复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一 复合函数的求导法则 二 复合函数的全微分 返回
设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î D Ì D, 则可构成复合函数 :
z = F( s, t) = f ( j( s, t), y ( s, t) ), ( s, t) Î D. (3) 其中 (1) 为内函数, () 为外函数, (, y ) 为中间变量, ( s, t ) 为自变量. 下面将讨论复合函数 F 的可微性, 并导出 F 的偏导数与全微分的复合运算法则. 定理 17.5 若 = j( s, t), y = y ( s, t) 在点 ( s, t) Î D 可微, z = f (, y) 在点 (, y) = ( j( s, t), y ( s, t)) 可微, 则复合函数 z = f ( j( s, t), y ( s, t) ) 在点 ( s, t) 可微, 且关于 s 与 t 的偏导数分别为
z z z y = + s s y s ( s, t ) (, y) ( s, t ) (, y) ( s, t ) z z z y = + t t y t ( s, t ) (, y) ( s, t ) (, y) ( s, t ),. (4) 证由假设 = j( s, t), y = y ( s, t) 在点 ( s, t) 可微, 于 是 D = D s + D t + a D s + b Dt s t y y D y = D s + D t + a D s + Dt s t 1 1, b, (5) (6)
其中 ( Ds, D t) (0,0) 时 ( a1, b1, a, b ) (0,0,0,0). 又由 z = f (, y ) 在点 (, y) 可微, 故有 z z D z = D + D y + a D + b D y, (7) y 其中 ( D, D y) (0,0) 时,( a, b ) (0,0), 并可补充定义 : 当 D = D y = 0 时, a = b = 0. 现把 (5), (6) 两式代入 (7) 式, 得到 æ z ö æ ö Dz = ç + a D s + D t + a1 D s + b1 D t + ç s t è ø è ø
æ z y y b ö æ s t a s b t ö + ç + D + D + D + D y ç s t è ø è ø. 整理后又得 æ z z y ö D z = ç + s s y s D è ø æ z z y ö + ç + D t + a D s + b Dt, t y t è ø 其中 z z y a = a + a + a + b + a a + b a y s s 1 1, (8) (9)
z z y b = b + b + a + b + a b + b b y t t 1 1. ( a, b, a, b ) (0,0,0,0). 1 1 (10) 由于 j( s, t), y ( s, t) 在点 ( s, t ) 可微, 因此它们在点 ( s, t ) 都连续, 即当 ( Ds, D t) (0,0) 时,( D, D y) (0,0), 从而也有 ( a, b ) (0,0), 以及 于是在 (9), (10) 两式中, 当 ( Ds, D t ) (0,0) 时, 有 ( a, b ) (0,0). 故由 (8) 式推知复合函数 (3) 可微, 并求得 z 关于 s 和 t 的偏导数公式 (4).
公式 (4) 也称为链式法则. 注如果只是求复合函数 f ( j( s, t), y ( s, t) ) 关于 s 或 t 的偏导数, 则上述定理中 = j( s, t), y = y ( s, t) 只须具有关于 s 或 t 的偏导数就够了. 因为以 Ds 或 Dt 除 (7) 式两边, 然后让 D s 0 或 D t 0, 也能得到相应的结果. 但是对外函数 f 的可微性假设是不能轻易省略的, 否则上述复合求导公式就不一定成立. 例如
f (, y) ì ï = í ï î 由 1 习题 6 已知 f y + y, + y ¹ 0, 0, + y = 0. (0,0) = f (0,0) = 0, 但 f (, y) y 在点 (0,0) 不可微. 若以 f (, y ) 为外函数, = t, y = t 为内函数, 则得到以 t 为自变量的复合函数 t z = F( t) = f ( t, t) =, dz 1 有. (4), dt º 若形式地使用法则将得出错误结论 :
dz z d z dy = + dt dt y dt t = 0 (0,0) t = 0 (0,0) t = 0 = 0 1 + 0 1 = 0. 这说明 : 在使用链式法则时, 必须注意外函数可微这个条件. 一般地, 若 f ( u,, u ) 在点 ( u,, u ) 可微, 函数组 1 则复合函数 1 m 1 u = g (,, ) ( k = 1,,, m) k k 1 n 在点 (,, ) 具有对于 ( i = 1,,, n) 的偏导数, n i m
求 f ( g (,, ), g (,, ),, g (,, )) 1 1 n 1 n m 1 n 关于自变量 ( i = 1,,, n) 的偏导数为 z z 与 y i m f f uk = å ( i = 1,,, n). u i k= 1 k i. + y 例 1 设 z = ln( u + v), 而 u = e, v = + y, 试 解所讨论的复合函数以 (u, v) 为中间变量, (, y) 为 自变量, 并满足定理 17.5 的条件. 故由
z u z 1 =, =, u u + v v u + v u e + y u, e + y v v = = y, =, = 1, y y 根据公式 (4) 得到 z z u z v = + u v u 1 + y = e + u + v u + v + y = ( ue + ), u + v
z z u z v = + y u y v y 1 + y = ( 4u ye + 1 ). u + v 例 设 u = u(, y) 可微, 在极坐标变换 = r cos q, y = r sin q 之下, 证明 : æ u ö 1 æ u ö æ u ö æ u ö ç + = + r ç r q ç ç y è ø è ø è ø è ø 解把 u 看作 r, q 的复合函数 u = u( r cos q, r sin q ), 因此有.
