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1 SS3の個体群モデルと統計推測東京海洋大学北門利英

2 SS3 の位置づけ Production model ASPM VPA SCAA SS3 資源量指数要要要要要 齢構成非明示的 Yes Yes Yes Yes 再生産構造非明示的 Yes No 年齢データ不使用不使用 体長データ不使用不使用 要 ( 誤差を考えない ) 年齢データの為 slicing Yes(Stoch astic) Yes(Stoch astic) 要 ( 誤差考慮 ) 要 ( 誤差考慮 ) 不使用要 ( 誤差考慮 ) 標識データ不使用不使用不使用不使用利用可 備考 統合型の一種 Integration (two) 複数集団 種々の時間的変化 OK 生物データ Synthesis (two or more)

3 SS3 の Quick overview Age-structured pop dynamics Age\Year Y-1 Y A+ SSB Recruitment Typical observations CPUE Length composition SSB Spawner - Rec KOBE plot Some outputs

4 内容 SS3 で仮定している個体群動態モデル SS3 で想定している観測データ ( 例 ) SS3 が行う統計推測

5 SS3 で仮定している個体群動態モデル

6 キーとなる要素 主に Control file の前半部分の仕様に関連

7 キーとなる要素 主に Control file の前半部分の仕様に関連 齢構成モデル 自然死亡 親魚 ~ 加入関係とその確率的変動 成熟率 選択性 ( サイズ, 年齢 ) 成長と変動 ( 体長組成 ) 体長体重関係 漁具能率...

8 基礎的な個体群動態モデル ( 単一集団 ) 雌雄区別 [γ] ( あり, なし ) 時間単位 [y] ( 年, 四半期, ) 年齢 [a=1,2,,a] 漁業 [f] M: 年齢別, 性別でも可 (several options) S: 漁業別 年齢別の選択性 (many options!) F: 漁業別の漁獲係数

9 Recruitment BH h (steepness) 親子関係の強さを表すパラメータ (B0 の 20% の親魚重量で R0 の 100*h% が加入 ) Ricker Hockey-stick

10 Recruitment BH Rtilde( 加入の確率的変動 ) by ( バイアス補正項, data-poor (rich) period)

11 Selectivity 種々の関数形 完全なノンパラメトリック ( 例えば年別にすべて独立 ) cubic spline ( 有限数の 3 次関数の組み合わせ ) time-varying ( 選択性の時間的変化を考慮 )

12 Size-selectivity, growth and catch Mean Growth: VB 関数 (Richard なども可 ) Growth variation

13 Size-selectivity, growth and catch 各年齢では正規分布に従う

14 Size-selectivity, growth and catch 各年齢では正規分布に従う

15 Size-selectivity, growth and catch

16 SS3 で想定している観測モデル

17 キーとなる要素 主に Data file に関連

18 データ 主に Data file に関連 データの期間 年とシーズンの定義 ( 年自体を四半期に読み替えてもよい ) 想定する空間的エリアの数 ( ここでは単一と考える ) 観測データ 漁獲量 ( 漁法, 年, 季節 ) 資源量指数 体長組成 年齢組成 標識放流データ ( 潜在的に移動率を推定可だが )...

19 漁法別漁獲量

20 CPUE データ

21 体長組成データ

22 データ

23 SS3 が行う統計推測

24 尤度およびベイズ推測復習 RA Fisher T Bayes

25 尤度の考え方 最尤推定法 尤度 得られた観測値とその確率分布を基にしてパラメータの尤もらしさを測る相対的尺度 得られた観測値 : XXというデータが得られたという事実を尊重する その確率分布を基に : 観測値の出現メカニズムを確率分布で表現する パラメータの尤もらしさ : 得られた観測データの出やすさ ( 確率 ) で判断 ( 相対的 ) 尺度 : 確率の絶対値は関係なく, 相対的な大きさを問う

26 尤度関数 最尤推定法 10 L( p) = PY ( = 7) = p (1 p) y L (0.2) = 0.2 (1 0.2) = L 10 = = (0.5) 0.5 (1 0.5) L 10 = = (0.8) 0.8 (1 0.8) p=0.8 の尤度が最も大きい

