976 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 35 卷令 Θ 为 θ 的参数空间, 如果 PMC(^θ,^θ,θ) 0.5, θ Θ, 则称在 PMC 意义下 ^θ 不比 ^θ 差. 若至少存在一个 θ Θ 使上式严格不等式成立, 则称在 PMC 意义下 ^θ 优于 ^θ. 以上比较估计量优劣的准

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幕芮
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1 第 35 卷第 6 期 005 年月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol 35 No 6 Nov.005 PC 准则下生长曲线模型回归系数阵的一类线性估计的优良性陆建 ( 东南大学数学系, 南京 0096) 摘要 : 设生长曲线模型为 Y n p =A n m B m k C k p +E n p,e~n(0, I n I p ). 当 A T A 为病态时, 令回归系数阵的最小二乘 (LS) 解和一类线性估计分别为 ^B=(A T A) - A T YC T (CC T ) - 和 ^B = (A T A+ρΣ) - A T YC T (CC T ) -, 其中 ρ>0 为常数,Σ 为正定阵. 分别在 A T A 和 Σ 的可交换性未知和已知的情形下证明了 : 在适当条件下 ^B 于 PC 准则下优于 ^B. 并将这一结论推广到当 A T A 和 CC T 都是病态时的情况. 关键词 :PitmanClosenes 准则 ; 生长曲线模型 ; 线性估计 ; 最小二乘解中图分类号 :O.4 文献标识码 :A 文章编号 : (005) Superiorityaboutaclasoflinearestimationofregresioncoeficient underpitmanclosenescriterion LuJian (DepartmentofMathematics,SoutheastUniversity,Nanjing0096,China) Abstract:LetthegrowthcurvemodelbeY n p =A n m B m k C k p +E n p,e~n(0, I n I p ).Sup posethattheleastsquares(ls) solutionandlinearestimationofregresioncoeficientare^b= (A T A) - A T YC T (CC T ) - and^b =(A T A+ρΣ) - A T YC T (CC T ) -,whena T Aisil conditioned, whereρisapositiveconstant,σisapositivedefinitematrix.ontheconditionofexchangeabilityor unexchangeabilityofa T AandΣ,itisprovedthatundersuitableconditionsthelinearestimator^B is beterthan^bbypitmanclosenescriterion.thisconclusionisthenextendedtothesituationwhen A T AandΣarebothil conditioned. Keywords:PitmanClosenescriterion;growthcurvemodel;linearestimation;theleastsquaresso lution PC 准则 937 年 Pitman 提出了比较个估计优劣的一种准则 []. 设参数 θ 的个估计为 ^θ,^θ, 则称 PMC(^θ,^θ,θ)=P( ^θ -θ ^θ -θ) () 为 ^θ 相对于 ^θ 的 Pitman 密切度量 (Pitmanmeasureofcloseness,PMC). 将这一概念一般化, 令 L(^θ,θ) 为损失函数, 定义估计量 ^θ 相对于 ^θ 的 PMC 如下 : PMC(^θ,^θ,θ)=P(L(^θ -θ) L(^θ -θ)) () 式中,^θ,^θ,θ 可以是一维的, 也可以是多维的. 通常取损失函数为二次损失, 即 L(^θ,θ)=(^θ-θ) T G(^θθ)) ^θ-θ G, 其中,G 为非负定阵. 当 θ 是矩阵时, 本文的处理方法是将 θ 按列拉直, 记为 Vec(θ), 这样式 () 就变成 PMC(^θ,^θ,θ)=P(L(Vec(^θ )-Vec(θ)) L(Vec(^θ )-Vec(θ))) (3) 收稿日期 : 作者简介 : 陆建 (980 ), 男, 硕士生,luyilang@sohu.com.

