) 当电路的结构比较简单时, 可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的支路法 回路法和节点法, 直接手工建立所需的解题方程组来解题 ) 解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析, 应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程, 即建立矩阵形式的节点电压方程 割集电压方程和回路电流
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- 恤 沈
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1 第七章网络矩阵方程 本章主要内容 图的基本概念 ; 关联矩阵 A, 回路矩阵 B, 割集矩阵 Q; KCL 矩阵形式, KVL 矩阵形式 ; 节点电压方程矩阵形式 ; 回路电流方程矩阵形式 ;
2 ) 当电路的结构比较简单时, 可以直接利用基尔霍夫定律及前面章节所介绍的支路法 回路法和节点法, 直接手工建立所需的解题方程组来解题 ) 解决复杂网络问题可以应用网络图论的方法对电路进行系统化分析, 应用矩阵方法系统地分析网络的图和建立电路方程, 即建立矩阵形式的节点电压方程 割集电压方程和回路电流方程等 ) 求解矩阵形式表示的电路方程, 可以归结为解矩阵相量的问题, 可采用矩阵计算工具软件如 Matlab 软件等方便快捷地进行矩阵运算
3 7 网络图论复习 电路图与拓扑图 R R R R R U R 实际电路图对应的线图 ( 有向图 ) 线图是由点 ( 节点 ) 和线段 ( 支路 ) 组成, 反映实际电路的结构 ( 支路与节点之间的连接关系 )
4 树支 连支 单连支回路 树 T 所包含的支路称为树支 ; ( 图中支路 ) 图 G 中其余的支路称为连支 ; ( 图中支路 ) 树支数 n t - ( 节点数减 ) 连支数 支路数 - 树支数 b - n t + ( 网孔数 ) 单连支回路 : 每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路 此回路称为单连支回路 回路方向与连支一致
5 割集 割集是图的一个子集 ( 某些支路的集合 ), 满足 移去该子集, 连通图分为两部分 ; 少移去其中任一条, 图保持连通 CS CS CS 割集用符号 CS 来表示, 规定了割集的方向, 则割集又可看成一个闭合面 割集为一个广义的节点, 流出割集表面的电流代数和为零 如图, 割集 CS 包含 支路, 割集 CS 包含 支路, 割集 CS 包含 支路
6 7 关联矩阵与节点电流定律 实际电路结构可用一个有向图来具体描述 把有向图各节点和支路编号, 然后依次把各支路与相应连接点的连接信息用数字形式记忆下来 根据这些信息可完整描述电路的联接关系, 计算机可根据这些信息自动识别电路关系, 并应用基尔霍夫定律建立相应的电路方程, 进 行相应的运算 R R 反映电路结构中支路与节点连接关系可用一个关联矩阵 A 来描述 R R R U R
7 关联矩阵 有向图结构用一个 n b 阶矩阵来表示, 记为 A 矩阵的行对 t a 应于有向图的节点, 矩阵的列对应于网络的支路 A 中的元素作如下定义 : a 当支路 k不连接到节点 j 时 ; a jk + 当支路 k连接到节点 j, 且方向为离开节点时 ; 当支路 k不连接到节点 j, 且方向为指向节点时 ; A a 支路 节点 有向图
8 A a 支 路 节点 ) 每一列中只包含二个非零元素 + 和 - ) 把所有行的元素按列相加, 则得到全零的行, 因此矩阵的行 不是彼此独立的 n ) 矩阵的秩为 t 节点数 : n 支路数 : b t
9 降阶关联矩阵 把 A a 的任一行划去, 剩下的矩阵称为降阶关联矩阵, 记作 A A ) 矩阵 A 的行是彼此独立的 ; ) 矩阵 A 同样能充分描述有向图的连接关系, 划去的行对应的节点即为参考节点
10 矩阵形式的基尔霍夫电流定律 设网络各支路电流为,, L, b 支路电流方向与有向图支路方向一致, 用矩阵形式表示的支路电流列向量为 [,, L, ] T b 用关联矩阵 A 左乘支路电流列向量, 可得 A 或 AI & 上式为矩阵形式的基尔霍夫电流定律
11 如图 A A [,,,,, ] T 乘积的每一行对应一个节点电流方程 (KCL)
12 节点电压与支路电压之间的关系 设支路电压参考方向与支路电流方向一致, 令支路电压列向量为 u [ u, u, L u ] T b 网络各节点电压列向量为 u n [ u, u, L, u ] T n 则有 u T A u n
13 如图 A u [ u, u, u, u, u, u ] T u [,, ] T n u u u u T A u n u + u u u u u + u u u u u u u u u u u u
14 7 回路矩阵与回路电压定律 用回路电流法分析电路时, 支路与回路之间的关系可以用一个回路矩阵 B 来描述 a 回路矩阵 B : a b jk 支路 k 不包含在回路 j 中 ; 支路 k 包含在回路 j 中, 且方向和回路走向一致 ; 支路 k 包含在回路 j 中, 且方向和回路走向相反 ; 当选择单连支回路时, 所建立的回路矩阵称为基本回路 矩阵, 记为 B
15 设支路,, 为树支, 基本回路矩阵为 B 支 路 回路 设支路,, 为树支, 基本回路矩阵为 B [ B ] t 单位矩阵 树支矩阵
16 选择网孔回路时, 网孔回路矩阵为 : B m 回路矩阵的每一行元素反映了该回路中所包含的支路及其方向
