283 6.4 粗略大偏差 291 6.4.1 非负随机变量和的粗略大偏差 291 6.4.2 实值随机变量和的粗略大偏差 294 数学符号和缩写 301 主要参考文献 303

科学出版社职教技术出版中心 www.aboo