27 尤度関数 最尤推定法 10 L( p) = PY ( = 7) = p (1 p) y パラメータの範囲 0 p 1 で連続的にプロットすると右図の通り パラメータの範囲全てを対象にすると p=0.7 で尤度関数の値が最大となる

28 最尤推定法 尤度関数の最大化 :2 項分布の場合 N, y に特別な値を想定せず一般的に考えると N y L( p) = PY ( = y) = p (1 p) y N y 最大化 対数をとっても大小関係は変わらないので, 対数をとると ( すなわち,L(p) < L(q) logl(p) < logl(q) ) N y log L( p) = log PY ( = y) = log p (1 p) y N y = log + logp + log(1 p) y N y N y N = log + ylog p+ ( N y)log(1 p) y

29 尤度関数の最大化 :2 項分布の場合 ( 続き ) log L( p) を最大にするようなpを求めるためにpで偏微分すると 1 1 log L( p) = 0 + y + ( N y) p p 1 p この微分係数が 0 となるような p を求めると, log L( p) = 0 p y + ( N y) = 0 p 1 p pˆ = py ˆ( ) y N Y N 最尤推定法 推定値 = 推定量

30 2 項分布の対数尤度関数 ( サンプル数を増やすと?) Smaller sample size 最尤推定法 Larger sample size

31 最尤推定量の分布の漸近的性質 (2 項分布の N を増加 ) 一致性 最尤推定法 漸近分布 ( 拡大眼鏡でみた場合 )

32 Fisher information ML estimation An asymptotic property of ML estimator (1-dimensional) n ˆ θ θ θ 1 ( ) N(0, I ( )) θ θ θ θ = θ θ 2 ˆ 1 N(0, In ( )) ( indist) where In( ) E[ l( )] 2 The larger the curvature of log-likelihood function is (which means the functional form at the maximum value is sharper), the much information on the parameter the log-likelihood contains. 2 2 l( θ) E[ l( θ)] = I ( )( ) 2 2 n θ in prob θ θ ˆ ˆ 1 1 = ˆ n n V[ θ θ] V[ θ] I ( θ) I ( θ)

33 最尤推定量の特徴 最尤推定法 利点 : 単純かつ単一の原理により推定量を導出できる 信頼区間, 仮説検定, モデル選択など一貫した統計推測が可能となる サンプル数が大きいとき, 真のパラメータに収束することが保証されている ( モデルが正しいとき ) 注意点 : 必ずしも不偏であるとは限らない ( 例 : 正規分布の分散の推定量は過小評価 )

34 最尤推定法 最尤法のフレームワーク 1. データに対する統計モデリング ( 大前提 ) 2. パラメータの推定 ( 最尤推定法 ) 3. 推定誤差や信頼区間 ( 領域 ) の提示 (Fisher 情報量, デルタ法, プロファイル尤度 ) 4. 検定 ( 尤度比検定 ) 5. モデル診断 ( 逸脱度 deviance) 6. モデル選択 (AIC)

35 尤度比検定 最尤推定法 ある魚種の性比を調べるため n 尾をサンプリングし, オスの数を計測した Y~ Binn (, p) 観測値の例 n Y = 20 = 6 n! L( p) = y!( n y)! l( p) = logl( p) p y (1 p) n y

36 尤度比検定従来の知見 :p=0.5( 性比一定 ) H0: p=0.5 最尤推定法 l(0.5) = logl(0.5) = n! L( p) = y!( n y)! l( p) = logl( p) p y (1 p) n y H1: p 0.5 l( pˆ) = logl( pˆ) = L( p) λ( p) = 2log L( pˆ) H0: p=0.5 λ(0.5) = 3.29 H1: p 0.5 ( pˆ) = 0 λ λ(0.5) λ(pˆ)

37 尤度比検定 最尤推定法 H0: p=p0 に対して有意水準 0.05 で検定 λ( p 0 Pr( λ( p ) = 2[ l( p ) l( pˆ)] ~ χ ) > χ (0.05;1)) = (1) λ( p) = 2log L( L( p) pˆ) したがって, 2 λ( p0 ) >χ (0.05;1) = ならば帰無仮説を棄却 λ( 0.5) = λ(pˆ) 3.29

