<4D F736F F D20B5DAB6FED5C220CFDFD0D4C6ABCEA2B7D6B7BDB3CCB5C4BDE2B7A82DB7D6C0EBB1E4C1BFB7A82E646F63>
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- 席璎 裴
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1 第二章线性偏微分方程的解法 - 分离变量法 上述偏微分方程中的物理量包含对空间和时间多个变量的偏导 直接求解比较困难 在求解偏微分方程的所有方法中 分离变量法是一种非常重要的方法 其基本思想是把偏微分方程分解成为几个常微分方程 常微分方程和边界条件构成本征值问题 然后对本征值问题直接求解 偏微分方程 分离变量 几个常微分方程 边界条件 本征值问题 确定本征值 本征函数 初始条件 确定待定系数. 分离变量法介绍.. 齐次偏微分方程的分离变量法 两端固定的均匀弦的自由振动问题 其满足如下定解问题 : 设 ψ ( ) X T () () 带入上述泛定方程 得 T X 为任意常数 T X 整理得 X X (3) T T (4) X 的泛定方程 () 和其边界条件 X ( ) X 构成其本征值问题 即
2 X X X X 当 < 时 方程 (3) 的通解为 (5) X c c 由边界条件得 c c X 当 时 方程 (3) 的通解为 c c X 由边界条件得 c c X 3 当 > 时 方程 (3) 的通解为 X 由边界条件 c c si X X () cos c c si π 为正整数 因此 得 弦不发生振动 弦也不发生振动 和 X π ( 3 L) π X X c si 分别称为本征问题 (5) 的本征值和本征函数 (6) π 将本征值 ( 3 L) 带入关于 T 的泛定方程 (4) π T T 其解为 π T 将 (6)(7) 式带入 () 式 得到 π () T () A cos B si ( 3 L) (7) π π ( ) ( ) A cos B si si ( 3 L) π 由于 取任意正整数 上述本征解都满足本征方程 因此 满足定解问题最一般的通解写为 A π cos B π π si si (8)
3 B A 为待定系数 由初始条件确定 ) ( si si B A < < ψ π π π (9) (9) 式左边是傅里叶正弦级数展开 因此其系数 B A si si ξ πξ ξ ψ π ξ πξ ξ () 习题 : 求利用分离变量法求解如下定解问题 () 求如下定解问题 ψ () 一长为 的细杆 初始时刻杆一端温度为零度 另一端温度为 杆上温度均匀分布 现零度一端保持温度不变 另一端与外界绝热 求杆上温度变化 (3) 边长为 的矩形薄板 两板面不透热 它的一边 为绝热 其余三边保持温度为零 设板的初始温度分布为 f 求板内温度变化 f
4 .. 非齐次偏微分方程的处理 齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用 因为方程和边界条件都是齐次的 分离变量才得以实现 如果定解问题中的方程不是齐次的 还有没有可能应用分离变量法呢? f ( ) ψ < < > () 我们分别利用本征函数法和冲量定理法求解上述非齐次偏微分方程的定解问题 这里 我们仅考虑边界条件是齐次的 非齐次边界条件的处理将在下一小节中讲述 一 本征函数法 由.. 中例题 可知 当 ( ) π si 因此 设 ( 3L ) f 时 定解问题的本征函数族为 ( ) T π si () 将 () 带入 () 中的泛定方程 得 T (3) 式是 ( ) π π () T () si f ( ) f 关于 的正弦级数展开 (3) T π π (4) () T () f ( ) si π 另外 由初始条件 T ( ) si T si ψ T π π 可得 : () si T () ψ si 由 (4)(5) 可求得 T () π (5) 然后代入 () 式 即为定解问题 () 的解 本征函数法也适用于泛定方程为齐次的情况 请尝试用本征函数法重新求解定解问题 () 二 冲量定理法应用冲量定理法有一个前提条件 即初始条件必须均为齐次的 对于初始条件为非齐次的定解问题 ( 如 ()) 可以采用叠加原理 令 3
