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1 Section 5. Antiderivatives and indefinite integrals 反 導 函 數 與 不 定 積 分 上 一 章 我 們 已 經 學 過 微 分 以 及 它 的 應 用 現 在 我 們 考 慮 反 向 的 過 程, 稱 為 積 分 (antidifferentiation), 給 定 一 個 導 函 數, 找 出 它 原 始 的 函 數 積 分 也 有 許 多 的 應 用, 例 如, 微 分 將 一 個 cost function 轉 變 成 marginal cost function, 因 此 積 分 會 將 marginal cost function 轉 變 成 cost function 稍 後 我 們 會 使 用 積 分 做 其 它 用 途, 如 找 出 面 積 等 等 Topic. 反 導 函 數 與 不 定 積 分 Antiderivatives and Indefinite Integrals. 我 們 開 使 用 一 個 簡 單 的 例 子 來 解 釋 積 分 因 為 x 2 的 導 函 數 為 2x, 因 此 2x 的 反 導 函 數 (antiderivative) 為 x 2 : An antiderivative of 2x is x 2 Since the derivative of x 2 is 2x 無 論 如 何,2x 還 有 其 的 反 導 函 數 下 列 每 一 個 函 數 都 是 2x 的 反 導 函 數 : x 2 + x 2 7 x 2 + e Since the derivative of each is 2x 很 明 顯 地, 我 們 可 加 上 任 何 常 數 到 x 2 且 微 分 結 果 仍 為 2x 因 此 對 任 意 常 數 C 而 言,x 2 + C 都 是 2x 的 反 導 函 數 同 時, 它 也 可 以 被 證 明 出 2x 沒 有 其 它 的 導 函 數 因 此 2x 最 一 般 化 的 反 導 函 數 (most general antiderivative) 為 x 2 + C 2. 2x 一 般 化 的 反 導 函 數 稱 為 2x 的 不 定 積 分 (indefinite integral), 並 將 2x 寫 在 積 分 符 號 (integral sign ) 與 中 間 : 2 2 x = x + C 上 式 中 的 2x 稱 為 被 積 分 函 數 (integrand). 提 醒 我 們 積 分 的 變 數 為 x C 稱 任 意 的 常 數 (arbitrary constant), 因 為 它 的 值 可 以 為 任 意 的 數 值, 正 數 負 數 或 零 3. 一 個 不 定 積 分 ( 簡 稱 積 分 ) 可 以 藉 由 檢 查 答 案 (x 2 + C) 的 微 分 是 否 與 被 積 分 函 數 (2x) 相 同 Topic 2. 積 分 規 則 Integration Rules. 有 許 多 的 規 則 可 以 用 來 簡 化 積 分 首 先, 在 微 積 分 裡 最 常 被 使 用 的, 即 為 x 常 數 次 方 函 數 的 積 分 它 來 自 於 指 數 微 分 規 則 (Power Rule for differentiation) 的 反 向 思 考 換 言 之, 要 對 一 個 x 常 數 次 方 函 數 做 積 分, 其 結 果 為 x 的 指 數 值 加, 並 除 以 新 的 指 數 值 ( 請 排 除 常 數 次 方 為 的 狀 況, 因 為 它 要 用 ln x 來 做 )

2 例 與 例 3. 找 出 下 列 積 分 :(a). 3 x 2 (b).. 下 列 這 個 結 果 是 很 有 用 而 且 需 要 被 記 起 來 的 2. 在 微 分 裡 面 所 擁 有 的 常 數 乘 法 與 加 法 規 則 都 有 可 對 應 的 簡 化 積 分 規 則 第 一 個 規 則 為 加 法 規 則, 它 說 明 了 兩 個 函 數 相 加 後 做 積 分 等 於 個 別 做 積 分 後 再 相 加 加 法 規 則 可 以 擴 展 到 積 分 任 意 多 個 函 數 做 加 法 或 減 法, 同 時 只 要 在 最 後 的 地 方 寫 一 個 +C 即 可 ( 因 為 可 以 把 每 個 不 定 積 分 的 常 數 全 部 加 在 一 起 ) Example 5. Find (a). ( x + x ). (b). ( x x + x ) 3. 第 二 個 規 則 為 常 數 乘 法 規 則, 它 說 明 了 被 積 分 函 數 的 常 數 k 可 以 被 提 到 積 分 符 號 之 外 Example 6. Find (a). 6x 2 3. (b). 2 ( x + 3x + 5). 4. 下 列 為 一 個 非 常 有 用 的 一 般 性 規 則 對 任 意 常 數 k, 2

