而趋向太阳和几大行星同时, 从这些力出发, 根据数学原理, 我们再推导出关于行星彗星月亮海洋的运动我希望, 自然界的其它现象, 亦可以用同样的方法, 由数学原理推导出来牛顿的经典力学很成功, 能够解释很多的物理现象拉普拉斯说 : 如果在某一时刻, 我们知道宇宙中所有粒子的位置和速度,

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顺戌范姜
7 years ago
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1 从狄拉克谈起王世坤中国科学院数学与系统科学研究院清华大学,2010 年 12 月 13 日谢谢季教授邀请我来给大家作这个报告这个报告主要是开阔大家视野, 所以我就找了这么一个题目因为不是非常学术的, 所以有些细节之处不是数学上非常严格的, 主要目的是让大家知道数学物理里的一点事情关心什么问题, 我想就可以了保罗狄拉克是 1933 年诺贝尔奖得主, 他是相对性量子力学的奠基者这个物理学教授的数学很好我为什么作这个报告呢? 两个因素 : 一个是最近退休了想干点事, 看看的诺贝尔奖的物理学家的数学工作怎么样, 觉得狄拉克的数学很厉害 ; 另一方面, 狄拉克的数学不但厉害, 而且他还很推崇数学, 他说 : 上帝是用漂亮的数学创造这个世界的狄拉克是相对性量子力学的奠基者, 所以我先要解释一下相对性和量子力学大家都知道牛顿力学牛顿在 1686 年发表了一本令世人震惊的奠基之作自然哲学的数学原理在牛顿的时代, 大家知道有两个物理学家, 他们数学其实也挺好, 只不过那时候年代比较早, 没有诺贝尔奖一个是伽利略, 一个是开普勒开普勒主要是研究行星运动的, 天上的, 伽利略则是研究地上的牛顿发现, 天上的和地上的这两者实际上是很和谐的他从数学逻辑演绎的角度把这两者合在一起, 所以牛顿说他的成就是站在巨人的肩膀上他对伽利略和开普勒的工作都有所推进, 但是基本上是在他们俩人的基础之上才形成了牛顿的三大定律和万有引力定律按照经典的牛顿力学, 一个粒子是由两个量来确定的 : 一个是它的位置, 一个是它的速度经典力学基本上由这两者就可以确定了从牛顿这本书, 大家可以看出数学演绎对他奠定经典力学基础所起的作用我来读一段 : 我献出这一作品, 作为哲学 ( 科学 ) 的数学原理 : 因为哲学的全部困难似乎在于从运动现象研究自然界的力, 然后从这些力去阐明其它现象 ; 为了这一目的, 一般性的命题定理将在第一和第二篇中给出 ; 在第三篇中, 我们将给出阐述世界体系的一个例子, 因为根据在第一篇中已从数学上证明了的命题, 可以在此从天体现象中获得关于引力的学说, 物体由于引力 1

