第一章 基本概念
材料力學頂極複習攻略 1-1 前言 一 材料力學之意涵 材料力學為可變形體力學, 主要視物體為變形體, 著重於物體之內效應分析, 即探討物體受力後之變形行為和破壞模式 二 材料力學之基本三大原則 ( 一 ) 力系之平衡 ( 二 ) 變形一致性 ( 三 ) 應力和應變之關係 三 常用構件及內力型式 ( 一 ) 軸向桿件 : 主要內力為拉力或壓力等軸向力 ( 二 ) 扭力 : 主要內力為扭矩 ( 三 ) 樑 : 主要內力為彎矩, 其次為剪力 ( 四 ) 長柱 : 軸向力 ( 大部分是壓力 ) 1-2 應力 一 應力之定義及其種類 ( 一 ) 材料受外力作用, 內部產生抵抗之內力, 而單位面積所受之內力, 稱為應力 (stress) 一般應力分為正向( 交 ) 應力和剪應力兩大類 ( 二 ) 材料所受外力 ( 負荷 ) 之種類 : 1. 集中負荷 2. 分布負荷 3. 靜態負荷 : 負荷作用於材料上, 不隨時間而改變 4. 動態負荷 : 負荷作用於材料上, 隨時間而改變 1-2
二 正向應力 ( 一 ) 作用力與作用面互相垂直之應力, 稱為正向應力 ( ) ( 二 ) 公式 : 基本概念 1. = A, 其中 為垂直作用面之力,A 為承受作用力之截面積 2. 公式成立之三原則 : (1) 作用桿件需為直桿且均質 (2) 作用力需通過作用面之形心 (3) 截面選定應遠離施力點 ( 三 ) 單位 : 1. :N/m 2 = a,lb/in 2 = psi,kg/cm 2 2. :N,lb,kg 3. A:m 2,in 2,cm 2 ( 四 ) 若 為拉力, 其應力稱為拉應力, 視為正, 如圖 1-1 若 為壓力, 其應力稱為壓應力, 視為負, 如圖 1-2 圖 1-1 圖 1-2 三 剪應力 ( 一 ) 作用力與作用面互相平行之應力, 稱為剪應力, 如圖 1-3 所示 作用力 V 作用面 A 圖 1-3 1-3
材料力學頂極複習攻略 ( 二 ) 常見剪應力之型式 : 1. 單剪型式 : = V A, 如圖 1-4 所示 2. 雙剪型式 : = V 2A, 如圖 1-5 所示 圖 1-4 圖 1-5 1-3 應變 一 應變之定義 材料受力作用, 單位長度或單位體積產生之變形量, 稱為應變 (strain) 二 軸向應變 ( 一 ) 材料受軸向力 ( 拉力或壓力 ) 作用產生伸長或縮短, 而單位長度產生之變形量, 稱為軸向應變 ( ), 或稱正交應變 (normal strain) ( 二 ) 公式 : =, 其中為伸長或縮短量,L 為材料受力前原長度 L ( 三 ) 單位 : 1. : 無單位, 或 m/m cm/cm mm/mm ft/ ft in/in 2. :m cm mm ft in 3. L:m cm mm ft in 三 橫向應變 ( 一 ) 材料受軸向力作用產生伸長或縮短時, 造成與材料受力之垂直方向產生縮短或伸長之應變, 稱為橫向應變 ( ), 或稱側向應變 ( 二 ) 公式 : =, 其中 為材料受力之垂直方向變形量,L L 為材料 受力之垂直方向原長度 1-4
( 三 ) 單位 : 1. : 無單位, 或 m/m cm/cm mm/mm ft/ft in/in 2. :m cm mm ft in 3. L :m cm mm ft in 基本概念 四 蒲松比 ( 一 ) 材料受軸向力產生伸長, 而同時材料橫切方向產生收縮, 而收縮應變與伸長應變之絕對比值稱為蒲松比 ( ), 亦是橫向應變與軸向應變之絕對比值 橫向應變 ( 二 ) 公式 : = = 軸向應變 ( 三 ) 一般材料之蒲松比不得超過 0.5, 而金屬材料之蒲松比為 0.25~0.35 五 剪應變 ( 一 ) 材料受側向力 ( 剪力 ) 作用產生側向變形, 而單位長度產生之側 向變形量, 稱為剪應變 (shear strain), 或稱側向應變 ( 二 ) 公式 : 剪應變 = =tan L, 其中 為側向變形量,L 為材料受力 長度 ( 三 ) 單位 : 1. : 無單位, 或 m/m cm/cm mm/mm ft/ ft in/in 2. :m cm mm ft in 3. L:m cm mm ft in 1-4 應力與應變之關係 一 應力與應變圖 ( 一 ) 一般可藉由圓形桿件, 利用拉力試驗機作拉力試驗決定, 繪成應力應變圖, 如圖 1-6 所示 1-5
