Microsoft Word - 3-2機率.doc

2 機 率 ( 甲 ) 古 典 機 率 的 定 義 與 性 質 古 典 機 率 的 定 義 : 設 樣 本 空 間 S 有 n 個 元 素, 而 每 個 元 素 出 現 的 機 會 均 等, 事 件 A 有 k 個 元 素, k 則 事 件 A 發 生 的 機 率 定 義 為 n, 符 號 寫 成 P(A)= n(a) k n(s) = n 此 定 義 是 由 Laplace( 法 國 人,749~827) 所 提 出 的, 也 稱 為 古 典 機 率 定 義 法 結 論 : 機 率 = 事 件 的 元 素 個 數 樣 本 空 間 的 元 素 個 數 [ 討 論 ]: 調 整 樣 本 空 間 符 合 古 典 機 率 定 義 的 前 提 例 一 : 設 一 個 袋 子 中, 有 0 個 紅 球, 個 白 球, 設 每 個 球 的 大 小 質 地 都 一 樣, 每 次 從 袋 子 中 取 一 個 球, 請 問 取 到 白 球 的 機 率? [ 解 法 ]: 根 據 樣 本 空 間 的 定 義, 樣 本 空 間 S={R,W},R 代 表 紅 球,W 代 表 白 球, 而 事 件 A={W}, 我 們 是 否 可 以 得 到 P(A)= 2 嗎? 仔 細 檢 查 定 義, 我 們 發 覺 取 到 紅 球 與 取 到 白 球 的 機 會 並 不 相 等, 因 此 不 能 直 接 使 用 古 典 機 率 的 定 義 來 求 機 率 因 此 若 要 使 用 古 典 機 率 的 定 義 去 求 事 件 A 的 機 率, 必 須 要 將 樣 本 空 間 S 做 一 個 適 當 的 修 正, 使 得 S 中 每 個 元 素 出 現 的 機 會 均 等, 為 了 達 成 這 個 目 的, 我 們 將 0 個 相 同 的 紅 球, 視 為 0 個 不 同 的 球, 即 符 號 寫 成 R R 2 R R 0, 因 此 S={ R R 2 R R 0 W}, 取 到 白 球 的 事 件 A={W},P(A)= 例 二 : 擲 二 粒 相 同 的 骰 子, 請 問 () 擲 出 點 2 點 的 機 率 為 何?(2) 擲 出 點 點 的 機 率 為 何? [ 解 法 ]: 根 據 排 列 組 合 的 觀 點, 二 粒 相 同 的 骰 子, 有 H 6 2=2 種 情 形 這 2 種 情 形 為,,2,,4,,6 2,2 2, 2,4 2, 2,6,,4,,6 4,4 4, 4,6,,6 6,6 共 2 種 因 此 樣 本 空 間 S 為 這 2 種 情 形 的 集 合, 但 是 若 根 據 這 個 樣 本 空 間, 我 們 可 得 事 件 A={ 點 2 點 },B={ 點 點 } 的 機 率 為 P(A)=P(B)= 2, 但 是 與 前 例 一 樣, 樣 本 空 間 中 每 個 元 素 出 現 的 機 會 並 不 均 等, 因 此 必 須 要 修 正 樣 本 空 間, 將 2 粒 相 同 的 骰 子, 視 為 不 同 的 骰 子, 即 S={(x,y) x=,2,,4,,6,y=,2,,4,,6} A={(,2) (2,)},B={(,)} P(A)= 2 6,P(B)= 6 ~ 2 ~

[ 例 題 ] 袋 中 有 個 紅 球,2 個 藍 球, 由 袋 中 取 球 觀 察 其 顏 色 () 取 球 後 放 回, 再 取 球, 請 問 取 出 2 球 都 是 紅 球 的 機 率 是 多 少? (2) 取 球 後 不 放 回, 再 取 球, 請 問 取 出 2 球 都 是 紅 球 的 機 率 是 多 少? () 同 時 取 2 球, 請 問 2 球 都 是 紅 球 的 機 率 是 多 少? Ans:() 9 2 (2) 0 () 0 事 實 上, 在 例 題 第 (2) 小 題 中 取 出 球 不 放 回, 先 不 看 結 果, 等 到 第 二 球 取 出, 再 同 時 看, 就 與 第 () 小 題 同 時 取 2 球 的 問 題 一 樣, 因 此 兩 種 取 球 方 式 機 率 相 同, 是 必 然 [ 例 題 2] 擲 兩 個 骰 子, 觀 察 每 個 骰 子 出 現 的 點 數, 試 求 下 列 事 件 的 機 率 : () 兩 個 骰 子 點 數 相 同 (2) 兩 個 骰 子 點 數 和 為 4 Ans:() 6 (2) 2 ~ 2 2~

