0 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 48 卷臂运动时, 一个关节旋转带动另一个关节, 柔性振动通过各关节间的耦合在机械臂末端放大, 成为制约关节控制性能的主要因素. 而作为驱动机构的电机, 由于齿槽力矩电磁效应和加工装配工艺等原因, 会产生转矩波动, 加之难以精确建模的摩擦力矩等扰动, 会

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第 48 卷第期 08 年 3 月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol.48 No. Mar.08 DOI:0.3969/j.isn.00-0505.08.0.00 一种改进的柔性关节机械臂分级滑模控制姚伟张丹丹郭毓吴益飞郭健 ( 南京理工大学自动化学院, 南京 0094) 摘要 : 为实现多自由度柔性关节机械臂高精度定点控制和振动抑制, 提出了一种改进的分级滑模控制算法.

1 第 48 卷第期 08 年 3 月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol.48 No. Mar.08 DOI:0.3969/j.isn 一种改进的柔性关节机械臂分级滑模控制姚伟张丹丹郭毓吴益飞郭健 ( 南京理工大学自动化学院, 南京 0094) 摘要 : 为实现多自由度柔性关节机械臂高精度定点控制和振动抑制, 提出了一种改进的分级滑模控制算法. 该算法借鉴分级滑模的思想, 分别根据减速器输出角和关节角设计第一级滑模面, 然后根据第一级滑动模态设计第二级滑模面. 采用双幂次趋近律, 使滑动模态无论是远离还是接近滑模面时都具有很快的趋近速度, 而且控制力矩的抖振小, 动态性能好. 应用李雅普诺夫理论证明了所设计的控制器能够保证二级滑动模态有限时间有界稳定, 进而一级滑动模态和系统状态也是有限时间有界稳定. 数字仿真结果表明, 所提控制算法与未改进之前相比, 关节角的响应时间快 s, 并且提高了定点控制的精度, 有效减小了抖振. 关键词 : 多自由度 ; 柔性关节机械臂 ; 分级滑模 ; 双幂次 ; 振动削弱中图分类号 :TP4 文献标志码 :A 文章编号 : (08) Improvedhierarchicalslidingmodecontrolforflexible jointmanipulator YaoWei ZhangDandan GuoYu WuYifei GuoJian (SchoolofAutomation,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing0094,China) Abstract:Aimingatachievinghighaccuracysetpointcontrolandsuppresingthevibrationofmulti DOFflexible jointmanipulator,animprovedhierarchicalslidingmodecontrol(ihsm)algorithm waspresented.thealgorithmwasbasedontheideaofhierarchicalslidingmodecontrol:thefirstor derslidingsurfacewasdesignedaccordingtothereduceroutputangleandjointanglerespectively. Thenthesecondorderslidingsurfacewasdesignedbasedonthefirsttwoslidingmodes.A double powerreachinglawwasusedtoasurefastreachingproceswhethertheslidingmodewasawayfrom orclosetotheslidingsurfaceaswelastoreducethecontroltorquechatering,thusobtaininggood dynamicperformance.thefinitetimeboundedstabilityofthesecondorderslidingmodewasproved bylyapunovtechnique.thefirstorderslidingmodeandsystem stateswerealsofinitetimebound edlystable.simulationresultshowthatcomparedwiththenormalhierarchicalslidingmodecontrol