摘要

中 華 民 國 第 四 十 七 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 最 佳 團 隊 合 作 獎 080416 獨 數 一 格 - 探 索 數 獨 的 奧 秘 學 校 名 稱 : 雲 林 縣 私 立 維 多 利 亞 國 民 小 學 作 者 : 小 五 劉 宇 翔 小 五 施 佩 綺 指 導 老 師 : 陳 素 玲 黃 峰 文 小 五 林 立 秦 小 五 陳 建 穎 小 五 范 鎛 瑋 小 五 李 沿 叡 關 鍵 詞 : 數 獨 九 宮 格

壹 摘 要 一 次 意 外 的 接 觸 數 獨, 開 啟 了 我 們 研 究 數 獨 的 興 趣, 在 不 斷 解 題 的 過 程 中, 我 們 整 理 出 一 些 解 數 獨 謎 題 的 方 法, 探 索 了 數 獨 題 目 的 難 易 差 別, 及 設 計 題 目 的 要 領, 接 著 我 們 利 用 數 獨 的 對 稱 位 置, 創 作 出 有 趣 的 圖 形, 最 後 我 們 嘗 試 設 計 出 立 體 的 魔 術 方 塊 數 獨 圓 形 的 雲 林 縣 徽 數 獨 及 超 炫 的 布 袋 戲 數 獨 貳 研 究 動 機 上 學 期 教 數 列 與 圖 形 序 列 時, 老 師 給 我 們 一 題 81 個 格 子 的 東 西,peggy 說 那 是 數 獨, 我 和 Tony 很 有 興 趣, 就 試 著 破 解, 越 做 越 覺 得 它 很 神 奇 很 有 趣, 又 試 了 很 多 題, 老 師 看 我 們 那 麼 投 入 於 是 決 定 帶 我 們 一 起 探 索 數 獨 的 奧 妙 参 研 究 問 題 一 解 標 準 數 獨 需 要 注 意 的 事 項? 二 一 顆 星 難 度 的 標 準 數 獨 和 五 顆 星 難 度 的 標 準 數 獨 差 別 在 哪 裡? 三 如 何 設 計 標 準 數 獨 謎 題 (4 4 宮 格 ) 與 彩 色 數 讀 謎 題? 四 發 現 對 稱 數 獨 的 美 麗 五 設 計 新 的 數 獨 玩 法 肆 研 究 文 獻 一 數 獨 的 起 源 數 獨 - Sudoku 名 稱 來 自 日 文, 意 思 是 獨 立 的 數 位, 其 概 念 源 自 拉 丁 方 塊, 是 十 八 世 紀 瑞 士 數 學 家 歐 拉 發 明 的, 一 開 始 並 沒 有 得 到 應 有 的 注 目, 直 到 20 多 年 前, 才 漸 漸 在 世 界 各 地 受 到 熱 烈 迴 響 數 獨 遊 戲 規 則 很 簡 單 : 在 九 個 九 宮 格 裡, 填 入 1 到 9 的 數 字, 讓 每 個 數 字 在 每 個 行 列 及 九 宮 格 裡 都 只 出 現 一 次 謎 題 中 會 預 先 填 入 若 干 數 字, 其 他 宮 位 則 留 白, 解 數 讀 時 依 謎 題 中 的 數 字 分 布 狀 況, 邏 輯 推 敲 出 剩 下 的 空 格 裡 是 什 麼 數 字 以 下 將 標 準 數 獨 的 規 則 整 理 如 下 : ( 一 ) 由 9 行 9 列 共 81 個 宮 格 組 成, 並 區 分 為 九 個 九 宮 格 ( 二 ) 在 每 一 行 中 都 要 包 含 數 字 1~9 ( 三 ) 在 每 一 列 中 都 要 包 含 數 字 1~9 ( 四 ) 在 每 一 個 九 宮 格 中 都 要 包 含 數 字 1~9 ( 五 ) 每 一 格 只 有 一 個 解 必 頇 可 用 邏 輯 的 方 式 解 題 由 此 看 來, 數 獨 是 一 種 邏 輯 思 考 的 遊 戲, 英 國 政 府 出 資 的 教 師 雜 誌 甚 至 建 議 把 數 獨 引 進 課 程, 作 為 學 生 鍛 鍊 腦 力 的 教 材 (http://home.educities.edu.tw/oddest/su101.htm) 二 目 前 市 面 上 有 的 數 獨 : 數 獨 的 矩 陣 經 計 算 共 有 6,670,903,752,021,072,936,960 種 之 多 目 前 市 面 上 有 的 數 獨 除 了 格 數 增 加 如 12 12 16 16 等 巨 無 霸 數 獨 之 外, 有 的 會 將 一 般 數 獨 轉 換 成 英 文 字 母 或 花 草 樹 木, 2