擲 二 個 或 三 個 骰 子, 求 點 數 和 的 問 題 : 整 理 如 下 擲 兩 粒 相 同 的 骰 子, 其 點 數 和 與 發 生 的 機 率 表 : 點 數 和 2 4 6 7 8 9 0 2 n 機 率 6 (n 值 ) 2 4 6 4 2 擲 三 粒 相 同 的 骰 子, 其 點 數 和 與 發 生 的 機 率 表 : 點 數 和 4 6 7 8 9 0 2 4 6 7 8 n 機 率 26 (n 值 ) 6 0 2 2 27 27 2 2 0 6 機 率 的 性 質 : 根 據 古 典 機 率 的 定 義, 可 以 得 到 下 列 機 率 的 性 質 : 性 質 一 :( 非 負 性 ) 每 一 個 事 件 A 發 生 的 機 率 必 在 0 與 之 間 即 A 為 任 一 事 件,0 P(A) 性 質 二 :( 標 準 化 ) 全 事 件 發 生 的 機 率 為, 即 P(S)= 性 質 三 :( 加 法 性 ): 設 A,B 為 互 斥 事 件, 則 事 件 A,B 的 和 事 件 發 生 的 機 率 等 於 分 別 機 率 相 加 即 若 A B=φ, 則 P(A B)=P(A)+P(B) [ 由 性 質 三 可 得 P(φ)=0] 這 三 個 性 質 是 由 前 蘇 聯 數 學 家 科 莫 戈 洛 夫 (A.Kolmogorov) 所 提 出 的, 他 利 用 這 三 個 性 質 來 做 為 機 率 的 定 義 () 和 事 件 的 機 率 若 A,B 為 S 的 二 個 事 件, 則 A 與 B 的 和 事 件 A B 發 生 的 機 率 為 P(A B)=P(A)+P(B) P(A B) (2) 機 率 的 排 容 原 理 : 設 A,B,C 是 樣 本 空 間 的 三 個 事 件, 則 P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(B C) P(A C)+P(A B C) ~ 2 ~

() 餘 事 件 的 機 率 若 A S 是 一 個 事 件, 則 A 的 餘 事 件 A / 發 生 的 機 率 P(A / )= P(A) (d) 子 集 合 的 機 率 : 若 事 件 A B, 則 P(A) P(B) [ 例 題 ] 設 A,B 為 樣 本 空 間 S 中 的 二 事 件,P(A)=,P(B)= 2 4,P(A B)=, 試 求 ()P(A B)=?(2)P(A / )=?()P(A / B)=?(4)P(A / B)=? Ans:() 60 (2)2 () (4)7 20 [ 例 題 4] 某 個 城 市 的 普 查 ( 全 面 調 查 ) 發 現 60% 的 高 中 生 有 打 工 的 經 驗, 也 發 現 70% 的 高 中 生 有 意 願 就 讀 大 學 如 果 使 用 簡 單 隨 機 抽 樣, 由 該 城 市 的 高 中 生 中 抽 出 一 位 同 學 請 選 出 正 確 的 選 項 () 被 抽 出 同 學 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 為 0.7 (2) 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 且 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 至 多 為 0.6 () 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 且 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 至 少 為 0. (4) 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 但 是 無 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 為 0.8 Ans:()(2) (20 指 定 乙 ) ~ 2 4~

[ 例 題 ] 已 知 0 件 產 品 中, 有 4 件 是 瑕 疵 品 今 從 中 任 取 三 件, 試 求 () 最 多 只 取 到 一 件 瑕 疵 品 的 機 率 (2) 三 件 中 至 少 有 一 件 瑕 疵 品 的 機 率 Ans:() 2 (2) 6 ( 練 習 ) 投 擲 2 粒 公 正 的 骰 子, 點 數 和 大 於 7 的 機 率 =? Ans: 2 ( 練 習 2) 一 袋 中 有 紅 球 個, 黃 球 個, 白 球 2 個 () 任 取 一 球, 取 出 紅 球 的 機 率 =? (2) 任 取 二 球 為 同 色 的 機 率 =? Ans:() 0 (2)4 4 ( 練 習 ) 投 擲 粒 公 正 的 骰 子, 試 求 下 列 兩 小 題 : () 粒 點 數 均 相 異 的 機 率 =? (2) 恰 有 2 粒 點 數 相 同 的 機 率 =? Ans:() 9 (2) 90 26 ( 練 習 4) 試 證 : 若 A B C 為 樣 本 空 間 S 中 三 個 事 件, 則 機 率 滿 足 下 列 性 質 : (a) 若 A B, 則 P(A) P(B) (b) 若 P(A / B / )= P(A B) (c)p((a B) C)=P(A C)+P(B C) P(A B C) ( 練 習 ) 一 袋 中 有 個 白 球,4 個 黑 球, 個 紅 球, 從 袋 中 任 取 球, 求 下 列 各 事 件 的 機 率 : () 取 出 個 黑 球,2 個 紅 球 (2) 此 球 同 色 () 此 球 顏 色 都 不 同 (4) 恰 有 2 種 顏 色 球 之 機 率 Ans:() 2 (2) 44 () (4)29 44 ( 練 習 6) 自 0 到 99 中 任 取 一 數, 請 求 出 下 列 事 件 的 機 率 : () 個 位 數 > 十 位 數 (2) 個 位 數 = 十 位 數 Ans:() 2 (2) 0 ( 練 習 7) 六 面 均 塗 綠 漆 之 正 方 體 木 塊, 鋸 成 000 個 大 小 相 同 的 小 正 立 方 體, 混 ~ 2 ~

