6 第六章假設檢定 6 年 8 月 日最後修改 6. 假設檢定概論 6. 檢定統計量 6.3 假設檢定的形式與步驟 6.4 單一樣本之假設檢定 6.5 兩組樣本之假設檢定 6.6 型 I 錯誤與型 II 錯誤 6.7 檢定力函數與作業曲線 6.8 相關係數的檢定 6. 假設檢定概論 假設 (Hyothesis: 一個對母體參數可判定真實與否的陳述 假設檢定 (Hyothesis Testig: 以樣本檢測對母體參數之陳述是否真實的操作程序 虛無假設 (Null Hyothesis: 用來檢定的陳述 ( 寫成 H 對立假設 (Alterate Hyothesis: 虛無假設的否定陳述 ( 寫成 H 範例 6. 虛無假設與對立假設 以下是有關母體平均數虛無假設 : H : μ 4 數學三一律告訴我們, 對立假設應為 H : μ > 4 另外的虛無 對立假設如 H : μ = 8 H: μ 8 H : μ 8 H : μ < 8 假設檢定的邏輯 虛無假設很難證明其為真, 但只要有一個反證就可證明其為偽 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6- 頁
不可能樣本 拒絕區域在虛無假設的條件下, 出現不可能出現的樣本即可證明虛無假設為偽 不可能樣本 : 出現機率為零的樣本拒絕區域 (Reject Regio: 不可能樣本的區域 ( 範圍 顯著水準 機率小於某個臨界值就會被當成零, 該臨界值稱為顯著水準 顯著水準 (Level of Sigificace: 顯然不是零的臨界值 顯著水準是一個機率值, 習慣上以 α 來表示, 如 α =.5 找到不可能樣本, 然後推翻虛無假設才有意義, 反之則沒有意義 在統計裡, 我們只有一次推翻虛無假設的機會 另外, 我們需要知道這個樣本出現的機率, 如此才可以判斷其是否為不可能樣本 其者需要抽樣分配的知識, 後者需要會計算拒絕區域 ( 已知分配下給機率求臨界值 範例 6. ( 假設檢定的邏輯 張三宣稱袋中的 個球都是白色的 ( 虛無假設, 若從袋中抽出紅球來 ( 不可能樣本, 則可證明張三的宣稱為偽 反過來, 即使抽出來的是白球 ( 合理樣本, 我們也不能證實 袋中都是白球 的虛無假設為真 ( 接受對立假設沒有意義 ; 要證實該陳述為真的唯一方法, 是把所有球都拿出來檢查 ( 支持虛無假設很困難 抽出一個紅球後, 張三改口說 袋中的 個球中, 除了三個紅球之外, 都是白色的 ( 虛無假設 若第二次又抽出紅球來, 這時有人會跳出來指責張三撒謊, 因為不可能連續抽出兩個紅球 ( 出現不可能樣本 事實上, 連續兩次抽出紅球的機率大約.6, 並不是不可能, 只是出面指責的人認為.6 與 沒有差異 (.6 已經小於他的顯著水準 不可否認的, 這時還是有些神經比較大條的人會認為, 連續出現兩次紅球的機率是小一點, 但是也不是不可能呀 ( 他們的顯著水準比.6 小 如果第三次又抽出紅球呢? 剛剛還耐得住性子的人也該翻臉了, 因為連續三次紅球的機率只有.6 虛無假設與對立假設 統計虛無假設的形式如下 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6- 頁
H : 母體參數 = 常數 其中母體參數 { μ,,, μx μy, x y, x y} 範例 6.3 ( 常見之虛無假設與對立假設 以下是常見的虛無假設與對立假設 : 母體參數 右尾檢定雙尾檢定左尾檢定 兩組樣本 平均數 H : μ a H : μ > a H : μ = a H : μ a H : μ a H : μ < a H : μ μ = H : μ μ 比例 H : a H : > a H : = a H : a H : a H : < a H : = H : 變異數 H : a H : > a H : = a H : a H : a H : < a H : = H : 其中 a 為一常數 寫出虛無假設假設檢定的兩種結果 : ( 出現不可能樣本 拒絕虛無假設 證實虛無假設的陳述為偽 接受對立假設 ( 沒有出現不可能樣本 無法拒絕虛無假設 無法證實虛無假設的陳述為偽 有學者這樣做, 但我不喜歡 ( 因為在我的認知, 以下的推論是錯誤的 : 無法拒絕虛無假設 接受虛無假設 接受虛無假設的陳述為真 就假設檢定的邏輯, 出現拒絕虛無假設的結果才有意義 撰寫虛無假設的三個考量點 : ( 將被拒絕後 ( 證實其為偽, 關係人會採取行動的陳述列為虛無假設 ( 將被拒絕後 ( 證實其為偽, 後果比較嚴重的陳述列為虛無假設 (3 將看起來不正確的陳述列為虛無假設 範例 6.4 ( 寫出虛無假設與對立假設 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-3 頁