3 Topic 3. 積 分 的 代 數 化 簡 Algebraic Simplification of Integrals. 有 些 時 候 一 個 被 積 分 函 數 (integrand) 必 需 要 先 乘 開 或 是 改 寫 成 其 它 型 式 才 能 積 分 2 2 Example. Find x ( x + 6). Example 2 RECOVERING COST FROM MARGINAL COST: A company s marginal cost function is MC(x) = 6 x and the fixed cost is $000. Find the cost function. 2. 我 們 找 cost function 可 用 下 列 兩 個 步 驟 : 積 分 marginal cost 之 後 計 算 其 任 意 常 數 值, 如 下 所 示 Topic 4. 任 意 常 數 的 幾 何 意 義 Geometrical Interpretation of the Arbitrary constant. 請 注 意 在 不 定 積 分 中,+C 這 個 任 意 常 數 可 被 解 釋 為 幾 何 的 平 移 如 例 題 2, 在 2 2 x = x + C 所 代 表 的 是 一 個 集 合, 每 一 個 不 同 的 C 值 構 成 一 條 曲 線, 不 定 積 分 的 結 果 為 一 個 曲 線 的 集 合 2. 右 圖 所 示 的 三 條 曲 線 分 別 為 x 2 +2 x 2 與 x 2 2 三 條 曲 線, 對 應 到 的 C 值 分 別 為 2 0 與 2 實 際 上, 三 條 曲 線 在 任 意 一 個 x 值 所 對 應 到 的 斜 率 都 相 同, 這 是 因 為 它 們 微 分 的 結 果 都 是 2x, 即 斜 率 相 等 因 此 任 意 常 數 的 幾 何 意 義 解 釋 如 下 : 不 定 積 分 的 結 果 為 一 個 集 合, 集 合 中 所 有 的 曲 線 都 平 行, 且 對 任 意 一 個 x 值, 每 條 曲 線 所 對 應 到 的 斜 率 都 相 同 Topic 5. 積 分 如 同 連 續 的 和 Integrals as Continuous Sums. 我 們 已 經 見 過 微 分, 像 是 把 total cost 分 解 成 許 多 的 marginal cost 積 分, 就 像 反 向 處 理, 把 眾 多 的 marginal cost 逐 漸 累 加, 可 得 到 反 導 函 數 total cost 2. 舉 例 說 明, 原 始 的 加 法 是 一 塊 一 塊 的 相 加, 如 $2 + $3 = $5 然 而, 積 分 像 是 累 加 連 續 的 改 變, 像 隨 著 時 間 改 變 而 緩 慢 但 持 續 成 長 的 經 濟 行 為 等 等 換 言 之 : 3

4 Section 5.2 Integration using Logarithmic Exponential Functions 指 數 對 數 函 數 積 分 Topic. e ax 積 分 The Integral e ax. 我 們 知 道 對 e ax 微 分, 結 果 為 指 數 本 身 乘 上 常 數 a, 即 ae ax 因 此 要 對 e ax 積 分, 如 同 微 分 的 反 向 程 序, 結 果 為 指 數 本 身 除 以 常 數 a 對 任 意 常 數 a 0: 2 e x Example. Find (a).. (b). 6e 3x (c). e x 例 題 中 這 些 答 案 可 以 使 用 微 分 來 檢 驗 結 果 的 正 確 性 最 後 一 個 例 子 說 明 了 e x 的 積 分 為 e x 本 身, 如 同 e x 的 微 分 為 e x 本 身 Topic 2. 計 算 不 定 積 分 常 數 值 C Evaluating the Constant C. 將 題 目 所 描 述 的 初 始 條 件 (initial value) 代 入 積 分 的 結 果 之 中 2. 解 常 數 C 的 一 元 一 次 方 程 式 3. 將 積 分 結 果 中 的 C 以 它 的 正 確 值 取 代 Topic 3. x 的 積 分 The Integral x. 微 分 公 式 d x ln = 可 以 被 反 向 解 讀 成 積 分 公 式 : = x + C x ln, 其 中 x > 0, 因 為 對 x 數 函 數 的 定 義 域 為 (0, ) 對 於 x < 0 而 言, 對 ln( x) 微 分 可 得 d ln( x) = = (since x x d f ( x) ln( f ( x) ) = ) 因 此 對 x < 0 的 數 值,/x 的 積 分 結 果 為 ln ( x) 請 注 意 ln ( x) 當 中 的 f ( x) 負 號 只 是 為 了 讓 負 數 轉 正 所 以 我 們 可 以 使 用 下 列 公 式 來 代 替 : 公 式 對 正 或 負 的 x 值 皆 成 立, 因 為 絕 對 值 會 使 x 恆 正 4 = ln x + C, 這 個 x

5 2. 下 列 三 種 積 分 的 寫 法 不 同, 但 意 義 相 同, 都 有 相 同 的 答 案 Example 3 INTEGRATING USING THE LN RULE Find 5 2x Topic 4. 自 然 資 源 消 耗 Consumption of Natural Resources. 世 界 人 口 呈 現 指 數 的 成 長, 因 此 世 界 每 年 消 耗 自 然 資 源 也 呈 指 數 的 成 長 我 門 可 以 透 過 對 消 耗 率 (rate of consumption) 做 積 分 來 估 計 由 現 在 到 未 來 任 一 時 間 點 之 間 的 總 消 耗 量, 由 此 可 預 測 自 然 資 源 的 蘊 藏 量 (reserves) 何 時 會 消 耗 殆 盡 (exhausted) 2. Example 6 FINDING A FORMULA FOR TOTAL CONSUMPTION FROM THE RATE The annual world consumption of tin ( 錫, 馬 口 鐵 ) is predicted to be 0.26e 0.0t million metric tons per year, where t is the number of years since Find a formula for the total tin consumption within t years of 2008 and estimate when the known world reserves of 6. million metric tons will be ln.235 exhausted. Source: U.S. Geological Survey. [Hint t = 2. ] 0.0 Topic 5. 積 分 的 指 數 規 則 ( 續 ) Power Rule for Integration, Revisited. 新 的 積 分 展 示 如 何 對 x 做 積 分, 它 是 唯 一 的 x 指 數 函 數 但 不 被 指 數 規 則 所 包 含 因 此 我 們 可 以 合 併 上 述 兩 種 公 式, 成 為 一 個 x 的 任 意 次 方 的 積 分 : 有 趣 的 事 實 為, 每 一 個 x 的 指 數 函 數 積 分 結 果 都 會 成 為 另 一 個 x 的 指 數 函 數, 除 了 x 之 外, 它 的 結 果 為 一 個 x 的 自 然 對 數 函 數 ln x 5