或 另 外 設 條 件 如 拼 圖 數 獨 彩 色 數 獨 中 央 數 獨, 或 重 疊 二 個 以 上 的 9*9 數 獨, 形 成 重 疊 數 獨 ; 在 12 階 的 方 陣 中, 每 行 每 列 都 必 頇 包 含 3 個 數 字 1~4, 如 多 次 12 階 數 獨 就 是 在 填 製 規 則 上 採 取 本 項 改 變 的 另 類 數 獨, ( http://home.educities.edu.tw/oddest/su101.htm) 三 數 獨 的 特 性 與 難 度 ( 一 ) 數 獨 的 對 稱 性 不 是 自 然 形 成 的 日 本 人 主 張 解 數 獨 的 過 程 應 是 愉 快 而 富 有 樂 趣 的, 所 以 堅 持 以 手 工 打 造 數 獨 謎 題, 為 了 和 電 腦 產 生 的 謎 題 做 出 區 隔, 就 加 上 了 給 定 的 數 字 必 頇 是 點 對 稱 的 限 制 的 確, 對 稱 的 數 獨 給 人 較 佳 的 視 覺 感 受, 要 製 作 出 對 稱 的 數 獨 也 比 不 對 稱 的 數 獨 困 難 一 點, 但 那 絕 不 是 自 然 形 成 的 不 過 這 項 限 制 對 功 能 強 大 的 電 腦 程 式 而 言, 其 實 是 一 點 都 不 受 影 響 的 ( 二 ) 給 定 數 字 的 多 寡 並 不 會 影 響 解 的 個 數 和 難 度 給 定 數 字 的 多 寡 並 不 會 影 響 解 的 個 數 和 難 度 如 果 設 計 不 良, 即 使 已 給 定 了 77 個 數 字, 照 樣 會 有 兩 個 解! 如 圖 一 圖 一 圖 二 目 前 發 現 給 定 數 字 最 少 的 數 獨 謎 題 需 要 18 個 數 字, 如 果 給 定 的 數 字 並 不 要 求 對 稱, 那 麼 則 需 要 17 個 數 字 解 題 的 過 程 中, 並 沒 有 因 為 數 字 少 而 比 較 困 難, 所 以 數 獨 謎 題 的 難 度 與 給 定 數 字 多 寡 沒 有 關 係 ( 三 ) 任 意 給 的 數 字 不 一 定 會 有 解 一 般 坊 間 數 獨 的 謎 題 很 多 有 一 種 數 獨 謎 題 的 製 作 方 法 為 挖 洞 法, 是 將 填 滿 的 數 獨 方 陣, 隨 機 的 挖 去 部 份 數 字, 最 後 再 加 以 調 整, 使 其 可 以 用 邏 輯 方 法 解 題 大 部 分 的 人 會 用 挖 洞 法 來 設 計 題 目, 不 過 挖 洞 法 並 不 是 每 一 次 都 會 成 功, 於 數 獨 方 陣 中 隨 機 放 置 任 意 的 一 些 數 字, 並 不 是 每 一 次 都 會 有 解, 即 使 謎 面 上 的 數 字 完 全 符 合 數 獨 填 製 的 規 則, 但 卻 是 無 解 的 ( 如 圖 二 ) http://www.shes.hcc.edu.tw/~oddest/su303.htm 數 獨 雜 記 94.10.01 ( 四 ) 坊 間 數 獨 的 解 題 技 巧 (http://www.shes.hcc.edu.tw/~oddest/sumain.htm http://en.wikipedia.org/wiki/sudoku) 1. 直 觀 式 解 題 技 巧 (1) 基 礎 摒 除 法 (2) 唯 一 解 法 3

(3) 區 塊 摒 除 法 (4) 唯 餘 解 法 (5) 單 元 摒 除 法 (6) 矩 形 摒 除 法 (7) 餘 數 測 試 法 2. 候 選 數 法 解 題 技 巧 (1) 唯 一 候 選 數 法 (2) 隱 性 唯 一 候 選 數 法 (3) 區 塊 刪 減 法 (4) 數 對 刪 減 法 (5) 隱 性 數 對 刪 減 法 (6) 三 鏈 數 刪 減 法 (7) 隱 性 三 鏈 數 刪 減 法 (8) 矩 形 頂 點 刪 減 法 (9) 三 鏈 列 刪 減 法 (10) 關 鍵 數 刪 減 法 一 般 國 內 坊 間 除 了 基 本 的 規 則 描 述, 並 無 較 明 確 的 數 獨 解 題 技 巧, 以 上 的 方 法 出 現 在 外 國 網 站 中, 由 於 翻 譯 關 係, 不 易 理 解, 我 們 想 要 再 研 究 出 更 適 合 一 般 人 理 解 的 方 法 從 以 上 的 文 獻 中, 我 們 了 解 了 數 獨 的 基 本 規 則 與 特 性, 接 下 來 我 們 將 更 深 入 探 索 破 解 數 獨 謎 題 還 有 哪 些 方 法 ; 一 顆 星 與 五 顆 星 數 獨 謎 題 的 差 別 是 什 麼 ; 除 了 挖 洞 法 之 外, 設 計 題 目 還 有 哪 些 可 以 思 考 的 地 方 ; 最 後 我 們 從 不 同 的 角 度 欣 賞 數 獨 的 對 稱 性, 並 嘗 試 設 計 更 新 奇 有 趣 的 新 數 獨 玩 法! 伍 研 究 工 具 81 宮 格 表 魔 術 方 塊 4

陸 研 究 方 法 為 使 問 題 單 純 化 與 深 入 研 究, 以 下 問 題 與 活 動 將 只 就 標 準 數 獨 來 探 討 活 動 一 : 解 標 準 數 獨 有 哪 些 小 秘 方 為 使 敘 述 方 便, 我 們 將 81 宮 格 分 成 A~I 九 個 大 格 ; 由 上 到 下 分 成 1~9 列 ; 由 左 到 右 分 成 a~i 行 ( 如 圖 三 ), 所 以 依 圖 三 來 看 (a,1)=1;( i,9)=4 圖 三 A 大 格 B 大 格 C 大 格 D 大 格 E 大 格 F 大 格 G 大 格 H 大 格 I 大 格 1 1 8 2 4 7 1 3 6 2 3 9 4 4 2 5 1 6 6 1 5 7 9 7 5 2 8 5 1 8 9 2 4 從 書 上 網 路 上 報 紙 上, 我 們 嘗 試 破 解 許 多 數 獨 謎 題, 從 解 題 中 我 們 整 理 出 一 些 有 用 的 小 秘 方, 其 中 若 外 圍 九 宮 格 的 數 字 會 影 響 欲 求 空 格, 就 將 其 視 為 遠 方 的 射 炮 ; 欲 求 九 宮 格 內 出 現 的 數 字 也 會 影 響 欲 求 空 格, 將 其 視 為 短 刀, 射 炮 和 短 刀 都 可 使 欲 求 空 格 可 能 的 答 案 減 少, 進 而 歸 納 推 理 出 正 確 答 案 將 其 整 理 如 下 : (1) 獨 一 無 二 法 : 這 是 解 標 準 數 獨 最 簡 單 的 方 法, 當 某 一 列 某 一 行 或 九 宮 格 中 只 剩 下 1 個 圖 四 數 字 時, 可 以 從 1 數 到 9, 看 看 缺 漏 哪 個 數 字 再 難 一 點 就 是 從 列 行 九 宮 格 中 兩 方 或 三 方 面 從 1 數 到 9, 看 看 缺 漏 哪 個 數 字, 例 如 圖 四 從 第 f 個 九 宮 格 與 第 5 列 來 看,(g, 5) 不 是 2,3,4,5,6,7,8,9, 所 以 只 能 是 1 1 2 3 4 5 8 6 4 9 1 2 7 6 5 3 7 8 9 (2) 兩 射 砲 兩 短 刀 法 : 除 了 欲 求 的 九 宮 格 內 有 兩 個 位 置 已 出 現 數 字 之 外 ( 將 其 視 為 短 刀 ), 還 受 外 圍 九 宮 格 影 響, 九 宮 格 外 有 兩 個 數 字 ( 將 其 視 為 射 砲 ) 直 接 刪 除 這 些 數 字 在 欲 求 九 宮 格 內 出 現 的 可 能 如 圖 五,(e,2)=5 5

