配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 摘 要 以 探 討 SET 遊 戲 紙 牌 配 對 的 所 有 組 合 情 形 為 研 究 起 點, 分 析 歸 納 而 窮 盡 出 15 種 配 對 類 型 針 對 如 何 不 剩 牌 的 目 標, 進 行 猜 想 並 驗 證 在

中 華 民 國 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 第 三 名 080415 配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 學 校 名 稱 : 臺 北 市 松 山 區 民 權 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 張 哲 睿 小 六 簡 暉 倫 連 婉 婷 顏 稚 仁 小 六 吳 家 頡 小 六 陳 文 悅 小 六 張 婉 婷 關 鍵 詞 : 配 對 類 型 組 牌 軌 跡 機 率

配 對 奇 跡 / 機 -SET 遊 戲 的 探 討 與 變 型 摘 要 以 探 討 SET 遊 戲 紙 牌 配 對 的 所 有 組 合 情 形 為 研 究 起 點, 分 析 歸 納 而 窮 盡 出 15 種 配 對 類 型 針 對 如 何 不 剩 牌 的 目 標, 進 行 猜 想 並 驗 證 在 操 作 上 若 自 始 至 終 皆 用 同 一 種 配 對 類 型 便 可 把 81 張 牌 全 配 對 完, 也 意 外 發 現 紙 牌 構 成 的 大 九 宮 格 中 任 一 小 九 宮 格 中 皆 有 4 條 組 牌 軌 跡 構 成 的 胚 騰 (pattern), 若 放 大 到 大 九 宮 格 中 觀 察 則 也 有 相 同 的 胚 騰 若 在 大 九 宮 格 中 進 一 步 運 用 組 牌 軌 跡 換 牌, 最 多 可 同 時 出 現 7 種 配 對 類 型 ; 但 我 們 也 發 現 小 九 宮 格 內 若 出 現 例 外 情 況 ( 未 出 現 四 條 組 牌 軌 跡 ) 時, 則 最 多 可 讓 大 九 宮 格 的 內 部 同 時 出 現 15 種 SET 配 對 類 型 此 外, 從 機 率 的 角 度 出 發, 經 特 殊 化 到 一 般 化 的 推 演 歷 程, 獲 致 桌 上 牌 最 少 要 發 21 張 才 必 有 SET 出 現 壹 研 究 動 機 同 學 們 流 行 玩 一 種 紙 牌 遊 戲 -SET, 它 的 規 則 是 從 桌 上 牌 中 設 法 依 規 定 進 行 配 對 取 出, 最 後 依 手 上 擁 有 成 功 SET 組 數 最 多 者 為 贏 家 我 們 觀 察 到 每 當 遊 戲 結 束 後 桌 上 總 會 剩 下 幾 張 牌 無 法 成 功 組 成 SET, 這 引 發 我 們 的 好 奇 : 是 否 可 能 在 遊 戲 結 束 後 桌 上 不 會 剩 下 任 何 牌? 在 數 學 課 中, 老 師 也 常 常 鼓 勵 我 們 從 遊 戲 中 觀 察 並 試 著 提 出 值 得 研 究 的 數 學 問 題, 進 行 探 討 解 題, 於 是 試 想 : 如 果 要 在 遊 戲 結 束 時 桌 上 完 全 不 剩 牌, 表 示 要 讓 81 張 牌 全 配 對 完 並 恰 好 形 成 數 組 SET 便 成 為 研 究 的 起 點 尋 求 解 答 的 過 程 中, 發 現 此 遊 戲 與 組 合 機 率 找 規 律 等 數 學 主 題 有 關 我 們 以 探 討 SET 遊 戲 及 其 變 型 做 為 數 學 科 展 的 主 題, 發 展 出 系 列 研 究 問 題, 從 分 析 單 張 牌 本 身 的 牌 面 設 計 開 始 針 對 所 有 成 功 的 SET 是 否 存 在 某 些 共 通 性 並 進 行 分 析 歸 納 探 討 一 副 牌 中 隨 機 取 走 的 N 張 牌 中 出 現 一 組 SET 的 機 率 並 討 論 要 至 少 發 出 多 少 張 桌 上 牌 才 會 必 定 出 現 一 組 SET 貳 研 究 目 的 一. 探 討 如 何 把 一 副 81 張 SET 牌 恰 好 用 完 以 成 功 配 對 成 數 組 SET 二. 在 SET 遊 戲 過 程 中 探 討 SET 出 現 的 機 率 參 研 究 設 備 及 器 材 一.SET 遊 戲 紙 牌 二. 紙 和 筆 三. 電 腦 四. 相 機 1

肆 研 究 過 程 或 方 法 一. SET 遊 戲 簡 介 一 副 牌 由 81 張 完 全 沒 有 重 複 的 紙 牌 所 組 成, 而 單 張 牌 的 牌 面 設 計 則 由 四 種 屬 性 所 構 成 為 方 便 討 論, 將 81 張 紙 牌 全 亮 出 來, 依 據 四 種 屬 性 - 顏 色 形 狀 個 數 網 底 的 順 序, 進 行 系 統 化 的 分 類 及 編 碼 : 我 們 先 按 照 四 屬 性 中 的 顏 色 將 81 張 紙 牌 進 行 第 一 層 分 類, 其 中 可 區 分 出 3 種 特 徵 元 素 分 別 為 紅 綠 紫 ; 接 著 在 不 同 顏 色 的 紙 牌 分 類 區 塊 中 依 第 二 種 屬 性 - 形 狀 進 行 區 分 為 膠 囊 波 浪 菱 形 3 種 不 同 特 徵 元 素 ; 再 者, 依 第 三 種 屬 性 個 數 進 行 內 部 分 類 為 一 個 二 個 三 個 共 3 種 徵 元 素 ; 最 後, 按 第 四 種 屬 性 網 底 分 別 再 細 分 為 實 心 空 心 線 條 共 3 種 不 同 徵 元 素 編 碼 結 果, 如 下 圖 所 示 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 由 上 圖 可 知 81 張 牌 的 共 同 點 為 皆 由 四 種 屬 性 所 構 成, 而 每 張 牌 彼 此 間 的 相 異 點 是 由 各 屬 性 內 涵 中 的 三 種 不 同 元 素 之 相 互 配 對 產 生 的 結 果 所 造 成 的 ( 一 ) 遊 戲 目 標 : 成 功 配 對 出 SET 此 遊 戲 所 定 義 的 SET 必 頇 包 含 三 張 牌, 且 四 屬 性 中 的 任 意 數 量 的 屬 性 在 這 三 張 不 同 的 牌 面 之 間 必 為 都 相 同 或 都 不 同 的 特 徵 元 素, 舉 例 如 下 : 2