5 其中 ( ) ( ) ( ) 分别满足如下定解问题 ψ (6) f ( ) (7) 齐次方程 (6) 可用上一小节分离变量法直接求得 方程 (7) 泛定方程为非齐次 但初始条件已经转化为齐次 下面 利用冲量定理法求解 (7) 式的定解问题 先求 v ( ) 满足的定解问题 v v v v v v f ( ) 然后 由如下公式 可进一步求得 ( ) (8) 证明 : 把非齐次项 ( ) ( ) v( ) 其中 f ( ) δ ( ) (9) f 表示成无穷多个瞬时力的叠加 f ( ) f ( ) δ ( ) () 为瞬时力 持续力 f ( ) 引起的振动可以看作无数瞬时力引起振动的叠加 设 ( ) f ( ) δ ( ) 引起的振动 显然 ( ) 其满足如下的定解问题 : 为 时刻瞬时力 ( ) ( ) f ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( ) () 时刻 以后 瞬时力消失 泛定方程变为齐次的 因此 如果将 作为初始时刻 4
6 将定解问题 () 改写为如下形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) () ******************************************************************************* 公式 () 中初始速度变为 ( ) f ( ) 可以由两种方法理解 () 将公式 () 中泛定方程对时间 在区间 [ ] 进行积分 可得 ( ) ( ) f ( ) 由 ( ) ( ) 另外 在 所以最终可得 时刻 瞬时力还未发生作用 因此速度必然为零 即 ( ) 时刻的初始速度 ( ) f ( ) () 在时刻 由冲量定理可得 瞬时力的冲量等于动量的变化 : Q ( ) ( ) f ( ) ( ) 所以 可推得 ( ) f ( ) ******************************************************************************* 由于 因此将方程中 () 将 简写为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) (3) 引入变量 v ( ) 令 ( ) v( ) (4) 将 (4) 式代入 (3) 式 可得 v v v v v v f ( ) 5 (5)
7 定解问题 (5) 可直接用分离变量法求解 然后由 ( ) v( ) 方程 (7) 的解 ( ) 习题 : 分别利用本征函数法和冲量定理法求解定解问题 π Acos siω < < > 可最终求得定解..3 非齐次边界条件的齐次化 上两小节中 边界条件都是齐次的 如果边界条件是非齐次的 不能直接利用分离变量法求解 例如定解问题 () 将其边界条件改为非齐次的 g () h() ψ 由分离变量的思想 设 ( ) X T 带入上述泛定方程 得 X X (3) T T (4) X 的边界条件 X ( ) T () g() X () T h X X g () () X X T () () h T () () 无法构成本征值问题继续求解 因此 对于边界条件是非齐次的定解问题 首先需要对其边界条件进行齐次化处理 一 边界条件齐次化例如自由振动问题 () β () ψ α () 边界条件是非齐次的 为了使用分离变量法 必须先将非齐次边界条件齐次化 令 6
8 ( ) v( ) ω( ) () 适当选择 v ( ) 使其满足 v α () v β 这样 另一个函数 ω 的边界条件将变为齐次 即满足 ω ω 其满 足的定解问题为 ω ω ω ω ω ( v v ) v ω ψ v (3) 上述定解问题和初始条件是非齐次的 但边界条件是齐次的 可以用上一小节的本征函数发或者冲量定理法继续求解 另一个函数 ( ) v 可以采用多种形式 越简单越好 最好是 的线性函数或者不大于 的二次幂的函数 此处 我们利用线性函数构造 令 β () α v α (4) 将 (4) 式带入 (3) 式 即可求得 ω 最终由 () 式可得 α β ( ) v( ) ω ( ) α ω( ) (5) v 思考 : 如果 ( ) 的边界条件分别满足下面两种情况 该如何构造 () α () β () () α () β () ψ ψ 习题 : 弦的一端固定 另一端作周期运动 Asi ω 的弦振动 弦的初始位移和初始速度都是零 求弦的振动 其定解问题为 注意 : Asiω (6) () v ( ) 可以自由选择 只要保证满足 ( ) 的边界条件 从而使 ω 齐次的即可 的边界条件是 () 选择不同的函数 v ( ) 当然导出的 ω 的定解问题也就不同 于是求得的 ω( ) 7