圖 五 1 5 2 5 3 5 (3) 兩 射 砲 三 短 刀 法 : 除 了 欲 求 的 九 宮 格 內 有 三 個 位 置 已 出 現 數 字 之 外 ( 將 其 視 為 短 刀 ), 圖 六 還 受 外 圍 九 宮 格 影 響, 九 宮 格 外 有 兩 個 數 字 ( 將 其 視 為 射 砲 ) 直 接 刪 除 這 些 數 字 在 欲 求 九 宮 格 內 出 現 的 可 能 如 圖 六,(e,2)=5 1 5 2 5 3 4 5 5 6 (4) 三 射 砲 一 短 刀 法 : 除 了 欲 求 的 九 宮 格 內 有 一 個 位 置 已 出 現 數 字 之 外 ( 將 其 視 為 短 刀 ), 圖 七 還 受 外 圍 九 宮 格 影 響, 九 宮 格 外 有 三 個 數 字 ( 將 其 視 為 射 砲 ) 直 接 刪 除 這 些 數 字 在 欲 求 九 宮 格 內 出 現 的 可 能 如 圖 七,(e,2)=5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 (5) 三 射 砲 一 局 勢 : 除 了 九 宮 格 外 有 三 個 數 字 ( 將 其 視 為 射 砲 ) 直 接 刪 除 這 些 數 字 在 欲 求 九 宮 格 圖 八 內 出 現 的 可 能 ; 另 外 在 欲 求 九 宮 格 的 相 鄰 九 宮 格 ( 上 下 左 或 右 ) 出 現 一 列 或 一 行 數 字, 這 些 數 字 必 頇 與 射 砲 的 數 字 不 同 ( 將 此 行 或 此 列 視 為 一 局 勢 ), 其 可 確 定 欲 求 數 字 的 正 確 位 置 如 圖 八, 由 三 射 砲 來 看,(e,5) 或 (f,5) 都 可 能 是 5, 由 一 局 勢 來 看, 如 果 (f,5)=5, 則 B 九 宮 格 內 將 沒 有 5, 不 可 能! 所 以 (e,5)=5 1 7 2 4 3 8 4 5 5 5 6 5 7 5 8 9 6

(6) 四 射 砲 : 受 外 圍 九 宮 格 影 響, 九 宮 格 外 有 四 個 數 字 ( 將 其 視 為 射 砲 ) 直 接 刪 除 這 些 數 字 圖 九 在 欲 求 九 宮 格 內 出 現 的 可 能 如 圖 九,(e,2)=5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 6 7 5 8 9 (7) 攻 擊 一 排 : 從 某 一 列 或 行 來 看, 某 一 個 數 出 現 在 其 他 列 或 行, 使 得 此 行 或 列 的 部 分 空 格 圖 十 不 能 再 出 現 這 個 數 字, 再 加 上 此 行 或 此 列 中 已 出 現 的 數 字, 即 可 求 出 可 能 出 現 某 數 的 空 格 如 圖 十 從 第 九 列 來 看, 一 列 中 一 定 只 有 一 個 7,( b,9) ( d,9) ( f,9) ( i,9) 都 不 能 是 7, 所 以 (c,9)=7 1 2 3 4 7 5 7 6 7 7 8 7 9 7 (8) 先 佔 領 不 就 位 : 由 前 述 七 個 方 法 確 定 哪 些 格 一 定 是 哪 些 數, 雖 不 清 楚 正 確 順 序, 但 先 把 圖 十 一 那 些 位 置 占 下 來, 有 助 求 出 其 他 格 如 圖 十 一, 第 i 個 九 宮 格 只 剩 下 1 6 8 三 個 數 字, 從 第 i 行 來 看, 因 為 6 和 1 已 經 出 現 過, 所 以 第 (i,8) 不 可 能 是 1 和 6,1 和 6 一 定 在 (g,7) (g,8), 只 是 確 實 位 置 不 知, 但 可 知 (i,8)=8 1 2 3 6 4 1 5 6 7 3 5 8 4 8 9 6 4 2 7 9 7