實 例 一 : 實 例 二 : 三 張 牌 的 四 種 屬 性 之 中 有 三 種 屬 性 完 全 相 同 ( 顏 色 都 是 紅 色 形 狀 都 是 膠 囊 以 及 個 數 都 是 一 個 ); 而 四 屬 性 之 中 剩 下 的 一 種 屬 性 在 三 張 牌 彼 此 之 間 完 全 不 同 ( 網 底 分 別 為 實 心 空 心 線 條 ) 三 張 牌 的 四 種 屬 性 之 中 有 兩 種 屬 性 完 全 相 同 ( 形 狀 都 是 膠 囊 個 數 都 是 一 個 ); 而 四 屬 性 之 中 另 外 兩 種 屬 性 在 三 張 牌 彼 此 之 間 完 全 不 同 ( 顏 色 分 別 為 紅 色 綠 色 紫 色 ; 網 底 分 別 為 實 心 空 心 線 條 ) * 上 述 兩 個 實 例 皆 符 合 SET 組 成 條 件 ( 二 ) 遊 戲 規 則 1. 由 發 牌 者 將 一 副 牌 洗 牌, 依 序 發 出 12 張 牌 並 亮 出 在 桌 面 上 排 成 矩 陣, 我 們 稱 之 為 桌 上 牌, 以 下 圖 為 例 : 2. 當 玩 家 從 桌 上 牌 辨 識 出 一 組 SET 時, 立 即 喊 : SET!, 若 其 所 得 SET 經 確 認 為 不 符 合 成 功 SET 之 條 件, 則 頇 將 此 3 張 牌 重 新 放 回 矩 陣 中 ; 反 之, 若 所 得 SET 經 確 認 後 為 符 合 成 功 組 成 SET 之 條 件, 則 獲 得 一 組 SET, 由 該 玩 家 取 走 3. 隨 後 再 由 發 牌 者 發 出 3 張 牌 加 入 桌 上 牌 ; 若 所 有 玩 家 皆 確 認 桌 上 牌 中 找 不 到 任 一 組 SET, 則 由 發 牌 者 再 發 3 張 牌 加 入 桌 上 牌, 直 到 有 玩 家 找 到 一 組 SET 為 止 4. 一 副 牌 全 發 完 且 所 有 玩 家 皆 無 法 再 組 成 SET 時, 看 誰 獲 得 最 多 的 SET 即 為 贏 家 二 名 詞 定 義 ( 一 )SET: 是 指 由 三 張 牌 配 對 成 一 組 成 功 的 SET ( 二 ) 桌 上 牌 : 遊 戲 過 程 中, 在 桌 上 已 翻 開 供 玩 家 配 對 的 牌 之 統 稱 ( 三 ) 配 對 類 型 : 將 所 有 配 對 的 型 態 分 類 歸 納 後 之 總 稱 ( 四 ) 母 牌 和 候 選 牌 : 欲 組 成 一 組 SET 時, 從 一 副 牌 中 任 選 兩 張 牌, 這 兩 張 任 選 的 牌 就 稱 為 母 牌 ; 而 欲 加 入 與 母 牌 一 起 配 對 的 第 三 張 牌, 則 稱 為 候 選 牌 3