9 也就不同 但由于定解问题解的存在性和唯一性 就保证了最后给出的 ( ) 尽管表达式的形式可能有所不同 二 方程和边界条件同时齐次化 一定是相同的 上面两例题中 ω 满足的泛定方程都是非齐次的 在某些特定情况下 可以选择 合适的函数 v ( ) 使得 ω 同样上面例题为例 设 ( ) v( ) ω( ) 其中 v( ) f si 使 ( ) 的方程是齐次的 Asiω (3) ω (3) v 满足如下的泛定方程和边界条件 v v v v Asiω 将 (3) 式带入 (3) 式 得 解为 f f ω f f A (3) (33) A f ω ω si si (34) A ω si siω ω si 所以 v 因此 ω 满足的定解问题为 8
10 ω ω ω ω (35) Aω ω ω ω si ω si 定解问题 (35) 泛定方程和边界条件都是齐次的 可以直接用分离变量法进行求解 需要指出 : () 不是所有的定解问题都可以将泛定方程和边界条件同时齐次化 这时 只能用第一 种方法 构造一个函数 ( ) v 然后求解泛定方程为非齐次的定解问题 () 对于可以将方程和边界条件同时齐次化的定解问题 是采用第一种方法简单地将边界条件齐次化 还是力求方程同时也齐次化? 需要视具体情况而定 有时尽管也能 使方程和边界条件同时齐次化 但如果函数 ( ) v 所满足的常微分方程过于复杂 不易求得 也许还是找一个形式比较简单的函数 只需将边界条件齐次化来得方便 思考 : 对于更一般非齐次方程 非齐次边界条件构成的定解问题 该如何求解? α f ( ) () β () ψ 分离变量法的适用范围? () 有界区域的定解问题 () 系数不存在耦合项 习题 : 求半带形区域 ( ) 内静电势 ( ) 势都是零 而边界 上的电势保持为 ( 常量 ) 对应的定解问题为 已知边界 和 上的电. 利用分离变量法求解常见偏微分方程 第一章我们推导了如下三个常见的偏微分方程 9
11 f 波动方程 f 热传导方程 泊松方程 Lpc 方程下面 我们将分别在球坐标系和柱坐标系下利用分离变量法对上述偏微分方程进行求解.. 拉普拉斯 (Lpc) 方程 的分离变量解法一 球坐标系 下拉普拉斯方程的分离变量解法直角坐标系下拉普拉斯方程 : 球坐标系下拉普拉斯方程 : si si si () 方程 () 为偏微分方程 具有多个自变量 无法直接进行求解 我们利用分离变量法将球坐标系下拉普拉斯偏微分方程分解成为多个常微分方程 然后进行求解 设 代入 () 式 si si si 方程两边同乘以 为常数 si si si si si si ( 此处 为何将常数写成 的形式 我们将在求解勒让德方程时解释 )
12 由此 偏微分方程 () 可得到分离为如下两个方程 : si ( ) si si ( ) 其中 () 为欧拉方程 (3) 球谐函数方程 方程 () 为常微分方程 可以直接求解 但方程 (3) 仍然是偏微分方程 需要进一步分离变量 令 ( ) Θ( ) si 代入方程 (3) 中 Θ Θ si si si 方程两边同乘以 Θ si Θ si Θ si Θ si Θ ( ) Θ ( ) si ( ) si 为常数 由此偏微分方程 (3) 又可以分离为如下两个常微分方程 : Θ si si [ ( ) si ] Θ 其中 方程 (4) (5) 均为常微分方程 可以直接求解 综上 球坐标系下拉普拉斯偏微分方程通过分离变量法 分离成三个常微分方程 即 ( ) Θ si si [ ( ) si ] Θ 一旦得到三个常微分方程 (6) (7) (8) 的解 Θ ( ) 偏微分方程的解即可得到 : ( ) Θ( ) 下面 我们将分别求解上述三个常微分方程 欧拉方程(6) 的求解 () (3) (4) (5) (6) (7) (8) 球坐标系下拉普拉斯
13 将方程 展开 (9) 设 则 () () 将方程 () () 带入方程 (9) 得到 特征值 () D C 将 代入上式 得到 () D C D C 当 时 特征值 () D C D C D C 也满足上述通式 综上 () ) ( L D C () 方程 (7) 的求解 其解 B A si cos 应满足自然边界条件 π
14 所以 必须为整数 即 L 综上 A cos B si ( L ) (3) 3 方程 (8) 的求解 令 cos Θ( ) Θ( ) si Θ si si si si si si ( ) ( ) 带入方程 (8) 得到 阶连带勒让德方程 ( ) ( ) ( ) 当 时 方程 (4) 退化为勒让德方程 ( ) ( ) 其中 为本征值 由函数 在定义域 [ ] 3L 其对应的本征函数为 阶勒让德多项式 P 阶连带勒让德方程对应的解为 阶连带勒让德多项式 P 阶勒让德方程对应的解为 阶勒让德多项式 P (4) (5) 内有限的自然边界条件可得 本征值 ; ( 勒让德多项式的求解以及为什么本征值 必须为 3 L 将在 3. 节详细讲解 ) 3