17 矩阵形式的基尔霍夫电压定律 设网络支路电压的参考方向与支路电流方向一致, 写成列向量为 u [ u, u L u ] T b 用回路矩阵 B u 左乘支路电压列向量, 可得 B u 或 B U 上式为矩阵形式的基尔霍夫电压定律
18 如图 B 支路电压列向量为 u [ u, u, u, u, u, u ] T u u u u u u u B u u u u u + + u u u u + + u 乘积的每一行对应一个回路电压方程 (KVL)
19 支路电流与回路电流之间的关系设支路电流列向量为 [,, L ] T b 回路电流列向量为 [,, L + ] l l l l ( b n ) t T 有 或 B T l B I & T l I & 支路数 :b n 节点数 : t
20 如图 B 设支路电流列向量为 回路电流列向量为 [,,,,, ] T 支路,, 为树支 [,, ] T l l l l [,, ] T B T l
21 l T B 则有 T l B
22 7 割集矩阵与节点电流定律 割集是图的一个子集 ( 某些支路的集合 ), 满足 移去该子集, 连通图分为两部分 ; CS CS 少移去其中任一条, 图保持连通 CS 割集用符号 CS 来表示, 规定了割集的方向, 则割集又可看成一个闭合面 割集为一个广义的节点, 流出割集表面的电流代数和为零 如图, 割集 CS 包含 支路, 割集 CS 包含 支路, 割集 CS 包含 支路
23 单树支割集 选定一个树, 每一割集只包含一条树支, 则称为单树支割集 单树支割集的方向取与树支方向一致 如图, 选 支路为树支, 则单树支割集如图所示 割集 包含的支路 :,, CS CS CS 割集 包含的支路 :,,, 割集 包含的支路 :,, 已知树支电压可解出电路各支路电流!
24 割集矩阵 Q a 当支路 k不在割集 j 内 q jk 当支路 k在割集 j内, 且方向与割集 j 方向一致 当支路 k在割集 j内, 且方向与割集 j 方向相反 基本割集矩阵 ( 单树支割集 ) Q Q 支路 [ MQ ] l 割集 CS 支路,, 为树支 CS CS
25 矩阵形式的基尔霍夫电流定律用矩阵形式表示的支路电流列向量为 [,, L, ] T 用割集矩阵 Q a b 左乘支路电流列向量, 可得 或 Q Q I & CS 上式是广义节点的基尔霍夫电流定律的矩阵形式 CS CS
26 如图基本割集矩阵 Q 支路电流列向量 Q [,,,,, ] T CS 支路,, 为树支 Q CS CS
27 割集电压 ( 树支电压 ) 与支路电压之间的关系 单树支割集中, 割集电压即为树支电压 [ ] uc u t u u u u [ u, u, u, u, u, u ] T 支路电压 则有 Q u T c T Q T u u 支路,, 为树支 c u u CS u u u u u u u u u u u u u u u u u u CS CS
28 7 节点电压方程 > 典型支路 在讨论实际电路问题的时候, 首先必须定义一个能代表一般支路结构的典型支路 Ik ISk R jω L Uk jω C USk U IS U& ( I& I& ) + U & k k k k k R + jω L + K K K jω C K
29 > 节点电压方程的导出 ( 无受控源 ) () 写支路电压方程 U& ( I& I& ) + U & U& ( I& I& ) + U & k k k k k U U& ( I& I& ) + U & b b b b b IS 实际电路 : U& ( I& ) + ( U & ) U& ( I& I & ) + U& ( I & ) + Ik U& ( I& I& ) + U & k k k k k ISk R jω L Uk jω C USk
30 () 支路电压方程矩阵形式 U& L L I& I& S U & M M O M M M M U& k ( ) k I& k I& + Sk U & k M M O M M M M U& b b I b I Sb U L L & & & B 写为矩阵形式, 有 U & ( I & I & ) + U & U & I & 支路电压列向量 支路阻抗矩阵 ( 对角阵 ) 支路电流列向量 I & U & 支路电流源列向量 支路电压源列向量
31 () 支路导纳矩阵 Y L L M O M M O M L L k b () 矩阵方程变换 U & ( I & I & ) + U & 两边乘 Y YU & ( I & I & ) + YU & 两边乘 A AYU & AI & AI & + AYU & Y
32 根据 AI & 和 T 得 : AYU & AI & AI & + AYU & T n U A U AYA U AYU& AI & n 节点电压列向量 n U U M U k M U n 上式即为矩阵形式的节点电压方程 T Y AYA 节点导纳矩阵 n
33 () 利用矩阵方程解题 支路节点编号, 列参考方向 ; 列关联矩阵 A; 根据典型支路与实际电路列支路阻抗 ( 导纳 ) 矩阵, Y, 支路电压源向量和支路电流源向量 ; 由节点电压求支路电压 求支路电流 U & T 求节点阻抗矩阵 Yn AYA ; T 由 AYA Un AYU& AI & 求出 U n ; U A U I & Y( U & U & ) + I & T n ; I &
34 例 : 电路如图所示, 试建立矩阵形 式的节点电压方程式 解 : 关联矩阵 A A U 支路阻抗矩阵 : IS
35 支路导纳矩阵 : / / / / / / Y IS U ISk USk Ik Uk R j L ω j C ω 支路电压源向量 S U U & & 支路电流源向量 S S I I & &