三 目 的 一 : 探 討 如 何 把 一 副 81 張 SET 牌 恰 好 用 完 以 成 功 配 對 成 數 組 SET 一 如 何 把 一 副 81 張 牌 恰 好 用 完 以 成 功 配 對 成 數 組 SET? ( 一 ) 成 功 配 對 出 的 SET 的 組 合 內 容 有 哪 些? * 試 想 : 若 能 窮 盡 所 有 成 功 的 SET 配 對 類 型 也 許 就 能 幫 助 玩 家 有 效 辨 認 出 SET 並 進 行 配 對 以 嘗 試 錯 誤 法 實 際 玩 好 幾 回 合 的 SET 紙 牌 遊 戲, 分 析 並 歸 納 每 位 玩 家 手 上 SET 組 合 內 容, 發 現 不 見 得 能 窮 盡 所 有 SET 的 配 對 類 型 * 但 從 所 觀 察 到 的 現 象 中 可 歸 納 出 配 對 類 型 與 三 張 牌 彼 此 之 間 在 四 大 屬 性 中 有 多 少 屬 性 都 相 同 或 都 不 同 有 關, 且 一 副 牌 中 不 會 有 任 兩 張 牌 牌 面 上 的 四 大 屬 性 都 相 同 依 據 上 述 的 觀 察 與 歸 納, 提 出 以 三 張 牌 彼 此 之 間 所 具 備 的 四 大 屬 性 彼 此 之 間 有 N 個 都 不 同 做 為 將 SET 組 合 內 容 進 行 初 步 分 類 的 標 準 進 行 分 析, 也 許 就 能 窮 盡 所 有 SET 的 配 對 類 型 之 假 設 進 行 較 聚 焦 的 分 析 與 探 討 結 果 01: SET 的 組 合 內 容 依 據 以 三 張 牌 彼 此 之 間 所 具 備 的 四 大 屬 性 彼 此 之 間 有 N 個 都 不 同 做 為 標 準, 可 初 步 分 成 四 大 類 : 1D 2D 3D 4D 將 SET 的 組 合 內 容 初 步 分 成 四 大 類 : 1D 2D 3D 4D 後, 再 針 對 每 一 大 類 一 一 分 析, 例 如 :1D 表 示 四 大 屬 性 中 任 一 個 屬 性 在 三 張 牌 彼 此 之 間 都 不 同, 所 以 光 是 1D 又 可 再 細 分 出 1D 是 位 在 顏 色 不 同 形 狀 不 同 個 數 不 同 或 網 底 不 同 等 四 種 不 同 的 配 對 類 型 結 果 02: 依 據 上 述 針 對 1D 進 行 深 入 探 討 的 方 法, 以 此 類 推 針 對 2D 3D 4D 一 一 分 析, 可 再 分 別 區 分 出 : 1D 有 4 種 不 同 的 配 對 類 型 2D 有 6 種 不 同 的 配 對 類 型 3D 有 4 四 種 配 對 類 型 4D 只 有 1 種 配 對 類 型 * 綜 合 上 述 可 得 SET 的 組 合 內 容 共 有 4+6+4+1=15 種 配 對 類 型 ( 二 ) 把 一 副 81 張 牌 恰 好 用 完 可 成 功 配 對 出 多 少 組 SET? 此 遊 戲 所 用 的 一 副 紙 牌 為 何 總 共 有 81 張 牌? 觀 察 並 分 析 單 張 牌 的 牌 面 內 容 設 計 皆 由 四 大 屬 性 中 各 自 的 三 種 特 徵 元 素 相 互 配 對 所 構 成 的 推 演 方 式 一 在 配 對 SET 的 過 程 中, 分 析 三 張 牌 之 中 每 張 牌 的 選 擇 分 別 有 多 少 種 可 能 性 將 三 張 牌 各 自 配 對 時 所 具 有 的 所 有 選 擇 機 會 相 乘 所 得 之 所 有 結 果, 其 中 也 把 三 張 牌 排 列 順 序 不 同 的 配 對 結 果 也 考 慮 進 去 了, 故 需 再 把 同 樣 的 三 張 牌 因 排 列 順 序 而 視 為 不 同 情 況 的 因 素 抵 消 掉, 所 得 的 結 果 才 是 一 副 紙 牌 中 任 取 三 張 牌 且 其 中 每 張 牌 皆 依 組 成 SET 的 標 準 互 相 配 對 之 所 有 SET 組 合 情 況 將 上 述 兩 種 推 演 方 式 所 得 結 果 相 互 驗 證, 皆 得 出 相 同 的 研 究 結 果 : 一 副 牌 中 每 張 牌 可 相 互 配 對 成 SET 之 所 有 組 合 為 1080 種 從 一 副 81 張 牌 中 任 意 取 3 張 牌 且 每 一 張 牌 依 組 成 SET 標 準 互 相 配 對, 共 可 組 出 多 少 種 不 同 內 容 組 合 的 SET? 推 演 方 式 二 從 81 張 牌 中 任 選 一 張 牌 做 為 欲 形 成 一 組 SET 的 第 一 張 牌, 因 此 第 一 張 牌 共 有 81 種 可 能 性 ; 而 將 接 下 來 欲 與 第 一 張 牌 配 對 的 第 二 張 及 第 三 張 牌 當 作 是 一 對 牌 組, 因 此 便 可 將 其 餘 的 80 張 牌 兩 兩 一 對 共 可 配 對 成 40 對 的 牌 組 數 當 作 是 第 二 張 及 第 三 張 牌 所 形 成 牌 組 的 所 有 可 能 性 共 40 種 由 於 將 81 種 第 一 張 的 可 能 性 和 40 種 第 二 和 第 三 張 所 形 成 牌 組 的 可 能 性, 交 互 相 乘 所 得 的 所 有 結 果 會 多 包 含 了 構 成 SET 的 三 張 牌 中 任 取 兩 張 的 排 列 順 序, 故 將 之 消 掉 後, 才 是 一 副 紙 牌 中 任 取 三 張 牌 且 其 中 每 張 牌 皆 依 組 成 SET 的 標 準 互 相 配 對 之 所 有 SET 組 合 情 況 ( 三 ) 操 作 上 如 何 能 讓 所 有 玩 家 恰 好 把 81 張 牌 全 用 完, 形 成 數 組 SET? * 試 想 : 先 前 所 找 出 的 15 種 配 對 類 型 可 能 是 解 題 的 關 鍵 假 設 一 : 在 遊 戲 過 程 中 所 有 玩 家 從 頭 到 尾 皆 使 用 同 一 種 配 對 類 型, 也 許 可 把 81 張 SET 牌 全 用 完 以 形 成 數 組 SET 牌 組 * 實 作 : 用 同 一 種 配 對 類 型 去 組 牌, 組 牌 成 功 便 以 三 張 牌 為 單 位 放 在 在 每 一 橫 列 上, 可 把 81 張 牌 全 部 用 完 並 排 出 27 組 SET * 試 驗 : 是 否 每 一 種 配 對 類 型 皆 可 在 遊 戲 中 單 獨 使 用 即 可 將 81 張 牌 全 用 完 以 形 成 27 組 SET? * 結 果 01: 的 確 每 一 種 配 對 類 型 皆 可 在 遊 戲 中 單 獨 使 用 即 可 將 81 張 牌 全 用 完 以 形 成 27 組 SET 結 果 02: 在 小 九 宮 格 內 發 現 有 四 條 組 牌 軌 跡 所 形 成 的 胚 騰 發 現 小 九 宮 裡 的 軌 跡 也 可 運 用 到 大 九 宮 上 面 假 設 二 : 操 作 上 先 配 對 出 15 種 配 對 類 型, 其 餘 的 牌 可 依 循 某 種 規 律 或 配 對 類 型 的 分 布 次 數 來 進 行 配 對, 也 許 就 不 會 剩 牌 了 4

四 目 的 二 : 在 SET 遊 戲 過 程 中 探 討 一 組 SET 出 現 的 機 率 找 出 出 現 一 組 SET 的 機 率 目 的 方 法 解 決 問 題 探 討 在 SET 遊 戲 過 程 中 機 率 的 變 化 探 討 桌 上 牌 發 到 幾 張 才 100% 出 現 一 組 SET 觀 察 尋 找 關 係 或 規 律, 並 為 其 命 名 與 下 定 義 推 演 公 式 答 案 發 現 桌 上 牌 發 到 12 張 並 不 會 100% 出 現 一 組 SET 桌 上 的 牌 ( 候 選 牌 數 - 候 選 牌 被 母 牌 組 重 複 的 次 數 )/ 翻 牌 數 21 張 桌 上 牌 100% 出 現 一 組 SET 因 此 思 考 如 何 探 討 機 率 母 牌 和 母 牌 組 一 張 桌 上 牌 = 一 張 母 牌 我 們 發 現 一 組 SET 組 陳 的 重 點 為 候 選 牌 兩 張 母 牌 = 一 個 母 牌 組 ; 一 個 母 牌 組 需 要 一 張 候 選 牌 我 們 試 想 在 翻 牌 堆 中 抽 到 候 選 牌 的 機 率 桌 上 牌 但 後 來 發 現 候 選 牌 會 重 複, 因 此 要 扣 除 重 複 的 候 選 牌 桌 上 亮 出 的 牌 與 母 牌 組 配 對 的 牌 候 選 牌 可 與 一 個 母 牌 組 配 對 成 一 組 SET 的 牌 候 選 牌 被 母 牌 組 重 複 配 對 的 次 數 兩 個 以 上 的 母 牌 組 同 時 需 要 同 一 張 牌 5