合 放 在 一 個 袋 子 中, 今 自 其 中 任 取 一 塊, 其 6 面 均 無 綠 漆 之 機 率 =? Ans: 64 2 [ 例 題 6] 從 N 個 人 中 隨 機 抽 取 n 個 人, 假 設 每 個 人 被 抽 中 的 機 會 相 等, 試 求 每 個 人 被 抽 中 的 機 率 Ans: N C n C N n = n N [ 例 題 7] ( 重 複 實 驗 ) 0 C7 擲 一 均 勻 骰 子 0 次, 求 恰 好 出 現 7 次 6 點 的 機 率 是 多 少?Ans: 0 6 [ 例 題 8] 將 ~20 的 自 然 數 填 入 4 的 空 格 中, 如 右 圖, 今 從 中 任 取 兩 個 數, 試 求 此 二 數 不 在 同 一 列 也 不 在 同 一 行 的 機 率 Ans: 2 9 2 4 6 7 8 9 0 2 4 6 7 8 9 20 ~ 2 6~

[ 例 題 9] ( 撲 克 牌 問 題 ) 從 一 副 撲 克 牌 任 取 張, 求 下 列 各 種 情 形 之 機 率 : () 同 花 大 順 (Royal Flush) (2) 葫 蘆 (Full House) () 兩 對 (Two Pairs) (4) 鐵 枝 (AAAAQ) 4 4 4 2 C C Ans:() = 2 C 649740 (2) C 2 C C C = 2 C 4 2 4 4 C C2 C C2 C () 2 C 6 46 = 98 4 46 (4) C C C 2 C 2 [ 例 題 0] ( 先 取 完 球 ) 袋 子 中 有 紅 球, 個 白 球, 每 次 取 一 球, 直 到 取 完 球 為 止, 則 白 球 先 被 取 完 的 機 率 =? Ans: 8 ~ 2 7~

[ 例 題 ] 甲 乙 丙 丁 戊 人 各 出 一 張 名 片, 將 張 名 片 放 入 一 袋 內, 今 每 人 取 出 一 張, 試 求 : () 恰 有 2 人 拿 到 自 己 的 名 片 之 機 率 (2) 每 個 人 都 拿 到 自 己 的 名 片 之 機 率 () 每 個 人 都 沒 有 拿 到 自 己 的 名 片 Ans:() 6 (2) 20 () 0 [ 例 題 2] 投 一 骰 子 三 次, 出 現 的 點 數 依 次 為 a,b,c, 求 下 列 滿 足 下 列 各 條 件 的 事 件 的 機 率 : ()a<b<c (2)a b c ()a+b+c= (4)(a b)(b c)=0 ()(a b)(b c)=2 Ans:() 4 (2)7 27 () 8 (4) 6 () 8 [ 提 示 :(4)P= P(a b 且 b c)] ~ 2 8~