檢定某罐裝飲料的裝填量是否為設定的 5cc, (a 若關係人是顧客, 則虛無假設 H : μ 5, 拒絕虛無假設後顧客會有行動 ; (b 若關係人是老闆, 則虛無假設 H : μ 5, 拒絕虛無假設後老闆會有行動 ; (c 若關係人是廠長, 則虛無假設 H : μ = 5, 拒絕虛無假設後廠長會有行動 在法院裡, 虛無假設是 被告無罪, 該假設證實為偽的結果是被告需坐牢, 反之, 則只是原告不爽快而已 若訴訟雙方, 一為高官一為平民, 虛無假設是高官有理, 道 理同上, 高官輸的結果比較嚴重 ( 對法官 對社會都很嚴重 某罐裝飲料應該裝 5cc, 初步非正式調查, 平均裝填量不到 5cc, 則虛無假設應該寫成 H : μ 5 6. 檢定統計量 檢定統計量 樣本檢定統計量值 檢定統計量 (test statistic: 用來檢定虛無假設的抽樣分配常用的檢定統計量 :z 分配 t 分配 χ 分配 F 分配 樣本檢定統計量值 : 檢定統計量帶入樣本所求出的函數值 範例 6.5 ( 樣本檢定統計量值 檢定 H μ μ : * x μ t = * 常用的檢定統計量為 其中, μ * * 分別為母體平均數與母體標準差 若已知 μ = 5 =, 且樣本為 { x, x, x, x } = { 5,8,4,7} 3 4 則樣本檢定統計量值為 6 5 5+ 8+ 4+ 7 t = = x = = 6 4 4 範例 6.6 ( 檢定母體參數與檢定統計量的關係 常見之檢定母體參數有三個 : μ 與 常用的檢定統計量 :z 分配 t 分配 χ 分配 F 分配 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-4 頁
這兩者的關係如下 : 母體參數 平均數 μ z 檢定統計量 X μ = tdf = 或 X μ = s 比例 z = ( 變異數 χ = ( s df = F s (, = df = s 範例 6.7 ( 虛無假設與拒絕區域的關係 下表是虛無假設型態與拒絕區域 ( 不可能樣本區域 型態之關係 : H H H : : : θ a θ = a { θ > u} { θ < 或 θ > u} θ a { θ < } 其中 θ 為母體參數 θ 為檢定統計量值 為下臨界值 u 為上臨界值 顯著水準 拒絕區域 與 值顯著水準與拒絕區域大小成正向關係 : 顯著水準小, 則拒絕區域也較小 * 基與保守原則, 拒絕區域習慣不包含臨界值, 如 R { χ 9.} = > 或 R { z.96} = < 範例 6.8 ( 給顯著水準求拒絕區域 若檢定統計量為 z 分配, 右尾檢定, 已知顯著水準 α =.5, 則拒絕區域為 R= z >.645 { } 又若雙尾檢定, 已知顯著水準 α =.5, 則拒絕區域為 R= z<.96 或 z >.96 { } 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-5 頁