2 976 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 35 卷令 Θ 为 θ 的参数空间, 如果 PMC(^θ,^θ,θ) 0.5, θ Θ, 则称在 PMC 意义下 ^θ 不比 ^θ 差. 若至少存在一个 θ Θ 使上式严格不等式成立, 则称在 PMC 意义下 ^θ 优于 ^θ. 以上比较估计量优劣的准则, 称为 Pitman 密切 (PitmanCloseness) 准则, 简称为 PC 准则 [,3]. 本文将研究生长曲线模型回归系数阵的一类线性估计在 PC 准则下的优良性 [4~6]. 众所周知, 岭估 [7] 计是针对设计阵 A 为病态 ( 即 A T A 为奇异或接近奇异 ) 时而提出的一种改进的估计, 因此讨论这一估计在 PC 准则下的优良性问题时, 假定 A 不必为列满秩 (0<R(A T A) m) 情形是具有实用意义的. 当 A T A 病态时的一般情况设生长曲线模型为 Y n p =A n m B m k C k p +E n p,e~n(0, I n I p ), 此处假定 A T A 的秩 0<R(A T A) =s m,c 的秩 0<R(CC T )=k,b 为未知的回归系数矩阵. 回归系数阵的最小二乘 (LS) 解为 ^B =(A T A) - A T YC T (CC T ) -, 此处 (A T A) - 表示矩阵 A T A 的广义逆. 当 R(A T A)=m 时, 称 ^B 为 B 的最小二乘 (LS) 估计. 本文考虑回归系数阵的一类线性估计 ^B =(A T A+ρΣ) - A T YC T (CC T ) -, 此处 ρ>0 为常数,Σ 为已知正定阵. 适当选取 ρ>0 和 Σ 可以得到回归系数阵的不同估计.^B 是这些估计的统一表达形式. 在本文中取式 () 中损失函数为 L(^θ,θ)= ^θ-θ (^θ-θ) T G(^θ-θ)), 其中 G =(C T A) T (C T A)= G CC T A T A. 为了证明在 PC 准则下 ^B 优于 ^B, 希望在适当条件下证明 :P(W(^B,^B) 0) 0.5. 其中 W(^B,^B)= ^B -B - ^B-B CC T A T A CC T A T A 因为 Σ >0,A T A >0,0<R(A T A)=s m, 故存在可逆阵 Q 使 Σ 和 A T A 同时对角化. 取 Q =PΣ -,P 为正交阵, 有 QΣQ T =I m,q(a T A)Q T =Λ =diag(λ s,0), 其中,Λ s =diag(λ,λ,,λ s ),λ λ λ s >0 为 A T AΣ - 的所有非零的顺序特征根. 由于 CC T >0,0<R(CC T )=k, 所以存在正交阵 N, 使 N(CC T )N T =Δ =diag(δ,δ,,δ k ), 其中, δ δ δ k >0 为 CC T 的所有非零的顺序特征根. 由于 A(A T A) - A T 对于任意选择的广义逆为不变量, 所以选取 A T A 的一个特定的广义逆为 (A T A) D, - 即 (A T A) - D Q T Λ + Q, Λ + =diag(λ - s,0) (4) 易求 ^B-B CC T A T A =VecT [(Λ + ) QA T EC T N T Δ - ]Vec[(Λ + ) QA T EC T N T Δ - ]. 令 Γ = - (Λ + ) QA T EC T N T Δ - (η ij ) m k, 由假设 E ~N(0, I n I p ), 可以得出 Γ ~N(0, ( [ ] ) 易求 I s I k, 将 Γ 做相应的分块,Γ =[Γ,Γ T ] T T, 则有 Γ ~N(0,I s I k ),Γ =0 所以有 ^B-B CC T A T A = Vec T (Γ)Vec(Γ)= s η ij (5) ^B -B CC T A T A =[(Δ N Λ (Q T ) - )Vec(^B -B)] T [(Δ N Λ (Q T ) - )Vec(^B -B)](6) 令 L=Λ (Q T ) - BN T Δ =(lij ) m k, 由 Λ =diag(λ s,0) 的特殊形式, 可以对 L 做相应的分块,L= [L T,L T ] T,L :s k, 则有 L = 0. 由 Γ 和 L 的定义, 可以化简式 (6), 得到 ^B -B CC T A T A = s η ij -ρv i l ij / +v i ρ, 此处 v i =/λ i,i=,,,s. 由式 (5) 得 [ ] W(^B,^B)= s η ij -ρv i l ij / -η ij (7) +v i ρ 本文中令 λ max (A)( 或 λ min (A)) 表示方阵 A 的最大 ( 或最小 ) 特征根. 而 λmin(a) + 表示非负定阵 A 的最小非零特征根. 引理设 U 服从自由度为 l 非中心参数为 λ 的非中心卡方分布, 即 U ~χ l(λ), 记 χ 0.5(l,λ) 表示非