u u u y u = + = cos q + u sin q, r r y r y u u u y u u = + = ( - r sin q ) + r cos q. q q y q y 于是 æ u ö 1 æ u ö æ u u ö ç + = cos q + sin q r ç r q ç y è ø è ø è ø 1 æ u u ö + r sin q r cos q ç - + r y è ø
æ u ö æ u ö = ç +. ç y è ø è ø t dz 例 3 设 z = uv + sin t, 其中 u = e, v = cos t, 求. dt 解复合后仅是自变量 t 的一元函数. 于是 dz z du z dv z dt = + + dt u dt v dt t dt t = ve + u( - sin t) + cos t t = e (cos t - sin t) + cos t.
dz 注上面第一个等式中, 左边的是作为一元函数 dt 的复合函数对 t 求导数 ( 这种导数又称为 全导数 ); 右边的 z t 是外函数 ( 作为 u, v, t 的三元函数 ) 对 t 求偏导数. 二者所用的符号必须有所区别. 例 4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数 : (1 + )ln (1) y = ; () y =. sin + cos v 解 (1) 令 y = u, v = w, u =, w =, 从而有
dy y du y é v dw v = + + d u d v ê ë w d ù ú û v -1 v -1 = vu + u ln u [ w + w ln w ] -1-1 = + ln [ + ln ] é 1 ù = ê + ln + (ln ). ú ë û () 令 y = vw, u = sin + cos, v = 1 +, w = ln, u 则有
d y y du y dv y dw = + + d u d v d w d - v w w v 1 = ( cos - sin ) + + u u u 1 = é(sin - cos ) (1 + )ln (sin + cos ) ë 1 + + (sin + cos )( ln + ) ù. û 由此可见, 以前用 对数求导法 求一元函数导数的问题, 如今可用多元复合函数的链式法则来计算. 例 5 设 f (, y) 为可微函数, f (1,1) = 1, f (1,1) = a,
f (1,1) = b, j ( ) = f (, f (, f (, ))), 试求 j j (1). y 解令 j ( ) = f (, y), y = f (, z), z = f (, u), u =, dy æ dz ö 则有 j ( ) = f + f y = f + f y f fz d ç + d è ø é æ du ö ù = f + f y ê f + fz ç f + fu. d ú ë è ø û 由于 du 1, f (1,1) a, f y(1,1) fz(1,1) fu(1,1) b, d = = = = =
因此 3 j (1) = a + b [ a + b( a + b)] = a + ab + ab + b. 说明上面的解法是通过引进中间变量 y, z, u 后, 借助链式法则而求得的 ; 上述过程还有一种比较简洁而实用的写法 ( 省去了引入中间变量 ): j ( ) = f + f [ f + f ( f + f 1) ], 1 1 1 j (1) = f (1,1) + f (1,1) { f (1,1) 1 1 + f (1,1) [ f (1,1) + f (1,1) ] } 1 = a + b [ a + b( a + b) ].
例 6 设在 R 上的可微函数 f y f (, y) = f (, y). 满足方程 y 证明 : 在极坐标系里 f 只是 r 的函数. 证本题即是要证明 : 经极坐标变换后,f 满足 f = 0. q 为此设 u = f (, y), = r cos q, y = sin q, 则得 u u u y = + q q y q
u u = ( - r sin q ) + ( r cos q ) y u u = - y + y f f = - y + = 0. y 从而 f 在上的 R 上的极坐标系里与 q 无关, 于是 f 只 是 r 的函数.
二 复合函数的全微分 若以, y 为自变量的函数 z = f (, y) 可微, 其全微分为 z z dz = d + d y. (11) y 如果, y 作为中间变量, 又是自变量 s, t 的可微函数 = j ( s, t), y = y ( s, t), 则由定理 17.5 知道, 复合函数 f ( j ( s, t), y ( s, t)) 是可微的, 其全微分为
z z dz = ds + dt s t æ z z y ö æ z z y ö = ç + ds + + dt s y s ç t y t è ø è ø z æ ö z æ y y ö = ds + dt + d s + d t. ç s t y ç s t è ø è ø (1) 由于, y 又是 ( s, t ) 的可微函数, 因此同时有 y y d = ds + d t, dy = ds + d t. s t s t (13)
将 (13) 式代入 (1) 式, 得到与 (11) 式完全相同的结 果, 这就是多元函数的一阶 ( 全 ) 微分形式不变性. 必须指出, 在 (11) 式中当, y 作为自变量时,d 和 dy 各自独立取值 ; 当, y 作为中间变量时, d 和 dy 如 (13) 式所示, 它们的值由 s, t, d s, dt 所确定. 利用微分形式不变性, 能更有条理地计算复合函数 的全微分. y 例 7 设 z = e sin( + y), 利用微分形式不变性计 算 d z, 并由此导出
z z 与. y u 解令 z = e sin v, u = y, v = + y. 由于 u dz = z du + z dv = e sinv du + e cosv d v, u v du = y d + d y, dv = d + d y, 因此 u u dz = e sin v ( yd + d y) + e cos v (d + d y) y = e [ ysin( + y) + cos( + y)]d y + e [ sin( + y) + cos( + y)]d y, 并由此得到 u
z = y e [ ysin( + y) + cos( + y)], z = y e [ sin( + y) + cos( + y)]. y
复习思考题 1. 在一元函数章节里, 利用对数求导法曾得到过一个结果 : -1 ( ) = (1 + ln ) = + ln. 不难看出等式右边两项恰好是把 分别看成幂函 数与指数函数求导数而得到的. 有人认为这是偶然的巧合, 也有人认为这是必然的结果. 试问哪一种看法是正确的? 请说出依据.
. 设由可微的 u = u(, y, t), = ( s, t), y = y( s, t) 得 到 u = u( ( s, t), y( s, t), t ), 它是一个以 s, t 为自变量 的复合函数. 考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法 : u u u y u = + + t t y t t, 试问这个写法有何不妥? 怎样纠正?
作业 P13: 1(1)(3)(5);3