伍 研 究 結 果 一. 目 的 一 : 探 討 如 何 把 一 副 81 張 牌 恰 好 用 完 以 組 成 數 組 SET 當 我 們 拿 出 一 副 牌 開 始 以 SET 的 規 則 玩 牌 時, 經 過 多 次 的 操 作, 總 是 無 法 完 全 將 81 張 牌 全 數 配 對 完, 於 是 我 們 企 圖 在 遊 戲 結 束 時 讓 81 張 牌 全 數 配 對 完 ( 一 )SET 配 對 組 合 的 內 容 與 哪 些 因 素 有 關? SET 共 有 多 少 種 不 同 的 配 對 類 型? 1 從 實 作 中 觀 察 分 析 與 歸 納, 提 出 有 根 據 的 猜 想 實 際 玩 SET 紙 牌 遊 戲, 分 析 並 歸 納 每 位 玩 家 手 上 SET 組 合 內 容, 舉 例 如 下 : 以 某 次 遊 戲 結 束 的 局 勢 為 例, 說 明 : 一 副 牌 全 發 完 且 剩 下 的 桌 上 牌, 無 法 再 配 對 出 任 何 一 組 SET, 即 為 遊 戲 結 束 ; 此 時 桌 上 牌 的 情 況 : 此 時, 蒐 集 並 分 析 每 位 玩 家 手 上 所 有 SET 的 組 合 情 況 : 顏 色 形 狀 個 數 網 底 形 狀 個 數 顏 色 網 底 形 狀 個 數 顏 色 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 (1) 三 張 牌 都 不 同 : 顏 色 形 狀 網 底 (2) 三 張 牌 都 相 同 : 個 數 顏 色 形 狀 網 底 個 數 顏 色 形 狀 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 無 顏 色 形 狀 個 數 (2) 三 張 牌 都 相 同 : 網 底 (1) 三 張 牌 都 不 同 : 顏 色 形 狀 個 數 (2) 三 張 牌 都 相 同 : 網 底 顏 色 個 數 網 底 形 狀 顏 色 形 狀 網 底 個 數 形 狀 個 數 網 底 顏 色 網 底 顏 色 個 數 形 狀 顏 色 個 數 形 狀 網 底 無 6

顏 色 形 狀 網 底 個 數 顏 色 形 狀 網 底 個 數 無 顏 色 形 狀 網 底 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 (1) 三 張 牌 都 不 同 : 網 底 顏 色 形 狀 個 數 顏 色 形 狀 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 形 狀 顏 色 個 數 網 底 顏 色 網 底 形 狀 個 數 (1) 三 張 牌 都 不 同 : 顏 色 形 狀 網 底 (2) 三 張 牌 都 相 同 : 個 數 發 現 : (1) 透 過 此 種 方 法 不 能 確 定 我 們 是 否 歸 納 出 所 有 SET 的 配 對 類 型 (2) 從 所 觀 察 到 的 現 象 中 可 歸 納 出 配 對 類 型 與 三 張 牌 彼 此 之 間 在 四 大 屬 性 中 有 多 少 屬 性 都 相 同 或 都 不 同 有 關, 且 一 副 牌 中 不 會 有 任 兩 張 牌 牌 面 上 的 四 大 屬 性 都 相 同 2. 綜 合 上 述 提 出 猜 想 : 配 對 類 型 與 三 張 牌 彼 此 之 間 四 大 屬 性 的 異 同 所 決 定, 若 欲 窮 盡 所 有 配 對 類 型 內 容 之 種 類, 我 們 可 從 下 列 兩 個 角 度 著 手 分 析 :(1) 以 任 意 個 數 的 屬 性 都 不 同 分 類, 作 為 SET 的 配 對 類 型 窮 盡 的 起 點 ;(2) 在 四 種 屬 性 之 中, 分 別 取 N 種 屬 性 都 不 同 做 為 配 對 類 型 窮 盡 的 標 準 (1) 途 徑 一 : 以 任 意 個 數 的 屬 性 都 不 同 分 類, 再 分 項 探 討 列 舉 : 以 三 張 牌 彼 此 之 間 四 屬 性 中 任 意 屬 性 都 不 同 為 標 準, 進 行 配 對 類 型 之 窮 盡 列 舉 ; 三 張 牌 彼 此 的 特 徵 元 素 完 全 相 同 用 S (the same) 來 表 示, 完 全 不 同 用 D (difference) 表 示, 依 四 個 屬 性 分 析 歸 納 後 並 依 序 命 名, 如 下 表 : 不 同 配 對 類 型 的 配 對 類 型 的 命 名 顏 色 形 狀 個 數 網 底 SET 示 例 第 1 種 D S S S 1D 第 2 種 S D S S 第 3 種 S S D S 第 4 種 S S S D 第 5 種 D D S S 第 6 種 S D D S 2D 第 7 種 S S D D 第 8 種 D S S D 第 9 種 D S D S 第 10 種 S D S D 7

第 11 種 D D D S 3D 第 12 種 S D D D 第 13 種 D S D D 第 14 種 D D S D 4D 第 15 種 D D D D 發 現 : A. 由 上 表 可 知,SET 的 組 合 內 容 共 可 分 類 為 15 種 不 同 的 配 對 類 型 B. 若 以 四 種 屬 性 之 中 在 三 張 牌 彼 此 之 間 分 別 有 都 相 同 或 都 不 同 共 兩 種 情 況, 那 麼 我 們 可 以 用 2 4 =16 所 得 結 果 表 示 所 有 的 配 對 類 型, 但 是 這 樣 所 得 的 16 種 配 對 類 型 會 包 含 四 種 屬 性 在 三 張 牌 彼 此 之 間 都 相 同 的 情 況 ( 此 情 況 即 為 三 張 牌 為 重 複 的 同 一 張 牌 ), 又 因 一 副 牌 是 由 81 張 完 全 沒 有 重 複 的 紙 牌 所 組 成, 故 將 16 種 配 對 類 型 減 掉 此 種 三 張 牌 為 重 複 的 同 一 張 牌 之 情 況 :16-1=15, 共 15 種 配 對 類 型 C. 前 項 A. B. 所 得 結 果 可 相 互 驗 證 (2) 途 徑 二 : 在 三 張 牌 所 共 有 的 四 種 屬 性 之 中, 分 別 取 N 種 屬 性 都 不 同 做 為 配 對 類 型 窮 盡 的 標 準, 進 行 計 算 : 四 個 屬 性 當 中 任 取 數 個 屬 性 都 不 同 做 為 三 張 牌 配 對 的 標 準, 進 行 配 對, 計 算 結 果 如 下 : 四 種 屬 性 之 中 任 取 其 中 N 種 屬 性 在 三 張 牌 彼 此 間 都 不 同, 做 為 配 對 類 型 的 分 類 標 準 : 情 況 一 情 況 二 情 況 三 情 況 四 顏 色 形 狀 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 顏 色 形 狀 個 數 網 底 1D 2D 3D 4D 在 四 種 屬 性 中 任 取 一 種 屬 性 之 所 有 組 合 情 況 : =4 * 故 1D 為 四 種 在 四 種 屬 性 中 任 取 二 種 屬 性 不 同 之 所 有 組 合 情 況 : =6 * 故 2D 為 六 種 四 種 屬 性 中 任 取 三 種 屬 性 不 同 之 所 有 組 合 情 況 : =4 * 故 3D 為 四 種 四 種 屬 性 中 任 取 四 種 屬 性 不 同 之 所 有 組 合 情 況 : =4 * 故 4D 為 一 種 發 現 : A. 在 三 張 牌 所 共 有 的 四 種 屬 性 之 中, 分 別 取 N 種 屬 性 都 不 同 做 為 配 對 類 型 窮 盡 的 標 準, 進 行 計 算, 由 上 述 表 格 分 析 可 知 四 大 類 表 準 分 別 包 括 了 四 種 六 種 四 種 一 種, 共 15 種 不 同 的 組 合 情 況, 故 SET 共 可 分 8