(9) 製 造 矛 盾 法 : 當 有 2 格 以 上 都 有 可 能 是 某 個 數 字 時, 先 假 設 某 一 格 成 立, 使 某 一 九 宮 格 圖 十 二 或 某 一 列 行 出 現 同 一 個 數 字 有 2 個 的 情 形 如 圖 十 二, 先 利 用 先 佔 領 不 就 位 法, 從 F 九 宮 格 和 第 i 行 來 看,(i,4)( i,6) 一 定 是 8 9 兩 個 數 字, 則 (i,7)( i,8)( i,9) 一 定 是 1 3 5, 只 是 順 序 不 一 定,(g,4)( h,4) 一 定 是 4 和 6 兩 個 數 字 若 (i,6)=9, (a,4) 必 定 是 9, 但 第 a 行 已 經 有 9 了, 會 形 成 矛 盾, 所 以 (i,6)=9 是 錯 的, 則 (i, 4)=9,( i,6)=8 1 2 2 4 3 6 4 9 5 9 1 2 7 6 5 3 8 7 9 8 9 (10) 旁 敲 側 擊 法 : 在 所 求 的 九 宮 格 內 外 沒 有 足 夠 的 射 炮 或 短 刀 可 以 使 用, 必 頇 利 用 不 斷 的 圖 十 三 先 佔 領 不 就 位 法, 旁 敲 側 擊 求 出 例 如 圖 十 三 (h,6)( I,7)( e,9) 是 8, 以 攻 擊 一 排 法 可 看 出, 對 第 二 列 而 言,(a,2)( b,2) 至 少 有 一 個 8; 在 第 G 個 九 宮 格 中, 因 (e,9) =8,( i,7)=8, 所 以 (a,8) 或 (b,8) 至 少 有 一 個 8; 由 於 上 述 兩 個 原 因, 所 以 第 D 個 九 宮 格 中 的 第 a b 行 不 可 能 有 8, 又 第 e 行 有 8, 所 以 (d,5) 或 (f,5) 其 中 有 一 個 是 8, 所 以 (c,5) 不 可 能 是 8, 至 此, 第 D 個 九 宮 格 中 只 剩 (c,4) 可 以 是 8 1 2 3 4 8 5 6 8 7 8 8 9 8 以 上 是 從 簡 到 難 的 數 獨 謎 題 常 使 用 的 一 些 小 秘 方, 在 敘 寫 方 法 的 過 程 中, 我 們 也 發 現 要 解 出 一 個 空 格, 最 少 需 用 到 4 個 以 上 的 條 件, 例 如 單 單 只 有 兩 射 砲, 無 法 解 題, 必 頇 再 加 上 2 個 以 上 的 短 刀 ; 三 射 砲 則 至 少 需 要 1 個 以 上 的 短 刀 才 可 解 題 ; 若 有 四 射 砲, 則 不 需 要 有 短 刀 也 可 解 題 有 時 候 同 一 空 格 需 要 連 續 用 到 2 次 以 上 的 某 個 方 法 才 能 解, 有 時 候 則 是 要 連 續 用 不 同 的 方 法 才 能 解 總 之, 解 數 獨 謎 題 真 是 得 要 眼 看 多 方 8

活 動 二 一 顆 星 難 度 的 標 準 數 獨 和 五 顆 星 難 度 的 標 準 數 獨 差 別 在 哪 裡? 坊 間 書 上 報 紙 上 或 網 路 上 的 數 獨 謎 題, 為 了 激 發 讀 者 的 興 趣 與 挑 戰 性, 通 常 會 為 該 題 數 獨 謎 題 依 解 題 的 難 易 程 度 由 簡 至 難 分 為 五 級 :1. 簡 易 級 ( 一 顆 星 ),2. 普 通 級 ( 二 顆 星 )3. 困 難 級 ( 三 顆 星 )4. 魔 鬼 級 ( 四 顆 星 )5. 惡 魔 級 ( 五 顆 星 ), 一 顆 星 最 容 易, 二 顆 星 次 之, 五 顆 星 最 難 以 下 將 在 同 一 本 書 ( 超 級 數 獨 4) 找 到 的 題 目, 一 顆 星 ( 如 圖 十 四 ) 與 五 顆 星 ( 圖 十 五 ) 的 數 獨 謎 題 做 比 較, 討 論 題 目 的 差 異 與 解 題 技 巧 的 差 別, 列 表 如 表 一 圖 十 三 一 顆 星 數 獨 謎 題 1 1 8 2 4 7 1 3 6 2 3 9 4 4 2 5 1 6 6 1 5 7 9 7 5 2 8 5 1 8 9 2 4 圖 十 四 五 顆 星 數 獨 謎 題 1 5 2 9 4 3 2 4 7 3 7 3 9 4 2 6 5 7 8 2 1 6 3 1 7 5 1 8 8 2 9 9 1 8 6 7 4 表 一 圖 十 三 圖 十 四 出 現 的 提 示 數 字 24 個 28 只 使 用 方 法 一 21.7 次 16.4 次 只 使 用 方 法 二 8 次 6.4 次 只 使 用 方 法 三 4 次 3.6 次 只 使 用 方 法 四 8.3 次 2.8 次 只 使 用 方 法 五 1 次 0.6 次 只 使 用 方 法 六 4.3 次 1.6 次 只 使 用 方 法 七 3.7 次 0.2 次 只 使 用 方 法 八 2.5 次 9.8 次 只 使 用 方 法 九 1.2 次 4.2 次 只 使 用 方 法 十 0 次 0 次 使 用 某 個 方 法 2 次 以 上 2.8 次 5 次 連 續 使 用 2 個 以 上 的 方 法 1.3 次 4.2 次 解 題 時 間 (6 人 帄 均 ) 17.3 分 36 分 求 法 取 六 人 帄 均 取 六 人 帄 均 9