( 練 習 8) 任 意 丟 擲 一 粒 質 料 均 勻 的 骰 子 三 次 設 三 次 中 至 少 出 現 一 次 點 的 事 件 為 A, 三 件 中 至 少 出 現 一 次 2 點 的 事 件 為 B 試 求 ()A 不 發 生 的 機 率 (2)A 發 生 的 機 率 ()A 與 B 都 發 生 的 機 率 (4)A 或 B 發 生 的 機 率 Ans:() 2 26 (2)9 26 () 6 (4)9 27 ( 練 習 9) 假 設 任 意 取 得 之 統 一 發 票, 其 號 碼 之 個 位 數 字 為 0,,2,,9 中 任 一 數 字, 且 這 些 數 字 出 現 的 機 率 相 等 今 自 三 不 同 場 所, 各 取 得 一 張 統 一 發 票, 則 三 張 發 票 號 碼 個 位 數 字 中 () 至 少 有 一 個 為 0 的 機 率 為 (A)0.08 (B)0.24 (C)0.27 (D)0.00 (E)0. (2) 至 少 有 一 個 為 0, 且 至 少 有 一 個 為 9 的 機 率 為 (A)0.048 (B)0.04 (C)0.096 (D)0.488 (E)0.667 Ans:()C (2)B (80 自 ) ( 練 習 0) 甲 乙 兩 人 分 別 從 0 至 99 的 00 個 數, 各 自 選 出 個 不 同 的 數, 則 兩 人 所 選 的 數 完 全 相 同 的 機 率 為 ; 至 少 有 一 數 相 同 的 機 率 為 Ans: 6700, 7 808 ( 練 習 ) 設 生 男 生 女 的 機 會 相 等, 若 計 畫 生 4 個 小 孩 的 家 庭 () 四 個 都 是 男 孩 的 機 率 是 多 少? (2) 至 少 有 一 個 女 孩 的 機 率 是 多 少? () 四 個 孩 子 都 是 同 性 別 的 機 率 是 多 少? (4) 有 男 孩 也 有 女 孩 的 機 率 是 多 少? () 男 孩 女 孩 各 有 2 位 的 機 率 是 多 少? Ans:() 6 (2) 6 () 2 6 (4)4 6 () 6 6 ( 練 習 2) 同 尺 寸 同 式 樣 的 黑 鞋 雙, 白 鞋 2 雙, 任 取 4 隻, 則 能 配 成 2 雙 之 機 率 為 何?Ans: 2 0 ( 練 習 ) 同 尺 寸 同 式 樣 的 黑 襪 雙, 白 襪 2 雙, 任 取 4 隻 ( 襪 子 不 分 左 右 腳 ), 則 能 配 成 2 雙 之 機 率 為 何?Ans: 0 ( 練 習 4) 袋 子 中 有 m 個 紅 球,n 個 白 球, 每 次 取 一 球, 直 到 取 完 球 為 止, 則 白 球 先 被 取 完 的 機 率 =? Ans: m m+n ( 練 習 ) 一 副 撲 克 牌 的 大 牌 (0,J,Q,K,A) 有 20 張, 從 中 任 取 4 張, 求 下 列 各 事 件 發 生 的 機 率 : ~ 2 9~

() 花 色 相 同 (2) 恰 含 兩 種 花 色 () 恰 為 兩 對 ( 如 JJKK) Ans:() 4 969 (2)80 2 ()24 2 ( 練 習 6) 從 一 副 2 張 的 撲 克 牌 中 任 意 抽 出 二 張, 則 這 二 張 號 碼 相 同 的 機 率 是 多 少? 又 兩 張 號 碼 不 同 的 機 率 為 何?Ans: 7,6 7 ( 練 習 7) 設 N 個 人 中 至 少 二 人 在 同 一 個 月 出 生 的 機 率 為 P(N) 2 P ()P()=? (2)P(4)=? Ans:() (2) 2 ( 練 習 8) 有 A,B,C 三 房 間, 各 可 住 4 人, 人, 人, 今 有 甲 乙 丙 0 人 前 往 住 宿, 則 甲 乙 丙 三 人 中 至 少 有 二 人 同 住 一 間 房 間 的 機 率 為 何? Ans: 7 0 ( 練 習 9) 從 對 夫 妻 中 任 選 4 人, 試 求 下 列 事 件 的 機 率 () 恰 為 二 對 夫 妻 之 機 率 =? (2) 恰 為 一 對 夫 妻 之 機 率 =? Ans:() 2 (2)4 7 ( 練 習 20) 袋 子 中 有 20 球, 分 別 編 有,2,,...20 號 的 球 各 一 個, 任 取 球, 求 下 列 各 種 情 形 之 機 率 : () 球 之 號 碼 和 為 之 倍 數 (2) 球 之 號 碼 成 等 差 數 列 () 球 中 任 2 球 之 號 碼 均 不 連 續 Ans:() 2 9 (2) 8 ) 68 9 0 6 C ( 練 習 2) 擲 一 均 勻 骰 子 0 次, 求 恰 好 出 現 4 次 6 點 的 機 率 是 多 少?Ans: 4 6 0 ( 練 習 22) 投 擲 一 顆 骰 子 次, 出 現 點 數 以 x,y,z,u,v 表 示, 試 求 出 下 列 事 件 發 生 的 機 率 : () x,y,z,u,v 不 全 相 異 (2)(x y)(y z)(z u)(u v)=0 Ans:() 49 4 (2) 67 296 ~ 2 0~