值 ( value: 不可能樣本區間 ( 拒絕區域 的機率 決策法則 (Decisio Rule: 若檢定統計量值在拒絕區域內則拒絕 H, 否則無法拒絕 H 範例 6.9 ( 給拒絕區域求 值 若檢定統計量為 z 分配, 右尾檢定, 已知拒絕區域 R { z.58} ( z >.58 =. 又若雙尾檢定, 已知拒絕區域 R= { z<.645 或 z >.645} ( z<.645 或 z >.645 =. = >, 則 值為, 則 值為 6.3 假設檢定的形式與步驟 三種檢定的形式 :z 值法 值法 與信賴區間法 z 值法 假設檢定五步驟 (z 值法 : 步驟一 : 寫出虛無假設 ( 與對立假設 步驟二 : 確定檢定統計量 (z t χ 或 F 步驟三 : 以顯著水準 檢定型式 與檢定統計量, 求出拒絕區域步驟四 : 計算樣本檢定統計量值 作假設檢定決策 ( 若在拒絕區域則拒絕 H 步驟五 : 寫假設檢定報告 範例 6. ( 步驟一 : 寫出虛無假設 寫出虛無假設有兩個步驟 :( 決定母體參數 ;( 決定左 右 或雙尾檢定 第一個步驟不會有問題, 第二個步驟有以下原則 : ( 拒絕虛無假設後必須有所行動 ;( 拒絕虛無假設才有意義 拒絕虛無假設後必須有所行動假設研究對象是罐裝飲的料裝填量是否正常 對顧客而言, 裝填量太少就會有抗議行動, 因此, 不可能樣本在左端, 應為左尾檢定 對工程師而言, 裝填量太多或太少都顯示機器設定有問題, 必須檢修機器, 因此應為雙尾檢定 對老闆而言, 裝填量太多會增加成本, 因此應為右尾檢定 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-6 頁
拒絕虛無假設才有意義我們希望虛無假設容易被推翻, 因此, 如果樣本檢定統計量值偏高, 則為右尾檢定 ; 反之若統計量值偏低則為左尾檢定 範例 6. ( 步驟一 : 寫出虛無假設 ( 平均減肥量為 磅, 樣本平均數為 9 磅 左尾檢定 ( 平均睡眠 7 小時, 樣本平均睡眠時間為 6.8 小時 左尾檢定 (3Has the secial additive icreased the mea weight of the chickes? 右尾檢定 (4Is there a chage i the mea legth of the bars? 雙尾檢定 範例 6. ( 母體平均數檢定,z 值法 某罐裝咖啡標示其咖啡因含量少於 cc, 今隨機抽取 9 罐此品牌咖啡作檢查, 發現其平均咖啡因的含量為 6cc, 標準差 8cc, 請利用顯著水準 α =.5來檢定其標示是否 為真? ( 基本資料為 μ =, = 9, x = 6, s= 8, α =.5 ( 虛無假設為 H : μ ( 右尾檢定 x μ ( 檢定統計量 t = 為自由度 = 8 的 t 分配 s (3 右尾檢定 自由度 = 8 的 t 分配.5 6 8 (4 樣本檢定統計量為 = =.5 R 8 9 8 α =, 拒絕區域為 R= { t >.86} (5 拒絕虛無假設, 有充分證據證實咖啡因含量高於 cc 值法 假設檢定五步驟 ( 值法 : 步驟一 : 寫出虛無假設 ( 與對立假設 步驟二 : 確定檢定統計量步驟三 : 計算樣本檢定統計量值, 寫出假定之拒絕區域步驟四 : 以拒絕區域 檢定型式 與檢定統計量, 求出 值步驟五 : 寫假設檢定報告 範例 6.3 ( 母體平均數檢定, 值法 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-7 頁
某罐裝咖啡標示其咖啡因含量少於 cc, 今隨機抽取 9 罐此品牌咖啡作檢查, 發現其平均咖啡因的含量為 6cc, 標準差 8cc, 請利用顯著水準 α =.5來檢定其標示是否為真? ( 基本資料為 μ =, = 9, x = 6, s= 8, α =.5 ( 虛無假設為 H : μ ( 右尾檢定 x μ ( 檢定統計量 t = 為自由度 = 8 的 t 分配 s 6 8 (3 樣本檢定統計量為 = =.5 8 9 8 (4 右尾檢定 自由度 = 8 的 t 分配 臨界值為.5, 求得 =.73 (5 若顯著水準高於.73 則應該拒絕 H, 否則應接受 H z 值法與 值法的關係 z 值法 : 已有決策者的顯著水準, 求不可能樣本區間 ( 給機率求區間 值法 : 沒有決策者的顯著水準, 假定不可能樣本區間後求 值 ( 給區間求機率 值法中假定以樣本檢定統計量值為臨界值的區間為不可能樣本區間 信賴區間法 假設檢定五步驟 ( 信賴區間法 : 步驟一 : 寫出虛無假設 ( 與對立假設 步驟二 : 確定檢定統計量 (z t χ 或 F 步驟三 : 以顯著水準 檢定型式 與檢定統計量, 求出信賴區間步驟四 : 計算樣本檢定統計量值 作假設檢定決策 ( 若在信賴區間則無法拒絕 H 步驟五 : 寫假設檢定報告 一般信賴區間法常用於雙尾檢定, 其他形式的檢定比較少見, 但也不是不可以 畢竟, 將 信賴區間視為拒絕區域的補集合, 則一切是那麼自然 範例 6.4 ( 母體平均數檢定, 信賴區間法 某罐裝咖啡標示其咖啡因含量少於 cc, 今隨機抽取 9 罐此品牌咖啡作檢查, 發現其平均咖啡因的含量為 6cc, 標準差 8cc, 請利用信賴區間法 ( 信賴度 α = 95% 來檢定其標示是否為真? 