為 15 種 配 對 類 型 B. 綜 合 途 徑 一 的 研 究 發 現 相 比 較, 與 本 途 徑 所 得 之 15 種 配 對 類 型 結 果 相 同 3. 結 果 : 綜 合 比 較 實 作 觀 察 所 歸 納 的 結 果 途 徑 一 與 途 徑 二 所 得 結 果, 皆 可 發 現 SET 配 對 類 型 是 由 三 張 牌 的 四 屬 性 中 任 取 其 中 N 個 屬 性 不 同 來 做 初 步 決 定, 以 及 究 竟 是 哪 些 屬 性 不 同 做 最 後 分 類 的 決 定, 並 且 進 一 步 獲 得 所 有 SET 的 組 合 情 況 共 可 分 為 15 種 配 對 類 型 ( 二 ) 把 一 副 81 張 牌 恰 好 用 完 可 成 功 配 對 出 多 少 組 SET? 欲 回 答 此 問 題, 我 們 想 從 三 個 方 向 提 問 並 著 手 解 決, 以 達 分 進 合 擊 之 效, 如 下 : 1. 一 副 牌 為 何 是 由 81 張 牌 所 構 成? 從 我 們 亮 出 81 張 牌 進 行 系 統 化 的 分 類 編 碼, 可 觀 察 到 一 副 牌 的 牌 面 內 容 設 計, 每 張 牌 皆 由 四 種 屬 性 共 同 建 構 成, 但 是 每 張 牌 彼 此 之 間 不 相 同 是 因 為 單 張 牌 是 由 每 種 屬 性 各 自 的 三 種 特 徵 元 素 中 取 一 種 互 相 配 對 構 成 的, 以 樹 狀 圖 表 示, 如 下 : 發 現 : (1) 由 屬 性 顏 色 中 任 一 特 徵 元 素 的 位 置 ( 紅 綠 紫 ) 開 始 出 發, 連 線 到 屬 性 形 狀 中 任 一 特 徵 元 素 的 位 置 ( 膠 囊 波 浪 菱 形 ) 屬 性 個 數 任 一 特 徵 元 素 的 位 置 ( 一 個 兩 個 三 個 ) 最 後 連 線 到 屬 性 網 底 任 一 特 徵 元 素 的 位 置 ( 實 心 空 心 線 條 ), 便 形 成 一 條 路 線 (2) 從 樹 狀 圖 中 可 得 81 條 路 線, 且 每 一 條 路 線 在 過 程 中 所 配 對 的 的 特 徵 元 素 最 9

後 會 形 成 一 張 牌, 且 每 一 條 路 線 代 表 不 同 的 牌 面 組 合, 分 別 代 表 1 張 牌, 故 一 副 牌 共 有 81 張 不 同 的 牌 * 結 果 : 簡 言 之, 單 張 牌 是 由 顏 色 形 狀 個 數 網 底 四 種 屬 性 各 具 備 的 三 種 特 徵 元 素 之 一, 彼 此 配 對 形 成 3x3x3x3=3 4 =81 張 不 同 的 牌 2. 從 一 副 81 張 牌 中 任 意 取 3 張 牌 且 每 張 牌 依 組 成 SET 的 條 件 互 相 配 對, 共 可 組 出 多 少 種 不 同 內 容 組 合 的 SET? (1) 配 對 SET 時 觀 察 所 得 的 規 律 : 一 副 牌 中 的 81 張 牌, 每 張 皆 可 和 其 他 任 兩 張 牌 配 對 成 一 組 SET 拿 取 第 一 張 牌 後, 可 隨 意 決 定 第 二 張 為 何, 但 最 後 第 三 張 則 是 決 定 此 組 合 是 否 符 合 成 為 SET 條 件 的 關 鍵 (2) 運 用 所 得 的 規 律, 產 生 兩 種 推 演 方 式 的 假 想 如 下 : A. 推 演 方 式 一 : 一 副 牌 抽 出 第 一 張 後, 抽 第 二 張 牌 時 有 80 種 可 能 第 二 張 一 旦 被 抽 出, 符 合 組 成 SET 條 件 的 第 三 張 牌 便 只 有 一 種 可 能, 因 第 三 張 牌 必 頇 與 前 面 兩 張 的 牌 的 屬 性 完 全 相 同 或 完 全 不 同, 故 只 有 一 種 可 能 可 作 為 與 之 配 對 的 第 三 張 牌, 算 式 :81x80x1=6480 將 三 張 牌 各 自 配 對 時 所 具 有 的 所 有 選 擇 機 會 相 乘 所 得 之 所 有 結 果, 其 中 也 把 三 張 牌 排 列 順 序 不 同 的 配 對 結 果 也 考 慮 進 去 了, 故 需 再 把 同 樣 的 三 張 牌 因 排 列 順 序 而 視 為 不 同 情 況 的 因 素 抵 消 掉, 所 得 的 結 果 才 是 一 副 紙 牌 中 任 取 三 張 牌 且 其 中 每 張 牌 皆 依 組 成 SET 的 標 準 互 相 配 對 之 所 有 SET 組 合 情 況, 算 式 :6480 (3x2x1)=1080 * 結 果 : 一 副 牌 中 每 張 牌 能 有 1080 種 可 配 對 成 SET 的 組 合 推 演 方 式 二 : 從 81 張 牌 中 任 選 一 張 牌 做 為 欲 形 成 一 組 SET 的 第 一 張 牌, 因 此 第 一 張 牌 共 有 81 種 可 能 性 ; 而 將 接 下 來 欲 與 第 一 張 牌 配 對 的 第 二 張 及 第 三 張 牌 當 作 是 一 對 牌 組, 因 此 便 可 將 其 餘 的 80 張 牌 兩 兩 一 對 共 可 配 對 成 40 對 的 牌 組 數 當 作 是 第 二 張 及 第 三 張 牌 所 形 成 牌 組 的 所 有 可 能 性 共 40 種 由 於 將 81 種 第 一 張 的 可 能 性 和 40 種 第 二 和 第 三 張 所 形 成 牌 組 的 可 能 性, 交 互 相 乘 所 得 的 所 有 結 果 會 多 包 含 了 構 成 SET 的 三 張 牌 中 任 取 兩 張 的 排 列 順 序, 故 將 之 消 掉 後, 才 是 一 副 紙 牌 中 任 取 三 張 牌 且 其 中 每 張 牌 皆 依 組 成 SET 的 標 準 互 相 配 對 之 所 有 SET 組 合 情 況, 故 算 式 : (81 40) =3240 =1080 10