15 4 二 柱坐标系 下拉普拉斯方程的分离变量解法柱坐标系下拉普拉斯方程 (6) 利用分离变量法 令 代入 (6) 式中 方程两边同乘以 至此 球坐标系下拉普拉斯方程 经过分离变量 得到三个独立的常微分方程 si si si 其解分别为 () Θ cos si cos ) ( P B A D C L L 所以 球坐标系下拉普拉斯方程通解为 : cos si cos P B A D C Θ 尤其 当 时 cos P D C Θ
16 5 从而得到 (8) (7) 方程 (7) 为独立常微分方程 其解为 ) ( si cos L B A 满足自然边界条件方程 (8) 仍然没有完全分离开 方程两边同乘以 为常数进而 得到两个常微分方程 () (9) 下面 我们将分别求解上述常微分方程 当 方程退化为 () () 方程 () 的解为 D C 方程 () 简化为
17 6 设 带入上式 得 当 时 () F E F E 当 时 () F E F E 综上 方程 () 的解为 F E F E 当 > 时方程 (9) 的解为 () D C 方程 () 同乘以 (3) 设
18 7 代入 (3) 式 得 (4) 方程 (4) 称为 阶贝塞尔 (Bss) 方程 其解为 阶贝塞尔函数 阶贝塞尔函数的求解过程将在.3 节中详细讲述 3 当 < 时设 μ 方程 (9) () 变为 (6) (5) μ μ 方程 (5) 的解为 D C μ μ si cos 同样 令 μ 方程 (6) 整理得 (7) 方程 (7) 称为 阶虚宗量贝塞尔 (Bss) 方程 其解为 阶虚宗量贝塞尔函数 阶虚宗量贝塞尔函数的求解过程也将在.3 节中详细讲述
19 8 至此 柱坐标系下拉普拉斯方程 经过分离变量 得到三个独立的常微分方程 其解分别为 : 当 ) ( si cos F E F E D C B A L 当 > () ) ( si cos D C B A L 当 < μ () si cos ) ( si cos D C B A μ μ L
20 .. 波动方程的分离变量解法 波动方程 : ( ) 令 ( ) T U ( ) 带入上述方程 T U T U T T U U 从而得到 T T U U 为常数 T Acos Bsi 亥姆赫兹 Hho 方程 (8)..3 热传导方程的分离变量解法 热传导方程 : ( ) 令 ( ) T U ( ) 带入上述方程 T U T U T T U U 为常数 从而得到 T U T U T A 亥姆赫兹 Hho 方程 波动方程和热传导方程通过分离变量后 均需要求解 Hho 方程 下面 我们将详细讨论 Hho 方程的解法 (9)..4 亥姆赫兹 (Hho) 方程的分离变量解法 一 球坐标系下 Hho 方程的分离变量解法球坐标系下 Hho 方程 : si si si (3) 9
21 3 令 代入 (3) 式中 得 si si si 两边同乘以 si si si 即 si si si 所以 [ ] (3) si si si (3) 方程 (3) 称为 阶球贝塞尔方程 (3) 称为球谐函数方程 与 Lpc 方程中球谐函数一致 球谐函数在此不再详述 阶球贝塞尔方程的解法将在第四章详细讲述 至此 球坐标系下 Hho 方程经过分离变量 得到如下两个方程二 柱坐标系下 Hho 方程的分离变量解法柱坐标系下 Hho 方程 : (33) 令 代入 (33) 式中 方程两边同 [ ] si si si
22 3 所以 ) ( ) ( 方程 (34) 的解前面已经计算 即 L si cos B A 方程 (35) 两边同乘以 整理得 (36) 当 时方程 (36) 分解为 (38) (37) 方程 (37) 的解为 D C 令 方程 (38) 转化为 (39) 为 阶贝塞尔方程
23 当 > 时 令 ν ν ( ν ) (4) (4) 方程 (4) 的解为 C cos ν Dsiν 方程 (4) ν () 当 > 时 μ ν μ 则方程 (4) 仍然可以转化为 阶贝塞尔方程 (4) ( ) (43) ν () 当 < 时 μ ν μ 则方程 (4) 转化为 : ( ) (44) 方程 (43) 为虚宗量贝塞尔方程 (3) 当 ν 时 方程 (4) 转化为欧拉方程 3 当 < 时 令 ν ν 方程 (44) 的解为 ( ν ) (45) (46) ν ν () C D (47) 方程 (45) 令 μ ν μ 则方程 (45) 转化为 ( ) (48) 方程 (47) 为 阶贝塞尔方程 3