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-8 頁
( 基本資料為 μ =, = 9, x = 6, s= 8, α =.5 ( 虛無假設為 H : μ ( 右尾檢定 x μ ( 檢定統計量 t = 為自由度 = 8 的 t 分配 s (3 右尾檢定 自由度 = 8 的 t 分配 α 95% =, 信賴區間 CI = { t.86} 8 或者, CI x = x +.86 = 4.96 9 8 CI μ = μ 6.86 =.4 9 6 8 (4 樣本檢定統計量為 t = = =.5 8 9 8 CI, 拒絕虛無假設 t 或者, x = 6 CIx μ = CI μ, 拒絕虛無假設 (5 有充分證據證實咖啡因含量高於 cc t 6.4 單一樣本之假設檢定 單一樣本與平均有關 ( 設相關統計量 之檢定統計量有下列兩組 : (a = x (b = μ μ z =, t = s x μ μx = μ, x = z = s x μ μx = μ, sx = t = s ( μ =, = z = ( 單一樣本與變異數有關之檢定統計量只有下列一組 : χ = ( s 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-9 頁
範例 6.5 ( 母體比例檢定 某系宣稱有 5% 的畢業生考上研究所, 今隨機抽問 5 位當年度畢業生, 其中有 人考 上研究所, 請作統計推論 ( 基本資料為 =.5, = 5, = /5 =. ( 虛無假設為 H :.5 ( 左尾檢定 ( 檢定統計量 z = ( 為 z 分配..5 (3 樣本檢定統計量為 z = =.974.5.5 5 ( (4 左尾檢定 z 分配 臨界值為.974, 求得 =.65 (5 若顯著水準高於.65 則應該拒絕 H, 否則應接受 H 範例 6.6 ( 母體變異數檢定 A comay claims that the stadard deviatio i their delivery time is less tha 5 days. samle of 7 ast customers is take. The average delivery time i the samle was 4 days with a stadard deviatio of 4.5 days. At 95% cofidece, test the comay's claim. ( z 值法 ; 基本資料 :²=5 雙尾 =7 s²=.5 α=.5 ( 虛無假設 Ho:² = 5( 雙尾檢定 ( 檢定統計量 (-s²/² 為自由度 6 的 χ 分配 (3 自由度 6 的 χ 分配, 雙尾,α=.5, 求得拒絕區域 R = { χ < 3.8439 或 χ > 4.93 } (4 樣本檢定統計量值 χ= 6 *.5 / 5 =.6 不屬於拒絕區域 R A (5 沒有充分理由來拒絕虛無假設 Ho 6.5 兩組樣本之假設檢定 兩組樣本與平均有關 ( 設相關統計量 之檢定統計量有下列兩組 : μ μ z =, t = s 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6- 頁