2 而趋向太阳和几大行星同时, 从这些力出发, 根据数学原理, 我们再推导出关于行星彗星月亮海洋的运动我希望, 自然界的其它现象, 亦可以用同样的方法, 由数学原理推导出来牛顿的经典力学很成功, 能够解释很多的物理现象拉普拉斯说 : 如果在某一时刻, 我们知道宇宙中所有粒子的位置和速度, 那么科学规律就使我们能够计算这些粒子在过去和未来的所有时刻的位置和速度牛顿的书同时也奠定了微积分的基础, 它把物理科学从实验科学转变为精确科学牛顿的经典力学奠定了牛顿至高无上的地位后来还是有些问题经典力学解决不了, 比如描述电磁学的麦克斯韦方程我现在用现代的语言来叙述麦克斯韦方程 : 设 F 是一个微分 2- 形式, d F = 0, δ F = 0, 其中 d 是外微分, 学过微分几何的同学都知道 ; δ 是 d 的共轭算子用局部坐标写出来就是 F = f αβ dx α dx β, { fαβ x γ f α0 x 0 + f βγ x α f α1 x 1 + f γα = 0 x β f α2 f α3 x 2 x 3 = 0 在经典力学里, 有一个对称性 : 物理规律在相对匀速运动的坐标系 ( 即惯性系 ) 里都应该是一样的把一个惯性系变为另一个惯性系的变换叫伽利略变换, 于是经典力学里的物理规律有伽利略协变性例如, 沿 x 轴匀速运动的伽利略变换可写为 x = x v t, y = y, z = z, t = t. 这其中隐含了绝对时间和绝对空间的概念如果把伽利略变换作用在麦克斯韦方程上, 可以发现麦克斯韦方程的形式不再保持不变这是经典力学解释不了的这也是相对论产生的因素之一下面说量子力学在量子力学里, 经典粒子是由波函数来描述的原来在经典力学里, 态空间是流形, 可观测量是流形上面的函数, 或者用现代的语言讲, 是向量丛上的截面等到量子力学的时候, 流形要变成希尔伯特空间, 可观测量要变成希尔伯特空间上的算子, 粒子的状态由希尔伯特空间中的一维子空间给出量子力学说, 我们可以很精确的测量一个粒子的位置, 但是不能同时测量它的速度 ; 如果你要很精确的测量它的速度, 就不能很精确地知道它的位置这是量子力学的测不准原理, 当然也可以用数学推导出来在量子力学里, 保留了经典力学里的绝对时空, 但是把观测者和被观测量搅进来了原来在经典力学里, 不管观测者观不观测, 经典粒子的运动都是由它初始的位置和速度决定的, 但在量子力学中就不是这样了 2

3 波函数要服从薛定鄂方程 : i d Ψ(x, t) = H Ψ(x, t), dt 其中左边是波函数随时间的变化率, 右边是由物理定律决定的哈密顿算子对波函数的作用我这样就把量子力学给大家简单地介绍了一下, 接下来看什么叫相对性我们前面说过, 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是不变的, 当时为了解决这个困难, 人们设想了很多得办法比如, 有人设想, 麦克斯韦方程所在的参考系不是任意的惯性系, 而是有一个绝对参考系, 即有以太存在, 麦克斯韦方程是在相对以太静止的参考系中成立的但是后来的迈克耳逊莫雷实验证明了两件事情, 其一是宇宙中不存在以太, 其二是光速是不依赖于参照系的选取的当时, 爱因斯坦在前人基础上花了很短的时间 ( 据他自己讲, 只花了五个星期 ) 就建立了狭义相对论狭义相对论就两条, 一个是相对性原理, 一个是光速不变相对性原理同样要求物理规律在惯性系中保持形式不变, 但是此时的惯性系是四维时空中的惯性系, 所用的坐标变换变为洛伦兹变换爱因斯坦在狭义相对论中留了两个问题 : 一个问题说惯性系究竟是什么? 还有一个问题是万有引力, 人们一直想找一种洛伦兹不变的引力理论, 但是发现很困难后来爱因斯坦发现用一个统一的办法可以解决这两个问题对于惯性系问题, 把惯性系推广到非惯性系, 这就是广义协变原理 ; 对于引力, 引入等效原理, 将引力效应同样地转化为非惯性系这样爱因斯坦就走到了广义相对论广义相对论最核心的问题是爱因斯坦场方程, 一会儿我讲得最多的也是这个场方程 : R µν 1 2 g µν R = 8 π G T µν. 这个方程左边是几何量 : 度规里奇曲率标量曲率 ; 右边是物质量 : 能量动量它把几何量和物质量连在一起到了爱因斯坦的引力理论, 时空紧密地联系在一起, 引力就成了时空的几何广义相对论和量子力学有很大的差别 : 在量子力学中, 时空的绝对性保留下来了, 到了广义相对论, 时空的绝对性消失了, 但是观测与被观测的关系保留下来了它们各取了牛顿力学的一部分, 所以我们说引力和量子力学基础不一样, 不好统一很多搞数学物理的或者搞理论物理的人都企图统一这两者狄拉克在 1928 年时建议了一个方程, 叫做狄拉克方程 : IΨ = i m Ψ, 3