algorithm,thealgorithmcanfastenthejointangleresponsespeedabouts,improvetheprecisionof thefixed pointcontrolandreducethevibrationefectively. Keywords:flexible jointmanipulator;hierarchicalslidingmode;doublepower;vibrationweaken 柔性机械臂具有类似人手臂的低自重 / 负载比高柔顺性和高适应性等特点, 在航空航天国防工业医疗服务等领域具有广泛的应用前景. 在关节型柔性机械臂的机械传动系统中, 广泛采用谐波减速器, 这种减速器具有传动比大承载能力强体积小效率高等优点, 但是由于其内部特殊的传动机构, 在给机械臂关节带来一定柔性的同时, 也会对机械臂运动造成不良影响, 如弹性振动不确定性和未知干扰等 [3]. 弹性振动作为一种内在扰动, 一般很难快速衰减, 特别是当多自由度机械收稿日期 : 作者简介 : 姚伟 (990 ), 男, 博士生 ; 郭毓 ( 联系人 ), 女, 博士, 教授, 博士生导师,guoyu@njust.edu.cn. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (66734,66739,6773) 江苏省重点研发计划资助项目 (BE0564,BE076) 江苏高校优势学科建设工程资助项目江苏省普通高校学术学位研究生科研创新计划资助项目 (KYLX6_045). 引用本文 : 姚伟, 张丹丹, 郭毓, 等. 一种改进的柔性关节机械臂分级滑模控制 [J]. 东南大学学报 ( 自然科学版 ),08,48():0 06. DOI:0.3969/j.isn

0 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 48 卷臂运动时, 一个关节旋转带动另一个关节, 柔性振动通过各关节间的耦合在机械臂末端放大, 成为制约关节控制性能的主要因素. 而作为驱动机构的电机, 由于齿槽力矩电磁效应和加工装配工艺等原因, 会产生转矩波动, 加之难以精确建模的摩擦力矩等扰动, 会对柔性关节机械臂的稳定性和控制精度产生不良影响 [4].

2 0 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 48 卷臂运动时, 一个关节旋转带动另一个关节, 柔性振动通过各关节间的耦合在机械臂末端放大, 成为制约关节控制性能的主要因素. 而作为驱动机构的电机, 由于齿槽力矩电磁效应和加工装配工艺等原因, 会产生转矩波动, 加之难以精确建模的摩擦力矩等扰动, 会对柔性关节机械臂的稳定性和控制精度产生不良影响 [4]. 此外, 多自由度柔性关节机械臂系统复杂, 多个柔性关节运动互相影响. 因此, 在设计多自由度柔性关节机械臂控制器时, 不仅要保证机械臂的位置控制精度, 而且要充分减小关节抖振 [5]. 滑模变结构控制是一种简单有效的鲁棒控制方法, 在处理扰动和不确定性方面具有独特的优势, 被广泛应用于柔性关节机械臂的控制中. 文献 [6] 针对一种带柔性关节的单连杆机械臂的跟踪 [7] 控制问题引进滑模变结构控制技术.Zouari 等针对柔性关节系统不确定性, 设计了鲁棒滑模控制器. 滑模变结构控制由于控制律中存在切换项, 易产生抖振. 抖振本质上是由控制量不连续引起的. 抖振削弱方法主要有柔化符号函数准连续滑动模 [8] [9] [0] 态方法 Super Twisting 算法和高阶滑模等 [] 方法. 庄未等以多连杆柔性关节机械臂为研究对象, 设计了基于径向基神经网络的滑模控制方法, 将各关节的切换函数作为网络输入, 控制器的输出完全由连续的神经网络实现, 有效消减了滑模抖振. 但是神经网络需要学习的时间, 导致快速性较差. 文献 [] 针对单连杆柔性臂的定点控制问题, 提出了一种动态滑模控制与最优控制相结合的混合控制方法, 在设计过程中考虑执行器的动态特性, 引入动态切换函数, 有效降低了抖振.Super Twisting 算法是一种二阶滑模控制算法, 能够保留传统滑模控制优点的同时, 有效抑制抖振. 但是控制器设计过程复杂, 稳定性证明困难, 实际应用受到一定限制. 本文考虑存在扰动情况下的多自由度柔性关节机械臂定点控制问题, 采用分级滑模控制以降低控制器设计的复杂度 ; 为消除抖振, 并使系统状态及滑动模态具有全局快速的收敛性, 设计了一种带有双幂次形式的改进趋近律. 