為 了 增 加 結 果 的 可 靠 性, 我 們 再 從 報 紙 上 找 出 一 題 一 顆 星 數 獨 謎 題 與 一 題 五 顆 星 數 獨 謎 題 做 比 較 圖 十 五 一 顆 星 數 獨 謎 題 1 4 7 3 2 5 1 4 8 9 3 8 3 4 7 5 4 6 9 3 5 9 5 6 6 2 5 7 7 6 1 9 5 2 8 3 5 8 1 7 9 9 3 1 圖 十 六 五 顆 星 數 獨 謎 題 1 9 2 7 1 3 8 3 6 1 4 5 8 2 5 3 7 8 5 4 6 2 9 6 7 5 1 4 6 8 8 9 9 9 表 二 圖 十 五 圖 十 六 出 現 的 提 示 數 字 35 個 25 個 只 使 用 方 法 一 22 次 12.2 次 只 使 用 方 法 二 6 次 3 次 只 使 用 方 法 三 3 次 4.2 次 只 使 用 方 法 四 3 次 2.6 次 只 使 用 方 法 五 0 次 3.4 次 只 使 用 方 法 六 1.3 次 4.6 次 只 使 用 方 法 七 6.8 次 1.2 次 只 使 用 方 法 八 2 次 10.2 次 只 使 用 方 法 九 0.2 次 4.8 次 只 使 用 方 法 十 0 次 0 次 使 用 某 個 方 法 2 次 以 上 4.7 次 5 次 連 續 使 用 2 個 以 上 的 方 法 3.5 次 8.8 次 解 題 時 間 (6 人 帄 均 ) 10.4 分 20.8 分 求 法 取 六 人 帄 均 取 六 人 帄 均 有 時 候 同 一 個 空 格 會 因 不 同 人 解 題 方 法 不 同, 而 將 其 計 算 入 不 同 的 表 格 中, 所 以 我 們 取 6 人 的 帄 均 數 填 入 表 格 由 表 一 和 表 二 我 們 可 以 發 現 (1) 一 顆 星 和 五 顆 星 謎 題 的 提 示 數 字 不 一 定 孰 多 孰 寡 (2) 不 論 是 一 顆 星 或 五 顆 星 題 目, 都 很 常 使 用 方 法 一 獨 一 無 二 法 (3) 一 顆 星 謎 題 在 方 法 一 獨 一 無 二 方 法 二 兩 射 砲 兩 短 刀 方 法 四 三 射 砲 一 短 刀 和 方 法 七 攻 擊 一 排 的 使 用 次 數, 比 五 顆 星 謎 題 多 (4) 五 顆 星 謎 題 在 方 法 八 先 佔 領 不 就 位 及 方 法 九 製 造 矛 盾 法 的 使 用 次 數, 比 一 顆 星 明 顯 增 多 (5) 方 法 十 旁 敲 側 擊 法 在 一 顆 星 和 五 顆 星 題 目 都 很 罕 見 10

(6) 五 顆 星 謎 題 比 一 顆 星 謎 題 在 解 同 一 個 空 格 時, 較 常 使 用 同 一 個 方 法 兩 次 以 上, 同 時 也 常 在 解 同 一 個 空 格 時, 連 續 使 用 兩 個 以 上 的 方 法 來 解 題 (7) 五 顆 星 謎 題 的 解 題 時 間 明 顯 多 於 一 顆 星 謎 題 的 解 題 時 間 將 上 述 發 現 整 理 如 下 (1) 提 示 數 字 越 多 不 代 表 解 題 越 困 難, 驗 證 文 獻 中 所 說 的 數 字 多 寡 不 影 響 難 度 (2) 一 顆 星 題 目 求 出 一 個 空 格 後, 可 以 舉 一 反 多 連 續 求 出 很 多 數 字, 所 以 使 用 獨 一 無 二 法 的 機 會 較 多, 解 題 速 度 也 較 快 (3) 一 顆 星 謎 題 使 用 射 砲 短 刀 的 機 會 較 多, 五 顆 星 謎 題 很 難 只 依 靠 射 砲 短 刀 來 解 題 (4) 一 顆 星 謎 題 缺 的 數 字 常 常 是 直 排 橫 排 或 小 九 宮 格 內 即 可 找 到 (5) 五 顆 星 的 謎 題 要 考 慮 的 範 圍 比 較 多 必 頇 從 整 個 九 宮 格 來 看, 所 以 會 使 用 比 較 多 方 法 八 先 佔 領 不 就 位 及 方 法 九 製 造 矛 盾 法 且 兩 法 常 搭 配 一 起 使 用, 所 以 五 顆 星 謎 題 在 連 續 使 用 兩 種 方 法 求 同 一 格 的 機 會 也 比 較 多 (6) 旁 敲 側 擊 法 屬 於 較 特 殊 情 形 所 用 的 方 法, 所 以 一 般 題 目 不 常 用 11

活 動 三 如 何 設 計 數 獨 謎 題 (4 4 宮 格 )? 從 文 獻 裡, 我 們 知 道 數 獨 謎 題 的 點 對 稱 是 規 定 而 來 的, 所 以 一 開 始 設 計 題 目 時, 先 不 必 顧 慮 對 稱 的 問 題 ( 一 ) 設 計 標 準 數 獨 為 了 嘗 試 出 題, 我 們 將 格 數 簡 化 成 4 4, 即 4 個 四 宮 格, 依 據 之 前 推 算 九 宮 格 謎 題 的 方 法, 判 斷 或 刪 除 題 目 上 的 數 字 首 先, 將 4 4 宮 格 謎 題 的 限 制 規 定 如 下 1. 由 4 行 4 列 共 16 個 宮 格 組 成, 並 區 分 為 4 個 四 宮 格 2. 在 每 一 行 中 都 要 包 含 數 字 1~4 3. 在 每 一 列 中 都 要 包 含 數 字 1~4 4. 在 每 一 個 四 宮 格 中 都 要 包 含 數 字 1~4 5. 每 一 格 只 有 一 個 解 必 頇 可 用 邏 輯 的 方 式 解 題 為 使 敘 述 方 便, 我 們 仍 將 四 宮 格 分 成 A~D 四 個 大 格 ; 由 上 到 下 分 成 1~4 列 ; 由 左 到 右 分 成 a~d 行 ( 如 圖 十 七 ) 圖 十 七 A 大 格 B 大 格 C 大 格 D 大 格 1 1 4 2 2 3 4 4 3 設 計 題 目 時, 我 們 先 將 部 分 數 字 填 入 空 格 中, 依 照 上 面 的 限 制 規 定, 增 加 或 刪 除 數 字 我 們 當 中 有 人 先 設 計 出 圖 十 八 圖 十 八 的 解 題 方 法 只 需 用 到 活 動 一 中 的 獨 一 無 二 法 大 家 開 始 思 考 是 否 有 辦 法 將 題 目 變 得 深 一 些 作 成 以 下 增 加 難 度 的 方 法 (1) 刪 除 可 求 出 的 數 字 : 如 (b,4)=4, 可 由 第 a 行 和 第 3 列 求 出, 所 以 不 必 提 示, 可 以 刪 除 (d,4)=2 可 由 第 c 行 已 出 現 2, 且 第 D 個 四 宮 格 中 (d,3) 已 知 求 出, 所 以 不 必 提 示, 可 以 刪 除 (2) 刪 除 有 兩 種 以 上 的 方 法 可 以 求 出 的 提 示 數 字 : 例 如 因 第 d 行 已 有 2 3 4, 所 以 (d,1)=1, 或 者 可 由 先 佔 領 不 佔 位 法, 得 知 第 B 個 四 宮 格 知 (c,1) 和 (d,1) 為 1 或 4, 又 第 d 行 有 4, 所 以 也 可 知 (d,1)=1, 有 兩 種 方 法 可 求 出, 所 以 (d,4)=2 可 刪 除 (3) 刪 除 藉 由 先 求 出 其 他 數 字 即 可 求 出 的 提 示 數 字 : 12 圖 十 八 1 2 4 2 3 3 1 4 4 4 1 2