36 Yn T AYA 节点导纳矩阵 :
37 S S S S U AYU AI I U I & & & & & & S I &
38 矩阵形式的节点电压方程式 n T AYA U AYU& AI & U + + U + + U U + + I S I & U & I & S S S
39 例 : 电路如图所示, 已知 R R Ω, R R Ω, U & ω L U S, ω C Ω V A, 试求支路电流 IS 9 解 : 列出所需数据 ( 节点法 ) S A U & ( 8) S + j I & S I & S 8 j R R U R C R L IS
40 j j R L R R U C R IS 根据 支路电压 支路电流 n T U AYA AYU& AI & [ ] ( S S ) U T A U n I & ( U & U & ) + I & S S 由 MATLAB 程序计算得 :
41 典型支路 77 回路电流方程 回路电流方程的建立 U& ( I& I& ) + U & k k k k k Ik ISk R jω L Uk jω C 典型支路 USk B U B I & T l I & B U & B B I& B I & + B U & T l I & 为回路电流列向量 l
42 即有 B B I & B I& B U & 令 l T l B B ( 回路阻抗矩阵 ) T Ik ISk R jω L Uk jω C 典型支路 USk li & l B I& BU & 回路电流方程 I & ( B I & B U & ) l l B U & & I
43 由回路电流求解支路电流电压 ISk I& B I & T U & I& I & + U & l Ik R jω L Uk jω C 典型支路 USk
44 例 : 电路及有向图如图所示, 取支路 为树支, 试建立矩阵形式的回路电流方程 解 : 选择单连支回路作为基本回路, I & l [ I & I & I & ] 基本回路矩阵为 IS R R L R U C R B 支路阻抗矩阵为 dag j, R, R, R, j ω L, R ω C
45 电压源及电流源列向量为 U & I & [ U & ] T S [ I & ] T S j R R ω C B j R R ω C R jω L R IS R R L R U C R
46 回路阻抗矩阵为 l j + R + R j R ωc ω C T B j j R R R B + + ωc ω C R R R + R + jω L RI& + U & B I& B U & U &
47 矩阵形式的回路方程为 li & l B I& BU & j + R + R j R ωc ω C I & R I& + U & j j R R R + + I & U & ωc ω C I & R R R + R + j ω L IS R R U C R L R
48 例 : 电路如图所示, 已知 ω R R R R Ω, L, ω C Ω U S V C A, γ Ω, 试用回路电流 IS 9 法求各支路电流 L U r R IS R R R 解 : 选,, 为树, 基本回路矩阵为 B
49 U & S U & S jω L I & S jω C I & S j 元件电流控制的电压源 R γ R R R C L U R R r IS Uk ISk Ik k Iek r kj Iej R USk R
网孔分析法 在 n 个节点的电路中, b 个支路电流是用 (n ) 个 KCL 方程联系的, 因而给定 [b (n )] 个电流即能确定余下的 (n ) 个电流 第一步求解的对象必须为 [b (n )] 个独立电流变量 第二步用 KCL 解决的 (n ) 个电流, 使问题得到完全解决 使用的网孔电流
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线性方程组的直接解法 目录 2. 高斯消去法 2.. 顺序消去法 2..2 列主元消去法 2..3 全主元消去法 2..4 选主元消去法的应用 2 2.2 三角形方程组和三角分解 2.2. 三角方程组的解法 2.2.2 Gauss 变换 2.2.3 Doolittle 分解 3 2.3 选主元三角分解 4 2.4 平方根法及改进的平方根法 2.4. 平方根法 2.4.2 改进的平方根法 5 2.5
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第 章 电 路 分 析 的 网 络 方 程 法 3 畅 1 引 言 用 等 效 变 换 法 和 电 路 定 理 对 电 路 进 行 分 析 是 将 电 路 简 化 为 最 简 形 式, 一 般 是 单 回 路 形 式, 再 求 出 待 求 的 支 路 电 压 或 电 流 这 种 方 法 对 分 析 简 单 电 路, 特 别 是 只 对 某 处 的 响 应 分 析 时, 是 行 之 有 效 的 对 于
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1 2 3, 4. 5. 150 37 91 22 1 37 (1) 14 10610183 10610193 10610204 4 10610224 4 312 (2) 4 1-4 (1)-(4) 1 5-8 5-6 7-8 1-4 2017 (3) 8+2 6 8 2 1 2 8 2 3 4 8 2 4 4 6 4 8 8 8 STEM STEM 5 12090043 2 91 1 18 6 3