Superposition & Standing Waves 疊加與駐波
Superposition y y(x, ( t) = y 1 (x, t) + y 2 (x, t) 疊加後的波形 ( 高度 )
93 年物理指考 t = 0s 時, 一拉緊繩上有二不等高脈衝波分別向左及向右行進 ( 如下圖 ), 繩波波速為 10 m/s,t = 0.9s 後, 繩波形為何? t =0s -12-8 -4 0 4 8 12
-10-6 v = 10 m/s v = 10 m/s -12-8 -4 0 4 8 12 0.9s 後, 兩波均行進了 (10)(0.9) = 9 m -12-8 -4 0 4 8 12-8 + 9 = 1-12 -8-4 0 4 8 12 8 9 = -1
-12-8 -4 0 4 8 12 哪一個? Hint: 哪一邊較陡?
疊加後的波形 y 1 + y 2 = y 2 y 1 + y 2 = y 1-12 -8-4 0 4 8 12
波峰遇波峰波谷遇波谷 Interference( 干涉 ) 波峰遇波谷 Constructive Inteference Desstructive Inteference ( 建設性干涉 ) ( 破壞性干涉 ) 兩波 frequency 相同,phase p 相同或相差 2nπ ( 在同一時間下波長的整數倍 ) 兩波 frequency 相同, 相差 π 3π 5π, ( 在同一時間下波長的 0.5 1.5 2.5 倍 )
主動消音
Constructive Inteference ( 建設性干涉 ) 波峰遇波峰, 音量增強 Desstructive Inteference ( 破壞性干涉 ) 波峰遇波谷, 音量消失
Destructive Interference Constructive Interference
例題 Speakers 同相音速 v = 343 m/s 哪些 frequencies 聽得比較清楚? 哪些 frequencies 比較聽不到? AC = 3.20 2 + 2.40 2 = 4.00 m 兩個 speakers 到聽者的距離差 d = AC BC = 4.00 2.40 = 1.60 m d 若 d 洽為 wavelength λ 的整數倍 : 產生 constructive interference, 聽得較清楚 若 d 洽為 wavelength λ 的 0.5 1.5 倍 : g 產生 destructive interference, 較聽不到
Constructive Interference: d = 1.60 = λ 1 2λ 2 3λ 3 λ 1 = 1.60 m λ 2 = 1.60/2 = 0.80 m λ 3 = 1.60/3 = 0.533 m waevlength λ 減少,frequency f 增加 f 1 = v/λ 1 = 343/1.60 = 214 Hz f 2 = v/λ 2 = 343/0.80 = 429 Hz(= 2f 1 ) f 3 = v/λ 2 = 343/0.533 = 643 Hz(= 3f 1 ).. 檢查 frequencies 是否在 20~20,000 Hz 之間 ( 人耳可聽到的 frequencies) Destructive Interference: d = 1.60 = 0.5λ 1 1.5λ 2 2.5λ 3 λ 1 = 1.60/0.5 = 3.20 m λ 2 = 1.60/1.5 = 1.07 m λ 3 = 1.60/2.5 = 0.64 m f 1 = v/λ 1 = 343/3.20 = 107 Hz f 2 = v/λ 2 = 343/1.07 = 322 Hz(= 3f 1 ) f 3 = v/λ 2 = 343/0.64 = 536 Hz(= 5f 1 )..