綜 合 練 習 () 設 A B C 表 三 事 件, 且 P(A)=P(B)=P(C)= 4,P(A B)=P(C B)=0,P(A C)= 8, 求 三 事 件 至 少 發 生 一 件 的 機 率 =? (2) 某 種 疾 病 有 甲 乙 丙 三 種 檢 測 方 法 若 受 檢 者 檢 測 反 應 為 陽 性, 以 符 號 + 表 示, 反 之 則 記 為 - 一 個 受 檢 者 接 受 三 種 檢 測 方 法 呈 現 之 結 果 共 有 A,,A 8 八 種 不 同 的 可 能 情 況, 例 如 事 件 A 表 示 該 受 檢 者 以 三 種 方 法 檢 測 反 應 皆 為 陽 性, 其 餘 類 推 ( 如 下 表 ): 以 P(A ),,P(A 8 ) 分 別 代 表 事 件 A,,A 8 發 生 之 機 率 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的? ()P(A A 2 )=P(A )+P(A 2 ) (2) 以 方 法 乙 檢 測 結 果 為 陽 性 的 機 率 是 P(A )+P(A 2 )+P(A 4 )+P(A 6 ) () 以 方 法 甲 與 方 法 乙 檢 測, 結 果 一 致 的 機 率 是 P(A )+P(A 2 ) (4) 以 方 法 甲 乙 丙 檢 測, 結 果 一 致 的 機 率 是 P(A ) (20 指 定 乙 ) () 某 袋 中 有 許 多 號 碼 球, 抽 出 為 偶 數 的 機 率 是 0., 抽 出 偶 數 或 的 倍 數 的 機 率 是 0.6, 抽 出 6 的 倍 數 的 機 率 是 0., 求 抽 出 的 倍 數 的 機 率 為 (4) 從 8 個 奇 數 與 個 偶 數 中 任 取 兩 數 相 加, 請 問 恰 為 偶 數 的 機 率 是 多 少? () 設 有 A B C 三 球 隊 進 入 決 賽 爭 取 冠 軍 獎 盃 若 A 得 冠 軍 的 機 會 為 B 的 2 倍, B 得 冠 軍 的 機 會 為 C 的 倍, 則 A 隊 得 冠 軍 的 機 率 =? (6) 假 設 有 一 種 特 製 的 骰 子, 其 六 個 面 上 的 點 數 各 為 2,,4,,6,7 現 在 同 時 投 擲 兩 顆 公 正 的 這 種 骰 子, 則 其 點 數 和 為 幾 點 時 機 率 最 大? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)0 (90 自 ) (7) 擲 粒 公 正 骰 子, 問 恰 有 兩 個 點 數 相 同 的 機 率 為 (88. 學 科 ) (8) 金 先 生 在 提 款 時 忘 了 帳 號 密 碼, 但 他 還 記 得 密 碼 的 四 位 數 字 中, 有 兩 個, 一 個 8, 一 個 9, 於 是 他 就 用 這 四 個 數 字 隨 意 排 成 一 個 四 位 數 輸 入 提 款 機 嘗 試 請 問 他 只 試 一 次 就 成 功 的 機 率 有 多 少?(92 學 科 ) ~ 2 ~