刪 除 非 一 眼 可 看 出, 但 藉 由 先 求 出 其 他 數 字 即 可 求 出 的 提 示 數 字 例 如 先 求 出 (c,1) =4 之 後, 第 1 2 兩 列 必 各 有 一 個 4, 又 b 行 已 有 4, 所 以 (a,2)=4 可 刪 除 由 上 述 (1) ( 2) ( 3) 得 到 刪 除 後 的 四 宮 格 謎 題 如 圖 十 九 圖 十 九 1 2 2 3 3 1 4 4 圖 二 十 1 1 4 2 3 4 2 3 圖 二 十 一 1 1 4 2 3 2 4 2 (4) 移 動 數 字 使 無 法 一 眼 看 出 : 圖 十 九 中,2 3 4 的 位 置 太 過 集 中,1 和 4 又 在 同 一 列, 所 以 很 快 可 以 看 出 (c,3) =3 為 了 令 解 題 者 無 法 迅 速 找 到 第 一 個 可 求 數 字, 我 們 把 數 字 分 開, 如 圖 二 十 (5) 更 改 數 字 : 的 難 度 圖 二 十 中, 四 個 數 字 都 已 出 現, 且 藉 由 射 砲 和 短 刀 法 求 出 空 格 並 不 難, 於 是 我 們 再 想 辦 法 不 讓 四 個 數 字 全 部 出 現, 如 圖 二 十 一, 此 謎 題 中 的 提 示 數 字 沒 有 3 此 題 解 法 先 藉 由 射 砲 短 刀 法 求 得 (c,3)=4 ( d,2)=2 ( c,2)=1, 再 由 獨 一 無 二 法 求 得 (c,1)= 3 ( b,1)=2, 接 著 假 設 (d,4)=1, 則 由 獨 一 無 二 法 得 到 (d,3)=3 ( b,3)=1, 因 線 索 不 足, 無 法 再 求, 如 圖 二 十 二 若 假 設 (d,3)=1, 則 由 獨 一 無 二 法 得 到 (d,4) =3 ( b,3)=3, 由 射 砲 短 刀 法 得 到 (b,4)=1, 最 後 由 獨 一 無 二 法 得 到 (a,2) =3 ( b,2)=4 ( b,1)=2 ( c,1)=3, 如 圖 二 十 三, 有 唯 一 解, 可 完 整 求 出 圖 二 十 二 1 1 2 3 4 2 1 2 3 2 1 4 3 4 2 1 圖 二 十 三 1 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 2 3 4 1 4 4 1 2 3 2433 由 上 述 方 法, 圖 二 十 的 題 目 顯 然 較 圖 十 八 的 題 目 還 難 所 以 以 上 五 種 方 法 皆 可 增 加 題 目 依 據 上 述 設 計 題 目 的 方 法, 我 們 也 設 計 出 9 9 的 標 準 數 獨 與 12 12 的 標 準 數 獨 圖 二 十 四 1 1 6 5 2 3 2 9 3 7 6 4 4 4 1 6 5 3 1 6 2 4 8 6 8 7 1 7 9 4 5 8 4 1 2 9 7 8 3 13 圖 二 十 五 1 12 9 11 2 8 4 2 10 4 11 6 7 3 2 8 3 9 1 10 4 5 12 9 3 7 11 5 11 4 2 5 3 8 6 2 7 5 6 12 7 11 4 2 6 12 9 8 12 3 9 10 8 5 9 8 12 3 9 4 5 1 8 3 11 6 7 2 10 8 5 10 8 6 11 9 12