6 Section 5.3 Definite integrals and areas 定 積 分 與 面 積 本 章 首 先 討 論 如 何 計 算 曲 線 下 的 面 積, 同 時 定 義 函 數 的 定 積 分 接 著 微 積 分 積 本 定 理 (Fundamental Theorem of Integral Calculus) 會 提 供 更 簡 單 的 方 式 使 用 不 定 積 分 來 計 算 定 積 分 最 後 我 們 會 看 到 多 種 定 積 分 的 應 用 Topic. 曲 線 下 方 面 積 Area Under a Curve. 下 圖 左 方 為 一 個 連 續 的 非 負 函 數 若 我 們 想 要 計 算 曲 線 之 下 x 軸 之 上 為 於 垂 直 線 x = a 與 x = b 之 間 的 面 積 ( 簡 稱 曲 線 下 面 積 ) 我 們 可 以 使 用 多 個 矩 形 ( 或 說 長 方 形 : rectangle) 來 逼 近 這 塊 區 域 如 右 下 圖 所 示, 這 五 塊 矩 形 的 底 (base) 都 一 樣, 每 塊 矩 形 的 高 (height) 分 別 為 左 邊 的 邊 長, 這 些 又 稱 為 左 矩 形 (left rectangles) 2. 無 論 如 何, 這 五 個 矩 形 無 法 對 曲 線 下 方 的 面 積 提 供 精 確 的 近 似 值 上 圖 右 方 白 色 的 區 域 即 為 面 積 誤 差 值 (error area) 如 右 圖 所 示, 當 我 們 使 用 五 十 個 矩 形 來 逼 近 曲 線 下 方 的 面 積 時, 可 以 得 到 一 個 較 佳 的 近 似 如 下 圖 所 示, 曲 線 與 矩 形 中 間 的 區 域 是 非 常 小, 小 到 幾 乎 是 看 不 見 的 狀 態 3. 右 圖 告 訴 我 們 當 更 多 的 矩 形 用 來 逼 近 曲 線 下 的 面 積, 其 值 越 精 準 實 際 上, 曲 線 下 方 的 面 積 正 好 是 當 曲 線 下 方 的 矩 形 數 量 有 無 限 多 個 的 時 候 Example APPROXIMATING AREA BY RECTANGLES Approximate the area under the curve f(x) = x 2 from to 2 by five rectangles. Use rectangles with equal bases and with heights equal to the height of the curve at the left-hand edge of the rectangles. (Ans: approximate 2.04 square units) Sol: (). 找 出 base: 由 a 到 b 分 成 n 等 份, 每 一 份 寬 度 (Δx) = (2). 找 出 左 邊 界 的 高 : 假 設 左 邊 界 所 在 的 五 個 點 的 x 值 分 別 為 x ~ x 5, 其 中 x =. 0 = a, x 2 = x + (2 ) Δx = a + Δx =. 2, x = x + (3 ) Δx = a + 2Δx.4, x = x + (4 ) Δx = a + 3Δx. 6, 3 = 5 = x + (5 ) Δx = a + 4Δx = x.8. 因 此 五 個 左 邊 界 的 高 分 別 為 4 = f ( x ) = f (.0) = f ( x 2 ) = f (.2) =. 44 f ( x 3 ) = f (.4) =.96 f ( x 4 ) = f (.6) = f ( x 5 ) = f (.8) =

7 5 面 積 A f ( x i ) Δx = 0.2 [ ] = 0.2*0.2 = = i= 如 同 先 前 提 過 的, 只 使 用 五 個 矩 形 來 逼 近 曲 線 下 面 積 是 不 夠 精 確 的 為 了 提 高 精 確 性, 我 們 用 相 同 的 方 法, 但 使 用 更 多 的 矩 形 來 計 算 曲 線 下 面 積, 下 表 為 矩 形 個 數 與 矩 形 總 面 積 列 表 我 們 可 以 發 現 f(x) = x 2 在 x 由 到 2 下 的 面 積 會 逼 近 7/3 平 方 單 位, 如 右 下 圖 所 示 練 習 題 :p. 36 #9 Approximate the area under the curve f(x) = x from to 4 by six rectangles with equal bases and with heights equal to the height of the curve at the right-hand edge of the rectangles. Write the answer approximate the area by 000 rectangles with sigma sign. Topic 2. 定 積 分 Definite Integral. 一 個 非 負 函 數 f 曲 線 下 面 積 可 由 n 個 矩 形 來 逼 近, 其 一 般 化 程 序 如 下 : 上 述 步 驟 3 的 總 和 稱 為 黎 曼 和 (Riemann sum). 2. 當 黎 曼 和 中 的 n 值 趨 近 於 無 限 大 ( 由 無 限 多 個 矩 形 來 逼 近 ), 其 極 限 值 相 當 於 曲 線 下 的 面 積, 稱 為 函 數 f 由 a 到 b 的 定 積 分, 寫 成 b f ( x). 正 式 定 義 如 下 : a 7