3 第 6 期陆建 :PC 准则下生长曲线模型回归系数阵的一类线性估计的优良性 977 中心 χ l(λ) 的中位数, 则有 min (χ 0.5(l,λ)-λ)=l-,max (χ 0.5(l,λ)-λ)=χ 0.5(l) (8) λ λ 式中,χ 0.5(l) 为自由度为 l 的中心卡方分布的中位数. 则有 P(U l-+λ) P(U χ 0.5(l,λ)) = 0.5 [8]. 定理设 ^B 和 ^B 分别由前面所定义, 其中 Σ >0,0<R(A T A)=s m, 若满足下列条件之一 : (i) (i) λ max (A T AΣ - sk- ) tr[cc T B T Σ(A T A) - D ΣB ] λ max (A T AΣ - sk- )> tr[cc T B T Σ(A T A) DΣB - ] (9) (0) (sk-)λ max (A T AΣ - ) 0<ρ () λ max(a T AΣ - )tr[cc T B T Σ(A T A) DΣB]-(sk-) - 则有 P(W(^B,^B) 0) 0.5. 证明由式 (7) 易知 W(^B,^B) 0 蕴涵于 ρ v il ij s η ij+ v (+ρv ) s v (+ρv ) v s i l ij η ij () 令 ζ Λ - Λ + s L L= v v. 将 ζ 做相应的分块 ζ=[ζ,ζ T ] T T, 则有 ζ = Λ - s L v,ζ =0, 易求 0 ζ = v tr[cct B T Σ(A T A) - DΣB], 易知式 () 等价于 ρv (+ρv ) ζ + (+ρv ) ζ Γ + ζ +ρv (3) 记 Z = Γ + ζ +ρv, 则有 Z ~ N ( ζ +ρv,i s Ik ), 所以 Z ~ χ sk(λ), 中心参数 λ = ρv (+ρv ) ζ, 自由度为 sk. 无论从条件 (i) 还是 (i) 都有 (+ρv ) ζ λ. 所以由引理有 P(W(^B,^B) 0) P( Z 定理 [ ] + (+ρv ) ζ (sk-)+ ρv (+ρv ) + ζ ) 0.5. (+ρv ) 设 ^B 和 ^B 分别由前面所定义, 其中 Σ >0,0<R(A T A)=s m, 若 λ max (A T AΣ - ) λmin(a + T AΣ - ) < r 0.5 [tr(cc T B T A T AB)] 式中,r 0.5 =χ 0.5(sk),χ 0.5(sk), 其定义如引理中所示. 则有 P(W(^B,^B) 0) 0.5. 证明这是定理 4 的推论, 只需令 ρ =0 即可. (4) 定理的条件 ( 式 (4)) 与 ρ 无关, 表示在式 (4) 所限制的参数空间的一个确定的子集内, 对一切 ρ> 0,^B 在 PC 准则下优于 ^B. 3 A T A 病态且 Σ 和 A T A 为可交换阵的情况当 Σ 和 A T A 为可交换阵时, 即 ΣA T A =A T AΣ, 则存在正交阵 P, 使 Σ 和 A T A 同时对角化 [9], 即 P(A T A)P T =Λ,PΣP T =Φ,Λ =diag(λ s,0),φ =diag(,, m ), 其中 Λ s =diag(λ,,λ s ),λ λ λ s >0, i >0,i=,,,m. 在线性估计 ^B 中, 由于 CC T >0,0<R(CC T )=k, 所以存在正交阵 N, 使 N(CC T )N T =Δ=diag(δ, δ,,δ k ), 其中 δ δ k >0 为 CC T 的所有非零顺序特征根. 与前面类似, 令 Γ = - (Λ + ) PA T EC T N T Δ - =(ηij ) m k, 假设 E ~N(0, I n I p ), 可以得到 Γ ~ N 0, I s 0 ( [ ] 0 0 I k ), 所以有

4 978 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 35 卷令 L =Λ PBN T Δ (l ij ) m k, 易求出 =,,,s. 由式 (5) 可知定理 3 ^B-B CC T A T A = Vec T (Γ)Vec(Γ)= s W(^B,^B)= s ^B -B CC T A T A = s η ij -ρ i v i l ij / +ρ i v [ -η ] i η ij (5) η ij -ρ i v i l ij / +ρ i v i, 此处 v i =/λ i,i ij (6) 设 ^B 和 ^B 分别由前面所定义, 其中 Σ >0,0<R(A T A)=s m, 且 Σ 和 A T A 可交换. 若 λ max (A T AΣ - ) λmin(a + T A) < r 0.5 [tr(cc T B T ΣA T AΣB)] 式中,r 0.5 =χ 0.5(sk),χ 0.5(sk) 的定义如引理所示. 