( 二 ) 設 計 彩 色 數 獨 設 計 出 標 準 數 獨 後, 我 們 希 望 能 再 多 一 點 變 化, 於 是 老 師 建 議 我 們 嘗 試 加 上 顏 色 限 制, 為 能 方 便 說 明, 我 們 仍 先 將 以 4 4 宮 格 為 例 經 過 幾 次 試 驗 後, 我 們 有 了 以 下 的 心 得 與 結 論 (1) 先 將 顏 色 塗 好 如 圖 二 十 六 (2) 將 符 合 4 4 宮 格 規 定 的 數 字 填 入 ( 如 圖 二 十 七 ) (3) 為 使 進 一 步 符 合 色 彩 的 限 制 ( 每 一 種 顏 色 要 包 含 1~4), 所 以 要 調 整 某 些 數 字, 如 (3,a) 中 的 2 換 成 4;( 3,d) 中 的 4 換 成 2;( 4,a) 中 的 4 換 成 2;( 4,d) 中 的 2 換 成 4, 即 可 符 合 ( 如 圖 二 十 八 ) (4) 接 著 依 照 前 述 設 計 標 準 數 獨 的 規 則 與 增 加 難 度 的 方 法 刪 掉 數 字, 如 圖 二 十 九 在 圖 二 十 九 中, 有 的 空 格 需 考 量 到 顏 色 限 制 才 可 得 到 解 答 圖 二 十 六 圖 二 十 七 圖 二 十 八 圖 二 十 九 1 2 1 1 4 2 3 2 3 2 4 1 1 1 4 2 3 2 3 2 4 1 1 1 2 2 3 4 3 2 1 3 4 4 4 3 1 2 3 4 1 3 2 4 2 3 1 4 3 3 4 4 2433 2433 2433 2433 根 據 上 述 ( 一 ) 和 ( 二 ) 的 結 論 我 們 將 在 活 動 五 有 精 采 的 自 創 數 獨 活 動 四 發 現 對 稱 數 獨 的 美 麗 有 一 次 當 大 家 在 想 題 目 時, 有 人 隨 手 將 這 些 數 字 連 起 來, 沒 想 到 變 成 一 個 很 奇 怪 的 圖 形, 其 他 人 也 各 自 連 連 看, 結 果 出 現 了 好 多 不 同 的 圖 形 我 們 由 對 稱 數 獨 發 現 其 實 數 學 也 有 美 麗 好 玩 的 一 面 呢! 以 圖 三 十 的 題 目 為 例, 我 們 連 出 了 以 下 六 種 有 趣 的 圖 形 圖 三 十 1 3 5 8 2 1 2 3 5 4 9 4 4 1 9 5 7 4 6 5 6 1 7 8 6 7 8 6 8 9 2 5 1 14

圖 三 十 一 紅 螞 蟻 圖 三 十 二 時 尚 高 跟 鞋 圖 三 十 三 枯 葉 蝶 圖 三 十 四 青 蛙 圖 三 十 五 Y 形 圖 三 十 六 一 石 二 鳥 從 圖 三 十 一 到 圖 三 十 六, 我 們 發 現 即 使 是 相 同 的 位 置, 只 要 加 一 點 創 意 就 可 以 變 出 許 多 有 趣 的 點 對 稱 圖 案, 數 獨 除 了 高 深 莫 測 之 外, 也 有 美 麗 親 切 的 一 面 15

活 動 五 設 計 新 的 數 獨 玩 法 的 數 獨 看 了 這 麼 多 數 獨 玩 法, 也 有 了 設 計 數 獨 的 基 本 概 念, 我 們 想 要 自 己 設 計 一 些 更 有 趣 好 玩 ( 一 ) 魔 術 方 塊 數 獨 : 玩 魔 術 方 塊 時, 我 們 突 然 想 像 如 果 方 塊 裡 也 有 數 獨 謎 題, 應 該 是 什 麼 樣 子, 有 了 這 個 構 想, 開 始 著 手 在 每 個 方 格 中 填 數 字, 因 為 圍 繞 正 方 體 的 面 有 四 個, 會 有 12 個 數 字 ( 如 圖 三 十 七 中 的 ABCD 四 個 面 ), 但 是 每 個 面 只 有 9 個 數 字, 所 以 玩 法 上 必 頇 有 多 一 些 限 制, 魔 術 方 塊 數 獨 完 成 後 的 透 視 圖 如 圖 三 十 八 圖 三 十 七 圖 三 十 八 A D B C 魔 術 方 塊 數 獨 玩 法 : 1. 方 塊 的 六 個 面, 每 一 面 都 要 包 含 數 字 1~9 2. 紅 色 紫 色 黃 色 三 個 連 續 面 的 直 行 要 包 含 數 字 1-9, 黃 色 橘 色 黃 色 三 個 連 續 面 的 直 行 要 包 含 數 字 1-9 ( 如 圖 三 十 九 ) 3. 綠 色 紫 色 藍 色 三 個 連 續 面 的 直 行 要 包 含 數 字 1-9, 綠 色 橘 色 藍 色 三 個 連 續 面 的 直 行 要 包 含 數 字 1-9 ( 如 圖 四 十 ) 圖 三 十 九 圖 四 十 16

( 二 ) 雲 林 縣 徽 數 獨 : 有 了 立 體 的 數 獨 ( 魔 術 方 塊 數 獨 ) 我 們 又 想 要 製 作 出 圓 形 的 數 獨, 先 畫 一 個 圓, 由 內 而 外, 畫 出 第 1~9 層 的 同 心 圓, 再 將 這 九 個 同 心 圓 分 成 A~I 九 個 區 域, 因 為 雲 林 縣 縣 徽 內 部 也 是 圓 形 ( 如 圖 四 十 一 ), 我 們 將 兩 者 結 合, 又 縣 徽 內 有 兩 條 帶 子 代 表 雲 林 縣 內 兩 條 主 要 河 川 - 濁 水 溪 與 北 港 溪, 所 以 我 們 又 在 圓 內 部 加 上 兩 條 藍 色 帶 ( 如 圖 四 十 二 ) 圖 四 十 一 圖 四 十 二 雲 林 縣 徽 數 獨 玩 法 : 1. 縣 徽 由 內 而 外 ( 第 1~9 層 ) 要 包 含 數 字 1~9 2. 縣 徽 中 每 一 圈 的 A~I 九 個 區 域, 要 包 含 數 字 1~9 3. 縣 徽 中 深 藍 色 的 格 子 要 包 含 數 字 1~9; 淺 藍 色 的 格 子 也 要 包 含 數 字 1~9 17

