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1 第 16 卷 第 期 中国水利水电科学研究院学报 Vol.16 No. 18 年 4 月 Joural of Chia Istitute of Water Resources ad Hydropower Research April,18 文章编号 : (18)-15-8 基于稳健估计的大坝变形监测统计模型分析 1, 1, 朱赵辉, 刘健, 李新 3, 尚层 3 4, 王国川 (1. 中国水利水电科学研究院, 北京 148;. 北京中水科工程总公司, 北京 148; 3. 新疆额尔齐斯河流域开发工程建设管理局, 新疆乌鲁木齐 83;4. 丹东太平湾发电厂, 辽宁丹东 118) 摘要 : 回归分析是大坝安全监测统计模型的核心, 测值粗差的存在使回归参数变异, 造成统计模型一定程度上失真, 所以在回归分析中必须对其进行处理 本文采用稳健估计的思想, 根据残差大小对监测值进行赋权迭代计算, 使常规统计模型具有抗差性 将稳健估计的思想应用于某工程实例分析, 发现与常规统计模型相比, 稳健统计模型能够有效抵抗粗差对模型参数求解结果的影响, 并能较好反映水压 温度和时效等效应量的影响 关键词 : 变形监测 ; 稳健估计 ; 统计模型 ; 粗差中图分类号 :TV698.1 文献标识码 :A doi:1.1344/j.cki.jiwhr 研究背景 [1] 大坝变形监测数据中无法避免粗差的存在, 粗差的处理常可分两种途径 : 一是将粗差归为均值 漂移模型, 在数据分析前进行定位和剔除, 以期得到一簇清洁干净的数据 ; 二是将粗差归于方差膨 胀模型, 采用稳健估计的方法通过逐次迭代来不断地改变观测值的权, 最终使粗差观测值的权趋于 零, 达到限制 排除粗差对建模分析的不利影响 粗差定位理论中, 传统 3σ 准则 适用于监测量符合正态分布的情况, 无法适应坝体变形所面临 [-3] 的动态复杂条件 ( 库水位 温度等 ) 的变化 ; 格罗布斯 狄克逊准则适用于小样本的粗差剔除, 在一 [4] 定显著性水平下, 无法保证粗差被剔除 ; 采用 Barrada 数据探测法由于每次只考虑一个粗差, 且未 顾及各残差间的相关性, 检验可靠性受到一定的限制 总体而言, 对于长序列的变形监测数据粗差 的定位与剔除存在理论和应用上的诸多困难 稳健估计的目的是挖掘利用有效数据, 限制使用有用数据和清除有害数据 自 1953 年 G.E.P. [5-8] BOX 首提稳健性 (Robustess) 的概念以来, 国外学者 Huber Hampel Rousseeuw 等对参数的稳健 [9-1] 估计进行研究, 成果颇丰 国内学者周江文 李德仁 欧吉坤 杨元喜等也进行了大量卓有成效 [11] [1] 的研究 稳健估计的方法最早由 Huber 引入回归分析 (1981 年 ), 目前在水质模型 地质统计学 等多领域得到了广泛应用 回归分析是大坝变形监测统计模型的核心, 粗差的存在导致回归参数不确定, 造成统计模型一 [13] 定程度的失真 在自动化监测不断普及的背景下, 如何对有粗差的数量巨大的数据序列进行行之 有效的建模尤为重要 本文通过对某 RCC 主坝变形监测资料的粗差进行处理和建模分析, 提出以常 规模型残差大小进行粗差定位的方法, 并探讨了残差的分布对于模型参数的影响 粗差密度与较佳 稳健权函数选取的关系 收稿日期 : 基金项目 : 国家重点基础研究发展计划 (13CB359) 作者简介 : 朱赵辉 (1981-), 男, 河北秦皇岛人, 博士, 高级工程师, 主要从事水工结构安全监测研究 zzhtbb@163.com 15