(a = x x μx x = μ μ, x x = + z = ( x x ( μ μ + ( 未知, 且 s x x s s = + = ( x x ( μ μ t s s + ( ( ( s + s s s 其中, 自由度 df : = + df ( 未知, 且 = s s ( x x ( μ μ sx x = + t = s s + ( s + ( s 其中聯合估計之樣本變異數為 sp = ( + ( (b = ( ( ( ( = + z = + ( ( ( 若 未知, ( ( ( ( s = + t = + ( ( ( 若 未知, = c( c c( c ( ( s = + t = + + 其中聯合估計之樣本比例為 c = + 一般 都很大, 不需要查 t 分配表 ( 以 z 分配表代替 ( ( c c c c 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6- 頁
兩組樣本與變異數有關之檢定統計量只有下列一組 : s F = = s s s 範例 6.7 ( 平均數差之檢定 某保養品工廠生產某種神奇美容乳液, 生產線設定每瓶裝填量為 5cc 今該工廠新設 立一條生產線, 為了驗證新生產線的效能, 分別對兩生產線作隨機取樣檢查, 結果如 下 : 舊生產線新生產線 = 64 = 36 x = 4.36 x = 5. s =.4 s =.5 請問兩生產線的裝填量是否有差異 ( 基本資料為 = 64, x = 4.36, s =.4, = 36, x = 5., s =.5, α =.5 ( 兩獨立樣本, 母體變異數未知, 且不知其是否相等 ( 虛無假設為 H : μ = μ 或 H : μ μ = ( 雙尾檢定 ( X X μx X X X ( 檢定統計量 t = = 為自由度 df = 98 的 t 分配 s s + s 其中, df X X ( s / + s / ( ( = 98 s / /( + s / /( (3 自由度 98 的 t 分配 雙尾檢定.5 α =, 拒絕區域 R= { t <.984, t >.984} ( 若以大樣本看待, 查 z 分配表, 則拒絕區域 R= { z<.96, z >.96} (4 樣本檢定統計量值 4.36 5. +.4 64.5 36 =.856 R (5 無法拒絕虛無假設 : 沒有充分的證據懷疑, 兩生產線的裝填量設定不同 範例 6.8 ( 平均數差之檢定, 母體變異數相等 某保養品工廠生產某種神奇美容乳液, 該工廠每天定期作品檢 以下是前後兩天品檢取樣檢查的結果 : 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6- 頁
第一天第二天 = 64 = 36 x = 4.36 x = 5. s =.4 s =.5 請問這兩天生產線的裝填量是否有差異? ( 基本資料為 = 64, x = 4.36, s =.4, = 36, x = 5., s =.5, α =.5 ( 兩獨立樣本, 母體變異數未知, 相同生產線, 故假設母體變異數相等 ( 虛無假設為 H : μ = μ 或 H : μ μ = ( 雙尾檢定 ( X X μx X X X ( 檢定統計量 t = = 為自由度 df = 98 的 t 分配 s s + X X P ( + ( s s 其中, df = + = 98, sp = + (3 自由度 98 的 t 分配 雙尾檢定.5 R= t <.984, t >.984 4.36 5. (4 樣本檢定統計量值 =.3 R 63.4 + 35.5 + 64 + 36 64 36 α =, 拒絕區域 { } (5 無法拒絕虛無假設 : 沒有充分的證據懷疑, 兩生產線的裝填量設定不同 範例 6.9 ( 比例之檢定 某兩系分別調查其畢業生考研究所的情況, 第一個系隨機抽問 人, 其中有 3 人考 上研究所, 第二個系抽問 人, 其中有 人考上研究所, 請問這兩者考上研究所學 生的比例是否有差異? ( 基本資料為 =, = 3/, =, = /, α =.5 ( 兩獨立樣本, 母體變異數未知, 由虛無假設得知其相等, ( 虛無假設為 H : = ( 雙尾檢定 ( 檢定統計量 t = 為自由度 df = 3 的 t 分配 c( c + + 3+ 其中, df = + = 3, c = = = + + 8 (3 自由度 3 的 t 分配 雙尾檢定.5 R= t <.43, t >.43 α =, 拒絕區域 { } 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-3 頁