4 ( 0 D 其中 I = D 0 阵 : σ 0 = D j = E 2 ( x j ), D = η ab σ a e j (b) D j, e j (b) 是纵标架, σ a 是泡利矩 ) ( 0 1, σ 1 = B j, B j 是自旋联络 ) ( 0 i, σ 2 = i 0 如果在闵可夫斯基空间, 度规 η ab 是比较简单的 : ) ( 1 0, σ 3 = 0 1 η 00 = 1, η αα = 1, (α = 1, 2, 3), η αβ = 0, (α β). 此时狄拉克方程有两个解, 叫做平面波解其中第一个解描述电子, 另一个解描述一个与电子电荷相反的粒子狄拉克大胆猜测, 这是正电子解 1932 年, 安德森在宇宙射线中发现了正电子这就是狄拉克最著名的工作, 从中可以看出他的数学很厉害另外, 从狄拉克方程中自然可以出现 1 自旋这个概念所以这个方程给了我们三条信息 : 第一, 它是量子性的, 2 即用波函数描述粒子 ; 第二, 它是相对性的, 即可以描述电子的高速运动 ; 第三就是给了我们自旋的概念, 以后我们在数学上将这个概念推广到自旋流形及其上的旋量狄拉克还有一个贡献他在物理上有很多贡献, 如二次量子化费米 - 狄拉克统计等, 我现在讲的是数学上的他建议了磁单极我们知道电有正电子电子, 可是磁场一定有北极和南极, 没有单独的北极或者南极磁单极是由狄拉克建议的一种粒子, 现在在 CERN 的加速器的一个任务就是希望找到磁单极磁单极是从麦克斯韦方程的一种解 : 相应的电磁势为 E α = f 0α = 0, (α = 1, 2, 3), H 1 = f 23 = η x 1 r 3, H 2 = f 31 = η x 2 r 3, H 3 = f 12 = η x 3 r 3, A 0 = A 1 = 0, A 2 = η x1 0 x 3 du x1, A 3 = η u2 + x x ), x 2 du. u2 + x x 2 3 若取球面 S : x x x 2 3 = R 2, 4

5 并把电磁场张量 F = f αβ dx α dx β 在 S 上积分可得 : f αβ dx α dx β S = η R 3 (x 1 dx 2 dx 3 + x 2 dx 3 dx 1 + x 3 dx 1 dx 2 ) = 3 η R 3 S r 2 <R 2 dx 1 dx 2 dx 3 = 4 π η, 其中 η 就是磁单极所带的磁荷所以, 狄拉克在数学上给我们留下三样比较好的遗产 : 流形上的狄拉克方程旋量, 或者说是旋量丛的截面 U(1) 规范理论的磁单极解事实上, 麦克斯韦方程和狄拉克方程可以说统治了大部分物理学和全部的化学生物学狄拉克还有另外一件工作就很少有人知道了他在 1933 年获得诺贝尔奖之后, 在 1935 年和 1936 年各写了一篇文章, 这两篇文章研究的是德西特空间以及共形空间上电的波动方程狄拉克在文章中指出 : 原子物理中的方程是用狭义相对论的语言写出来的它们在时空变换下保持形式不变这些变换包含洛伦兹群和平移群, 它们构成一个新的群研究不同的变换对方程的作用以及物理与群的联系将会成为一个有趣的问题这里关键的想法是, 研究粒子的运动方程时要考虑它所允许的最大对称性闵可夫斯基空间的曲率是零, 还有两个空间是正常曲率空间和负常曲率空间考虑五维射影空间里面的李球 : L : z z z 2 6 = 0, 然后用三个平面 P µ (µ = 1, 2, 3) 去截它 P µ : z 1 = r 1,..., z µ = r µ, z µ+1 = i r µ+1,..., z 6 = i r 6, 5