则有 P(W(^B,^B) 0) 0.5. (7) 证明令 c 0 =min { i v i }, 易知 c - 0 =λ max (A T AΣ - ). 由式 (6) 易知 W(^B,^B) 0 蕴涵于 i s ρ s iv il ij c 0 (+ρc 0 ) s η ij+ s i v i l ij η ij (8) Φ L 令 =br, 其中数 b>0, 矩阵 R 满足 R =. 易求 b = B T ΣA T ΣAB). 所以式 (8) 等价 tr(cct 于 ρb Λ - s R c 0 (+ρc 0 ) Γ +bvec T (Γ )Vec(Λ - s R). 利用二次型极值的性质可知 Vec T (R)(I Λ s - )Vec(R) v s 和 Vec T (Γ )Vec(Λ s - R) - v s Γ. 所以式 (8) 蕴涵于 ρb v s c 0 (+ρc 0 ) Γ -bv s Γ. 可以解得 Γ bv s c 0. 由 Γ ~N(0,I s I k ), 可知 Γ ~χ (sk), 所以当条件式 (7) 成立, 即 bv s /c 0 <r 0.5, 因而有 P(W(^B,^B) 0) 0.5. 定理 3 的条件式 (7) 和定理的条件式 (4) 所表示的 B 的参数空间的子集互不包含. 4 A T A 和 CC T 都是病态的情况此处假定 A T A 和 CC T 都是病态的, 即 0<R(A T A)=s m 和 0<R(CC T )=t k. 回归系数阵的最小二乘 (LS) 解为珟 B = (A T A) - A T YC T (CC T ) -, 考虑回归系数阵的一类线性估计珟 B = (A T A + ρ Σ ) - A T YC T (CC T +ρ Σ ) -, 此处 ρ,ρ 都为正常数,Σ,Σ 都为已知正定阵. 适当选取 ρ,ρ 和 Σ,Σ 可得到回归系数阵的不同估计. 珟 B 是这些估计的统一表达式. 由于线性估计珟 B 中,Σ >0,A T A 0, 故存在可逆阵 Q, 使 Σ 和 A T A 同时对角化. 取 Q =P Σ -, P 为正交阵, 使 Q Σ Q T =I m,q (A T A)Q T =Λ =diag(λ s,0), 其中 Λ s =diag(λ,λ,,λ s ),λ λ λ s >0 为 A T AΣ - 的所有非零的顺序特征根. 同样, 在线性估计珟 B 中,Σ >0,CC T 0, 故存在可逆阵 Q, 使 Σ 和 CC T 同时对角化. 取 Q = P Σ -,P 为正交阵, 使 Q Σ Q T =I k,q (CC T )Q T =Δ =diag(δ t,0), 其中 Δ t =diag(δ,δ,,δ t ), δ δ δ t >0 为 CC T Σ - 的所有非零的顺序特征根. 令 Γ = - (Λ + ) Q A T EC T Q T (Δ + ) (η ij ) m k. 由假设 E ~N(0, I n I p ), 可以得到 Γ ~ N 0, I s 0 [ ] 0 0 I t 0 ( [ ] ) 0 0, 所以有珟 B-B CC T A T A = Vec T (Γ)Vec(Γ)= s 令 L =Λ (Q T ) - BQ - Δ (l ij ) m k 易求出珟 B -B CC T A T A = s [ i= j= η ij -(ρ u j +ρ v i +ρ ρ v i u j )l ij / (+ρ v i )(+ρ u j ) ] 式中,v i =/λ i,i=,,,s;u j =/δ j,j=,,,t. 由式 (9) 可知 η ij (9)

5 第 6 期陆建 :PC 准则下生长曲线模型回归系数阵的一类线性估计的优良性 979 定理 4 {[ ] } W( 珟 B, 珟 B)= s η ij -(ρ u j +ρ v i +ρ ρ v i u j )l ij / -η ij (0) (+ρ v i )(+ρ u j ) 设珟 B 和珟 B 分别由前面所定义, 其中 ρ >0,ρ >0 为常数,Σ,Σ 都为正定阵. 若 λ (A T AΣ - )δ (CC T Σ - )(ρ δ t (CC T Σ - )+ρ λ s (A T AΣ - )+ρ ρ ) λ s (A T AΣ - )δ t (CC T Σ - )(ρ δ (CC T Σ - )+ρ λ (A T AΣ - )+ρ ρ ) < r 0.5 [tr(cc T B T A T AB)] 式中,r 0.5 =χ 0.5(st),χ 0.5(st) 的定义如引理中所示. 则有 P(W( 珟 B, 珟 B) 0) 0.5. () 证明令 d min {(+ρ v i )(+ρ u j )}, 易知 d =(+ρ v )(+ρ u ). 