2011 高雄市第 51 屆中小學科學展覽會作品說明書科 ( 類 ) 別 : 數學科 組 別 : 國小組 作品名稱 : 識途老馬 - ㄎㄚ厲害 關鍵詞 : 西洋棋 棋盤 馬步 編號 :1506
目錄 摘要... 1 壹 研究動機... 1 貳 研究目的... 1 參 研究設備及研究設備及器材... 1 肆 研究研究問題... 1 伍 研究研究方法... 2 陸 研究結果... 2 柒 討論... 13 捌 結論... 15 玖 心得與展望... 16 拾 參考書籍... 16
識途老馬 - ㄎㄚ厲害摘要 本研究主要在探討西洋棋中騎士馬的走法與棋盤的關係, 以及要用什麼方法能很快找到行走的路線, 而走完整個棋盤的格子 結果發現, 在正方形棋盤中, 奇數 奇數的棋盤都可以走完 (3 3 除外 ), 但是不能走透透 ( 循環 ); 而偶數 偶數的棋盤 (2 2 4 4 除外 ), 任何格子都能當起點而走透透 此外, 長方形棋盤中, 只要 m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1, 就可以走完 壹 研究動機 暑假的某一天, 我在電視上看到哈利波特的電影, 電影裡的主角喜歡玩巫師棋, 我覺得很有趣, 於是就跑去問爸爸巫師棋到底要怎麼玩? 爸爸告訴我, 巫師棋其實就是所謂的西洋棋 爸爸看我這麼感興趣, 馬上帶我到書局去買了一組西洋棋回家玩 起初, 我對棋子的走法感到陌生, 但經過爸爸的解說及多次的練習之後, 我總算會玩了 其中最令我感到好奇的是騎士馬的走法, 因為中國的象棋也有馬, 象棋的 馬 是走 日 字型, 與西洋棋的騎士馬, 步法有沒有一樣呢? 它能走遍所有的格子嗎? 假如改變棋盤的形狀, 是不是也能走完呢? 這一連串的問題出現在我的腦海中, 為了徹底瞭解馬步與棋盤的關係, 我就邀請同學一起來探討, 後來在老師的指導下, 完成了下面的研究 貳 研究目的 一 瞭解正方形棋盤中馬步的走法, 畫出簡單 (2 2) 到複雜 (11 11) 棋盤行走的路線, 並研究當起點和終點改變位置時, 能走完棋盤 ( 走透透 ) 的行走路線 二 瞭解長方形棋盤中馬步的走法, 找出哪些棋盤能走透透 ( 循環 ), 並以任何格子為起點, 確定是否能走完棋盤 三 從遊戲中來學數學, 大家腦力激盪, 寓教於樂, 引起對數學的興趣 一 西洋棋二 格子紙三 筆四 尺 参 研究設備及器材 肆 研究問題 棋盤中馬步的起點很重要, 是不是棋盤中每個格子都能當作第一個起點, 而走透透呢? 一 正方形棋盤 (m=n) 從 2 2 到 11 11, 哪些棋盤可以走透透 ( 循環 )? 1
二 長方形棋盤,n( 楚河 ) 固定,m( 人數 ) 增加, 哪些棋盤可以走完? 如圖 ( 一 ) 三 長方形棋盤,m( 人數 ) 固定,n( 楚河 ) 增加, 哪些棋盤可以走完? 如圖 ( 二 ) 四 改變正方形棋盤中馬步的走法為, 是不是能走完所有的格子? 假如不能走完, 最多能走幾格? 能不能循環走一圈? 伍 研究方法 棋盤中馬步行走的規則如下 : 一 在棋盤上, 先選擇一個格子當起點, 依照馬步的走法, 畫完所有的格子, 如右圖 起點是 5, 終點是 9, 共走了 11 步 ( 不包括起點 ), 走完所有的格子 二 格子不可重複走過, 只能走一次 三 改變起點的位置, 再走看看, 是不是也能走透透呢? 四 右表 4 3 棋盤, 起點和終點都在兩側, 才能走完 格子位置是 1 5 9 4 8 12 一 正方形棋盤 : ( 一 )3 3 棋盤 陸 研究結果 發現 1. 以角落 7 為起點, 剩中間 5 沒走完 2. 以 8 為起點, 剩中間 5, 也不能完成 ( 二 )4 4 棋盤 發現 1. 以 1 為起點, 剩角落 4, 不能完成 2. 以邊 14 15 為起點, 剩角落 4, 不能完成 3. 以中間 6 7 為起點, 剩角落 1 4, 不能完成 2
( 三 )5 5 棋盤 發現 1. 以格子位置是 1 3 5 7 9 等奇數為起點, 都可走完 2. 以格子位置是 2 4 6 等偶數為起點, 都不可走完 3. 行走方法為一奇一偶, 全部為 13 個奇數,12 個偶數, 起點和終點都在奇數格子上 ( 四 )6 6 棋盤 發現 1. 以任何格子當起點都可走完, 形成一個循環 2. 畫出來的圖形很漂亮, 有規則 3. 有四種圖案, 請參閱紀錄 ( 五 )7 7 棋盤 3