(9) 從,2,.,0 這 十 個 數 中 隨 意 任 取 兩 個, 以 p 表 示 其 和 為 偶 數 之 機 率,q 表 示 其 和 為 奇 數 之 機 率 試 問 下 列 哪 些 敘 述 是 正 確 的? () p + q = (2)p = q () p q (4) p q () p (9 學 科 ) 0 20 2 (0) 請 選 出 正 確 的 選 項 () 隨 機 亂 數 表 的 任 一 列 中,0 到 9 各 數 字 出 現 的 次 數 皆 相 同 (2) 擲 一 均 勻 的 銅 板 0 次, 若 前 次 出 現 次 正 面 與 2 次 反 面, 則 後 次 必 定 出 現 2 次 正 面 次 反 面 () 投 擲 一 枚 均 勻 的 銅 板 2 次, 在 正 面 至 少 出 現 次 的 條 件 下,2 次 都 出 現 正 面 的 條 件 機 率 等 於 (4) 投 擲 6 顆 公 正 的 骰 子,,2,,4,,6 點 都 出 現 的 機 率 小 於 6 () 從 一 副 2 張 的 撲 克 牌 ( 紅 黑 各 有 26 張 ) 中, 隨 機 抽 取 相 異 兩 張, 這 兩 張 牌 都 是 紅 色 的 機 率 為 4 () 袋 中 有 7 個 相 同 的 球, 分 別 標 示 2 7 號 ; 若 自 袋 中 隨 機 取 出 4 個 球 ( 取 出 之 球 不 再 放 回 ), 則 取 出 之 球 上 的 標 號 和 為 奇 數 的 機 率 為 (86 社 ) (2) 樂 透 是 由 ~42 個 號 碼 開 出 6 個 號 碼, 請 問 開 出 的 6 個 號 碼 都 是 偶 數 的 機 率, 最 接 近 下 列 哪 一 個 值? () 2 (2)6 42 () 2 (4) 2 () 2 6 (200 指 定 乙 ) () 某 訓 練 班 招 收 00 名 學 員, 以 報 到 先 後 順 序 賦 予 到 00 的 學 號 開 訓 一 個 月 之 後, 班 主 任 計 畫 從 00 位 學 員 中 抽 出 0 位 來 參 加 時 事 測 驗 他 擬 定 了 四 個 抽 籤 方 案 : 方 案 一 : 在 到 0 號 中, 隨 機 抽 出 2 位 學 員 ; 同 時 在 到 00 號 中, 也 隨 機 抽 出 2 位 學 員, 共 0 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 二 : 在 到 60 號 中, 隨 機 抽 出 2 位 學 員 ; 同 時 在 6 到 00 號 中, 也 隨 機 抽 出 8 位 學 員, 共 0 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 三 : 將 00 位 學 員 平 均 分 成 0 組 ; 在 每 組 2 人 中, 隨 機 抽 出 人, 共 0 位 學 員 參 加 測 驗 方 案 四 : 擲 一 粒 公 正 的 骰 子 : 如 果 出 現 的 點 數 是 偶 數, 則 由 學 號 是 偶 數 的 學 員 參 加 測 驗 ; 反 之, 則 由 學 號 是 奇 數 的 學 員 參 加 測 驗, 請 選 出 正 確 的 選 項 () 方 案 一 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 (2) 方 案 二 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 () 方 案 三 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 (4) 方 案 四 中, 每 位 學 員 被 抽 中 的 機 率 相 等 (20 指 定 乙 ) (4) 台 北 銀 行 最 早 發 行 的 樂 透 彩 ( 俗 稱 小 樂 透 ) 的 玩 法 是 42 選 6 : 購 買 者 從 0~42 中 任 選 六 個 號 碼, 當 這 六 個 號 碼 與 開 出 的 六 個 號 碼 完 全 相 同 ( 不 計 次 序 ) 時 即 得 頭 獎 ; 台 北 銀 行 曾 考 慮 改 發 行 9 選 的 小 小 樂 透 : 購 買 者 從 0~9 中 任 選 五 個 號 碼, 當 這 五 個 號 碼 與 開 出 的 五 個 號 碼 完 全 相 同 ( 不 計 次 序 ) 時 即 得 頭 獎 ~ 2 2~

