离散数学
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- 颊葵 蒋
- 4 years ago
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1 The number of spanning trees
2 树的刻画
3 树 (Tree): 连通无环图 树的例子 : TT 1 TT 2 TT 3 3
4 叶子 (leaf) 叶子 (leaf): 图 GG 中度数为 1 的顶点被称为叶子或终点 (end-vertex) 引理 : 对任意树 TT, 如果 TT 2, 则 TT 必含有至少两个终点 证明 : 取 TT 中的一条极长路径 PP PP ee 1 vv 0 vv 1 vv tt 1 vv tt ee tt deg TT vv 0 = deg TT vv tt = 1 4
5 树的基本性质 树生长引理 (Tree-growing lemma): 对图 GG 及图 GG 上的叶子结点 vv 而言, 如下命题等价 I. 图 GG 是树 II. 图 GG vv 是树 证明 : 树生长引理的意义 : 在归纳证明中的应用 5
6 树的等价刻画 对图 GG = VV, EE 而言, 以下陈述等价 I. 图 GG 是树 II. III. 路径唯一 : 对任意两点 uu, vv VV, 存在从 uu 到 vv 的唯一路径 最小连通图 :GG 是连通图, 且去掉任意一条边后都成为非连通图 IV. 最大无环图 :GG 不含环, 但增加任何一条边所得到的图 GG + ee( 其中 ee VV 2 \E) 中含有一个环 V. Euler 方程 :GG 是连通图, 且 VV = EE + 1 6
7 树的等价刻画 对图 GG = VV, EE 而言, 以下陈述等价 I. 图 GG 是树 II. III. 路径唯一 : 对任意两点 uu, vv VV, 存在从 uu 到 vv 的唯一路径 最小连通图 :GG 是连通图, 且去掉任意一条边后都成为非连通图 IV. 最大无环图 :GG 不含环, 但增加任何一条边所得到的图 GG + ee( 其中 ee VV 2 \E) 中含有一个环 V. Euler 方程 :GG 是连通图, 且 VV = EE + 1 7
8 证明 :(I. V.) 树的等价刻画 对图 GG = VV, EE 而言, 以下陈述等价 I. 图 GG 是树 V. Euler 方程 :GG 是连通图, 且 VV = EE + 1 充分性 : 归纳法 ( 用树生长引理, 对顶点个数做归纳 ) 必要性 :( 归纳法 ) 考虑连通图 GG 满足 VV = EE 由握手定理, 图 GG 中顶点度数之和为 2 VV 2 故图 GG 中必存在度数小于 2 的顶点, 且图 GG 是连通图, 任何点度数非 0, 故存在度数为 1 的点, 设为 vv 考虑 GG = GG vv 易验证归纳假设条件成立, 根据归纳假设 GG 是树 显然,GG 是树蕴含 GG 是树 GG vv 8
9 问题 : 某小镇一共有 nn 座房子, 某天小镇上的人计划在房子下面修建紧急逃生地道, 使得所有房子从地下最后是连通的, 同时出于安全考虑地道图中不允许有环 问有多少种挖掘地道的方案? 9
10 树的计数 问题抽象 :nn 个不同顶点所能构成的树的个数 10
11 树的计数 问题抽象 :nn 个不同顶点所能构成的树的个数 两棵树 TT, TTT 是 相等 的当且仅当树 TT 的边集与树 TTT 的边集相等
12 生成树 生成树 (Spanning tree): 对连通图 GG = VV, EE, 生成树是包含 GG 的所有顶点且为树的子图 上述问题最终抽象为 : 设 VV = {1,2,, nn}, nn 2, 问 KK nn 的生成树一共有多少种? 12
13 nn = 2:1 种
14 nn = 3:3 种
15 nn = 4:? 种 星形 :4 种 路径 : 4! 2 = 12 种 15
16 nn = 4:16 种 星形 :4 种 路径 : 4! 2 = 12 种 16
17 nn = 5:? 种 星形 : 5 种 路径 : 5! 2 = 60 种 T 形 :5 4 3 = 60 种 17
18 nn = 5: 125 种 星形 : 5 种 路径 : 5! 2 = 60 种 T 形 :5 4 3 = 60 种 18
19 nn = 6:? 种 19
20 nn = 6:? 种 星形 :6 种, 路径 : 6! 2 = 360 种 20
21 nn = 6:? 种 星形 :6 种, 路径 : 6! 2 = 360 种 十字架形 :6 5 4 = 120 种 21
22 nn = 6:? 种 星形 :6 种, 路径 : 6! 2 = 360 种 十字架形 :6 5 4 = 120 种 双箭头形 : = 90 种 22
23 nn = 6:? 种 星形 :6 种, 路径 : 6! 2 = 360 种 十字架形 :6 5 4 = 120 种 双箭头形 : = 90 种 单箭头形 : = 360 种 23
24 nn = 6:? 种 星形 :6 种, 路径 : 6! 2 = 360 种 十字架形 :6 5 4 = 120 种 双箭头形 : = 90 种 单箭头形 : = 360 种 雨棚形 : = 360 种 24
25 含 nn 个顶点的树 顶点个数树的种数
26 含 nn 个顶点的树 顶点个数树的种数 1 1= = = = = = 6 4 Caley 定理 (Caley s formula): nn 个顶点能构成的不同树一共有 nn nn 2 种 26