材料力學頂極複習攻略 極限應力降伏應力比例限度 Y B U ---------------------- 斷裂 O 彈性區域塑性區域應變硬化頸縮 圖 1-6 典型之結構用鋼之應力應變圖 ( 二 ) 重要名詞之定義及其特性 : 1. 比例限度 (proportional limit): 圖中之 點, 為應力與應變保持線性關係之最大應力 2. 彈性限度 (elastic limit): 彈性材料受力後, 能恢復原材料形狀之最大應力 當超出此應力, 外力除去後, 無法恢復原材料形狀, 稱為永久變形 (permanent set) 一般金屬材料之比例限度與彈性限度相同, 而橡皮類材料之彈性限度大於比例限度很多 3. 降伏點 (yieling point): 圖中之 Y 點, 當應力增加至此點, 應力不再增加 ( 或略為減少 ), 但應變量卻增加很多, 此點之應力稱為降伏應力或屈伏應力, 一般以 y 表示, 延性材料設計以此應力除以安全係數作為容許應力 4. 極限應力 (ultimate stress): 圖中之 U 點, 材料所能承受之最大應力, 此點之應力稱為極限應力, 一般以 u 表示, 脆性材料設計以此應力除以安全係數作為容許應力 5. 彈性區域 (elastic range): 圖中 O 點至 點, 應力與應變成正比之區域 6. 塑性區域 (plastic range): 圖中 Y 至 B 點, 應力與應變不成正比之區域 7. 應變硬化 : 圖中 B 至 U 點區域, 應變硬化使材料承受應力之能力增加 8. 頸縮 : 材料超過極限應力後, 應力減少, 應變急速增加, 產生頸縮現象而斷裂 1-6
二 延性材料與脆性材料之應力應變圖比較 ( 一 ) 延性材料之特性 : 1. 材料斷裂前, 先產生頸縮現象 2. 部分延性材料降伏點不明顯, 常採用 0.2% 永久應變橫距法求得 3. 鋁之應力與應變圖 ( 二 ) 脆性材料之特性 : 1. 材料在極限應力產生斷裂無頸縮現象 2. 鑄鐵之應力與應變圖, 如圖 1-8 所示 基本概念 y 斷裂前先產生頸縮現象 0.2% 永久應變 圖 1-7 鋁之應力與應變圖 u 極限應力產生斷裂, 無頸縮現象 圖 1-8 鑄鐵之應力與應變圖 三 虎克定律 ( 一 ) 在比例限度內, 應力與應變保持正比例關係, 稱為虎克定律 ( 二 ) 正向應力與軸向應變之關係 : =, 其中 為楊氏模數或彈性模數 ( 三 ) 楊氏模數 在應力應變圖中表示其斜率, 在比例限度內為一常數 ( 四 ) 剪應力與剪應變之關係 : = G, 其中 G 為剛性模數或剪力彈性模數 1-7
材料力學頂極複習攻略 ( 五 ) 剛性模數 G 在剪應力應變圖中表示其斜率, 在比例限度內為一常數 ( 六 )( 楊氏係數 ) G( 剪力彈性模數 ) ( 蒲松比 ) 三者之間的關 係式 :G = 2 1+ 四 軸向力與變形量 ( 一 ) 軸向力與應力之關係 : = A ( 二 ) 應力與應變之關係 : = ( 需在比例限度內 ) ( 三 ) 應變與總應變量之關係 : = L ( 四 ) 由 ( 一 )~( 三 ) 可推得 : = = L = = L A A 其中 A 稱作軸向剛度 (axial rigiity),a 愈大, 變形抵抗愈大 ( 五 ) 構件分成數段, 由不同軸向力 i 不同長度 L i 不同斷面積 A i 及不同材質 i 之總應變量 = n i L i i=1 A i i ( 六 ) 構件之軸向力 x 及斷面積 A x 隨軸向長度 x 而變化, 其應變量為 = L = L x 0 0 A x x 五 容許應力與安全係數 ( 一 ) 一般材料在設計時, 為使各構件安全, 使用之應力通常低於降伏 或極限應力甚多, 考慮在彈性限度內, 防止永久變形產生 設計 時所使用之應力, 稱為容許應力或工作應力 (allowable stress or working stress), 一般以 all 或 w 表示 ( 二 ) 安全係數 (factor of safety): 1. 延性材料之安全係數 : 採用降伏應力除以容許應力, 即 F.S.= y w 2. 脆性材料之安全係數 : 採用極限應力除以容許應力, 即 F.S.= u w 六 三軸向應力與應變 ( 一 ) 當一構件三軸向皆受軸向應力 x y z 作用時, 其三軸向之應變分別為 : 1-8