發現 1. 以格子位置是奇數來當起點都可走完 起點終點都在格子數字是奇數的位置上 2. 以格子位置是偶數當起點都不能走完 ( 六 )8 8 棋盤 發現 1. 以任何格子當起點, 都可走完, 形成一個循環 2. 畫出來的圖形是對稱的, 有規則, 請參閱紀錄 3. 西洋棋就是用這個棋盤, 用分解法容易畫出來 ( 七 )9 9 棋盤 發現 1. 先由外面兩圈畫完, 剩下裡面 5 5 棋盤 2. 再從格子位置是奇數的, 當做起點, 即可走完 4
( 八 )10 10 棋盤 發現 1. 以任何格子當做起點, 都可走完 2. 用分解法來組合, 可分成 5 5 棋盤四組或 10 5 棋盤兩組 ( 九 )11 11 棋盤 發現 1. 走法與 7 7 棋盤一樣, 先由外圈沿著四邊畫框畫到內圈, 再由內圈畫到外圈或在內圈結束 2. 以格子位置是奇數 ( 如 117 13) 當做起點 終點, 才能走完棋盤 二 長方形棋盤 : ( 一 )n( 楚河 ) 固定,m( 人數 ) 增加, 哪種棋盤能走完? 起點和終點在哪個格子上? 1. n=2, 如右表和操作紀錄 3 2( 只能走一步 ) 4 2( 只走一半步 ) 5 2( 只走二步 ) 6 2( 只走二半步 ) 7 2( 只走三步 ) 8 2( 只走三步半 ) 9 2( 只走四步 ) 10 2( 只走四步半 ) 5
2. n=3, 如下表和操作紀錄 2 3( 不能走完 ) 3 3( 不能走完 ) 4 3( 可以走完, 如行走規則 ) 5 3( 不能走完, 最多剩一格 ) 6 3( 不能走完, 最多剩二格 ) 7 3( 可走完 ) 8 3( 可走完 ) 9 3( 可走完 ) 10 3( 可循環 ) 發現 (1) 不能走完, 還剩一格 (2) 改變起點, 甚至會剩三格 發現 (1) 不能走完, 還剩二格 (2) 改變起點, 也是不能走完, 剩 11 12 發現 (1) 要走完所有的格子, 起點要在格子是奇數的位置上, 但是以中間 11 當起點卻不能走完 (2) 用格子位置是偶數的當做起點, 不能走完 6
發現 (1) 要走完棋盤, 要以上面打圈的格子當起點才可走完 (2) 可當起點的格子位置, 奇數和偶數一樣多 發現 (1) 起點和終點都在格子位置是奇數的位置上才可走完 發現 (1) 起點 1 和終點 22, 可以相通, 剛好形成一個循環 (2) 以任何格子當起點, 都可以走透透 (3) 當 m 10,m 是偶數時,m 3 的棋盤可以走透透 當 m 9,m 是奇數時,m 3 的棋盤可以走完, 起點在格子是奇數的位置上 7
3. n=4, 如下表及操作紀錄 2 4( 不能走完 ) 3 4( 如前面 4x3 棋盤 ) 4 4( 不能走完 ) 5 4( 可走完 ) 6 4( 可走完 ) 7 4( 可走完 ) 8 4( 可走完 ) 9 4( 可走完 ) 10 4( 可走完 ) 8
發現 (1) 起點和終點都在棋盤的上下兩側 (2) 只有 2 4 4 4 棋盤不能走完 (3) 有一種方法就是把所有格子數的一半, 如上圖 40 2=20, 第 20 21 個格子 ( 含起點 ) 放在中間的地方, 再按照一外一內的方法, 就可以完成了 4. n=5, 如下表及操作紀錄 2 5( 不能走完 ) 3 5( 不能走完 ) 4 5( 如前面操作 5x4) 5 5( 如前面操作 ) 6 5( 可走完 ) 7 5( 可走完 ) 8 5( 可走完 ) 9 5( 可走完 ) 10 5( 可循環 ) 9
發現 (1)6 5 棋盤還差兩格 14 和 17, 不能當起點 (2)7 5 和 9 5 都要以格子位置是奇數當起點才可走完 (3) 若要循環,m 10,m 是偶數,m 5 棋盤才可走完 (4) 數字太大, 用分解棋盤的方法, 很簡潔又快速 10
5. n=6, 如下表及操作紀錄 2 6( 不能走完 ) 3 6( 不能走完 ) 4 6( 可走完 ) 5 6( 可走完 ) 6 6( 循環 ) 7 6( 循環 ) 8 6( 循環 ) 9 6( 循環 ) 10 6( 循環 ) 發現 (1)m 6 棋盤中, 當 m 6 時, 全部格子都可以當起點, 循環走透透 6. n=7, 如下表及操作紀錄 2 7( 不能走完 ) 3 7( 可走完 ) 4 7( 可走完 ) 5 7( 可走完 ) 6 7( 循環 ) 7 7( 可走完 ) 8 7( 循環 ) 9 7( 可走完 ) 10 7( 循環 ) 11