24 33 综上 柱坐标系下 Hho 方程经过分离变量 得到如下三个常微分方程 当 时 其中 当 > ν () ν μ ν > μ ν 其中 () 当 < ν 时 ν μ μ ν 其中 (3) 当 ν 时 μ ν 其中 3 当 < 时 令 ν μ ν μ ν 其中
25 .3 施图姆 - 刘维尔型方程的本征值问题 由前面两节可知 用分离变量法求解定解问题时 会出现含有参量的常微分方程 因此 分离变量法最终会归结到求本征值问题 即在一定的边界条件下求解一个齐次常微分方程的非零解问题.3. 施图姆 - 刘维尔型方程在常见物理问题中 会得到如下的二阶线性齐次常微分方程 p q () 其中 q 方程两边同乘以函数 p ( ) p 整理可得 q ( ) p p p ( ) 令 q q [ ] q p ( ) () p ( ) 则式 () 简写成 (3) 其中 q 为参数 式 (3) 称为施图姆 - 刘维尔 (S-Liovi) 型方程 称为权重函数 通常称 几个特殊常微分方程对应的施图姆 - 刘维尔型方程 : () 本身就是施图姆 - 刘维尔型方程 其中 q () 勒让德方程 ( ) ( ) 方程为 ( ) ( ) ; (3) 连带勒让德方程 ( ) ( ) 施图姆 - 刘维尔型方程为 ( ) 34 ; 其等价的施图姆 - 刘维尔型 其中 q ( ) ( ) 其等价的 q ( ) ( ) ; ( ) 其中
26 (4) 贝塞尔方程 ( ) 为 其中 ( ) 其等价的施图姆 - 刘维尔型方程 q ( ) [ ] (4) 球贝塞尔方程 ( ) 其等价的施图姆 - 刘维尔型方 程为 ( ) 其中 ( ) q ().3. 施图姆 - 刘维尔型方程的边界条件定义在某一区间的施图姆 - 刘维尔型方程 [ ] q (4) 在一定边界条件下 只有当参数 取某些特定的值时才有非零解 称为本征值 相 应的非零解称为本征函数 方程 (4) 构成具有非零解的本征值问题通常需要附加如下的边界条件 : () 如果在端点 和 施图姆 - 刘维尔型方程中 第一 二 三类齐次边界条件 : 则需要附加 α β (5) S 其中 α β 不同时为零 当 α β 其中之一为零时 将退化为第一 二类齐次边界条 件 例如 : () () () 以端点 为例 施图姆 - 刘维尔型方程中 在端点 上 存在着自然边界条件 : 是 的至少一阶的零点 那么 (6) 因为 假设方程 (4) 存在一个解 且在端点满足 则有由求解公式 35
27 p( ξ ) ξ ξ C ξ ξ ( ξ ) ( ξ ) C ( 参考教材 P73 公式 (8.4) 其中 是定义域内一个定点 C 为积分常数 ) 可以得到与 相对独立的另一个解 c c 然而由于 因此 因此方程 (4) 的通解为 所以 在这种情况下 需要附加一个自然边界条件 即 例如 : 勒让德方程 ( ) ( ) ( ) 因此 ± 是 需要附加自然边界条件 ( ±) 由于 的一阶零点 因此 勒让德方程要有非零解 贝塞尔方程 一个端点 是 ( ) 边界条件 在另一端点 三类齐次边界条件即可 (3) 如果 由于 ( ) 因此 的一阶零点 因此贝塞尔方程要有非零解 需要附加自然 则在端点上存在周期性边界条件 : 因此 在端点 满足第一 二 (7) 例如 ( ) ( ) π ( ) 在端点上满足 () ( π ) 因此方程要有非零解 需要附加周期性边界条件 ( π ).3.3 施图姆 - 刘维尔本征值问题的共同性质施图姆 - 刘维尔型方程附加第一 二 三类齐次边界条件或者自然边界条件或者周期 性边界条件 称为施图姆 - 刘维尔本征值问题 在施图姆 - 刘维尔型方程中 如果 q ( ) 则这类本征值问题有如下的共同性质 : 36
28 37 () 所有本征值是非负的 即 证明 : 设 是对应于本征值 的一个本征函数 则有 [ ] q (8) (8) 式两边同乘以 然后对变量 在区间 [ ] 积分 得 [ ] q 整理得 [ ] q q q (9) 当 在 和 两端均不等于零时 方程要有非零解的前提需要附加齐次边界条件 β α κ γ () 由第一章 () 可知 β α 异号 κ γ 同号 将 () 式代入 (9) 式得 γ κ α β 即 当 自然边界条件下 或者周期性边界条件下 容易看出均有 () 如果 及其导数连续 q 连续或者最多在边界上有一阶极点 则存在无限多个本征值 L L 3 相对应的本征函数为 L L 3 (3) 不同本征值 和 对应的本征函数 和 在区间 上带权重 正交 即