所设计的分级滑模控制器可使各级滑模面及闭环系统有限时间有界稳定, 有效提高定点控制精度. 多自由度柔性关节机械臂的模型以四自由度柔性关节机械臂为研究对象, 其基本结构示意图如图所示. 图四自由度柔性关节机械臂结构示意图为了便于表述, 记腰部回转关节为关节, 肩关节肘关节腕关节分别记为关节关节 3 和关节 4. 在图中下标 i(i=,,3,4) 表示第 i 个关节和第 i 个连杆的相关变量.J m,i 为电机 i 的转动惯量 ;I l,i 为连杆 i 的转动惯量 ;m r,i 为电机 i 转子质量 ;m l,i 为连杆 i 的质量 ;θ m,i 为电机 i 的转角 ;θ i 为减速器 i 的输出转角 ;q i 为关节 ( 连杆 )i 的转角 ;d i 为第 i 个连杆的质心到第 i 个关节的旋转中心的距离 ;l i 为连杆 i 的长度. 柔性关节模型柔性关节机械臂与刚性机械臂的区别在于关节处存在柔性, 按照 Spong [3] 提出的方法, 用弹性扭簧模型来表示机械臂的关节柔性特性. 柔性关节 i 的结构示意图如图所示. 图中,τ m,i,τ i 分别表示电机 i 经减速前后的输出力矩 ;θ m,i 为电机 i 转角 ; θ i 为减速器 i 的输出转角 ;q i 为关节 ( 连杆 )i 的转角 ;k i 为关节 i 的刚度系数. 图柔性关节结构示意图四自由度柔性关节机械臂模型本文研究的四自由度柔性关节机械臂的电机转动惯量远小于连杆转动惯量, 故忽略连杆运动对转子平动动能的影响. 以电机转角经减速器后的输

3 第期姚伟, 等 : 一种改进的柔性关节机械臂分级滑模控制 03 出转角 θ 和关节转角 q 为广义坐标, 得到四自由度柔性关节机械臂的动力学模型为 M(q) q+c(q, q) q+g(q)=k(θ-q) J θ+k(θ-q)=τ+τ } () d 式中,M(q) R 4 4 为连杆惯量矩阵 ;C(q, q) R 4 4 为科里奥利力和离心力矩阵 ;K R 4 4 为刚度矩阵 ;J R 4 4 为电机惯量矩阵 ;g R 4 为引力矩阵 ;τ R 4 为经过减速器后的输出力矩矩阵 ;τ d R 4 为由转矩波动电机侧的非线性摩擦等扰动力矩之和 ;q, q, q 分别为关节角位移角速度和角加速度 ;θ 为减速器的输出转角. 对柔性关节机械臂系统作如下假设 : 假设在方程 () 中, 电机侧扰动 τ d 有界且界已知, 即 τ d D, 其中 D 为已知常数. 假设柔性关节机械臂系统的关节角位移角速度减速器的输出转角角速度可测, 即 q, q, θ, θ 可得. 四自由度柔性关节机械臂改进分级滑模控制控制目标对于柔性关节机械臂系统 (), 在假设和假设的条件下, 设计分级滑模控制律 τ, 实现柔性关节机械臂的快速高精度定点控制, 并保证柔性关节机械臂控制系统 () 的状态有限时间有界稳定. 控制器设计为四自由度柔性关节机械臂系统设计分级滑模面, 首先根据减速器输出角和关节角设计第一级滑模面, 然后根据第一级的滑动模态设计第二级滑模面, 最后设计等效控制项和双幂次滑模切换项, 保证各级滑模面以及闭环系统有限时间有界稳定. 定点控制中各关节给定的期望角位移信号为阶跃信号, 记作 q d ={q d,q d,q 3d,q 4d } T, 且稳态时 q d = q d ={0,0,0,0} T. 对应的减速器输出的期望转角记作 θ d ={θ d,θ d,θ 3d,θ 4d } T. 定义状态误差 q e = q-q d,θ e =θ-θ d. 当系统状态达到期望值, 即 q=q d,θ=θ d 时, 代入式 (), 求解 θ d, 得 θ d =q d +K - g(q d ), 从而 θ e =θ-θ d =θ-q d +K - g(q d ) () 定义 q e =q-q d,θ e =θ-θ d. 设计第一级滑模面 s q,s θ 为 s q =c q e + q e (3) s θ =c θ e + θe (4) 式中,s q ={s q,s q,s q3,s q4 } T R 4,s θ ={s θ,s θ,s θ3, s θ4 } T R 4 ;c,c 为待设计的正常数. s, 即由第一级滑模面 s q 和 s θ 构造第二级滑模面 s=αs q +βs θ (5) 式中,s={s,s,s 3,s 4 } T R 4 ;α,β 为待设计的正常数. 设计双幂次滑模控制律 τ 为 τ=-ks-r s η sgn(s)-r s η sgn(s)- s +ε (st q s q )+τ eq (6) 式中,k=diag(k,k,k 3,k 4 ) 为控制器待设计的参数,k i >0,i=,,3,4;r >D,r >D,η >,0<η <;ε 为接近零的正数 ;sgn( ) 为符号函数 ;τ eq 为等效控制项 ; 为欧式无穷范数. 