8 數 值 a 與 b 稱 為 定 積 分 的 下 界 與 上 界 (the lower and upper limits of integration) Topic 3. 微 積 分 基 本 定 理 Fundamental Theorem of Integral Calculus. 一 個 函 數 後 面 接 著 一 條 垂 直 線, 並 標 示 下 界 與 上 界 a 與 b, 其 值 相 當 於 上 界 的 函 數 值 減 去 下 界 的 函 數 值 b a Example 2 USING THE EVALUATION NOTATION Evaluate 2 5 x 下 列 的 微 積 分 基 本 定 理 (Fundamental Theorem of Integral Calculus) 指 出 如 何 使 用 不 定 積 分 (indefinite integrals) 來 計 算 定 積 分 (definite integrals) 上 述 的 定 理 連 接 起 定 積 分 ( 黎 曼 和 的 極 限 值 ) 與 反 導 函 數 (antiderivatives) 之 間 的 基 本 關 係 它 說 明 了 一 個 定 積 分 可 使 用 下 面 兩 個 簡 單 的 步 驟 來 計 算 : (). 找 出 函 數 的 不 定 積 分 ( 或 稱 反 導 函 數 ) ( 可 忽 略 +C) (2). 計 算 反 導 函 數 的 上 界 減 去 下 界 的 值 Example 3 FINDING A DEFINITE INTEGRAL BY THE FUNDAMENTAL THEOREM Find 2 2 x. 8

9 3. 定 積 分 有 許 多 性 質 與 不 定 積 分 是 相 同 的 這 些 性 質 將 定 積 分 解 釋 成 黎 曼 和 的 極 限 值 其 中 第 一 式 代 表 函 數 值 變 成 c 倍, 矩 形 的 高 度 也 變 成 c 倍, 因 此 面 積 的 總 合 也 會 變 成 c 倍 第 二 式 代 表 兩 個 函 數 值 相 加 ( 減 ), 矩 形 的 高 度 也 變 成 函 數 值 相 加 ( 減 ), 因 此 面 積 的 總 合 也 會 變 成 兩 個 函 數 值 相 加 ( 減 ) Example 6 USING THE PROPERTIES OF DEFINITE INTEGRALS Find the area under y = 24 6x 2 from to. Topic 4. 連 續 單 位 的 總 成 本 Total Cost of a Succession of Units. 給 定 一 個 邊 際 成 本 (marginal cost) 函 數, 找 出 一 個 數 量 區 間 內 的 總 成 本 (total cost), 例 如, 製 造 00 到 400 個 單 位 的 總 成 本 我 們 處 理 方 式 如 下 : 先 對 邊 際 成 本 積 分, 再 計 算 此 積 分 ( 反 導 函 數 ) 在 400 的 值, 並 減 去 此 積 分 在 00 的 值, 即 留 下 製 造 00 到 400 個 單 位 的 總 成 本 因 此, 連 續 單 位 的 總 成 本 相 當 於 邊 際 成 本 函 數 的 定 積 分 Example 7 FINDING THE COST OF A SUCCESSION OF UNITS A company s marginal cost function is MC(x) = 75 x where x is the number of units. Find the total cost of producing units 00 to 400. [Ans: $500] 9

10 2. 對 任 何 的 變 化 率 (rate) f(x) 由 a 到 b 做 積 分, 等 於 加 總 (total accumulation) 由 a 到 b 的 區 間 範 圍 內 f(x) 的 值 下 圖 展 示 了 這 些 想 法 在 每 個 case 當 中, 曲 線 代 表 某 種 變 化 率, 曲 線 下 的 面 積, 可 由 定 積 分 求 得, 代 表 加 總 或 累 計 此 變 化 率 下 圖 中 間 表 示 人 對 重 覆 性 工 作 的 生 產 力, 可 以 看 到 一 開 始 是 逐 漸 增 加, 接 著 因 為 單 調, 生 產 力 逐 漸 遞 減 Example 8 FINDING TOTAL PRODUCTIVITY FROM A RATE A technician can test computer chips at the rate of 3t 2 + 8t + 5 chips per hour (for 0 t 6), where t is the number of hours after 9:00 a.m. How many chips can be tested between 0:00 a.m. and :00 p.m.? [Ans: 7 chips can be tested.] Topic 4. 積 分 表 示 法 Integration Notation. 符 號 ( 希 臘 字 母 的 S, 念 成 sigma) 在 數 學 上 代 表 總 和 (sum), 因 此 黎 曼 和 (Riemann sum) n 可 被 寫 成 f ( x k ) Δx. 事 實 上, 黎 曼 和 趨 近 於 定 積 分 的 改 寫 方 法 如 下 : n ( x k ) Δx f f ( x) b as n a becomes, Δ becomes d 積 分 表 示 法 提 醒 我 們 一 個 定 積 分 代 表 矩 形 的 面 積 總 和, 其 中 單 一 矩 形 的 面 積 為 高 度 f (x) 與 寬 度 相 乘 0