29 38 N 其中 N 称为 的模 为 的复共轭函数 证明 : 本征函数 和 分别满足如下的本征方程 : [ ] q () [ ] q () () 式乘以 [ ] q (3) () 式取复共轭 然后乘以 [ ] q (4) (3) 式与 (4) 式相减 然后对变量 在区间 [ ] 积分 得 [ ] [ ] 与性质 () 最后结果讨论方式一样 可得 因此 (4) 本征函数族 { } 在区间 是完备的 因此 如果函数 f 具有连续一阶导数和分段连续的二阶导数且满足本征函数 所满足的边界条件 则函数 f 可以以 为基做广义傅里叶级数展开 即 c f
30 39 其中系数 f N c N 习题 : 量子力学中 线性谐振子满足如下的厄米方程 : 把上述厄米方程化成施图姆 - 刘维尔型方程的形式 把拉盖尔方程 化成施图姆 - 刘维尔型方程的形式
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西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
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贝塞尔函数及递推公式
附录 : Γ函数的基本知识 定义 t e t t Γ π. Γ 函数的递推公式 特别的 当为正整数时 有 > Γ!!!. 3 当! 时. 第三章贝塞尔函数 在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问题时 也会导出其他形式的常微分方程边值问题 从而引出各种各样坐标函数系 这些坐标函数系就是人们常说的特殊函数 本章 我们将通过在柱坐标系中对定解问题进 行分离变量 导出贝塞尔方程 ; 然后讨论这个方程的解法及解的有关性质
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 将这个解代入原方程得到于是原方程的通解为 A 9 a ( c cos a c sin a) c 9 a ) c cos c sin 4) 求 '' ' 的通解 解 : 二阶线性变系数齐次 观察出 u '' u' 设 u( ) 代入方程 得 u' 二阶可降阶 解出 通
作者 : 闫浩 (4 年 月 ) 微积分 B() 第七次习题课答案 ( 第十六周 ). 求下列方程的通解 : ) 求微分方程 cos 的通解. 解题思路 : 在用比较系数法求该方程的特解时 注意此方程右端是两个函数 和 cos 之和 所以需要分别求出方程 程的一个特解. 的特解 和 解 : 首先求出对应的齐次方程的通解 : 然后用比较系数法求非齐次方程 程具有形如 cos 的特解. 然后得到原方 c
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总复习打印版
课程主要内容 基本概念与三类方程的推导 分离变量法 贝塞尔函数 格林函数法 特征线法 第一章主要内容 :. 三类数理方程的推导及物理含义 ;. 定解条件 初值条件 三类边值条件的物理含义 ; 3. 基本概念 : 古典解 通解 特解 偏微分方程的阶 非 线性偏微分方程 自由项 非 齐次方程 ; 4. 定解问题的适定性 解的存在 唯一性 稳定性 ; 5. 叠加原理 非齐次边界条件的其次化 两端固定的弦的自由振动问题
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试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
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幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]](/thumbs/104/161694025.jpg "Microsoft PowerPoint - 概率统计Ch02.ppt [Compatibility Mode]")
66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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作者 : 闫浩 4 年 月 / 9 d d. 由结果 可知 积分 d d 与路径无关 从而 d d d d 是某函数的全微分 由此得 a a 由 在 R 上且只有惟一零点 O a a a 考虑到 a d d 利用第 问的结论 可以直接取 : a 代入积分并利用格林公式 注意到椭圆 / / a 的面积