* 結 果 : 一 副 牌 中 每 張 牌 能 有 1080 種 可 配 對 成 SET 的 組 合 (3) 將 上 述 兩 種 推 演 方 式 所 得 結 果 相 互 驗 證, 皆 得 出 相 同 的 研 究 結 果 : 一 副 牌 中 每 張 牌 可 相 互 配 對 成 SET 之 所 有 組 合 為 1080 種 3. 操 作 上, 在 遊 戲 中 如 何 恰 好 能 把 一 副 81 張 牌 全 用 完, 形 成 數 組 SET? 假 設 一 : 在 遊 戲 過 程 中 所 有 玩 家 從 頭 到 尾 皆 使 用 同 一 種 配 對 類 型 可 以 把 81 張 SET 牌 全 用 完 形 成 數 組 SET 實 作 試 驗 : 用 同 一 種 配 對 類 型 把 81 張 牌 全 部 用 完 在 橫 列 上 組 牌, 看 是 否 在 遊 戲 中 單 獨 使 用 同 一 種 配 對 類 型 皆 可, 即 可 把 81 張 SET 牌 全 用 完 以 配 對 成 27 組 SET? * 結 果 : 每 一 種 配 對 類 型 皆 能 單 獨 使 用 將 一 副 牌 81 張 牌 全 用 完, 形 成 27 組 SET 第 1 種 配 對 類 型 第 2 種 配 對 類 型 第 3 種 配 對 類 型 第 4 種 配 對 類 型 第 5 種 配 對 類 型 第 6 種 配 對 類 型 第 7 種 配 對 類 型 第 8 種 配 對 類 型 第 9 種 配 對 類 型 第 10 種 配 對 類 型 第 11 種 配 對 類 型 第 12 種 配 對 類 型 第 13 種 配 對 類 型 第 14 種 配 對 類 型 第 15 種 配 對 類 型 發 現 : (1) 每 一 種 配 對 類 型 皆 可 各 自 用 完 81 張 牌, 配 對 成 27 組 不 重 複 的 SET, 形 成 大 九 宮 格 (2) 進 一 步 將 大 九 宮 的 定 位 命 名, 方 便 觀 察 : 11

以 第 1 種 配 對 類 型 全 配 完 的 大 九 宮 格 為 例, 我 們 將 其 分 割 為 九 個 小 九 宮 格, 命 名 一 區 ~ 九 區, 如 下 : (3) 再 從 上 述 十 五 種 同 一 種 類 型 配 對 的 記 錄 中, 取 一 小 九 宮 格, 觀 察 小 範 圍 內 SET 的 配 對 情 形 : A. 從 一 區 的 小 九 宮 格 找 出 SET 配 對 的 方 式 : 在 小 九 宮 裡, 發 現 橫 ( 藍 色 線,3 組 ) 直 ( 橙 色 線 3 組 ) 及 斜 ( 虛 線,2 組 ) 線 段 所 連 的 3 張 牌 都 成 為 SET 若 把 同 一 小 九 宮 格 複 製 往 下 移, 還 可 以 找 出 在 小 九 宮 裡 的 4 組 SET, 如 下 圖 紫 色 線 條 所 示 : 故 可 算 出 小 九 宮 格 內 能 排 出 12 組 SET 12

B. 找 出 小 九 宮 格 中 之 SET 組 牌 軌 跡 若 只 以 左 上 角 單 一 張 牌 為 基 準, 在 小 九 宮 內, 它 能 組 成 4 組 SET, 其 組 牌 軌 跡, 如 下 圖 : 鎖 定 小 九 宮 格 內 4 組 SET 分 別 形 成 的 組 牌 軌 跡, 再 依 小 九 宮 格 內 的 定 位, 可 再 找 出 9 種 軌 跡 模 式, 軌 跡 模 式 之 間 具 有 下 列 特 性 存 在 : a. 鏡 射 : 除 了 軌 跡 模 式 5 外, 軌 跡 模 式 4 和 軌 跡 模 式 6 為 一 組 線 對 稱, 軌 跡 模 式 2 和 軌 跡 模 式 8 為 一 組 線 對 稱, 而 軌 跡 模 式 1 軌 跡 模 式 3 軌 跡 模 式 9 軌 跡 模 式 7 則 兩 兩 互 為 線 對 稱 b. 經 過 剛 體 運 動 ( 平 移 鏡 射 旋 轉 ) 的 檢 驗, 可 歸 納 出 三 種 不 同 的 軌 跡 模 式 : C. 同 一 種 配 對 類 型 組 成 小 九 宮 格 所 衍 伸 出 的 他 種 配 對 類 型 之 情 形 使 用 同 一 種 配 對 類 型 形 成 一 個 小 九 宮 格, 鎖 定 此 小 九 宮 格 進 行 觀 察, 可 發 現 除 了 原 本 的 同 一 種 配 對 類 型 在 每 一 橫 列 上 之 外, 還 可 發 現 有 其 他 種 配 對 類 型 分 別 在 直 行 上 與 對 角 線 上 在 每 一 種 配 對 類 型 的 基 本 型 中, 除 自 己 本 身 的 配 對 類 型 外, 還 出 現 另 外 兩 種 配 對 類 型 例 如 : 第 15 種 配 對 類 型 的 小 九 宮 格 中 還 出 現 了 第 3 種 和 第 14 種 配 對 類 型 13

(4) 檢 視 小 九 宮 格 內 的 組 牌 軌 跡 能 否 在 在 大 九 宮 格 中 ( 跨 區 ) 組 出 SET A. 組 牌 軌 跡 在 大 九 宮 的 SET 路 徑 a. 使 用, 鎖 定 一 區 1 六 區 和 八 區 組 成 的 SET 組 牌 軌 跡 : 選 第 二 張 牌 時 可 任 意 選 擇, 但 第 二 張 牌 抽 完 時, 第 三 張 牌 已 經 被 決 定 了, 如 下 圖 所 示 鎖 定 一 之 1 為 例, 不 固 定 代 表 那 張 牌 可 在 六 區 內 任 選 ; 若 選 了 六.5, 即 固 定 以 八.9 配 成 SET b. 使 用, 鎖 定 一 區 1 四 區 和 七 區 組 成 的 SET 組 牌 軌 跡 : c. 使 用, 鎖 定 一 區 1 和 五 九 區 組 成 的 SET 組 牌 軌 跡 : 14

d. 使 用, 鎖 定 一 區 1 和 二 三 區 組 成 的 SET 組 牌 軌 跡 : 綜 合 : 上 述 的 組 牌 軌 跡 內 的 對 應 會 出 現 相 同 位 置 的 配 對 組 合 : ( 四 1, 七 1) 對 應 ( 六 1, 八 1) ( 四 2, 七 3) 對 應 ( 六 3, 八 2) ( 四 4, 七 7) 對 應 ( 六 7, 八 4) ( 四 5, 七 9) 對 應 ( 六 9, 八 5) ( 四 6, 七 8) 對 應 ( 六 8, 八 6) 發 現 : 1. 它 的 區 域 位 置 可 任 意 調 換 但 剩 下 的 兩 張 母 牌 組 在 大 九 宮 的 編 號 路 徑 不 變 2. 小 九 宮 格 的 組 牌 規 律 可, 運 用 到 大 九 宮 格 上 面! B. 融 合 各 種 組 牌 規 律 配 對 出 新 SET 在 大 九 宮 格 中 每 個 小 九 宮 格 和 其 他 小 九 宮 格 的 牌, 也 可 以 依 的 組 牌 軌 跡 與 其 他 小 九 宮 格 的 牌, 按 旋 轉 線 對 稱 等 規 律 性, 可 再 配 成 40 組 新 的 SET, 如 下 圖 : 發 現 : 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 的 胚 騰 A. 軌 跡 模 式 1 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 15