2 大坝安全监测统计模型原理.1 常规统计模型原理根据成因, 可将坝体及坝基变形 δ 分为由水压分量 δ H 温度分量 δ T 和时效分 量 δ θ [14], 即 : δ = δ H + δ T + δ θ (1) 在坝体已运行多年, 温度场基本趋于稳定的条件下, 根据坝工理论和数学力学原理, 常规统计 [14] 模型可表示为 : 3 δ = å[ a 1i (H i - H i ) u ] + é æ ö ù u å êb 1i çsi πit ú ë è si πit æ ö + b 365 i çcos πit ø è cos πit øû () c 1 (θ - θ ) + c (lθ - lθ ) + a 式中 :H u H u 分别为监测日 始测日所对应的上游水头 ;t 为监测日到起始监测日的累计天数 ;t 为 建模资料系列第一个监测日到始测日的累计天数 ;θ 等于 t 除以 1,θ 等于 t 除以 1; 其余均为回 归系数 基于多元逐步回归原理, 常规统计模型可表示为 : ìy = Xβ + ε í îε~n (,σ E ) éy 1 ù éβ ù é1 x 11 x 1m ù éε 1 ù êy ú 其中 :Y = êβ ú ê ú,β = 1 ê1 x ê ú ê ú,x = 1 x ú m êε ê ëy ú ê ú,ε = ú ê 3 û ëβ ú ê ú ê m û ë1 x 1 x ú m û ëε 3 û 式中 :Y 为监测值向量 ;β 为待估参数向量 ;X 为结构矩阵 ;ε 为 维随机误差向量, 其期望为 维零 向量 ; 方差协方差阵为 σ E(E 为 阶单位矩阵 ) 为了求解式 (3) 中的参数 β, 采用最小二乘法 ( 令结构矩阵 X 为满秩矩阵 ) 即可求得 β 的估计量 β : (3) β = (X T X ) -1 X T Y (4). 稳健统计模型原理在现阶段大坝安全监测大力推行自动化系统的过程中, 由于无法人工甄 [15-17] 别, 导致粗差在监测序列中普遍存在, 因此常使统计模型的参数求解结果失真 稳健统计模型的建立基于稳健估计原理, 稳健的含义就是在粗差出现 ( 或某一时段存在系统误差 ) 的 情况下使参数的估计结果不致失真 与多元回归不同, 稳健回归不追求绝对意义上的最优 ( 残差平方和最 小 ) 方程, 而着眼于抗差意义下的最优或接近最优, 即追求回归参数的可靠性 二者根本区别是稳健统计 模型建立在符合于监测数据的实际分布模式上, 而常规模型建立在某种理想的分布模式上 综上所述, 稳健统计建模旨在解决常规统计模型不具有抵抗粗大误差的缺陷, 以适应长序列大 样本建模需要, 同时也是自动化监测系统的进行粗差处理及统计建模的解决方案 稳健估计常分三大类型, 即 M 估计 L 估计和 R 估计 其中,M 估计又称极大似然估计, 在测量 [9-1] 界应用成熟广泛 M 估计的准则为 : å ρ ( ν i ) = mi (5) ρ 称极值函数 ( 增长速率小于残差平方和 ν i ), 对未知参数 β 求导, 并令其为零可得 : å ρ (ν i ) β = å ρ (ν i ) ν i β = (6) 考虑到多元的残差方程 V = X β - Y;ν i = x i β - y i (x i 是 X 的第 i 行向量 ), 有 : 16 å ρ (ν i )x i = ; å x T i ρ (ν i ) ν i ν i = (7)

3 å x T i 令权函数 p i (ν i ) = ρ (ν ) i, 则式 (7) 变为 ν i p i (ν i )ν i =, 这与最小二乘法估计的方 程形式一致, 仅是用权阵 P ( V ) = diag ( p 1 (ν i ),,p (ν i )) 代替了观测矩 阵 P 值得注意的是与最小二乘所给出的先 验定值权不同的是,M 稳健估计的权函数是 残差的函数, 计算是未知的, 只能通过给其 赋予一定的初值, 采用迭代的方法估计未知 参数 由于极值函数 ρ 的选取不同, 可构成的 权函数也就不同, 故称选权迭代法 其误差 方程与权函数分别为 V = X β - Y;P ( V ), 常 用的权函数迭代方法有 Huber 法 Adrews 法 IGG 方案等 计算流程如图 1 所示 本文稳健权函数选择采用 Huber 法 Adrews 法, u 表示标准化的残差指标 (u i = ν i /S ) Huber 法 : 式中,c 取 1. 