x = y = z = x y z y v x v x ( 二 ) 體應變 v = z = 1 [ x v ( y + z )] v z = 1 [ y v ( x + z )] v y = 1 [ z v ( x + y )] V V =(1+ x)(1 + y )(1 + z ) 1= x + y + z ( 高次項忽略 ) v = 1 2v ( x + y + z ) ( 三 ) 體積模數 (bulk moulus)k = 3 1 2v 基本概念 七 真應力與真應變 ( 一 ) 真應力 (true stress): t = A, 其中 A' 為變形後之面積 ( 二 ) 真應變 (true strain): t =ln L L, 其中 L' 為變形後之長度 八 工程應力與工程應變 ( 一 ) 若依原斷面面積 (A) 及長度 (L) 計算之應力與應變, 稱之為工程應力與工程應變 ( 二 ) 工程應力 (engineering stress): = A ( 三 ) 工程應變 (engineering strain): = L 九 設計時採用工程應力而不採用真應力計算之理由 ( 一 ) 真應力計算時必須採用實際變形之斷面積, 但此斷面積往往無法得到或量測 ( 二 ) 由於真應力之值往往比標稱應力之值為高, 考量實際結構之安全性及使用性, 故必須採行較為保守之工程應力來計算 1-9
材料力學頂極複習攻略 =13 10 6 / F, 則桿件內最終軸向應力為何? (A)4550psi (B)3800psi (C)2600psi (D)2450psi A =20in 2 解析 98 年經濟部國營事業 = L T, 且 = = L = L L T = L = T =13 10 6 10 10 6 35 = 4550psi ( )19. 一鋁棒長 5m, 截面積為 10cm 10cm, 若對強度之要求為內應力不 得大於 = 5000kg/cm 2, 對勁度之要求為伸長量 不得大於 0.2cm, 則 該鋁棒所能承受的最大負荷為何?( 設 =10 10 6 kg/cm 2 ) (A)700t (B)600t (C)500t (D)400t 98 年經濟部國營事業 解析 條件一 : 內應力不得大於 = 5000kg/cm 2 = = A =5000 (10 10) = 500000kg =500t A 條件二 : 伸長量不得大於 0.2cm = L A = A L = 0.2 10 106 10 10 = 400000kg =400t 500 因此, 該鋁棒所能承受的最大負荷為 max = min(500t, 400t)=400t 一 選擇題 1-8 模擬試題演練 ( )1. 一高壓容器內徑 400mm, 容器內壓力 6kg/cm 2, 其端部以凸緣用 8 支根徑為 20mm 之螺栓, 試求每支螺栓所產生之拉應力大小? (A)0.677kg/mm 2 (B)1.5kg/mm 2 (C)3kg/mm 2 (D)6kg/mm 2 1-18 19.D 1.C
基本概念 解析 高壓容器所產生之壓力 F = A =6 10 2 4002 =7540kg 4 每支螺栓所產生之拉應力 = F 7540 = na S 8 =3(kg/mm 2 ) 202 4 ( )2. 如圖所示之裝置係用以決定膠接處之抗剪強度, 若 = 1100kg, 試求膠接處之平均剪應力為若干? (A)177kg/cm 2 (B)127kg/cm 2 (C)167kg/cm 2 (D)157kg/cm 2 1.2cm 膠接處 3.6cm 解析 = 2A = 1100 2 1.2 3.6 =127kg/cm2 ( )3. 如圖所示一鉚釘接合圖, 其中每一平板厚度為 12mm, 鉚釘直徑為 20 mm, 鉚釘最大容許剪應力為 103N/mm 2, 如以鉚釘之剪力為設計基準, 求最大容許拉力 為何? (A)258867N (B)35678N (C)423621N (D)45828N 2.B 3.A 1-19
材料力學頂極複習攻略 30 30 2 2 30 90 30 unit: mm 解析 以鉚釘之剪力為設計基準, 則最大容許拉力 為 : all = na = na all =4 ( 2 202 4 ) 103 = 258867 (N) ( )4. 如上題, 平板最大容許壓應力為 275N/mm 2, 如以平板之壓碎為設計基準, 求最大容許拉力 為何? (A)201000N (B)264000N (C)395000N (D)428000N 解析 以平板之壓碎為設計基準, 則最大容許拉力 為 : all = na = na all =4 (20 12) 275 = 264000 (N) ( )5. 如圖所示, 一鋼筋的部分長 L 埋入混凝土塊內, 試求使鋼筋在容許正交應力完全發揮時, 最短的埋置長度 L?( 假設鋼筋與混凝土間的平均容許黏接應力為 ) (A) (B) 4L 3L (C) (D) 2L L () 以上皆非 L 1-20 4.B 5.A