若 鎖 定 小 九 宮 格 的 一 區 -1, 將 小 九 宮 格 內 部 組 成 一 組 SET 的 路 線 放 到 大 九 宮 格 上 面 依 樣 畫 葫 蘆, 則 大 九 宮 和 小 九 宮 組 成 一 組 SET 的 路 線 會 相 同 B. 軌 跡 模 式 2 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 C. 軌 跡 模 式 3 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 D. 軌 跡 模 式 4 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 E. 軌 跡 模 式 5 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 16

F. 軌 跡 模 式 6 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 G. 軌 跡 模 式 7 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 H. 軌 跡 模 式 8 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 I. 軌 跡 模 式 9 在 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 所 形 成 的 模 式 發 現 一 : 從 上 述 九 個 小 九 宮 格 與 大 九 宮 格 的 軌 跡 模 式 比 較 圖 中 發 現 17

小 九 宮 格 的 組 牌 軌 跡 模 式 可 運 用 到 大 九 宮 格 的 組 牌 軌 跡 模 式, 產 生 胚 騰 發 現 二 : 觀 察 大 九 宮 格 中 的 每 一 小 九 宮 格, 分 析 該 範 圍 內 SET 的 配 對 類 型, 得 知 不 需 要 從 頭 到 尾 只 用 同 一 種 配 對 類 型 才 能 將 一 副 牌 全 用 完 以 配 成 27 組 SET! 發 現 三 : 可 應 用 組 牌 軌 跡 做 為 新 的 研 究 工 具 - 換 牌 法 1. 以 小 九 宮 為 單 位 換 牌 * 分 析 與 說 明 : 我 們 以 第 二 種 配 對 類 型 為 例, 首 先 把 大 九 宮 分 成 九 個 小 九 宮, 在 同 一 種 配 對 類 型 的 小 九 宮 中 使 用 軌 跡 模 式 換 牌 設 想 有 九 個 小 九 宮 會 有 9 種 換 法, 但 實 際 操 作 只 有 換 出 7 種 不 同 的 配 對 類 型 (1) 首 先, 先 把 第 二 種 配 對 類 型 的 大 九 宮 劃 分 成 九 個 小 九 宮 (2) 然 後 處 理 圖 一, 不 用 換 牌 就 有 第 二 種 配 對 類 型 (3) 利 用 \ 軌 跡 換 出 第 六 種 配 對 類 型 (4) 利 用 \ 軌 跡 換 出 第 三 種 配 對 類 型 18

(5) 利 用 3 個 小 九 宮 彼 此 之 間 的 換 牌 所 排 出 第 四 種 配 對 類 型 (6) 圖 五 是 利 用 圖 四 使 用 \ 軌 跡 所 排 出 的 第 十 種 配 對 類 型 (7) 仿 圖 二 利 用 剩 餘 的 牌 組 成 小 九 宮, 為 第 六 種 配 對 類 型 (8) 利 用 3 個 小 九 宮 彼 此 之 間 的 換 牌 排 出 第 七 種 配 對 類 型 (9) 用 \ 軌 跡 所 排 出 來 的 第 十 二 種 配 對 類 型 (10) 利 用 剩 下 的 牌 組 成 一 個 小 九 宮 排 出 第 七 種 配 對 類 型 19

因 此, 大 九 宮 最 多 可 換 出 七 種 不 同 的 配 對 類 型, 如 下 圖 : 發 現 三 : 從 上 表 可 知 在 大 九 宮 格 內 不 僅 僅 只 能 有 一 種 SET 的 配 對 類 型, 還 能 透 過 小 九 宮 格 換 牌 法 或 大 九 宮 格 換 牌 法 產 生 在 同 一 大 九 宮 格 中 出 現 不 同 種 配 對 類 型 綜 合 : 先 前 在 目 的 二 的 研 究 問 題 ( 二 ) 如 何 在 遊 戲 過 程 中, 讓 所 有 玩 家 恰 好 能 把 一 副 81 張 的 SET 牌 全 用 完, 形 成 數 組 SET? 一 連 串 探 討 所 引 發 的 好 奇 : 難 道 只 能 從 頭 到 尾 用 同 一 種 配 對 類 型 才 能 將 一 副 牌 全 用 完 配 成 27 組 SET 嗎? 也 可 在 此 獲 致 解 答 : * 欲 將 一 副 牌 全 用 完 配 出 27 組 SET, 並 非 只 能 使 用 單 一 一 種 配 對 類 型, 還 可 同 時 使 用 他 種 配 對 類 型 ; 目 前 我 們 確 認 由 27 組 SET 所 形 成 大 九 宮 格 內 可 同 時 出 現 的 配 對 類 型 種 類 最 多 為 七 種 二. 目 的 二 : 探 討 在 SET 遊 戲 過 程 中 機 率 的 變 化 ( 一 ) 玩 牌 時, 發 12 張 桌 上 牌 時, 會 出 現 一 組 SET 的 機 率 有 多 少? ( 二 ) 至 少 發 出 多 少 張 桌 上 牌 才 會 必 定 出 現 一 組 SET? * 試 想 : 上 述 所 提 的 兩 個 問 題, 似 乎 都 能 從 觀 察 與 聚 焦 探 討 一 副 牌 中 隨 機 取 走 的 N 張 牌 中 出 現 一 組 SET 的 機 率 而 獲 致 解 答 1. 首 先, 縮 小 範 圍 探 討 - 當 隨 機 發 出 3 張 桌 上 牌 時, 至 少 會 出 現 一 組 SET 的 機 率 配 對 一 組 SET 需 要 3 張 牌, 配 對 一 組 SET 時 的 第 一 張 和 第 二 張 可 任 選, 但 第 三 張 牌 是 特 定 的, 需 視 前 兩 張 所 形 成 的 母 牌 組 配 對 類 型 為 何 才 能 決 定 那 關 鍵 的 第 三 張 牌 一 副 牌 共 有 81 張 牌, 隨 機 抽 出 2 張 牌 後 成 為 桌 上 牌 之 後, 可 以 跟 它 配 對 的 牌 只 有 一 張, 此 時 尚 有 79 張 牌 可 抽 出 來 做 為 第 三 張 桌 上 牌, 因 此, 抽 中 這 張 可 被 配 對 的 牌 的 機 率 是 1/79 為 後 續 探 討 方 便, 將 桌 上 牌 稱 為 母 牌, 桌 上 牌 的 個 數 稱 為 母 牌 數 ; 發 牌 者 預 備 發 出 的 牌 稱 為 翻 牌, 發 牌 者 手 上 所 有 翻 牌 的 總 數 稱 為 翻 牌 數 ; 可 與 母 牌 配 對 成 功 的 SET 牌 組 的 特 定 牌 稱 為 候 選 牌, 則 與 可 母 牌 配 對 成 SET 牌 組 的 特 定 牌 總 數 稱 為 候 選 牌 數 桌 上 牌 中 任 2 張 牌 可 以 先 配 對 的 母 牌, 稱 為 母 牌 組 2. 進 一 步 擴 大 觀 察 - 隨 機 發 出 6 桌 上 牌 時 至 少 會 出 現 一 組 SET 的 情 況 以 下 圖 6 張 桌 上 牌 的 情 形 為 例 : 20