11 Topic 5. 函 數 的 正 負 值 Functions Taking Positive and Negative Values. 黎 曼 和 可 用 來 計 算 任 何 連 續 函 數, 並 未 限 定 在 非 負 函 數 下 列 圖 形 顯 示 一 個 連 續 函 數 的 黎 曼 和, 面 積 包 含 正 值 與 負 值 對 最 右 邊 的 兩 個 矩 形 而 言, 因 為 函 數 值 f(x) 為 負 值, 因 此 它 們 也 會 為 面 積 總 和 貢 獻 出 負 值 2. 黎 曼 和 的 極 限 值 求 定 積 分 時, 當 函 數 在 x 軸 下 方, 則 貢 獻 出 負 的 面 積 因 此 一 個 函 數 由 a 到 b 求 曲 線 與 x 軸 之 間 的 面 積 ( 定 積 分 ), 將 會 是 一 個 帶 有 正 負 號 的 面 積, 其 值 為 x 軸 之 上 的 面 積 減 去 x 軸 之 下 的 面 積, 如 下 圖 所 示

12 Section 5.4 Further application of definite integrals: average value and area between curves 定 積 分 的 進 一 步 應 用 : 平 均 值 定 理 與 兩 個 曲 線 之 間 所 圍 成 的 面 積 本 節 將 介 紹 定 積 分 的 兩 個 重 要 目 的 : 找 出 函 數 平 均 值 與 曲 線 之 間 的 面 積 平 均 值 被 廣 泛 應 用, 如 寶 寶 的 出 生 體 重 與 平 均 體 重 比 較, 退 休 福 利 由 平 均 所 得 來 決 定 等 等 平 均 值 能 消 除 波 動 性, 將 一 個 集 合 的 數 以 單 一 具 代 表 性 的 數 代 替 曲 線 間 的 面 積 使 用 在 尋 找 貿 易 赤 字 (trade deficits) 的 數 量, 到 安 全 帶 拯 救 生 命 (lives saved by seat belts) 的 數 量 等 等 Topic. 函 數 的 平 均 值 Average Value of a Function. n 個 數 的 平 均 值 為 所 有 數 值 加 總 後 再 除 以 n 例 如 a, b, c 三 個 數 的 平 均 值 : Average of = a, b, and c 3 ( a + b + c) 我 們 將 如 何 找 出 一 個 函 數 在 一 個 區 間 內 的 平 均 值? 例 如 我 們 有 一 個 以 時 間 t 為 變 數 的 溫 度 函 數, 我 們 要 如 何 計 算 一 天 之 內 的 平 均 溫 度? 當 然 我 們 可 以 每 一 個 小 時 記 錄 一 次 溫 度, 然 後 再 平 均 此 24 個 溫 度 數 值, 但 是 這 樣 會 忽 略 掉 其 它 任 何 時 刻 的 溫 度 2. 直 觀 地 來 看, 平 均 會 將 曲 線 的 鏟 平 (leveling off) 成 單 一 平 均 高 度 (average height) 水 平 線, 如 右 圖 中 所 示 這 個 平 均 的 過 程 會 利 用 山 丘 (hills) 上 的 面 積 來 填 滿 山 谷 (valleys) 的 面 積 因 此 原 本 曲 線 下 的 面 積 與 鏟 平 後 水 平 線 下 的 面 積 相 同, 即 Average b ( b a) = f ( x) height a 因 此, 我 們 可 以 得 到 平 均 高 度 為 Average = height b a b a f ( x) Equating the two areas Dividing by ( b a) 這 個 方 程 式 讓 我 們 可 以 計 算 連 續 函 數 在 某 個 區 間 內 的 平 均 值 找 出 曲 線 底 下 的 面 積 再 除 以 (b a) [ 類 比 於 n 個 平 均 數 要 先 加 總 再 除 以 n ] Example FINDING THE AVERAGE VALUE OF A FUNCTION Find the average value of f (x) = x from x = 0 to x = 9. 面 積 寬 度 = 平 均 高 度 2