6 得到三个实的空间 : S 4 = L P 1 : r 2 1 r 2 2 r 2 3 r 2 4 r 2 5 r 2 6 = 0, M = L P 2 : r r 2 2 r 2 3 r 2 4 r 2 5 r 2 6 = 0, N = L P 3 : r r r 2 3 r 2 4 r 2 5 r 2 6 = 0, 它们分别是德西特空间反德西特空间和德西特陆空间的边界, 因为陆启铿是最早介绍狄拉克的这两篇文章的 : ds 5 : x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 < 0, AdS 5 : x x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 > 0, DL 5 : x x x 2 3 x 2 4 x 2 5 x 2 6 > 0. 当时, 狄拉克研究这三个空间上电子的波动方程在三十年代, 流形的概念刚刚出现, 所以狄拉克本人一点都不知道流形的概念在这种条件下要研究上述的几个空间, 还要在上面解微分方程, 可想其困难那么, 为什么狄拉克把它们叫共形空间呢? 首先定义何谓共形变换设 F : M N 是流形间的映射, 如果 F ds N = e f ds M, 其中 f C (M), F 就称为一个共形变换最简单的例子, 用球极投影可以把 R n 做共形紧化, 得到 S n 对于闵可夫斯基空间, 共形紧化的结果是 S 1 S 3 = U(1) SU(2) = U(2) 共形空间都是华罗庚研究过的典型域的特殊情况用华罗庚的矩阵写法, D λ (m, n) = {X R m n E λ X J X > 0}, 其中 J = (1, 1,..., 1) 或 J = (1, 1, 1,..., 1), λ 是实数例如 D 1 (1, 4) = {X R 4 1 x x x x 2 4 > 0}, 其对称群为 SO(1, 4), 其上的度量可以写为它叫做华陆度量 ds 2 = dx(j λ X X) 1 dx 1 λ X J X, 为什么要重提狄拉克的这项工作呢? 最近哈勃望远镜发现, 我们的宇宙是加速膨胀的由此可以得出, 宇宙的边缘不是渐近平坦的, 而是带有正曲率的德西特空间, 最后再来讲几个问题 6

7 第一个问题是 AdS/CFT 对应一个完备负常曲率爱因斯坦流形内部的量子引力和它共形边界上的共形场论是等价的这是物理上很难的问题, 同时也提出很多相关的数学问题第二个问题是共形空间上的场方程, 如拉普拉斯方程杨米尔斯方程狄拉克方程爱因斯坦方程等等第三个问题是爱因斯坦方程的解爱因斯坦方程除了平凡的解以外, 还有很多不平凡的精确解, 如史瓦西解 : ( ds 2 = 1 2M ) ( dt M ) 1 dr 2 + r ( 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2) ; r r 克尔解 : ( ds 2 = 1 2 M r ) dt 2 4 M r a sin2 θ dt dϕ+ Σ Σ Σ dr2 +Σ dθ 2 + A sin2 θ Σ dϕ2, 其中 Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ, = r 2 2 M r + a 2, A = (r 2 + a 2 ) 2 a 2 sin 2 θ; 克尔纽曼解等等我们也在这方面做过一些工作另外, 通常求解时都假设度规渐近平坦, 如果把条件换成渐近德西特, 又会带来很多新的问题, 例如黑洞无毛定理会有什么样的变化第四个问题是正质量问题丘成桐及其合作者所证明的正质量猜想是彭罗斯不等式的特殊情况彭罗斯不等式的大意是, 一个黑洞的质量下界由它视界的面积给出在过去三十年, 彭罗斯不等式的求证一直是广义相对论中公认的难题第五个问题是数值广义相对论这类方法可以用来研究黑洞碰撞超新星爆发等剧烈天体过程中的引力波辐射还可以在地球附近建立精确的引力场数据, 用来帮助处理军事地理信息等领域的问题我就讲到这里最后再让我们回到狄拉克, 我为什么今天在清华数学系讲狄拉克呢? 因为狄拉克思想深邃逻辑理性数学睿智, 他在 1935 年 7 月曾应邀访问清华大学, 做关于正电子的演讲在他的墓碑上, 刻有以他名字命名的方程 : IΨ = i m Ψ 7

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