机械振动 ( 一 ) 本节课大纲 知识结构 知识点梳理 典型例题 简谐运动 1. 水平弹簧振子由 三部分构成. 2. 弹簧振子初始的静止位置叫, 弹簧振子振动起来 后, 该位置处于往复运动的 位置. 3. 如果质点的位移与时间的关系遵从 函数的规律, 即它的 振动图象 (x-t 图象 ) 是一条 曲线, 这样的振动叫做简谐运动, 简谐运 动是 最基本的振动. 弹簧振子的振动就是 运动. 4. 简谐运动的图象是一条 曲线, 表示做简谐运动的质点 随 的变化规律. 简谐运动的描述 1. 简谐运动是 性运动, 描述需要更多的物理量. 如 等, 这些物理量都是量. 2. 做简谐运动的物体, 完成 所需要的时间叫周期 ; 单位 时间内完成 的次数叫频率. 3. 简谐运动的方程 ( 即表达式 )x=asin(ωt+φ) 其中 A 叫 (ωt+φ) 叫,φ 叫做. 1
简谐运动的回复力和能量 1. 在简谐运动中, 物体所受的力是 力, 因此简谐运动是 运动. 2. 回复力是根据力的 ( 选填 性质 或 效果 ) 命名的, 可能 由合力 或某个力的分力提供. 表达式 :F=. 即回复力与物体的位移大小成, 表明回复力与位移方向始终相反,k 是一个常数, 由振动系统决定. 单摆 1. 单摆由 组成. 2. 单摆的小角度摆动为, 其周期 频率与振幅大小 无关. 3. 单摆的周期公式 T= 4. 由单摆的周期公式得 g= g. 可见, 只要测出单摆的摆长和周期, 就 可测出当地的重力加速度. 3. 简谐运动的能量一般指振动系统的. 振动的过程就是和互相转化的过程. 振动系统的机械能跟有关, 越大, 机械能就越大, 振动越强. 一个确定的简谐运动是振动. 外力作用下的振动 1. 如果振动系统不受 的作用, 此时的振动叫做固有振动, 其振 动频率称为. 2. 振动系统受到阻力作用时, 我们就说振动受到了, 系统 克服阻力要做功, 消耗, 因而 减小, 最后停下来. 3. 给阻尼振动提供的周期性外力叫, 系统在 作用下的 振动, 叫受迫振动. 受迫振动的周期和频率与无关. 如何判断一个运动是否简谐运动? 例 1 用质量不计的弹簧竖直悬挂一质量为 m 的物体, 静止时位于 点, 将物体拉至 点释放. 证明 : 物体的运动是简谐运动. F f l 0 x 0 x G 2
如何判断一个运动是否简谐运动? 简谐运动的对称性和周期性 总结 : 判定一个机械振动是否为简谐运动的步骤 : 1. 确定平衡位置 ( 振动前相对静止处 ) 2. 找回复力 F 回 3. 证明 :F 回 =-kx 易错点 : 将回复力与弹簧弹力混淆, 将位移与弹簧形变量混淆 F f 0 l x 0 x 例 2 一水平弹簧振子由平衡位置开始做简谐运动, 周期为 T 则在 1 t 时刻 ( 1 t <T/4) 与 2 t 时刻 ( 2 t = 1 t + T/2), 则下列判断正确的 ( ) A 振子的速度相同 振子的加速度相同 振子的动量相同 D 振子具有的弹性势能相同 E 振子的动能相同 F 弹簧的长度相同 G 例 3 一弹簧振子从 点开始做简谐运动, 它从 点第一次到达 点附近的 M 点, 用了时间 3s s, 再经过 2s, 振子再次经过 M 点, 则振子第三次经过 M 点, 还要经过时间 s 例 4 如图所示, 一个轻弹簧竖直固定在水平地面上, M 点为轻弹簧竖直放置时弹簧顶端位置, 将一个小球轻放在弹簧上, 在小球下落的过程中, 小球以相同的动量通过 A 两点, 历时 0.1s, 过 点后再经过 0.1s, 小球再一次通过 点, 小球在 0.2s 内通过的路程为 6cm,N 点为小球下落的最低点, 则小球在下降的过程中 : ⑴ 下落到最低点的时间为 ; ⑵ 下落的最大高度为 ; ⑶ 小球做简谐运动的振幅为 ; ⑷ 小球在最低点 N 点的加速度大小 重力加速度 g( 填 > = <) M A N 简谐运动的对称性和周期性 变式 两木块 m M, 用劲度系数为 k 的轻弹簧连在一起,M 放在水平地面上, 将木块 m 压下一段距离后释放, 它就上下做简谐运动, 如图. 在振动过程中, 木块 M 刚好不离开地面. 则木块 m 的最大加速度和木块 M 对地面的最大压力为多少? m M m am g m Fm 2( M m ) g M 3
例 5 质量 m=1.0kg 的甲物体与竖直放置的轻弹簧的上端连接, 弹簧下端固定在地面上, 如图所示 质量 m=1.0kg 的乙物体从甲物体正上方, 距离甲物体 h=0.40m 处自由落下, 撞在甲物体上在极短的时间内与甲物体粘在一起 ( 不再分离 ) 向下运动 它们到达最低点后又向上运动, 上升的最高点比甲物体初始位置高 H=0.10m 已知弹簧的劲度系数 k=200n/m, 且弹簧始终在弹性限度内, 空气阻力可忽略不计, 重力加速度 g 取 10m/s 2 求: (1) 乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能 ; 例 6 公路上匀速行驶的货车受一扰动, 车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板. 一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动, 周期为 T. 