13 Topic 2. 曲 線 之 間 的 面 積 : 上 減 下 Area Between Curves: Integrating Upper Minus Lower. 定 積 分 可 以 計 算 曲 線 之 下 的 面 積 若 要 計 算 兩 個 曲 線 之 間 的 面 積, 可 以 計 算 上 界 曲 線 (upper curve) 下 的 面 積, 減 去 下 界 曲 線 (upper curve) 下 的 面 積 即 得, 如 下 圖 所 示 以 積 分 表 示 如 下 : 2. 因 此 曲 線 之 間 的 面 積 可 以 寫 成 下 列 積 分 式 : 由 上 界 減 下 界 的 積 分 得 到 曲 線 之 間 的 面 積, 無 需 去 管 曲 線 是 否 會 下 降 到 x 軸 之 下 Example 3 FINDING THE AREA BETWEEN CURVES Find the area between y = 3x and y = 2x from x = to x = 如 果 兩 條 曲 線 代 表 兩 個 比 率 (rates: one unit per another unit), 則 曲 線 之 間 的 面 積 代 表 上 界 減 下 界 的 總 量 (total accumulation) Topic 3. 曲 線 之 間 的 面 積, 曲 線 有 交 點 Area Between Curves That Cross. 當 兩 曲 線 在 某 點 相 會 時, 上 曲 線 會 變 成 下 曲 線, 下 曲 線 會 變 成 上 曲 線 因 此 要 計 算 兩 曲 線 之 間 的 面 積, 先 以 上 減 下 計 算 某 一 區 間 內 的 面 積, 再 計 算 兩 個 或 多 個 區 間 內 的 面 積 和 2. 補 充 :(). 要 計 算 兩 個 函 數 交 點, 令 兩 函 數 相 等, 然 後 解 方 程 式 即 可 得 交 點 x 值 (2). 要 決 定 某 區 間 內 何 者 為 上 界 曲 線, 可 代 入 該 區 間 內 的 某 數 比 較 函 數 值 大 小 即 可 3

14 Example 5 FINDING THE AREA BETWEEN CURVES THAT CROSS Find the area between the curves y = 2 3x 2 and y = 4x+5 from x = 0 to x = 3. Topic 4. 曲 線 所 圍 出 來 的 封 閉 區 間 面 積 Areas Bounded by Curves. 有 時 要 找 出 兩 曲 線 所 圍 出 來 的 面 積, 且 沒 有 告 知 x 值 的 起 點 與 終 點, 這 樣 的 問 題 通 常 曲 線 會 圍 出 一 個 區 域, 其 曲 線 的 交 點 與 上 下 界 的 決 定 與 Topic 3.2 所 描 述 的 兩 點 補 充 相 同 Example 6 FINDING AN AREA BOUNDED BY CURVES Find the area bounded by the curves y = 3x 2 2 and y = 2 3x 上 述 兩 拋 物 線 y = 2 3x 2 與 y = 3x 2 2 如 上 圖 所 示 請 注 意 不 需 要 畫 出 這 個 圖 也 可 以 計 算 兩 函 數 所 圍 成 的 面 積 當 曲 線 的 交 點 為 兩 個 以 上, 則 必 需 計 算 多 個 區 間 內 所 圍 成 的 面 積, 4

15 Section 5.5 兩 個 經 濟 學 的 應 用 : 消 費 者 剩 餘 與 所 得 分 配 本 節 我 們 將 討 論 到 許 多 經 濟 學 上 的 中 要 概 念 : 消 費 者 剩 餘 (consumer s surplus) 製 造 者 剩 餘 (producers surplus) 所 得 分 配 的 吉 尼 指 數 (the Gini index of income distribution) 等 等 其 中 每 一 個 都 定 義 成 兩 條 曲 線 之 間 的 面 積, 如 下 圖 所 示 Topic. 消 費 者 剩 餘 Consumers Surplus. 想 像 一 下 你 非 常 喜 歡 pizza, 並 且 願 意 付 出 $2 來 買 一 整 塊 pizza 假 設 實 際 上 一 個 pizza 只 要 花 你 $8, 則 你 將 有 節 省 $4 的 感 覺, 即 你 願 意 付 出 的 價 格 減 去 實 際 上 的 市 場 價 格 2. 如 果 去 加 總 一 個 時 間 範 圍 內 所 銷 售 的 所 有 pizzas 的 消 費 者 願 意 付 出 價 格 減 去 實 際 市 場 價 格, 則 這 個 感 覺 上 省 下 來 的 總 數 稱 為 消 費 者 剩 餘 (consumer s surplus) 3. 消 費 者 剩 餘 用 來 衡 量 消 費 者 由 經 濟 體 下 的 競 爭 所 產 生 的 低 價 所 獲 得 的 好 處 Topic 2. 需 求 函 數 Demand Functions. 價 格 與 數 量 呈 現 負 相 關 (inversely related): 如 果 一 個 物 品 的 價 格 提 高, 則 它 的 需 求 數 量 通 常 會 降 低, 反 之 亦 然 2. 透 過 市 場 的 分 析 研 究, 經 濟 學 家 能 決 定 出 價 格 與 需 求 量 之 間 的 關 係 這 個 關 係 可 表 示 成 一 個 需 求 函 數 (demand function or demand curve) d(x), 稱 它 為 需 求 函 數 是 原 因 是 該 函 數 能 表 示 出 恰 有 x 單 位 的 需 求 量 所 對 應 到 的 價 格 為 多 少 Topic 3. 消 費 者 剩 餘 的 數 學 定 義 Mathematical Definition of Consumers Surplus. 需 求 曲 線 (demand curve) 表 示 消 費 者 願 意 去 付 出 的 價 格, 市 場 價 格 (market price) 表 示 消 費 者 實 際 所 付 出 的 價 格, 因 此 需 求 曲 線 高 於 市 場 價 格 的 這 個 數 量 代 表 的 是 消 費 者 利 益 或 消 費 者 剩 餘 2. 如 果 我 們 透 過 積 分 將 這 些 利 益 加 總, 則 在 需 求 曲 線 之 下 與 價 格 直 線 之 上 的 面 積 稱 之 為 消 費 者 在 某 個 市 場 價 格 購 買, 能 夠 可 獲 得 的 5