求解等效控制项. 令 s=0, 即 s=α s q +β s θ =0 (7) 由式 (3) 和 (4) 可得 s q =c q e + q e =c ( q- q d )+ q=c q+ q (8) s θ =c θe + θe =c ( θ- θd )+ θ=c θ+ θ (9) 将式 (8) 和 (9) 代入式 (7), 并结合式 () 可得 s=αc q+αm - (q)[k(θ-q)-c(q, q) q-g(q)]+ 解得 βc θ+βj - [τ eq -K(θ-q)]=0 τ eq =- J β {αc q+αm - (q)[k(θ-q)-c(q, q) q- g(q)]+βc θ}+k(θ-q) (0) 将式 (0) 代入式 (6), 得控制力矩为 τ=-ks-r s η sgn(s)-r s η sgn(s)- s +ε (st q s q )- J β {αc q+αm - (q)[k(θ-q)- C(q, q) q-g(q)]+βc θ}+k(θ-q) () 下面证明在控制力矩 () 的作用下, 滑动模态是有限时间有界稳定的. 定理针对式 (3) (4) 和 (5) 所描述的柔性关节机械臂系统, 选择 k D,r,r,c,c,α,β >0, 在控制律 () 作用下, 二级滑动模态 s 将在有限时间内收敛到任意小的区域 Ω; 而且, 如果二级滑动模态 s 有界, 则一级滑动模态 s θ 和 s q 也有界, 界的大小与 Ω 有关. 证明选取 Lyapunov 函数为 V= st s+ s T qs q, 沿系统 () 轨迹对时间求导, 可得

4 04 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 48 卷 V=s T s+s T q s q = s T [αc q+α q+βc θ+β θ]+s T q s q = s T {αc q+αm - (q)[k(θ-q)-c(q, q) q- g(q)]+βc θ+βj - [τ+τ d -K(θ-q)]}+s T q s q () 将式 () 代入式 (), 可得 V=s T ( -ks-r s η sgn(s)-r s η sgn(s)+τ d - s +ε (st q s q )) +s T q s q -s T ks-(r s η + r s η -D) s - st s +ε (st q s q )+s T q s q 令 m =max D r 知, 当 s m 时, 有 η η (,), D r (3) ε, 由式 (3) 可 V -s T ks-r s η + - s - s T q s s +ε q -r s η + =-r V +η 同时又有 V -s T ks-r s η + - s - s T q s s +ε q -r s η + =-r V +η 从而 V -r V +η -r V +η 0 (4) 令 μ= -η,ν=η -,ρ = r,ρ = r, 则 V -ρ V -μ V { -ρ V +ν V 根据文献 [4] 的定理 3 可得, 二级滑动模态收敛时间 T f 满足 T f + = μρ νρ r (η -) + r (-η ) 结合式 (4), 可得二级滑动模态在时间 T f 内收敛到区域 Ω ={ s s ( ( max D r ) η, D r η ε ) }. 增大 r 和 r, 调节幂次 η 和 η 能够使得二级滑动模态的收敛区域任意小. 下面证明一级滑动模态 s q 和 s θ 有界稳定. 当 s Ω ={ s s max ( D r η, D r η ε ) } 时, 根据式 (4) 可得 V 有界, 又因为 s 有界, 所以 s q 也有界. 结合式 (5), 得到,, s θ = β s-αs q β ( s + αs q ) 所以 s θ 也有界, 并且 s q 和 s θ 界的大小与 Ω 有关, 调节 α 和增大 β, 可以减小界的大小. 证毕. 3 数字仿真为验证所设计的改进分级滑模控制器 (IH SMC) 的有效性, 对于图所示的四自由度柔性关节机械臂系统进行仿真实验. 仿真中使用的四自由度柔性关节机械臂系统参数标称值参照文献 [5], 即 J m, =J m, = kg m,j m,3 =J m,4 = kg m,i l, =0 0045kg m,i l, =0 43kg m,i l,3 =0 30kg m,i l,4 = 0 007kg m,l =0 53m,l 3 =0 39m,l 4 =0 0 m,d =0 5m,d 3 =0 7m,d 4 =0 03m, 减速比 N=60,K i =500N m/rad. 