3 (4 樣本檢定統計量值 7 + 8 8.667 = =.55 R.8 (5 無法拒絕虛無假設 : 沒有充分的證據顯示, 兩系的錄取率有差異 範例 6. ( 變異數之檢定 某保養品工廠生產某種神奇美容乳液, 生產線設定每瓶裝填量為 5cc 今該工廠新設 立一條生產線, 為了驗證新生產線的效能, 分別對兩生產線作隨機取樣檢查, 結果如 下 : 舊生產線新生產線 = 64 = 36 x = 4.36 x = 5. s =.4 s =.5 請問這兩天生產線的裝填量之變異數是否有差異? ( 基本資料為 = 64, x = 4.36, s =.4, = 36, x = 5., s =.5, α =.5 ( 虛無假設為 H : = 或 H : = ( 雙尾檢定 ( 檢定統計量 F s s = = 為自由度 df = s s ( 35,63 的 F 分配 其中, df = (, = ( 35, 63 ( 注意 : 我們習慣把變異數大的擺分子, 因 s > s, 故 s 在分子 (3 自由度 ( 35,63 的 F 分配 雙尾檢定 α =.5, 拒絕區域 R= { F <.5393, F >.7637}.5 (4 樣本檢定統計量值 =.85 R.4 (5 無法拒絕虛無假設 : 沒有充分證據懷疑, 兩生產線裝填量之變異數不同 範例 6. ( 母體變異數比例檢定 The followig iformatio was obtaied from two ideedet radom samles reresetig oulatios A ad B: Poulatio A Poulatio B Samle Size 8 Samle Mea 3 Samle Variace 4 9 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-4 頁
If you were to test for the equality of the two samle meas, would you eed to ool the variaces? Why or why ot? Use a.5 level of sigificace. ( 基本資料 =, = 8, s = 4, =, s = 9, α =.5 A A A B B B ( 虛無假設為 : A H = ( 雙尾檢定 ( 檢定統計量 sa A sb B B s s A B B A (3 雙尾檢定 自由度 ( R= { F <.38 或 F >.5} = 為自由度 (, ( 7, A = 的 F 分配 7, 的 F 分配 α =.5, 拒絕區域為 4 (4 樣本檢定統計量為 =.4444 R 9 (5 無法拒絕虛無假設, 兩母體變異數應視為相等, 因此需聯合估計樣本變異數 B 6.6 型 I 錯誤與型 II 錯誤 型 I 錯誤 (Tye I Error: 拒絕 H 所產生的錯誤 型 II 錯誤 (Tye II Error: 沒有拒絕 H ( 接受 H 所產生的錯誤 型 I 錯誤的機率 :α ( H 為真時才有型 I 錯誤 型 II 錯誤的機率 : β ( H 為偽時才有型 II 錯誤 令 P( i 是真實分配的機率函數, 則 β = P( 拒絕區域 計算型 II 錯誤 β 值的步驟 步驟一 : 寫出虛無假設 ( 與對立假設 步驟二 : 確定檢定統計量 (z t χ 或 F 步驟三 : 以顯著水準 檢定型式 與檢定統計量, 求出拒絕區域 步驟四 : 以新檢定統計量 ( 新母體參數 轉換拒絕區域之臨界值 步驟五 : 以相反檢定型式 新拒絕區域 求出機率 (β 值 其中前三步驟與假設檢定完全相同 ; 相反檢定型式 : 右尾 左尾 左尾 右尾 雙尾 信賴區間 ; 檢定統計量 : 涉及兩個 ( 母體參數不同 檢定統計量 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-5 頁