27 A proof via score Proposition. Let dd 1, dd 2,, dd nn be positive integers summing up to 2nn 2. Then the number of spanning trees of the graph KK nn in which the vertex ii has degree exactly dd ii for all ii = 1,2,, nn equals nn 2! dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1!. Proof. (By induction on nn) TT: the set of STs of KK nn with given degrees. nn = 1,2, the proposition holds trivially. nn > 2: there must exist an ii with dd ii = 1. w.l.o.g. dd nn = 1. For 1 ii nn 1, TT ii TT, where TT ii is the STs with ii, nn EE Delete vv nn from each tree in TT ii to get TT ii : STs of KK nn 1 with degrees dd 1, dd 2, dd ii 1, dd ii 1, dd ii+1,, dd nn 1. 27
28 A proof via score Proposition. Let dd 1, dd 2,, dd nn be positive integers summing up to 2nn 2. Then the number of spanning trees of the graph KK nn in which the vertex ii has degree exactly dd ii for all ii = 1,2,, nn equals nn 2! dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1!. Proof. (Continue) TT ii = TT ii = (nn 3)! dd 1 1! dd ii 1 1! dd ii 2! dd ii+1 1! dd nn 1 1! nn TT = ii=1 TT ii = nn 3!(dd ii 1) dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1 1! nn 1 = ii=1 nn 3! (dd ii 1) dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1 1! = 28
29 A proof via score Proposition. Let dd 1, dd 2,, dd nn be positive integers summing up to 2nn 2. Then the number of spanning trees of the graph KK nn in which the vertex ii has degree exactly dd ii for all ii = 1,2,, nn equals nn 2! dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1!. Finally TT(KK nn ) = dd 1,dd 2,,dd nn 1 dd 1 +dd 2 + +dd nn =2nn 2 = kk 1 +kk 2 + +kk nn =nn 2 kk 1,,kk nn 0 nn 2! dd 1 1! dd 2 1! dd nn 1! nn 2! kk 1! kk 2! kk nn! = nn 2 = nn nn 2. 29
30 A proof with Vertebrates 30
31 有限域上的函数与函数图 Function graph ff: VV VV vv ff(vv) 函数图与函数一一对应 故 VV = nn 时共有 nn nn 种不同的函数图 31
32 脊椎动物 (Vertebrate) 骨骼标本 骨骼标本 : 三元组 (TT, h, bb) 被称为骨骼标本若其中 (1) TT 是一棵树 ;(2) h, bb VV h 被称为颈椎骨, bb 被称为尾椎骨 注意 :h, bb 必须是树上的节点, 除此外没有任何限制 ( 可重合 )
33 如果 VV = nn, 用 TT nn 表示 VV 上的树的所有可能棵数 2 每一棵树 TT 对应 nn 2 种骨骼标本 (TT, h, bb) 3 骨骼标本与 VV 上的函数图一一对应 有 nn nn 种 4 根据 : TT nn = nnnn nn 2 = nnnn 2 33
34 脊椎 (Spine): 出现在从颈椎骨到尾椎骨的路径上的点被称为脊椎
35 脊椎 (Spine): 出现在从颈椎骨到尾椎骨的路径上的点被称为脊椎 vv ff(vv)
36 脊椎 (Spine): 出现在从颈椎骨到尾椎骨的路径上的点被称为脊椎 1 vv ff(vv)
37 脊椎 (Spine): 出现在从颈椎骨到尾椎骨的路径上的点被称为脊椎 vv ff(vv)
38 骨骼标本与 VV 上的函数图一一对应 VV 上的骨骼标本 函数 ff: VV VV 函数 ff: VV VV VV 上的骨骼标本 38
39 VV =
40 VV = vv ff(vv) 40
41 VV = vv ff(vv)
42 VV = vv ff(vv)
43 VV = vv ff(vv) 颈椎骨 尾椎骨
44 1 如果 VV = nn, 用 TT nn 表示 VV 上的树的所有可能棵数 2 每一棵树 TT 对应 nn 2 种骨骼标本 (TT, h, bb) 3 骨骼标本与 VV 上的函数图一一对应 故有 nn nn 种 4 根据 : TT nn = nnnn nn 2 = nnnn 2 44
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