Standing Waves( 駐波 ) 入射波與反射波干涉 ( 固定端 ) 給定任一時間 : 3 2 固定端 1 y 0-1 0 5 10 15-2 -3 x 3 2 1 0 y 將穿透波反相 0 5 10 15-1 -2-3 x
將穿透波反射 3 2 1 y 0-1 0 5 10 15-2 -3 x 3 2 將入射波與反射波疊加 y 1 0-1 0 5 10 15-2 -3 x
t = 0
t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
t = 5
t = 6
Node & Anti-Node 3 Anti-node( 反節點 ) 固定端必然是 node 不同時間的波形 2 1 y 0-1 0 2 4 6 8 10 12-2 -3 Node( 節點 ) 不會振動 x 恆發生 destructive intereference
Standing Waves( 駐波 ) 入射波與反射波干涉 ( 自由端 ) 步驟相同, 但不反相, 只有反射
t = 0
t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
t = 5
t = 6
自由端與駐波 自由端必然是 Anti-node 3 λ/4 2 1 y 0-1 0 2 4 6 8 10 12-2 -3 λ/2 x λ 每 股 半個 wavelength
兩端固定繩或弦上的駐波 n = 1 n = 2 n = 3 λ 2 /2 λ 3 /2 L = λ 1 /2 1 L = 2λ 2 /2 = λ 2 L = 3λ 3 /2. 固定端必為 node n:anti-node 的數目 ; 駐波的 股數 ; 正式的名稱為 mode number n 1: 不含固定端的 node 數 n + 1: 含固定端的 node 數 λ 1 = 2L λ 2 = L λ 3 = 2L/3
弦上可能出現的 wavelength 若弦長 L 給定, 當弦兩端固定時, 弦上所可能出現的 standing wave 股數 :1 2 3 (( 所有自然數 ) 但每 股 standing wave 相當於半個 wavelength 所以 :L = λ 1 /2 2λ 2 /2 3λ 3 /2 於是 :λ 1 = 2L λ 2 = L λ 3 = 2L/3 弦上所產生的波形是上述各波長的組合, 依起始波形而定 ( 如何撥動 )
弦上的波速 T v = T = μ T m / L 繩索 tension( 張力 ) 不是溫度 週期 μ = m/l : 繩索 linear density ( 線性密度, 每單位長度質量 ) 繩索 mass 繩索長度
弦所可能發出的 frequency f n v = λ n = n v 2 L = n 2L T m / L μ λ n = 2L/n 弦愈長,frequency 愈低 Tension 愈大,frequency 愈高弦 mass 愈大,frequency q y愈低沿同一根弦,μ 不變,frequency 與弦長成反比 n = 1: fundamental frequency ( 基頻 ) n = 2:1st harmonic ( 第一汎音 ):f 2 = 2f 1 f 1 = 1 T 2L L m / L n = 3:2nd harmonic ( 第二汎音 ):f f 3 = 3f 1
作業 沿一根弦, 量測各指位 (fret) 到弦底部固定端 ( 橋,bridge) 的距離, 看看相鄰指位到 bridge 長度比值是不是 2 1/12 = 1.059 f n = n 2LL T μ 這是指位到 bridge 的長度 μ = m/l = 指位到 bridge 弦質量指位到 brdge 弦長度 為避免 L 混淆, 故公式通常寫為 : 這個比較好用 = 弦全質量弦全長度 n T f n = 而非 : n T f 2L μ n = 2L m / L
n =1 兩端開口空氣柱開口端即自由振動的開放端 (anti-node): 可以為波峰或波谷 n = 1 L = λ 1 /2 n = 2 L = λ 1 /2 λ 1 = 2L n = 2 λ 2 /2 L = 3λ 2 /2 n = 3 L = λ 2 λ 2 = L λ 3 L = 3λ 3 /2 λ 3 = 2L/3
兩端開口空氣柱所可能發出的 frequencies f n 空氣中的音速 v v n T 這時不能用 = = n f = 2L m / L λ 2L n λ n = 2L/n 振動的是空氣, 不是弦 公式類似兩端固定弦
一端封閉一端開口空氣柱 封閉端不能振動 (node) n =1 開口端即自由振動的開放端 (anti-node) n = 3 λ 2 /2 L = λ 1 /4 λ 1 = 4L λ 2 /4 n = 5 L = 3λ 3 /4 λ 2 = 4L/3 L = 5λ 5 /4 λ 5 = 4L/5
一端封閉一端開口空氣柱所可能 發出的 frequencies f n v = λ n = n v 4L 空氣中的音速 n = 1 3 5 f n = nf 1
91 年物理指考題目 若以正確頻率來回撥動浴缸中的水, 可以產生駐波, 而使靠近浴缸壁兩邊的水交替起伏 ( 即一邊高時, 另一邊低 ) 水的波速為 10m/s, 1.0 浴缸寬度為 75 cm, 正確頻率 =?