取竖直向上为正方向向, 以某时刻作为计时起点, 其振动图象如图所示, 则 : A. t=t/4 时, 货物对车厢底板的压力最大. t=t/2 时, 货物对车厢底板的压力最小 x. t=3t/4 时, 货物对车厢底板的压力最大 D. t=3t/4 时, 货物对车厢底板的压力最小 T/2 T o t (2) 乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动至最低点的过程中, 乙物体和甲物体克服弹簧弹力所做的功 变式 : 一单摆做小角度摆动, 其振动图像如下图所示, 以下说法中正确的是 : A.t 1 时刻摆球速度最大, 悬线对小球的拉力最小.t 2 时刻摆球速度为零, 悬线对小球的拉力最小.t 3 时刻摆球速度最大, 悬线对小球的拉力最大 D.t 4 t 时刻摆球速度最大, 悬线对小球的拉力最大 x o t 1 2 t 3 t 4 t t 简谐运动与动力学的结合 例 7 如图所示, 一轻弹簧与质量为 m 的物体组成弹簧振子, 物体在同一条竖直线上的 A 间做简谐运动, 为平衡位置, 为 A 的中点, 已知 =h, 振子的周期为 T, 某时刻物体恰好经过 点并向上运动, 则从此时刻开始的半个周期的时间内, 下列说法正确的是 A 重力做功为 2mgh 重力的冲量大小为 mgt/2 合外力的冲量为零 D 合外力做功为零 4
例 8 (07 北京 ) 如图所示的单摆, 摆球 a 向右摆动到最低点时, 恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球 b 发生碰撞, 并粘在一起, 且摆动平面不变 已知碰撞前 a 球摆动的最高点与最低点的高度差为 h, h 摆动的周期为 T,a 球质量是 b 球质量的 5 倍, 碰撞前 a 球在最低点的速度是 b 球速度的一半 则碰撞后 A 摆动的周期为 5 6 T 摆动的周期为 6 5 T 摆球最高点与最低点的高度差为 0.3h D 摆球最高点与最低点的高度差为 0.25h 单摆的等效问题 例 9 已知某摆长为 1m 的单摆在竖 直平面内做简谐运动, 取 π 2 =g, 求 : (1) 该单摆的周期为 ; (2) 若将该单摆移到表面重力加速度为地球表面重力加速度 1/4 倍的星球表面, 则其振动周期为 ; (3) 若在悬点正下方摆长中点处钉一光滑小钉, 则该单摆的振动周期为 ; (4) 如图所示, 若将该单摆钉在倾角为 30 0 的光滑斜面上, 则其摆动的周期为 单摆中关于 g 的综合问题 例 10 两个单摆摆长相同, 一个静止于地面, 一个静止在悬浮于高空的气球中 地面上的单摆摆动了 n 次全振动时, 气球中的单摆摆动了 n-1 次全振动 已知地球半径为 R, R 求气球的高度? 关于计时 例 11 某摆钟从甲地移至乙地后变慢了, 该钟变慢的原因及调整方法是 : A. 两地重力加速度 g 甲 >g 乙.. 两地重力加速度 g 甲 <g 乙.. 应将该钟摆摆长缩短. D. 应将该钟摆摆长加长. 例 12 如图, 一块涂有碳黑的玻璃板, 质量为 2kg, 在拉力 F 的作用下, 由静止开始竖直向上做匀变速运动, 一个装有水平振针的振动频率为 5Hz 的固定电动音叉在玻璃板上画出了图示曲线, 量得 A=1cm,=4cm,=9cm, 求外力的大小.(g=10m/s 2 ) 变式 : 一单摆在山脚下时, 在一定时间内振动了 N 次, 将此单摆移至山顶上时, 在相同时间内振动了 N-1 次, 则此山高度约为地球半径的多少倍? 5
受迫振动 共振 例 13 (06 全国 ) 一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子, 图 1 所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动 匀速转动把手时, 曲杆给弹簧振子以驱动力, 使振子做受迫振动 把手匀速转动的周期就是驱动力的周期, 改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期 若保持把手不动动力的动, 给砝码一向下的初速度, 砝码便做简谐运动, 振动图线如图 2 所示 当把手以某一速度匀速转动, 受迫振动达到稳定时, 砝码的振动图线如图 3 所示 若用 T 0 表示弹簧振子的固有周期,T 表示驱动力的周期,Y 表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅, 则 A. 由图线可知 T 0 =4s. 由图线可知 T 0 =8s. 当 T 在 4s 附近时,Y 显著增大, 当 T 比 4s 小得多或大得多时,Y 很小 D. 当 T 在 8s 附近时,Y 显著增大 ; 当 T 比 8s 小得多或大得多时,Y 很小 例 14 如图所示为两个单摆受迫振动中的共振曲线, 则下列说法正确的是 ( ) A. 两个单摆的固有周期之比为 T 1 :T 2 =2:5. 若两个受迫振动是在同一星球同一地点进行, 则两个摆长之比为 :L 1 :L 2 =4:25. 图线 Ⅱ 若是在地面上完成的, 则该摆摆长约为 1m D. 若两个受迫振动分别在月球和地球上进行, 且摆长相等, 则图线 Ⅱ 是月球上单摆的共振曲线 例 15 把一个筛子用四根弹簧支起来, 筛子上装一个电动偏心轮, 它每转一周, 给筛子一个驱动力, 这就做成了一个共振筛 不开电动机让这个筛子自由振动时, 完成 20 次全振动用 15s; 在某电压下, 电动偏心轮的转速是 88r/min 已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高, 而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期 为使共振筛的振幅增大, 以下做法正确的是 ( ) A. 降低输入电压. 提高输入电压. 增加筛子质量 D. 减小筛子质量 6