發現 (1)m 7 棋盤中,m 3,m 是奇數, 棋子可以走完 (2)m 6,m 是偶數, 棋子可以走透透 ( 循環 ) (3)2 7 只能走三步 7. n=8, 如右表及操作紀錄 2 8( 不能走完 ) 3 8( 可走完 ) 4 8( 可走完 ) 5 8( 可走完 ) 6 8( 循環 ) 7 8( 循環 ) 8 8( 循環 ) 9 8( 循環 ) 10 8( 循環 ) 8. n=9, 如右表及操作紀錄 2 9( 不能走完 ) 3 9( 可走完 ) 4 9( 可走完 ) 5 9( 可走完 ) 6 9( 循環 ) 7 9( 可走完 ) 8 9( 循環 ) 9 9( 可走完 ) 10 9 ( 循環 ) ( 二 ) 長方形棋盤,m( 人數 ) 固定,n( 楚河 ) 增加, 棋盤和前面一樣, 本來是橫放, 現在改成直立起來, 所以結果和前面棋盤一樣 ( 三 ) 正方形棋盤中, 改變馬步走法為, 從 4 4 8 8 棋盤, 發現不能走完所有的格子, 如下表及紀錄, 但是卻可以循環走一圈 12
柒 討論 一 西洋棋騎士馬與象棋的馬步是一樣的, 只不過一個是走在格子裡, 另一個則走在線上, 如下圖, 騎士馬走一步是, 象棋馬走一步是, 在長方形棋盤中, 騎士馬 能走完的最小棋盤是 4 3, 走法和象棋馬一樣 (3 2), 不同的是格子長度, 楚河 (n) 和人數 (m) 都差 1 二 m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1 都可以走完, 如 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 等棋盤 13
三 馬步的起點選錯位置, 就不能走完, 並不是所有的棋盤都能走完 如分解 6 3 和 5 3 棋盤 6 3( 最少剩兩個空格 ) 5 3( 最少剩兩個空格 ) 四 正方形 3 3 棋盤, 中間無法走入 4 4 棋盤角落剩一個空格, 無法走進去 五 用什麼方法能很快找到行走的路線而走完呢? ( 一 ) 先找到起點, 奇數 奇數的棋盤, 起點和終點一定在格子位置是奇數的棋盤上 但是也有例外, 如 7 3 棋盤選 11 當起點也不能走完所有的格子 ( 二 ) 分割棋盤是一個很經濟有效的識別法 尤其是數字很大的棋盤, 如 10 10, 用四組 5 5 棋盤, 就能很快的發現能不能走透透 不過這種方式不適合 m 4 棋盤, 因為他們的起點終點都在棋盤的上下兩外側, 根本無法連接起來, 如 6 4=3 4+3 4 ( 三 )m 4 棋盤的起點和終點在上下兩外側, 那麼棋盤的中間點一定在內側, 如下表 6 4 2=12, 先把第 12 13 點畫在內側, 然後按照一外一內的順序, 就可以畫出行走的路線了 ( 四 ) 正方形棋盤的類型有偶數型和和奇數型兩種 : 1. 偶數型的 : 畫出來的路線比較有規則, 所以可沿著邊, 有順序的由外向內或由內 2. 奇數型的 : 向外循環的圍繞就可以畫出來了 (1) 邊長 5 9 13 等 2n+1 型,n 2,n 是偶數 ; 從角落先出發, 由外圈兩行畫 完後, 再進入中心 5 5 棋盤, 最後在中心點結束 (2) 邊長是 7 11 15 等 2n+3 型,n 2,n 是偶數 ; 從角落出發, 由外圈兩行 畫完後, 再進入中間的 7 7 棋盤, 再走到外圈剩下的空格, 在外圈結束 ( 五 ) 改變馬走法成, 無法把全部格子走透透, 走完最多的格子數是棋盤格子總數 m n 的一半, 把棋盤畫成黑白兩色, 棋子只走在白色的格子上, 比較容 易畫出來 如紀錄及右表 14
捌 結論 n 一 選擇起點很重要, 選錯起點位置就走不完, 因此, 並不是所有的棋盤馬步都能走完 把研究結果整理如下表 ; 從表中知道 m n 3, 才可能走完 不能走完打 可走完打 Δ 循環 ( 走透透 ) 打 m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 Δ Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 5 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 6 Δ Δ 7 Δ Δ Δ Δ Δ 8 Δ Δ Δ 9 Δ Δ Δ Δ Δ 10 Δ 二 正方形棋盤 : ( 一 )3 3 4 4 不能走完, 都差一格 ( 二 )5 5 7 7 9 9 等奇數 奇數的棋盤都可走完, 但是不能走透透, 因為起點和終點都在格子位置是奇數的號碼上 ( 三 ) 偶數 偶數的棋盤, 除了 2 2 4 4 外, 都可完成 ; 任何格子都能當起點 終點而走透透 最小的棋盤可以走透透的是 6 6 棋盤 三 長方形棋盤 : ( 一 ) 最小可以走完的棋盤是 4 3(3 4) ( 二 ) 最小可以走透透的棋盤是 10 3(3 10) ( 