( 三 ) 布 袋 戲 數 獨 : 如 果 可 以 把 數 獨 謎 題 變 成 一 個 有 趣 的 圖 形 就 更 棒 了! 所 以 我 們 想 到 雲 林 縣 最 有 名 的 民 俗 技 藝 - 布 袋 戲, 把 設 計 出 的 兩 個 人 型 數 獨 放 入 當 紅 的 布 袋 戲 人 偶 - 素 還 真 與 一 頁 書 體 內, 使 數 讀 謎 題 除 了 擁 有 一 般 數 獨 的 樂 趣, 還 有 彩 色 數 獨 的 難 度 ( 如 圖 四 十 三 ) 圖 四 十 三 布 袋 戲 數 獨 玩 法 : 1. 每 個 人 偶 的 每 一 行 中 都 要 包 含 數 字 1~9 2. 每 個 人 偶 的 每 一 列 中 都 要 包 含 數 字 1~9 3. 每 個 人 偶 中 相 同 顏 色 要 包 含 數 字 1~9 4. 將 每 個 人 偶 中 最 上 方 的 九 宮 格 ( 即 人 偶 的 臉 ) 放 回 人 偶 身 體 的 缺 口, 使 得 第 10 11 12 列 包 含 數 字 1~9 18

捌 研 究 發 展 與 建 議 從 活 動 一 活 動 二 活 動 三 活 動 四 及 活 動 五, 我 們 有 以 下 結 論 1. 從 活 動 一 我 們 整 理 出 十 種 解 題 小 秘 方, 有 獨 一 無 二 法 兩 射 砲 兩 短 刀 法 兩 射 砲 三 短 刀 法 三 射 砲 一 短 刀 法 三 射 砲 一 局 勢 法 四 射 砲 法 攻 擊 一 排 法 先 佔 領 不 就 位 法 製 造 矛 盾 法 及 旁 敲 側 擊 法 2. 從 活 動 一 得 知 要 解 出 一 個 空 格, 最 少 需 用 到 4 個 以 上 的 條 件 3. 從 活 動 二 得 知 提 示 數 字 越 多 不 代 表 解 題 越 容 易, 驗 證 文 獻 中 所 說 的 數 字 多 寡 不 影 響 難 度 4. 從 活 動 二 得 知 一 顆 星 題 目 求 出 一 個 空 格 後, 可 以 舉 一 反 多 連 續 求 出 很 多 數 字, 所 以 使 用 獨 一 無 二 法 的 機 會 較 多, 解 題 速 度 也 較 快 5. 從 活 動 二 得 知 一 顆 星 謎 題 使 用 射 砲 短 刀 的 機 會 較 多, 五 顆 星 謎 題 很 難 只 依 靠 射 砲 短 刀 來 解 題 6. 從 活 動 二 得 知 一 顆 星 謎 題 缺 的 數 字 常 常 是 直 排 橫 排 或 小 九 宮 格 內 即 可 找 到 7. 從 活 動 二 得 知 五 顆 星 的 謎 題 要 考 慮 的 範 圍 比 較 多 必 頇 從 整 個 九 宮 格 來 看, 所 以 會 使 用 比 較 多 方 法 八 先 佔 領 不 就 位 及 方 法 九 製 造 矛 盾 法 且 兩 法 常 搭 配 一 起 使 用, 所 以 五 顆 星 謎 題 在 連 續 使 用 兩 種 方 法 求 同 一 格 的 機 會 也 比 較 多 8. 從 活 動 三 我 們 得 知 設 計 題 目 時 除 了 遵 守 數 獨 的 基 本 規 定, 還 有 以 下 增 加 難 度 的 方 法 (1) 刪 除 可 求 出 的 數 字 (2) 刪 除 有 兩 種 以 上 的 方 法 可 以 求 出 的 提 示 數 字 (3) 刪 除 藉 由 先 求 出 其 他 數 字 即 可 求 出 的 提 示 數 字 (4) 移 動 數 字 使 無 法 一 眼 看 出 : (5) 更 改 數 字 另 外 我 們 也 嘗 試 設 計 出 彩 色 數 讀 9. 從 活 動 四 藉 由 對 稱 數 獨, 我 們 發 現 即 使 是 相 同 的 位 置, 只 要 加 一 點 創 意 就 可 以 變 許 多 有 趣 的 點 對 稱 圖 案, 數 獨 除 了 高 深 莫 測 之 外, 也 有 美 麗 親 切 的 一 面 10. 在 活 動 五 裡, 我 們 利 用 活 動 一 至 活 動 四 的 結 論, 自 己 設 計 出 立 體 的 魔 術 方 塊 數 獨 圓 形 的 雲 林 縣 徽 數 獨 超 炫 的 布 袋 戲 數 獨 以 上 結 論 希 望 對 於 初 學 數 獨 者 或 是 數 獨 高 手, 對 數 獨 有 更 深 的 了 解, 除 了 了 解 更 多 解 題 的 方 式 之 外, 也 能 和 我 們 一 樣 設 計 出 更 多 更 有 趣 的 新 數 獨 玖 參 考 資 料 參 考 書 籍 1.P.CREATION(2006.9) 超 級 數 獨 (4) 尖 端 出 版, 城 邦 文 化 事 業 股 份 有 限 公 司 2. 張 淡 譯 (2005) 如 何 解 數 獨 格 林 文 化 出 版 3. 自 由 時 報 副 刊 數 獨 網 路 資 源 : 1.http://www.shes.hcc.edu.tw/~oddest/su303.htm 數 獨 雜 記 94.10.01 2. http://en.wikipedia.org/wiki/sudoku 19

評 語 080416 獨 數 一 格 - 探 索 數 獨 的 奧 秘 數 獨 此 一 遊 戲 目 前 在 全 世 界 頗 為 流 行, 不 只 具 趣 味 性 且 具 挑 戰 性 作 者 將 他 們 的 經 驗 所 得 歸 納 為 十 個 小 秘 方, 非 常 值 得 參 考, 同 時, 他 們 也 設 計 了 幾 種 不 同 的 圖 形 與 玩 法 這 些 都 有 賴 全 體 作 者 團 隊 合 作, 才 有 此 一 好 的 作 品