16 總 利 益 (total benefit) 這 個 總 利 益 如 下 圖 水 藍 色 陰 影 部 份 所 示, 稱 之 為 消 費 者 剩 餘 (consumers surplus), 如 下 所 定 義 Example FINDING CONSUMERS SURPLUS FOR ELECTRICITY If the demand function for electricity is d(x) = 00 0x dollars (where x is in millions of kilowatt-hours, 0 x 00), find the consumers surplus at the demand level x = 80. [Ans: 32,000] Topic 4. 消 費 者 剩 餘 如 何 被 使 用 How Consumers Surplus Is Used. 在 例 題 中, 在 80 百 萬 千 瓦 - 小 時 的 電 力 需 求 下, 消 費 者 剩 餘 為 $32,000 如 果 電 力 使 用 增 加 到 90 百 萬 千 瓦 - 小 時, 則 市 場 價 格 會 減 成 d(90) = = $200 我 們 可 以 計 算 在 這 個 更 高 需 求 的 消 費 者 剩 餘 :$40,500 因 此, 價 格 由 $300 降 到 $200 代 表 消 費 者 會 額 外 利 益 $40,500 $32,000 = $8500 這 個 利 益 可 與 擴 充 一 組 新 的 發 電 機 的 花 費 來 比 較, 來 決 定 這 個 支 出 是 否 值 得 Topic 5. 生 產 者 剩 餘 Producers Surplus. 如 同 消 費 者 剩 餘 是 衡 量 消 費 者 的 總 利 益, 生 產 者 剩 餘 是 用 來 衡 量 生 產 者 在 特 定 的 市 場 價 格 銷 售 物 品 所 帶 來 的 總 利 益 2. 回 到 我 們 先 前 pizza 的 例 子, 假 如 一 個 pizza 生 產 者 為 了 要 維 持 生 意 運 作,pizza 的 ( 成 本 ) 價 格 可 到 達 $5, 實 際 上 一 個 pizza 可 以 賣 $8, 因 此 生 產 者 可 獲 利 $3 將 所 有 這 樣 的 獲 利 加 總 起 來 可 得 到 該 商 品 的 生 產 者 剩 餘 (producers surplus) 6

17 Topic 6. 供 應 函 數 Supply Functions. 當 一 個 商 品 項 目 的 價 格 上 揚 時, 生 產 者 願 意 供 應 ( 或 生 產 ) 的 數 量 也 會 跟 著 提 高 價 格 與 數 量 的 正 向 關 係, 可 被 表 示 成 供 應 函 數 ( 或 供 應 曲 線 ) s(x), 如 下 所 定 義 : Topic 7. 生 產 者 剩 餘 的 數 學 定 義 Mathematical Definition of Producers Surplus. 可 透 過 積 分 可 求 得 總 利 益, 但 上 界 為 市 場 價 格 的 水 平 線, 下 界 為 供 應 曲 線 s(x) Example 2 FINDING CONSUMERS SURPLUS For the supply function s(x) = 0.09x 2 dollars and the demand level x = 200, find the producers surplus. 7

18 Topic 8. 消 費 者 剩 餘 與 生 產 者 剩 餘 Consumers Surplus and Producers Surplus. 需 求 曲 線 與 供 應 曲 線 的 交 點 的 x 值 稱 為 市 場 需 求 (market demand) 2. 消 費 者 剩 餘 與 生 產 者 剩 餘 可 以 被 顯 示 在 同 一 張 圖 裡 面, 如 右 圖 所 示 這 兩 個 數 值 被 加 總 表 示 消 費 者 與 生 產 者 的 總 利 益, 也 顯 示 兩 者 在 開 放 市 場 中 都 能 獲 利 Topic 9. 所 得 分 佈 的 吉 尼 指 數 Gini Index of Income Distribution. 在 任 何 的 社 會 中, 某 些 人 就 是 會 賺 得 比 其 它 人 多 要 衡 量 貧 富 之 間 的 差 距 (gap), 經 濟 學 者 計 算 收 入 最 少 的 20% 人 口 的 收 入, 佔 總 人 口 收 入 的 比 例, 以 及 40% 60% 80% 00% 以 此 類 推 美 國 在 2006 年 的 所 得 分 佈 資 訊 如 下 表 與 下 圖 所 示, 舉 例 說 明, 人 口 中 收 入 最 少 20% 只 賺 得 總 人 口 收 入 的 3%; 人 口 中 收 入 最 少 40% 只 賺 得 總 人 口 收 入 的 2%, 以 此 類 推 這 條 曲 線 又 稱 為 羅 倫 茲 曲 線 (Lorenz curve) Topic 0. 吉 尼 指 數 Gini Index. 羅 倫 茲 曲 線 可 以 與 下 列 兩 個 極 端 的 收 入 分 佈 相 比 較 : (A). 所 得 分 佈 絕 對 平 均 (Absolute equality of income) 意 指 每 一 個 人 的 收 入 都 完 全 相 同, 因 此 收 入 最 低 的 0% 人 口 所 賺 得 的 正 好 是 總 人 口 收 入 的 0%; 收 入 最 低 的 20% 人 口 所 賺 得 的 正 好 是 總 人 口 收 入 的 20%, 以 此 類 推 因 此 羅 倫 茲 曲 線 為 y = x, 如 右 圖 所 示 (B). 所 得 分 佈 絕 對 不 均 (Absolute inequality of income) 意 指 除 了 某 一 個 人 之 外, 沒 有 其 它 任 何 一 個 人 賺 到 錢 此 情 況 羅 倫 茲 曲 線 如 右 圖 所 示 8