和.7 Adrews 法 : 式中,c 取 1. 和.75 w ( u ) = w ( u ) = 列立误差方程, 令观测权函数初值为 1, 即 P ( V ) ( ) = E 解算法方程 X T P ( V ) X β - X T P ( V ) Y = 得出 β 和 V 的首次估值 : β ( ) X T X -1 X T Y;V ( 1 ) = X β ( 1) - Y 1 = ( ) 根据 V ( 1) 各元素的大小对各观测值进行赋权, 得到新的等价权 P ( V ) ( 1 ), 再次解算方程, 得 : β ( ) X T P ( V ) ( 1) -1 X X T Y = ( ) 计算 β ( ) - β ( 1) ì1 u c ï í c ï u > c î u 判断 β ( k ) - β ( k - 1) 是否小于限差 L 结束迭代输出 β ( k ) 计算 β ( k ) - β ( k - 1 ) 若满足 ì1 u = ï í u = cπ ïc si( u c ) ( u c ) u cπ î 若不满足 返回迭代 计算 V ( 1 ) = X β ( k ) - Y 由于常规统计模型剩余标准差 S 受粗差离群幅度及其密度的影响, 其值应大于无粗差时模型的剩余标准差 S 以 Huber 法为例, 当满足条件 u > c, 即 ν i > cs 时, 对残差数据点做降权处理 按传统 的粗差剔除 S 准则 或 3S 准则 进行粗差剔除, c 值应取比 小, 原因主要有以下两点 :(1) 由于 S > S, 故 S S,3S 3S ;() 当 ν i S, 作降权处理, 并未剔除 因此在 Huber 法中 c 取 1. 和.7,Adrews 法中 c 取值同理 图 1 基于选权迭代的稳健回归参数计算步骤 3 粗差影响的评价 根据逐步回归的理论可知, 常规统计模型参数的求解基于最小二乘原理 ( 残差平方和 Σν i 最小 ), 而实际上模型的解析力一定程度还与残差的分布有关 由于数据的采集过程实际上属于等权观测, 因此在模型解析力较高的情况下, 残差应该大致服从正态分布 残差的正态性的检验方法常用的有 : 夏皮罗 - 威尔克 (Shapiro-Wilk) 法 Pearso 法 柯尔莫哥洛 [18-] 夫 (Kolmogorov-Smirov) 法 Jarque-Bera 检验及达戈斯提诺 (D Agostio) 法等 本文算例均采用 17

4 Pearso 卡方拟合优度检验法, 检验方法的步骤为 : (1) 将总体 X 的取值范围分成 k 个互不重迭的小区间, 记作 A 1,A,,A k () 把落入第 i 个小区间 A i 的样本值的个数记作 f i, 称为实测频数 所有实测频数之和 f 1 +f + +f k 等于样本容量 (3) 选定根据所假设的理论分布, 可以算出总体 X 的值落入每个 A i 的概率 p i, 于是 p i 就是落入 A i 的样本值的理论频数 (4) 引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异 : χ k ( f = å i - p i ) (8) p i Pearso 证明了如下定理, 若理论分布 F(x) 已经完全给定, 那么当 时, 式 (8) 中统计量的分 布渐近自由度为 k-1 的 χ 分布 文中拟合优度检验显著性水平 α 取.1 4 工程实例应用研究某工程碾压混凝土重力坝坝长 1489 m, 主坝最大坝高 11.5 m, 电站总装机容量为 14MW 该坝布置有正 倒垂线及引张线等监测设备监测坝体变形, 