若 以 為 母 牌 組, 則 其 候 選 牌 為 ; 且 另 一 母 牌 組, 也 是 以 為 候 選 牌, 因 此 候 選 牌 被 稱 為 共 用 的 候 選 牌, 而 在 桌 上 牌 中 出 現 的 共 用 的 候 選 牌 之 總 個 數 稱 為 候 選 牌 被 母 牌 組 共 用 配 對 的 總 數 發 現 : 候 選 牌 數 由 母 牌 組 的 個 數 決 定 的 * 分 析 與 說 明 : 一 組 SET 牌 組 由 三 張 牌 組 成, 故 一 開 始 都 由 抽 第 三 張 牌 開 始 計 算, 依 序 算 出 翻 牌 中 組 成 SET 牌 組 的 機 率 因 每 一 母 牌 組 都 需 搭 配 另 一 張 牌 才 能 組 成 一 組 SET 牌 組, 故 翻 牌 數 中 會 有 一 定 數 量 的 候 選 牌 數, 而 候 選 牌 數 也 會 因 母 牌 數 增 多 而 逐 漸 增 加 但 也 有 可 能 有 兩 對 母 牌 組 同 時 需 要 同 一 張 牌, 而 出 現 共 用 的 候 選 牌 數 由 於 原 本 候 選 牌 數 當 中 包 含 了 共 用 的 候 選 牌 數 已 包 括 候 選 牌 被 母 牌 組 共 用 的 次 數 重 複, 故 將 多 被 重 複 計 算 到 的 候 選 牌 數 減 去 翻 牌 中 組 成 SET 的 機 率 是 翻 牌 數 中 出 現 候 選 牌 數 的 機 率, 其 算 法 : ( 候 選 牌 數 - 候 選 牌 多 被 重 複 計 算 的 總 數 ) 翻 牌 數 3. 綜 合 上 述 以 表 列 出 抽 第 N 張 牌 組 成 SET 的 機 率 4 種 屬 性,3 種 特 徵 元 素, 總 共 有 81 張 牌 翻 牌 被 抽 中, 候 選 牌 多 被 桌 上 牌 候 選 牌 組 成 SET 的 機 率 正 在 抽 第 N 張 牌 翻 牌 數 重 複 計 算 的 數 數 結 果 總 數 算 式 (%) 2 3 79 1 0 (1-0)/79 1.27 3 4 78 3 0 (3-0)/78 3.85 4 5 77 6 0 (6-0)/77 7.79 5 6 76 10 0 (10-0)/76 13.16 6 7 75 15 1 (15-1)/75 18.67 7 8 74 21 3 (21-3)/74 24.32 8 9 73 28 6 (28-6)/73 30.14 9 10 72 36 6 (36-6)/72 41.67 10 11 71 45 9 (45-9)/71 50.70 11 12 70 55 14 (55-14)/70 58.57 12 13 69 66 22 (66-22)/69 63.77 13 14 68 78 27 (78-27)/68 75.00 14 15 67 91 37 (91-37)/67 80.60 15 16 66 105 47 (105-47)/66 87.88 16 17 65 120 59 (120-59)/65 93.80 17 18 64 136 75 (136-75)/64 95.31 18 19 63 153 92 (153-92)/63 96.83 19 20 62 171 110 (171-110)/62 98.39 20 21 61 190 129 (190-129)/61 100.00 21

結 果 : 1. 遊 戲 時, 隨 機 發 12 張 桌 上 牌 時, 會 出 現 一 組 SET 的 機 率 有 58.57% 2. 至 少 發 出 21 張 桌 上 牌 才 會 必 定 出 現 一 組 SET 陸 結 論 一 探 討 如 何 把 一 副 81 張 的 牌 恰 好 用 完 以 組 成 數 組 成 功 的 SET ( 一 ) 一 副 81 張 的 SET 牌 可 利 用 同 一 種 配 對 類 型 配 對 完 ( 二 ) 一 副 81 張 的 SET 牌 可 利 用 軌 跡 和 6 張 換 牌 法 上 中 換 出 最 多 七 種 配 對 類 型 配 對 完 ( 三 ) 在 大 九 宮 內 一 次 可 利 用 全 部 15 種 配 對 類 型 把 81 張 牌 全 數 配 完, 而 將 其 配 對 所 形 成 的 所 有 小 九 宮 中 最 多 可 出 現 兩 條 軌 跡 二 在 SET 遊 戲 過 程 中 探 討 SET 出 現 的 機 率 ( 一 ) 計 算 出 現 一 組 SET 的 機 率 之 計 算 公 式 :( 候 選 牌 數 - 候 選 牌 被 重 複 配 對 的 次 數 )/ 翻 牌 數 ( 二 ) 抽 到 第 21 張 牌 會 100% 出 現 一 組 SET, 也 就 是 說 隨 機 抽 21 張 牌 至 少 會 出 現 一 組 SET 柒 參 考 資 料 及 其 他 一 遊 戲 物 件 源 自 Marsha Jean Falco 於 1974 所 發 明 的 SET 紙 牌 遊 戲 並 創 立 了 SET Enterprises Inc., 我 們 所 使 用 的 SET 牌 是 從 桌 上 遊 戲 專 賣 店 - 卡 卡 城 所 購 得 的 22

評 語 080415 1. Set 遊 戲 的 趣 味 相 當 高 及 有 一 定 的 複 雜 性, 分 析 討 論 也 有 可 觀 之 處 2. 對 遊 戲 的 各 種 可 能 性 也 有 相 當 完 整 的 分 析 3. 數 學 分 析 的 深 度 稍 嫌 不 足, 但 已 有 不 錯 的 嘗 試 080415- 評 語