19 2. 要 衡 量 實 際 的 所 得 分 佈 與 理 想 所 得 分 佈 ( 絕 對 平 均 : absolute equality) 的 差 距, 我 們 可 以 計 算 兩 者 之 間 所 圍 出 的 面 積 實 際 曲 線 若 為 絕 對 平 均 (absolute equality), 則 面 積 有 最 小 值 0; 如 果 實 際 曲 線 若 為 絕 對 不 均 (absolute inequality), 則 面 積 有 最 大 值 /2 因 此 經 濟 學 者 將 此 面 積 乘 上 2, 稱 為 吉 尼 指 數 (Gini index) 吉 尼 指 數 範 圍 介 於 0 ~ 之 間, 指 數 越 小 表 示 收 入 分 佈 越 平 均 ; 指 數 越 大 表 示 收 入 分 佈 越 不 平 均 Example 3 FINDING THE GINI INDEX The Lorenz curve for income distribution in the United States in 2006 was approximately L(x) = x Find the Gini index. 9

20 Section 5.6 代 換 積 分 (Integration by Substitution) Topic. 微 分 Differentials. f(x) 的 導 函 數 可 表 示 為 df / 雖 然 導 函 數 表 式 成 分 式 形 式, 但 實 際 上 不 是 兩 個 數 量 的 除 法 現 在 我 們 分 別 定 義 df 與 ( 分 別 稱 為 f 的 微 分 與 x 的 微 分 ), 因 此 df 這 個 除 法 相 當 於 df/ df 2. 由 微 分 的 兩 種 不 同 表 示 法 可 得 : = f ( x) df = f ( x) Example FINDING DIFFERENTIALS Function f(x) Differential df f(x) = x 2 df = 2x f(x) = ln x df = f(x) = 2 x e df = f(x) = x 4 5x + 2 df = Topic 2. 代 換 方 法 Substitution Method. 使 用 微 分 表 示 法, 我 們 可 以 列 舉 三 個 非 常 有 用 的 積 分 公 式 如 下 : 這 三 個 積 分 公 式 分 別 為 冪 次 規 則 指 數 與 對 數 函 數 的 積 分, 且 非 常 容 易 記 得, 其 中 du 代 表 某 一 函 數 的 微 分 這 些 公 式 可 以 對 等 號 右 邊 ( 積 分 結 果 ) 微 分, 以 驗 證 其 正 確 性 Example 3 INTEGRATING BY SUBSTITUTION Find 2 3 ( x + ) 2x [Hint: 2x 為 (x 2 +) 的 微 分 的 常 數 倍 ] <sol>: let u = (x 2 +), du =. 將 上 述 結 果 代 回 原 積 分 式 可 得 : u 3 du = 20

21 Topic 3. 在 積 分 的 內 外 乘 上 常 數 Multiplying Inside and Outside by Constants. 如 果 積 分 的 形 式 恰 巧 不 是 u du, 我 們 可 透 過 乘 上 常 數 來 解 這 樣 的 積 分, 如 例 題 4 這 種 在 積 分 符 號 內 外 各 乘 上 一 個 互 為 倒 數 的 常 數, 此 法 非 常 有 用, 也 適 用 於 其 它 代 換 積 分 公 式 Example 4 INSERTING CONSTANTS BEFORE SUBSTITUTING Find 2 3 ( x + ) x [ Hint: 課 本 是 將 積 分 內 乘 2, 積 分 外 再 乘 (/2) ] <sol>: let u = (x 2 +), du =2x 或 x =(/2)du. 將 上 述 結 果 代 回 原 積 分 式 可 得 : u 3 du = u du = Topic 4. 使 用 何 種 公 式 Which Formula to Use. 下 列 三 種 ( 冪 次 規 則 指 數 對 數 ) 積 分 公 式 應 用 在 不 同 種 類 的 積 分 (A) (C) u du = u n + du = u u n+ + C du = ln u + C Example 7 INTEGRATING BY SUBSTITUTION u u (n ) (B) e du = e + C Find x 3 3x( x 2 ) Topic 5. 代 換 法 求 定 積 分 Evaluating Definite Integrals by Substitution. 有 時 候 定 積 分 也 需 要 代 換 在 這 樣 的 強 況 下, 變 數 由 x 變 成 u, 定 積 分 的 上 下 界 也 要 由 x 的 值 變 成 u 的 值 Example 9 EVALUATING A DEFINITE INTEGRAL BY SUBSTITUTION Evaluate x 2