坝基倾斜监测主要由布设在坝基横向廊道的静力水准系统完成 4.1 残差分布正态性较差的情况如图 所示, 由于受纵向廊道内各类机械施工影响 ( 如混 位移 /mm /9/4 图 9/9/4 1/9/4 11/9/4 1/9/3 PL3-1 PL4-1 13/9/3 14/9/ PL 上游库水位 58 15/9/3 16/9/ 坝体 675.1m 高程上下游向位移时序过程线 17/9/ 库水位 /m 凝土取芯 钻孔引起的铟钢丝颤动等 ) 以及观测间密闭状况 钢护管窜风等干扰因素的存在, 正垂线上各测点上下游向位移在自动化监测系统数据采集过程中出现了大量的粗差 大量粗差的存在给数据分析工作带来了阻碍, 常规的时空分析和特征值分析 ( 极值点常为粗差 ) 已不能准确反映大坝变形的真实状况 因此要挖掘出数据序列中的有效信息, 必须进行有效的统计建模 如图 3 为 4 # 坝段 EL76.5 m 高程 PL6-1 测点按周频次取值所建常规统计模型过程线, 可以看出模型整体拟合精度较高 ( 模型复相关系数 R=.9495) 但由于受到粗差的影响, 残差在粗差密度较大的时段明显增大 图 4 为残差的频次分布图, 按 Pearso 卡方拟合优度检验法,P 值为.1 因此残差显著地不符合正态分布, 对常规模型拟合曲线存在较大影响 位移 /mm PL6-1 ( 实测 ) 拟合值残差 频次 /1/18 9/1/18 1/1/18 11/1/18 1/1/17 13/1/17 14/1/17 15/1/17 16/1/ 组中值 图 3 PL6-1 测点常规统计模型过程线图 4 PL6-1 测点常规统计模型残差频次图 表 1 为该测点常规统计模型与稳健统计模型参数对比表 其中不含粗差的常规模型参数是按 v i >1.5S 准则 对粗差点进行剔除后再进行多元回归分析得到 由表可知, 剔除粗差后, 常规模型各项系数变化较大, 温度因子系数 b 11 最大变幅达 3.9 % 而不含粗差常规模型与 Huber 法 (c=1.) 的参数求解结果基本一致 表中系数变幅按下式计算 : 18

5 表 1 PL6-1 常规模型与稳健模型参数 参数 常规模型 含粗差 Huber(c=.7) Adrews(c=1.) Adrews(c=.75) 不含粗差常规模型 常规模型系数变幅 系数变幅 a % 4.4% a %.5% a E E E E E E %.5% c %.1% b % 1.% 系数变幅 = 模型系数 - 不含粗差模型系数不含粗差模型系数 如图 5 所示为常规模型 ( 含粗差 不含粗差 ) 与稳健模型 拟合值过程线, 可以看出三者 拟合过程线基本重合, 说明稳健统计模型结果在追求可靠性分析结果的同时, 并未降低拟合效果 而 如图 6 所示, 三者水压分量过程线存在较为明显的差异, 其中稳健模型 水压分量与粗差剔 除的常规模型水压分量较为接近 16 年 6 月 6 日, 二者水压分量值分别为 4.34 mm 4.41 mm, 而未 剔除粗差常规模型水压分量为 3.94 mm, 其分量评价存在较大偏差 (9) 位移 /mm /1/18 稳健拟合值 huber(c=1.) 常规模型拟合值 ( 不含粗差 ) 常规模型拟合值 ( 含粗差 ) 9/1/18 1/1/18 11/1/18 1/1/17 13/1/17 14/1/17 15/1/17 16/1/16 位移 /mm /1/18 稳健拟合值 huber(c=1.) 常规模型拟合值 ( 不含粗差 ) 常规模型拟合值 ( 含粗差 ) 9/1/18 1/1/18 11/1/18 1/1/17 13/1/17 14/1/17 15/1/17 16/1/16 图 5 PL6-1 统计模型拟合过程线图 6 PL6-1 测统计模型水压分量过程线 此外, 还可看到以常规统计模型的剩余标准差 S 作为尺度, 并结合残差值 v i 的大小来具体判定粗差点, 较之常规的粗差剔除方法具有以下几个优点 :(1) 统计模型顾及了坝体变形量与库水位 温度 时效等因子的相互影响关系, 采用该法进行粗差的定位, 不再如 3σ 准则 格布罗斯及狄克逊准则那样完全基于一定的统计分布或根据一定的显著性水平孤立地判别变形效应量是否为粗差 () 对于拟合效果较好的统计模型, 残差过程线能够直观 准确地反映出粗差点的位置, 并估算粗差密度 (3) 可用于大样本长序列的粗差定位 4. 