三 )m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1 時, 棋盤都可走完, 但是 m n 3 ( 四 )m 3 棋盤中, 除了 2 3 3 3 5 3 6 3 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 10, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 五 )m 4 棋盤中, 除了 2 4 4 4 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 起點 終點都在棋盤上下側 ( 六 )m 5 棋盤中, 除了 2 5 3 5 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 10, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 循環 ) ( 七 )m 6 棋盤中, 除了 2 6 3 6 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 6, 棋子可以走透透 ( 八 )m 7 棋盤中, 除了 2 7 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 6, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 九 )m 8 棋盤中, 除了 2 8 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 6, 棋子可以走透透 15
( 十 )m 9 棋盤中, 除了 2 9 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 6, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 十一 )m 10 棋盤中, 除了 2 10 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完 當 m 5, 棋子可以走透透 四 在正方形棋盤中, 改變馬步的走法, 格子不能全部走透透, 但是可以循環走一圈 在棋盤中, 當 m n= 偶數時, 最多能走完的格子數 ( 含起點 )=m n 2( 但是 4 4 例外 ); 當 m n= 奇數時, 最多能走完的格子數 ( 含起點 )=(m n-1) 2 正方形棋盤 最多能走格子數 ( 含起點 ) 計算公式 4 4 6 例外 5 5 12 (5 5-1) 2=12 6 6 18 6 6 2=18 7 7 24 (7 7-1) 2=24 8 8 32 8 8 2=32 五 馬步的格子是 3 2=6, 因此格子總數是 6 的倍數, 大多都能走完, 但是 6 3 棋盤例外 玖 心得與展望 一 半年多來, 大家辛苦的研究, 發揮互助合作的精神, 總算能找到一些馬步行走的方法, 並且知道哪些棋盤可以走透透, 也因此明白象棋和西洋棋的棋盤要如何設計, 馬步才能走透透 我希望可以自己設計出新式棋盤 ( 如 6 6 7 6 或 7 8 的棋盤 ), 讓大家使用 二 未來, 我們要繼續研究馬步的走法, 如改成, 是不是也能走完所有的格 子? 或是最少能走完幾格? 此外, 我們還想要用馬步走法來設計出更有趣的遊戲 拾 參考書籍 一 萬家睿 ( 民 97) 生活數學 DIY 高雄市: 前程 二 曾蘭英 ( 民 74) 靈機妙算 台北市: 凡異 三 王登傳 ( 民 80) 少年數學遊戲大觀第 14 集 高雄市 : 前程 16
活動照片 說明 : 在格子紙上畫出各種馬步的走法 說明 : 在格子紙上畫出各種馬步的走法 說明 : 大家將自己找出的馬步走法畫在黑板 上, 方便討論 說明 : 大家練習西洋棋的走法 17
佐證資料 壹 正方形棋盤 (m=n) 18
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貳 長方形棋盤 (m 增加 n 固定 ) 一 n=2 二 n=3 21
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三 n=4 23
24
四 n=5 25
26
五 n=6 27
六 n=7 28
七 n=8 八 n=9 29
參 改變馬步走法 ( 正方形棋盤 ) 30