38 ベイズ推測 ベイズ パラメータに関して事前の知識がある場合にそれを推定に活かす統計学のフレームワーク 事前の知識が間違っている, あるいは不適切な場合, もちろんその悪影響を受ける. ただし, 標本数が大きくなるとその影響は薄められる. f( y p) π( p) 事後分布 π( p y) = ベイズの定理 f( y p) π( p) f( y p) π( p) dp パラメータに関する推測を確率で評価する

39 y N y p p y N p y Y P = = ) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ), (, ) (1 ), ( 1 ) ( β α β α β α β α π β α β α + Γ Γ Γ = = = dp p p Be where p p Be p 2 項分布の例ベイズベイズベイズベイズ

40 2 項分布の例 ベイズ N y N y P( Y = y p) = p p y (1 ) 1 1 α 1 β 1 π( p) = p (1 p), where Be( α, β) = Be( α, β) 0 p α 1 (1 p) β 1 dp = Γ( α) Γ( β) Γ( α + β) f ( y p) π ( p) 事後分布 π ( p y) = f ( y p) π ( p) f ( y p) π ( p) dp PY ( = y p) π( p) π( p y) = PY ( = y) 1 = p (1 p) Be( y+ α, N y+ β) y+ α 1 N y+ β 1

41 ベイズ 事後分布最大化 (posterior mode) f( y p) π( p) f( y p) π( p) π( p y) = = max f( y p) π( p) dp f( y) log π( p y) = log f( y p) + log π( p) log f( y)

42 観測データと確率分布 観測データ 確率分布 尤度 + 制約 + 事前分布 漁獲量 ( 漁法, 年, 季節 ) 資源量指数 体長組成 年齢組成 観測値の対数尤度と重みの積和 再生産の確率的変動 事前分布と信念の強さ パラメータの時間的変動 ( ランダム効果的 )

43 漁法別漁獲量 漁獲尾数の組成 p = ( p,..., p ), p = y, f, γ y, f, γ,1 y, f, γ, A y, f, γ, l pˆ = ( pˆ,..., pˆ ), pˆ = y, f, γ y, f, γ,1 y, f, γ, A y, f, γ, l ( p, p )~ Multi( C,( pˆ, pˆ )) y, f,1 y, f,2 y, f y, f,1 y, f,2 l l C Cˆ Cˆ y, f, γ, l C y, f y, f, γ, l y, f Cˆ A = Cˆ = y, f, γ, l y, f, γ, al, a= 0 A F S S y, f y, f, γ, a y, f, γ, l Z a= 0 y, f, γ, a N y, γ, al, Z y, f, γ, a (1 e )

44 漁法別漁獲量 総漁獲尾数 log C ~ N(log Cˆ, σ ) 2 y, f y, f y, f??

45 漁法別 CPUE log I ~ N(log Q, τ ) 2 y, f y, f y, f 記号少し変更

46 Recruitment deviation etc. Rɶ N σ y 2 ~ (0, R)?? ここでよいのか?

47 尤度に対する重みと有効サンプルサイズ 分散項 仮定 重み (λ) CPUE CV (given) yes 体長組成 ( 年齢組成 ) 有効標本数 (over-dispersion) yes 再生産確率的変動 (*) CV (given) yes 事前分布 CV (given) yes パラメータ確率変動 (*) CV (given) yes 恣意的に変動の程度を決めることになる ((*) の真面目な推測の場合, 変数を積分して, の周辺尤度を 定義し推定する. その際, 分散の過小評価を避けるため部分尤度を利用 )

48 診断 CPUE と体長組成に対する重み 尤度プロファイル (log R0 に対する ) 選択性などの仮定の検証 体長や年齢を用いない解析との比較 (ASPM etc. )

49 仕様設定および推定の難しいパラメータ steepness 自然死亡係数 パラメータの確率変動の分散 成長式周りの分散 有効サンプル数...

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