残差分布正态性较好的情况如图 7 所示, 坝基倾斜采用静力水准监测, 仪器抗干扰能力较强, 测值粗差数量相对较小 结合表 可知,8 # 坝段 ( 坝下 +7. 至坝下 +58.) 坝基倾斜量常规统计模型拟合效果良好, 模型各分量能够反映出坝基倾斜量发展过程的良好规律 如图 8 所示, 该坝段倾斜量常规统计模型残差基本符合正态分布,Pearso 拟合优度检验 P 值达.81 如表 3 所示, 由于残差分布接近正态分布, 故剔除边缘粗差尖点后, 模型参数变化相对较小, 与稳健统计模型 Adrews(c=1.) 参数较为接近 而且若采用粗差限制较为严格的权函数 Huber(c=.7) 和 Adrews(c=.75), 将使统计参数一定程度上失真 因此, 说明了在进行稳健统计模型建模前, 应对常规统计模型的残差分布有一定的把握 : 对于近于正态分布的残差序列, 常规统计模型参数已较为稳定, 不建议使用稳健统计模型 ; 对于与正态表 8 # 坝段坝基倾斜常规统计模型拟合效果及 Pearso 检验结果 坝段 复相关系数 R 剩余标准差 S ( ) 残差检验 p 值 8 #.96 注 : 坝基倾斜量以向下游转动为正, 向上游转动为负

6 倾斜量 / 8 6 倾斜量实测值拟合值 4 残差 水压分量 时效分量 - 温度分量 /3/13 113/13 13/1 133/1 143/1 153/1 163/ 图 7 8 # 坝段倾斜量 ( 坝下 +7. 至坝下 +58.) 统计模型过程线图 8 常规统计模型残差频次分布图 频次 组中值 表 3 8 # 坝段坝基倾斜量常规模型与稳健模型参数 参数 常规模型 含粗差 Huber(c=.7) Adrews(c=1.) Adrews(c=.75) 不含粗差常规模型 常规模型系数波幅 Adrews(c=1.) 系数波幅 a %.1% a %.7% a E-7 4.E-7 4.1E-7 4.E-7 4.5E E-7.9%.7% c %.1% b % 5.4% 分布相去甚远的残差序列, 应根据残差大小, 判定粗差密度, 进而选择相应的稳健统计权函数进行 建模分析 4.3 权函数的选取如前所述, 常规统计模型的剩余标准差 S 是有效定位粗差的一个尺度 ( 如按 ν i >1.5S 准则 或 ν i >S 准则 对粗差点进行剔除 ), 因此可根据残差 ν i 的大小得到粗差的密度 ( 粗差 数 / 样本数 ) 而粗差密度可作为权函数选取的一个导向,Hampel 认为, 实际测量的数据中粗差出现的概率达 [18] 1 % 是属正常的, 如表 5 所示, 根据某工程正垂线测点统计结果来看, 在干扰条件较强的情况 下, 粗差密度可达 % 表中粗差判定根据 ν i >1.5S 准则, 并由此得到粗差密度 而较佳稳健 权函数的统计模型参数与剔除粗差后的常规统计模型参数最为接近, 定义 A m 为模型系数平均变幅, 按下式计算 : A m = å a - a + c - c b m m + ij - b ij a c m b ij N 水位因子 H H H 3 表 4 PL6- 测点水位相关系数矩阵 H H H (1) 式中 :a b ij c m 为稳健统计模型回归参数 ;a a ij a m 为去粗差后的常规模型参数 ; 当 取 时, a 与 a 为分别为模型常数项参数 ;N 为逐步回归选入自变量因子个数 ;A m 最小时对应的权函数即为 较佳稳健权函数 此外, 表 5 中 Huber 及 Adrews 函数若未注明 c 的大小, 