假 設 原 來 的 小 樂 透 中 頭 獎 的 機 率 是 R, 而 曾 考 慮 發 行 的 小 小 樂 透 中 頭 獎 的 機 率 r 是 r 試 問 比 值 R 最 接 近 下 列 那 一 個 選 項? () (2) ()7 (4)9 () (200 學 科 能 力 測 驗 ) () 在 右 圖 的 棋 盤 方 格 中, 隨 機 任 意 選 取 兩 個 格 子 選 出 的 兩 個 格 子 不 在 同 一 行 ( 有 無 同 列 無 所 謂 ) 的 機 率 為 () 20 (2) 4 () 4 (4) ()4 (2006 學 科 能 力 測 驗 ) (6) 甲 乙 丙 三 所 高 中 的 一 年 級 分 別 有 4 個 班 級 從 這 2 個 班 級 中 隨 機 選 取 一 班 參 加 國 文 抽 考, 再 從 未 被 抽 中 的 個 班 級 中 隨 機 選 取 一 班 參 加 英 文 抽 考 則 參 加 抽 考 的 兩 個 班 級 在 同 一 所 學 校 的 機 率 最 接 近 以 下 哪 個 選 項? () 2% (2) 2% () 2% (4) 27% () 29% (2009 學 科 能 力 測 驗 ) (7) 高 三 甲 班 共 有 20 位 男 生 位 女 生, 需 推 派 位 同 學 參 加 某 項 全 校 性 活 動 班 會 中 大 家 決 定 用 抽 籤 的 方 式 決 定 參 加 人 選 若 每 個 人 中 籤 的 機 率 相 等, 則 推 派 的 三 位 同 學 中 有 男 也 有 女 的 機 率 為 (20 學 科 能 力 測 驗 ) (8) 在 遊 戲 中, 阿 玲 拿 到 如 右 的 數 字 卡 主 持 人 隨 機 從 至 9 號 球 中 同 時 取 出 三 球, 若 這 三 球 的 號 碼 中 任 兩 個 都 不 在 卡 片 上 的 同 一 行 也 不 在 卡 片 上 的 同 一 列 時 就 得 獎, 則 阿 玲 得 獎 的 機 率 為 (204 指 定 甲 ) (9) 投 擲 一 粒 公 正 骰 子 4 次, 每 個 點 出 現 的 機 會 均 等, 試 求 (a) 恰 好 有 2 次 出 現 點 之 機 率 (b) 至 少 有 2 次 出 現 點 的 機 率 (20) 袋 中 有 20 個 燈 泡, 其 中 有 個 斷 了 燈 絲 現 在 逐 一 檢 查, 在 檢 查 到 第 7 個 燈 泡 時, 恰 好 是 第 個 斷 了 燈 絲 的 燈 泡 之 機 率 =? (2) 投 擲 一 粒 骰 子, 假 設 點 數 出 現 的 機 率 與 該 點 數 成 正 比 例 設 A 表 示 出 現 偶 數 點 的 事 件,B 表 示 出 現 奇 數 點 的 事 件,C 表 示 出 現 質 數 點 的 事 件 試 求 : (a) 出 現 2 點 的 機 率 (b)p(a) P(B) P(C) (c)p(b C) (22) 擲 一 公 正 骰 子 兩 次 其 點 數 為 a,b, 試 求 x 2 +ax+b=0 有 兩 實 根 α,β, 且 α 2 +β 2 < 的 機 率 為 何? (2) 設 袋 子 中 有 42 個 相 同 的 球, 分 別 標 上,2,..,42 等 42 個 號 碼, 甲 乙 兩 人 各 自 袋 中 任 意 取 出 一 球, 然 後 比 較 取 出 球 上 數 字 的 大 小 設 每 個 球 被 取 出 的 機 會 均 等, 而 且 各 人 取 球 後 仍 放 回 袋 中, 則 甲 取 出 之 球 上 數 字 不 小 於 乙 取 出 之 球 上 數 字 的 機 率 =? ~ 2 ~

(24) 設 HBL 共 有 6 隊 參 賽, 先 抽 籤 均 分 成 甲 乙 丙 丁 4 組 進 行 分 組 預 賽,( 每 組 有 4 對 ), 則 松 山 高 中 再 興 中 學 三 民 家 商 在 預 賽 中 分 在 不 同 組 的 機 率 =? (2) 由 6 位 男 士 與 9 位 女 士 中 任 選 人 組 成 一 個 委 員 會, 若 每 人 被 選 出 的 機 會 相 同, 試 求 (a) 由 三 男 二 女 組 成 委 員 會 的 機 率 是 (b) 委 員 會 委 員 都 是 同 性 別 的 機 率 是 多 少 進 階 問 題 (26) 自,2,,,0 中 任 取 相 異 數, 則 (a) 此 三 數 成 等 差 之 機 率 =? (b) 此 三 數 成 等 比 之 機 率 =? (27) 將 ~n 2 (n ) 的 自 然 數 填 入 n n 的 空 格 中, 今 從 中 任 取 兩 個 數, 試 求 此 二 數 不 在 同 一 列 也 不 在 同 一 行 的 機 率 (28) 設 集 合 M={,2,,4,..,0} 中, 任 取 三 個 數 字, 求 下 列 事 件 發 生 的 機 率 : (a) 出 現 三 個 連 續 數 字 (b) 恰 出 現 二 個 連 續 數 字 (c) 不 出 現 連 續 數 字 (29) 某 休 旅 車 有 排 座 位, 每 排 坐 2 人, 今 有 男 女 入 坐, 則 每 排 均 坐 男 女 之 機 率 =? (0) 自,2,,4, 中 取 出 個 相 異 數 字 作 成 三 位 數, 則 (a) 此 三 位 數 是 偶 數 的 機 率 =? (b) 此 三 位 數 是 4 的 倍 數 的 機 率 =? () 設 有 一 電 梯 自 樓 開 始 升 到 6 樓, 今 有 4 人 自 樓 乘 坐, 電 梯 在 二 三 四 五 六 樓 均 有 停 留, 則 在 某 樓 至 少 有 二 人 走 出 之 機 率 =? (2) 把 r 個 相 同 的 球 隨 機 放 入 n 個 箱 子, 假 設 每 個 箱 子 都 可 以 一 次 放 r 個 球, 試 求 每 個 箱 子 至 多 有 一 個 球 的 機 率 (n r) () 有 8 個 人 ( 含 甲 乙 兩 人 ) 同 時 乘 坐 一 輛 有 4 節 車 廂 的 火 車, 在 已 知 剛 好 每 兩 人 乘 坐 一 車 廂 的 情 形 下, 求 甲 乙 兩 人 同 坐 一 車 廂 的 機 率? (4) 袋 中 有 紅 球 4 個, 白 球 個, 黑 球 個, 且 每 個 球 被 取 中 的 機 會 相 等, 今 每 次 取 出 一 球 不 放 回 袋 中, 連 續 取 球, 則 紅 球 先 取 完 的 機 率 為 少? ~ 2 4~