机械臂的关节角初始状态为 q={0,-π/4,0, 0} T, 期望的关节角为 q d ={π/3,0,π/4,-π/3} T. 仿真的时间长度为 t f =0s. 假设电机侧扰动是由常值干扰和种频率周期性干扰组成的混合信号, 即 -3+4cos(0 πt)-cos(0 4πt) 4+3sin(0 πt)-cos(0 4πt) τ d = N m -3+4sin(0 πt)-3sin(0 4πt) 4+3cos(0 πt)-4sin(0 4πt ) 3 基于改进的分级滑模控制器的仿真所设计的改进分级滑模控制器 (IHSMC) 的参数选择如下 :α=,β=0 8,c =,c =,k=diag (0,8,0,0),η =6,η =0 5,r =0,r =8,ε = 仿真结果如图 3 所示, 其中,q i 和 e i 分别为第 i 个关节角和关节角误差,τ i 为第 i 个电机经过减速器后的输出力矩. 3 基于分级滑模控制器的仿真同一对象相同初始条件期望位置和外部干扰的情况下, 将所设计的改进分级滑模控制器与相同参数下的分级滑模控制器进行比较. 分级滑模控制器的参数选择如下 :α=,β=0 8,c =,c =, k=diag(0,8,0,0). 仿真结果如图 4 所示. 3 3 结果比较由图 3(a) (b) 可知, 在复杂干扰存在的情况下,4 个关节的关节角误差均能在 s 左右跟踪上指令信号. 图 3(b) (c) 与图 4(b) (c) 进行对比发现, 相较于 HSMC,IHSMC 方法能够显著地抑制

5 第２期姚伟等一种改进的柔性关节机械臂分级滑模控制２０５ａ关节角位移响应曲线ａ关节角位移响应曲线ｂ关节角位移误差ｂ关节角位移误差ｃ关节角误差的局部放大图ｃ关节角误差的局部放大图ｄ控制力矩ｄ控制力矩曲线图３ＩＨＳＭＣ控制下关节空间内阶跃响应结果图４ＨＳＭＣ控制下关节空间内阶跃响应结果４个关节角的振动以５１０３ｒａｄ作为误差带采入误差带并且在稳态时跟踪误差没有显著波动用ＩＨＳＭＣ方法４个关节角的跟踪误差能更快地进关节２和３的角误差平均减小了５０以上稳态ｈｔｔｐｊｏｕｒｎａｌｓｅｕｅｄｕｃｎ

6 06 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 48 卷精度更好. 对比图 3(d) 和图 4(d) 可以看出,IH SMC 的控制力矩更为柔和, 抖振显著减弱, 这有利于减小执行机构磨损, 延长使用寿命. 4 结论 ) 针对受扰情况下多自由度柔性关节机械臂系统定点控制问题, 提出了一种改进的分级滑模控制方法, 能够更好地实现柔性关节机械臂的高精度快速定点控制. ) 在控制器设计部分, 采用分级滑模的思想以降低控制器设计的复杂度, 设计了双幂次形式的趋近律来改进控制算法, 在保证减小控制量振动的同时, 缩短滑动模态到达滑模面的时间. 并且从理论上证明了各级滑模面是有限时间有界稳定的. 3) 数字仿真结果表明, 所提控制算法能够有效削弱控制力矩的抖振, 实现柔性关节机械臂的快速高精度定点控制. 参考文献 (References) [] SasiadekJZ,GreenA,UlrichS,etal.Nonparametric identificationandcontrolofflexiblejointrobotmanipu lator[c]//9thinternationalconferenceonmethods andmodelsinautomationandrobotics.miedzyzdroje, Poland,04: 8.DOI:0.09/mmar [] Yim JG,YeonJS,ParkJH,etal.Robustcontrol usingrecursivedesignmethodforflexiblejointrobot manipulator[c]//007ieeeinternationalconference onroboticsandautomation.roma,italy,007: DOI:0.09/robot [3] ChangY C,YenH M.Designofarobustposition feedback tracking controlerforflexible jointrobots [J].IETControlTheory&Applications,0,5(): DOI:0.049/iet-cta [4] 王峰. 柔性关节机器人的参数辨识及模糊控制研究 [D]. 