则为 Matlab 中默认取值, 分别为 由表 5 可以看出, 粗差密度小于 6 % 时, 可选 Adrews 或 Huber 作为稳健权函数 ; 密度介于 6 %~ 9 % 之间时, 应选取 Huber 函数进行赋权迭代计算 ; 粗差密度在 1 % ~ 11 % 时, 较佳权函数为 Huber (c=1.); 密度在 1 % 左右时, 宜选取 Huber(c=.7) 作权函数 ; 密度大于 15 % 时, 稳健权函数应 选取 Adrews(c=.75), 此时根据残差 ν i 大小给观 测值赋权有较严格的控制 表中稳健模型效果较差两组数据 (PL- 11

7 PL6-) 具有两个共性的特点 : 一是常规统计模型与稳健统计模型中的常数项参数 a 与 a 较大, 例如 PL- 测点 16 年 6 月 日位移量为 6.3 mm, 而其常规统计模型与稳健统计模型常数项分别为 51.5 mm mm 由于各分量值远远小于常数项, 统计模型的解析力弱, 造成剔除粗差或稳健统计建模后参数变化较大 ; 二是两测点均选入了 3 个水位因子, 如表 4 所示, 由于各水位因子间内部相关性较高, 存在信息冗余, 导致系数变化相互影响 表 5 某工程正垂测点上下游向水平位移粗差密度与较佳稳健权函数统计 测点编号 测值样本数 粗差密度 /% 较佳稳健权函数 Mi(Am)/% 备注 PL Adrews(c=.75) 5. PL PL 效果差 PL Adrews 或 Huber 8.3 PL Huber(c=.7) 4. PL PL Adrews 或 Huber 1.65 PL Huber(c=.7) 3.16 PL Adrews 或 Huber.87 PL PL Huber 1.3 PL Adrews(c=.75) 3.96 PL Huber 或 Adrews 1.44 PL Huber 13.7 效果差 注 : 表中较佳稳健权函数 xx 或 yy 表示两权函数下的模型系数较为接近, 相对变幅小于 % 如 Adrews 或 Huber, 前者 (A drews) 为较佳稳健权函数, 而 Huber 系数与其较为接近 5 结论 本文根据某工程 RCC 主坝变形监测实测资料, 对当前大坝变形监测数据序列中出现的粗差处理方法进行了探讨, 并采用稳健估计原理进行统计建模, 得到如下结论 :(1) 以常规统计模型剩余标准差为尺度, 根据残差的大小来定位粗差的方法可顾及变形量与库水位 温度 时效等因子的相互影响关系, 较之传统的 3σ 格布罗斯和狄克逊准则等方法直观 准确, 适用于大样本长序列的粗差定位 () 残差序列符合正态分布, 常规统计模型参数稳定, 可不采用稳健统计模型 ; 若残差序列与正态分布相去甚远, 可根据粗差密度, 选择相应的稳健统计权函数进行建模分析 (3) 常数项参数过大以及选入多重相关性较强的因子对统计模型回归参数稳定不利 (4) 实例证明, 与常规统计模型相比, 稳健统计模型能够有效地抵抗粗差对于模型参数求解结果的影响, 并能正确反映和评价水压 温度和时效各分量的影响 参考文献 : [ 1 ] 姚宜斌. 粗差的定性分析 [J]. 测绘信息与工程,,7(1):1-3. [ ] 杨建潮. 测量误差及粗大误差的判别与消除 [J]. 计量与测试技术,6,33(11):4-5. [ 3 ] 杨茂兴. 小样本容量测量数据中粗差的剔除 [J]. 计量与测试技术,5,3(1):7-8. [ 4 ] 陶本藻, 姚宜斌. 可靠性分析与数据探测 [J]. 武汉大学学报 ( 信息科学版 ),,7(6): [ 5 ] HUBER P J. Robust estimatio of a locatio parameter[j]. Aals of Mathematical Statistics,1964, 35(1):

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