() 8 綜 合 練 習 解 答 (2) ()(2) [ 解 法 ]: ()QA A 2 =φ, P(A A 2 )=P(A )+P(A 2 ) (2) 如 表 格, 方 法 乙 為 陽 性, 而 方 法 甲 與 方 法 丙 的 結 果 可 為 (+,+) (+, ) (,+) (, ) 故 這 些 情 形 為 事 件 A A 2 A 4 A 6, 而 他 們 彼 此 互 斥, 故 方 法 乙 檢 測 結 果 為 陽 性 的 機 率 是 P(A )+P(A 2 )+P(A 4 )+P(A 6 ) () 以 方 法 甲 與 方 法 乙 檢 測, 結 果 一 致 的 事 件 為 A A 2 A 7 A 8, 故 () 錯 誤 (4) 以 方 法 甲 乙 丙 檢 測, 結 果 一 致 的 事 件 為 A A 8, 故 (4) 錯 誤 () 0.4 (4) () 9 9 (6) (D) (7) 90/26 ( 2 ) (8) 2 (9) ()(4) (0) ()(4) [ 解 法 ]: () 隨 機 亂 數 表 的 任 一 列 中,0 到 9 各 數 字 出 現 的 次 數 不 一 定 相 同 (2) 擲 一 均 勻 的 銅 板 0 次, 若 前 次 出 現 次 正 面 與 2 次 反 面, 不 一 定 後 次 會 出 現 2 次 正 面 次 反 面 () 正 面 至 少 出 現 次 的 條 件 下,2 次 都 出 現 正 面 的 條 件 機 率 = 4 = 4 (4) 投 擲 6 顆 公 正 的 骰 子,,2,,4,,6 點 都 出 現 的 機 率 = 6! 6 6 = 2 4 6 6 6 < 6 () 從 一 副 2 張 的 撲 克 牌 ( 紅 黑 各 有 26 張 ) 中, 隨 機 抽 取 相 異 兩 張, 這 兩 張 牌 都 是 紅 ~ 2 ~

26 C 2 2 色 的 機 率 = C 2 = 02 < 4 () 6/ (2) () 2 () ()()(4) [ 解 法 ]: 從 N 個 人 中 隨 機 抽 取 n 個 人, 假 設 每 個 人 被 抽 中 的 機 會 相 等, 那 麼 每 個 人 被 抽 中 的 N C n 機 會 等 於 = n N C N 故 ()()(4) 中 學 員 被 選 中 的 機 率 均 為 2 n 2 (2) 中 ~60 號 每 個 人 被 選 中 的 機 率 為 60,6~00 8 號 每 個 人 被 選 中 的 機 率 為 40 (4) (4) () () (6) () (7) 90 9 (8) 4 9 2 [ 解 法 ]: 阿 玲 得 獎 的 機 率 為 = = 9 C 4 (9) (a) 2 26 (b)7 296 (20) 76 (2) (a) 2 2 (b) 4 7, 7,0 2 (c)8 2 (22) (2) (24) 6 4 84 [ 提 示 :P= 6 42 C2 ] 42 42 (2) (a) 240 00 (b)4 9 ~ 2 6~

(26) (a) 6 (b) 0 (27) n n+ (28) (a) (b)7 (c)7 (29) 2 (0) (a) 2 (b) () (2) () 0 2 [ P 4 提 示 : 機 率 = ( 二 三 四 五 六 樓 中, 每 樓 至 多 有 一 人 走 出 )= 4 ] C n r r! n r 7 20 (4) 6 P( 紅 球 先 取 完 ) = P( 白 球 在 紅 球 之 前 取 完 或 黑 球 在 紅 球 之 前 取 完 ) = P( 白 球 在 紅 球 之 前 取 完 ) P( 黑 球 在 紅 球 之 前 取 完 ) +P( 白 球 黑 球 均 在 紅 球 之 前 取 完 ) = 4 4+ 4 4+ + 4 4+8 =20 6 ~ 2 7~