第一週 主題一 : 數 主題二 : 函數 主題三 : 一元二次方程式 主題四 : 直線方程式 第二週第三週第四週第五週第六週第七週第八週第九週第十週第十一週第十二週第十三週第十四週第十五週第十六週第十七週第十八週 主題五 : 極限主題六 : 連續性主題七 : 漸近線主題八 : 導函數主題九 : 指數與對數主題十 : 指數與對數的微分主題十一 : 微分技巧延伸主題十二 : 三角函數 ( 一 ) 主題十三 : 三角函數 ( 二 ) 主題十四 : 三角函數的微分主題十五 : 相對極大與極小主題十六 : 絕對極值主題十七 : 近似值主題十八 : 相關變律主題十九 : 羅必達法則主題二十 : 不定積分主題二十一 : 不定積分的其他技巧
主題二十一 : 不定積分的其他技巧 O06 第十八週不定積分的其他技巧 PART : 分部積分法 分部積分法公式 : 設 u 與 v 均為變數 udv uv - vdu 解釋 : 依據乘法的微分公式 d( u v) vdu + udv d( u v) vdu + udv u v vdu + udv udv uv- vdu 本公式非常重要, 許多積分非要使用這個方法才能計算, 許多複雜的題型經常需要搭配分部積分與變數變換才能解出, 而且在未來延伸學習如拉普拉斯變換 (Laplace Trasformatio) 也需要使用本分部積分技巧 例題 :( 分部積分標準作法 ) 求不定積分 cos d 為了要套用分部積分法公式, 要先假設 u?, dv? 設 u, dv 就沒有其他選擇, 剩下部份稱為 dv cosd 圖. 分部積分過程 cos d si - si d si + cos + 例題 :( 分部積分較快作法 ) 要想快速解題必須熟練微分式 : de e d, dsi cos d, dcos - si d, d( + ) d等求不定積分 cos d ()cos d 合併成 dsi [ cos ] [ ] [ si ] d d () 套用 udv uv- vdu cos d si - si d si + cos +
PART : 約化公式題型雖然下列題型屬於三角函數積分範圍, 但解題技巧是分部積分法 目的 : 求 si d 之不定積分 - si d si si d si -cos si - (-cos ) si - - - d é ê - - - cos si + ( -) (-cos ) si cos d - cos si + ( -) (cos ) si - - d - cos si + ( -) (-si ) si - - d - - - cos si + ( -) (si -si ) d ù ë úû - - - si d si d( -cos ) - - - cossi + ( -) si d-( -) si d si d - cos si + ( -) si d - ( -) - si d - cos si + si d 這就是約化公式, 由 si d 降至 si - d, 每使用一次公式降兩次, 我們可以 反覆使用, 將高次降至 0 次或 次來求不定積分 例題 : ( 約化公式 ), si d - cos si + d - cos si + +, si d - cos si + si d - cos si - cos +, si d - cos si + si d, 再將 si d 的結果代入 O09 PART : si d 積分 ( 為奇數 ) 當 為奇數時, 以約化公式反覆疊代, 每疊代一次降 次方, 直到算出答案為止 PART :PART : si d 積分 ( 為偶數 ) O0 當 為偶數時, 可使用約化公式反覆疊代, 每疊代一次降 次方, 直到降到 0 次, 也可以降到 次時利用平方化倍角公式 + cos -cos cos, si 求積分 O PART : si Acos Bd積分 這類題型只要熟練積化和差公式便可容易解出 si Acos B si( A+ B) + si( A- B) [ ] cos Acos B cos( A+ B) + cos( A- B) [ ]
例題 :( 積化和差 ) 求不定積分 si cosd ( 利用積化和差拆開 ) O si cosd si Asi B cos( A-B) - cos( A+ B) [ ] é ù (si8 + si ) d - cos8 - cos + êë 8 úû PART 6: sec d 的積分 sec d l(sec + ta ) + 這個結果需要記住, 解題過程也頗有技巧, 同學可欣賞解題技巧 PART 7: sec d 的積分 O sec d 這個問題結合分部積分 三角函數的恆等式 疊合法 的技巧, 能提升學習者綜合能力和演算能力, 是非常值得學習的問題 PART 8: 疊合法 有些積分無法直接計算出答案, 疊合法是經過運算後發現算式中出現原來欲計算的積分, 透過移項以求方程式的方法求出積分, 以下例題是經典的疊合例題例題 :( 疊合法 ) 求不定積分 e cos d 設 e cos d I I edsi e si - si de e si - si e d e si e dcos e si + e cos - cos e d e si + e cos - I I e si+ e cos, I ( e si + e cos ) + m PART 8: sec ta d型的積分 ( 為偶數 ) 為偶數時, 我們的策略 ()sec 取出 次與 d 合併, 也就是 ( ) () 利用恆等式 sec ta + 將原式改為 ta 表示 例題 :(sec ta sec ta d () 由 sec 中取出 次 sec ta m d 型 ) 求不定積分 sec ta dta + - - sec sec sec sec ta d d d