由式 (0) i=,,,s;j=,,,t 易知 W( 珟 B, 珟 B) 0 蕴涵于 s η ij -(ρ u j +ρ v i +ρ ρ v i u j )l ij / [ ] s η ij, 整理得 d s (ρ u j +ρ v i +ρ ρ v i u j ) l ij (d -) s η ij+ s 令 W =(I+ρ Λ s - ) (I+ρ Δ t - )-I s I t, 则上式等价于 T ) (ρ u j +ρ v i +ρ ρ v i u j )l ij /η ij. W Vec(L (d -) Γ +Vec T (Γ )WVec L T () Vec(L T ) 令 =br, 其中数 b>0, 列向量 R 满足 R =. 则有 b = B T A T AB). 所以式 tr(cct () 等价于 b WR (d -) Γ +bvec T (Γ )WR. 由二次型极值的性质可知 R T W R (d- ) 和 Vec T (Γ )WR -(d-) Γ, 其中 d=(+ρ v s )(+ρ u t ). 所以式 () 蕴涵于 b (d-) (d -) Γ -b(d-) Γ, 可解得 Γ b(d-) d -. 由 Γ ~N(0,I s I t ), 可知 Γ ~χ (st), 所以当条件式 () 成立, 有 P(W( 珟 B, 珟 B) 0) 0.5. 参考文献 (References) [] PitmanEJG.Theclosestestimatesofstatisticalparameters[J].ProcCambSoc,937,33():. [] RaoCR,KeatingJP,MasonRL.ThePitmannearnescriterionanddetermination[J].CommStatistTheorMath,986, 5(3): [3]RobertCP,HwangJTG,StrawdermanW E.IsPitmanClosenesareasonablecriterion?[J].JASA,993,88(4): [4] 韦来生, 杨亚宁.PC 准则下回归系数的一类线性估计的优良性 [J]. 应用概率统计,997,3(3):5 34. WeiLaisheng,YangYaning.Thesuperiorityaboutaclasoflinearestimationofregresioncoeficientunderpitmanclose nescriterion[j].chinesejournalofappliedprobabilityandstatistics,997,3(3):5 34.(inChinese) [5] 张日权.PC 准则下生长曲线模型回归参数阵岭估计的优良性 [J]. 工程数学学报,000,7():3 6. ZhangRiquan.ThesuperiorityaboutaridgeestimatorofregresionparameterunderPitmanClosenescriterion[J].Jour nalofengineeringmathematics,000,7():3 6.(inChinese) [6] 张日权, 李有琴.PC 准则下生长曲线模型回归参数阵广义岭估计的优良性 [J]. 铁道师院学报,00,9():8. ZhangRiquan,LiYouqin.Thesuperiorityofgeneralizedridgeestimationofregresionparameteringrowthcurvemodelun derpitmanclosenescriterion[j].journalofsuzhourailwayteacherscolege,00,9():8.(inchinese) [7]RaoCR,HelgeT.Linearmodelsleastsquaresandalternatives[M].NewYork:Springer Verlag, [8] RobertC.Onsomeaccurateboundsforthequantitiesofanoncentralchisquaredistribution[J].StatisticsandProbability Leters,990,0():0 06. [9] 王松桂. 线性模型的理论及应用 [M]. 合肥 : 安徽教育出版社,

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976 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 35 卷 令 Θ 为 θ 的参数空间, 如果 PMC(^θ,^θ,θ) 0.5, θ Θ, 则称在 PMC 意义下 ^θ 不比 ^θ 差. 若至少存在一个 θ Θ 使上式严格不等式成立, 则称在 PMC 意义下 ^θ 优于 ^θ. 以上比较估计量优劣的准

976 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 35 卷令 Θ 为 θ 的参数空间, 如果 PMC(^θ,^θ,θ) 0.5, θ Θ, 则称在 PMC 意义下 ^θ 不比 ^θ 差. 若至少存在一个 θ Θ 使上式严格不等式成立, 则称在 PMC 意义下 ^θ 优于 ^θ. 以上比较估计量优劣的准