北京 : 北京邮电大学自动化院,0. [5] XuG,SunC,ZhangH,etal.Vibrationsuppresive controlofflexible jointspacemanipulatorsbased on Legendrepseudospectralmethod[C]//The6thChi nesecontrolanddecisionconference.changsha,chi na,04: DOI:0.09/ccdc [6] 安凯, 王飞飞. 一种单连杆机械臂柔性关节的滑模变结构控制 [J]. 现代电子技术,06,39():4 8. DOI:0.665/j.isn x AnKai,WangFeifei.Slidingmodevariablestructure controlforflexiblejointofsingleconnecting rodme chanicalarm[j].modernelectronicstechnique,06, 39():4 8.DOI:0.665/j.isn x (inChinese) [7]ZouariL,AbidH,AbidM.SlidingmodeandPIcon trolersforuncertainflexiblejointmanipulator[j].in ternationaljournalofautomation and Computing, 05,():7 4.DOI:0.007/s x. [8] SlotineJJ,SastrySS.Trackingcontrolofnon linear systemsusingslidingsurfaceswithapplicationtorobot manipulators[j]. InternationalJournalofControl, 983, 38 (): DOI: / [9] MorenoJA,OsorioM.StrictLyapunovfunctionsfor thesuper twistingalgorithm[j].ieeetransactionson AutomaticControl,0,57(4): DOI: 0.09/tac [0] RosalesA,ShteselY,FridmanL,etal.Chatering analysisofhosm controledsystems:frequencydo mainapproach[j].ieeetransactionsonautomatic Control,07,6(8): [] 庄未, 刘晓平. 多连杆柔性关节机械臂的神经滑模控制 [J]. 系统仿真学报,0,3(0):098 0.DOI:0.68/j.cnki.jos ZhuangWei,LiuXiaoping.Neuralslidingmodecon trolofmultiple link flexiblejointmanipulator[j]. JournalofSystem Simulation,0,3(0):098 0.DOI:0.68/j.cnki.jos (in Chinese) [] 邓夏, 贾庆轩, 褚明, 等. 基于动态切换函数的单杆柔性臂动态滑模最优混合控制 [J]. 新型工业化,0,(0):59 66.DOI:0.9335/j.cnki DengXia,JiaQingxuan,ChuMing,etal.Thecom positecontrolofdynamicslidingmodeandoptimalof one linkflexiblemanipulatorsbasedondynamicswitc hing[j].thejournalofnewindustrialization,0, (0):59 66.DOI:0.9335/j.cnki (inChinese) [3]SpongM W.Modelingandcontrolofelasticjointro bots[j].journalofdynamicsystems,measurement, andcontrol,987,09(4):30 38.DOI:0. 5/ [4] PolyakovA,FridmanL.StabilitynotionsandLya punovfunctionsforslidingmodecontrolsystems[j]. JournaloftheFranklinInstitute,04,35(4): DOI:0.06/j.jfranklin [5] 刘业超. 柔性关节机械臂控制策略的研究 [D]. 哈尔滨 : 哈尔滨工业大学机电工程学院,009.

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