() 將 sec 改為 ta 表示 sec ta dta 8 6 + + 7 (ta + ) ta dta (ta + ta ) dta ta ta 8 6 m PART 8: sec ta d型的積分 (m 為奇數 ) m 為奇數時, 我們的策略 ()sec 與 ta m 各取出 次與 d 合併, m m 也就是 sec ta d sec ta ( sec ta d) () 利用恆等式 ta sec - 將原式改為 sec 表示 例題 :(sec ta m 型 ) 求不定積分 7 sec ta d 7 () 由 sec 與 ta 中各取出 次 sec ta 7 d () 將 ta 改為 sec 表示 6 sec ta dsec - - - m- 6 sec ta dsec sec ta d sec 6 8 6 sec (sec -) dsec (sec -sec d ) sec 9 7 sec - sec + 9 7 PART 8: 三角代換法 O 當積分函數為下列根式型態時, 我們的變數變換策略 () a - 時, 令 asiq 以去掉根號 () a + 時, 令 ataq 以去掉根號 () - a 時, 令 asecq 以去掉根號例題 :( 三角代換 ) 求不定積分 6- d () 變數假設就緒令 siq, d cosqdq () 將 改為 q 6- d 6- si qcosqdq cosqcosqdq 6 cos qdq () 平方化倍角 6 6 cos qdq (+ cos q) dq 8( q+ si q) + 8q+ siq+ () 將 q 還原為, 其中還使用了倍角公式 si q siqcosq 8q+ siq+ 8si æ ö - -æö æöæ 6 ö - ç + 8siqcosq+ çè 8si 8 ø ç + + è ø çè øç ç çè ø 6 8si æ ö - - ç + + çè ø 註 : siq siq - q si æ ç ö çè ø, 6- cosq
圖. 與 q 之關係圖 PART 9: 部分分式積分法 ( 分母 次可分解 ) O07 + e 不定積分型式 d d, 若 a + b + c 可分解為兩個一 a + b + c 次式相乘 ( b - ac> 0), 可用快速分解法分成兩個簡單積分求解例題 :( 快速分解 ) 求不定積分 + d --6 7 + + d d --6 ( - )( + ) + ( - ) ( + ) d 7 l( - ) + l( + ) + PART 0: 部分分式積分法 ( 分母 次不可分解 ) d + e 不定積分型式 d, 若 a + b + c 無法分解為兩個一次式相乘 a + b + c ( b - ac< 0), 只能使用配方法拆開, 這種題型要注意會出現 () l( ) d + + + - () d ta + 相關算式 + 例題 :( 配方 ) 求不定積分 + d + + ( 分母不能分解 ) () 分母配方 + + + d d + + ( + + ) + d ( + ) + () 變數變換令 u +, du d u + u 原式 du du du u + + u + l( ) ta - u + + u+ u + () 還原為 原式 l( ) ta - u + + u+ l( ) ta - + + + ( + ) + PART 0: 部分分式積分法二 ( 綜合除法 ) k k- O08 b + b + + bk d 型的不定積分, k, 為正整數 ( -a) 直接以遷就分母原則, 令 u - a, 分子以綜合除法改以 u 表示例題 :( 綜合除法 ) 求不定積分
- + d ( -) () 以綜合除法將分子的 改成 ( - ) 表示 圖. 綜合除法 - + ( - ) + ( - ) + 0( - ) + () 拆開原式積分成為 項 - + ( - ) + ( - ) + 0( - ) + d d ( -) ( -) ( -) ( -) 0( -) d + d ( -) + d ( -) + ( -) ( -) d ( -) d + ( -) d 0 + ( -) d + ( -) d - -( - ) + ( ) - - + 0 ( ) - - - + ( ) - - - + - - 7 + - - ( - ) + 0 - + - + ( - ) ( -)
例題 :( 綜合除法假分式 ) 求不定積分 - 6+ d ( + ) () 以綜合除法將分子的 改成 ( + ) 表示 ( 要注意補 0) - 6+ ( + ) - ( + ) () 拆開原式積分成為 項 - 6+ ( + ) d 圖. 綜合除法 + + 8( ) 8( ) - + + ( + ) - ( + ) + 8( + ) - 8( + ) + ( + ) ( + ) - ( + ) + 8( + ) - 8( + ) + d ( + ) 8 8 ( + ) d- d + d- d + d + ( + ) ( + ) 8 6 ( ) 8l( ) + - + + + + - ( + ) + d