L = λ 1 /2 λ 1 = 2L = (2)(0.75) = 1.5 m f 1 = v/λ 1 = 1/1.5 = 0.67 Hz L = 3λ 3 /2 λ 3 = 3L/2 = (2/3)(0.75) = 0.5m f 3 = v/λ 3 = 1/0.5 = 2.00 Hz = 3ff 1 f n = nf 1 n 為奇數 λ = n nl 2 n = 1 3 5 與前述幾個公式不同 ( 因給定狀況不同 ) 空氣柱開放端 : 波峰或波谷均可 ; 本題 : 一端為波峰時, 另一端為波谷必須根據給定條件推導這種題目是用來修理背公式 到補習班上課與只做參考書題目的同學
另一種決定 wavelength 的方法 λ node 取 y = 0 處 兩端固定弦 L = λ 1 /2 L = λ 2 L = 3λ 2 /2 λ anti-node 取波峰或波谷 兩端開放空氣柱 L = λ 1 /2 L = λ 2 L = 3λ 2 /2
一端開放一端封閉空氣柱 λ L = λ 1 /4 L = 3λ 1 /4 1 L = 5λ 1 /4
不同 frequencies 的 superposition Beat( 拍 )
Interference 的數學原理 需要用到三角函數等式 : sin a + sin b = a b a + 2cos sin 2 2 b
令兩波 : y y 1 2 x t 2π 2π = Asin 2π = A x t = A λ T sin sin λ T ( kx ω + φ) = Asin t ω k:wave number ( kx ωt) 二者 frequency 與 wave speed 相同, 但有一相角差 φ 兩波疊加後的波形 : y 1 + cosθ y 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 2 φ = 2Acos sin kx 2 疊加後的 amplitude ( 振幅 ) θ( 度 ) φ ωt + 2 當 φ/2 = 0 π 2π 或 φ = 0 2π 4π 時或在同一時間差 0 1 2 個 wavelength 時 amplitude 最大 :constructive interference π 0 90 180 270 360 當 φ/2 = π/2 3π/2 5π/2 0 π/2 3π/2 2π 或 φ = π 3π 5π 時或在同一時間差 0.5 1.5 wavelength 時 amplitude = 0:desstructive interference
Standing Wave 的數學原理 令兩波 : y y = Asin ( kx ωt) 1 二者 frequency 與 wave speed 相同, 但方向相反 2 = Asin 兩波疊加後的波形 : sinθ 1.5 1 0.5 0-0.5-1 ( kx + ωt) y 1 + y 2 = 2Acos ω 一個隨時間變化的 amplitude ( t ) sin ( kx ) k =2π/λ kx = 0 π 2π :node 即 x = 0 λ/2 λ :node π 0 90 180 270 360 kx = π/2 3π/2 5π/2 :anti-node 0 π/2 3π/2 2π 即 x = λ/4 3λ/4 5λ/4 :anti-node -1.5 θ( 度 )
Beat 的數學原理 令某特定點 (x = 0) 兩波 : ( t) y1 = Asin ω1 ( t) y2 = Asin ω2 兩波疊加後的波形 : y 1 ω 1 = 2πf 1 ω 2 = 2πf 2 二者 frequency 不同 ω1 ω2 ω1 + ω2 + y 2 = 2Acos t sin t 2 2 amplitude 隨時間變化,angular frequency = (ω 1 ω 2 )/2 amplitude 隨時間變化 angular frequency (ω 1 ω 2 )/2 所對應的 frequency = (f 1 f 2 )/2
2 1 y 1 0 0 2 4 6 8 10 (ω 1 + ω 2 )/2 的波形 -1 (ω 1 - ω 2 )/2 的波形 -2 t 2 1 2 y 2 y 1 + 0 0 2 4 6 8 10-1 1 y 2 0 0 2 4 6 8 10-2 t -1-2 t
CD 的音訊儲存方式 16 位元 (bit) 可將波形分成 2 16 = 65536 個等級 每秒取樣 44100 次 ( 約人耳可聽 frequency 的兩倍 ) CD 表面
為什麼一張標準 CD 可以容納 74 min 的音樂? 聲道 1k = 2 10 = 1024 1 s 音樂所需要的儲存空間 = 44100 x 2 x 2 = 176k 字元 (byte) 波形高低需要 16 bit 1byte( 字元, 儲存一個英文字母的空間 = 8bit, 有 2 8 = 256 種組合 ) 1 min 音樂所需要的儲存空間 = 176k x 60 s/min = 10M byte 一標準 CD 容量約為 740 MB, 故可容納 74 min 的音樂
不同樂器的波形 鋼琴 單簧管 不同的波形決定不同的音色