臨界值的轉換公式 或 * μ z = ( μ + z μ μ μ z = = z+ * μ z = * μ t = s ( μ + t s μ μ μ t = = t+ * μ s s t = s 其中, μ z 分別為新母體參數與新臨界值 最常見到的是 μ μ z = z+ 範例 6. ( 計算型 II 錯誤 某罐裝咖啡標示其咖啡因含量少於 cc, 今隨機抽取 9 罐此品牌咖啡作檢查, 發現其平均咖啡因的含量為 6cc, 標準差 8cc, 在用顯著水準 α =.5來檢定的場合, 若真正的咖啡因含量為 3cc 下的 β 值 ( 基本資料為 μ =, = 9, x = 6, s= 8, α =.5, μ = 3 ( 虛無假設為 H : μ ( 右尾檢定 x μ ( 檢定統計量 t = 為自由度 = 8 的 t 分配 s (3 右尾檢定 自由度 = 8 的 t 分配.5 α =, 拒絕區域為 R= { t >.86} μ μ 3 (4 轉換臨界值 t = t+ =.86 + =.89 s 8 9 (5 左尾檢定 自由度 = 8 的 t 分配 臨界值 t ' =.89, 求得 β =.953 6.7 檢定力函數與作業曲線 檢定力 (Power of Test: 不犯型 II 錯誤的機率, β = P( 拒絕區域 檢定力越高表示 H 為偽時越不會犯錯 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-6 頁
檢定力函數 (Power Fuctio: 表示 β 與 μ ( 真實的 μ 之關係的函數作業曲線 (Oeratio Characteristic Curve: 表示 β 與 μ 之關係的曲線 ( 函數 右尾檢定情況下 ( 不可能樣本在右, β 與 μ 有反向關係 左尾檢定情況下 ( 不可能樣本在左, β 與 μ 有正向關係 雙尾檢定情況下 ( 不可能樣本在兩端, β 與 μ 為中央高 ( 臨界值位置 兩端低 範例 6.3 (β 與 μ 的關係 因有以下關係 β = ( = 拒絕區域 或 β = P( R P R 得知 β 與 R 有反向關係 ( β 與 R 有反向關係 右尾檢定 :R 在右邊 R 與 μ 有正向關係 β 與 μ 有反向關係 ; 左尾檢定 :R 在左邊 R 與 μ 有反向關係 β 與 μ 有正向關係 ; 雙尾檢定 :R 在 μ 兩邊 μ 離 μ 越遠 R 越大 β 中央高兩頭低 6.8 相關係數的檢定 虛無假設 H : ρ = 時, 檢定統計量 r ( r ( 為自由度 df = 的 t 分配 虛無假設 H : ρ = ρ時, 檢定統計量 Zr Z ρ ( / 3 為 z 分配 ( > 3, 大樣本時 其中, Z r + r = l r, + ρ l Z ρ =, Zr N Zρ, ρ 3 範例 6.4 ( 相關係數的檢定 9- 政大 - 財管 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-7 頁
(a (b (c 計算原始資料 : x 75 89 6 7 9 5 55 87 73 77 84 9 75 8 76 9 y 38 56 35 45 59 7 3 5 48 4 5 58 45 49 47 75 x 565 79 36 54 8464 5 35 7569 539 599 756 88 565 674 5776 9699 y 444 336 5 5 348 49 96 74 34 68 6 3364 5 4 9 3646 xy 85 4984 395 548 735 75 454 354 357 484 578 3375 48 357 5934 r = ( Σx( Σ y Σxy 9 75 5934 5 = ( Σx ( Σy 9699 9 75 Σx 5 3646 Σy 5 =.9539 x y 之間有高度正相關 基本資料 : = 5 r =.9539 ( 虛無假設 H : ρ = r ρ ( 檢定統計量 t = r ( (, 自由度 = 5 = 3 (3 雙尾, 自由度 3 之 t 分配,. R= t > 3.3 *.9539 (4 樣本檢定統計量 t = =.4597 R, 拒絕虛無假設.9539 5 α =, 求得拒絕區域 { } ( ( (5 相關係數顯然不為零 6 陳欣得統計學 假設檢定第 6-8 頁