作者 : 闫浩 4 年 月 微积分 B 第六次习题课答案 第十四周. 以下哪些命题要求单连通域?. Pd Qd Q P d 是 的正向边界 B. Pd Qd 为 内任一闭曲线 在 内 Pd Qd 与路径 l 无关. Pd Qd 在 内与路径 l 无关 在 内有 Pd Qd d l 是某个二元函数. Pd Qd d 在 内成立 Q P 在 内成立 向量场 F X i Y j 在域 内有连续的偏导数 是
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幻灯片 1
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m V ( ) u( )= Eu( ) 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 n sin x, 0 xa ux ( ) a a, x 0, o, x a 0 En n n 1,,3, ma .5 力学量的平均值 算符表示
第二边值条件 Neuma 问题 u = φ(, ) Γ 第三边界条件 Robi 问题 ( u + σu) = φ(, ) Γ 5 定解问题的研究方法 研究适应性适应性 存在性 唯一性 稳定性 6 经典方程中参数的意义方程类别 a f(, ) 波动方程 a = T ρ 表示弦 / 膜 / 波的张力密度
偏微分方程复习整理 一 偏微分方程中的基本知识 一些基本概念 偏微分方程 多元函数 u() 及其偏导数的关系式, 通式 F(, u, Du,, D m u) = 解 满足偏微分方程的多元函数 u = φ(), 特别地有形式解 通解 特解 阶 实际所含未知函数偏导数的最高阶数 线性算子 满足对任意函数 u, v, 任意常数 c 有 L(u + v) = Lu + Lv, L(cu) = clu 的算子
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高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
第十四章 格林函数 --偏微分方程解的积分表示
第十四章格林函数 -- 偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法 : A: 数理方法中的分离变量法 : 正交的多项式或无穷级数解, 但需要齐次边界条件 B: 理论物理中的 Gee 函数方法 : 既是简单的有理形式解, 又允许任意的边界条件!,Gee 函数 (GF) 的意义 : 物理上 : 点源产生的场 ( 函数 ) 在时空中的分布 特别是它在空间是源函数 ; 在时空是传播函数 (See below)
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第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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幻灯片 1
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V() 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () u()= Eu() 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, o, x > a 0 π En = n ma n = 1,,3, .5
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一、选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
6 考研数学 ( 二 ) 真题及答案解析来源 : 文都教育 要求的. 一 选择 :~8 小题, 每小题 分, 共 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目 () 设 a (cos ), a In( ), a. 当 时, 以上 个无穷小量按 照从低阶到高阶的排序是 (A) a, a, a. (B) a, a, a. (C) a, a, a. (D) a, a, a. 解析 : 选择 B
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现代天文学7.ppt
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