我 知 道 你 知 道 大 葉 大 學 電 機 工 程 學 系 許 介 彥 老 師 世 界 末 日 會 發 生 在 2012 年 嗎? 幾 年 前 由 於 電 影 及 網 路 的 推 波 助 瀾 使 得 這 個 話 題 在 媒 體 引 起 不 少 討 論, 其 實 關 於 世 界 末 日 的 預 言 可 說 是 自 古 有 之 而 且 版 本 眾 多, 還 記 得 今 年 年 初 ( 按 : 本 文 寫 於 2011 年 11 月 ) 媒 體 曾 經 報 導 南 部 一 位 王 老 師 預 言 今 年 5 月 11 日 臺 灣 將 會 發 生 14 級 地 震, 他 和 一 些 追 隨 者 還 在 南 投 的 空 地 上 擺 放 了 許 多 貨 櫃 屋 而 蔚 為 奇 觀 ; 預 言 後 來 當 然 是 槓 龜 了, 而 且 這 位 王 老 師 還 因 為 違 反 社 會 秩 序 維 護 法 被 罰 款, 可 見 有 些 事 情 自 己 知 道 或 相 信 是 一 回 事, 廣 為 散 布 以 致 讓 大 家 都 知 道 甚 至 引 發 恐 慌 的 話 又 是 另 一 回 事 前 一 陣 子 因 為 電 視 劇 的 關 係 使 得 小 三 幾 乎 成 了 愛 情 第 三 者 的 代 名 詞 ; 如 果 某 對 夫 婦 的 先 生 有 了 小 三, 剛 開 始 一 般 來 說 會 很 怕 讓 太 太 知 道, 而 如 果 太 太 暗 中 察 覺 到 先 生 有 了 外 遇, 除 非 經 過 適 當 的 準 備, 否 則 可 能 也 會 怕 讓 先 生 知 道 自 己 已 經 知 道, 因 此 這 對 夫 婦 的 關 係 有 可 能 就 處 於 這 種 雙 方 都 知 道 而 且 都 以 為 對 方 不 知 道 自 己 知 道 的 狀 態 而 暫 時 相 安 無 事, 或 許 要 等 到 某 一 天 先 生 發 現 太 太 已 經 知 道 或 是 太 太 發 現 先 生 知 道 她 已 經 知 道, 事 情 才 會 爆 發 開 來 在 著 名 的 國 王 的 新 衣 的 故 事 裡, 裁 縫 師 宣 稱 所 用 的 布 料 只 有 聰 明 人 才 看 得 到, 大 臣 們 及 街 上 的 群 眾 因 為 怕 被 別 人 認 為 愚 蠢 以 致 不 敢 說 出 自 己 所 見, 最 後 是 藉 由 一 個 天 真 的 小 孩 的 嘴 巴 揭 露 了 大 家 心 裡 明 明 都 知 道 的 事, 眾 人 才 發 現 原 來 英 雄 所 見 略 同, 心 裡 的 忐 忑 於 是 獲 得 抒 解 上 面 這 些 例 子 所 想 要 闡 明 的 是 : 對 某 些 事 情 來 說, 即 使 每 個 人 都 知 道 也 不 一 定 表 示 每 個 人 都 知 道 大 家 都 知 道, 兩 者 之 間 是 有 差 別 的 以 下 我 們 來 看 幾 個 有 趣 的 問 題 無 用 之 用 某 位 老 師 將 A B C 三 個 推 理 能 力 很 強 的 學 生 找 到 一 個 房 間 裡 來, 叫 他 們 圍 著 一 張 圓 桌 而 坐, 並 為 每 個 人 在 頭 上 戴 上 一 頂 紅 帽 子, 但 是 讓 每 個 人 都 只 能 看 見 別 人 的 帽 子 而 看 不 到 自 己 的 帽 子 老 師 接 著 向 學 生 們 宣 布 每 個 人 頭 上 所 戴 的 帽 子 為 紅 帽 或 白 帽, 並 規 定 他 們 之 間 不 許 交 談 或 以 任 何 方 式 交 換 資 訊 如 果 老 師 接 著 依 序 詢 問 A B C 知 不 知 道 自 己 所 戴 的 帽 子 是 什 麼 顏 色, 他 應 該 會 得 到 連 續 三 個 不 知 道, 因 為 每 個 學 生 所 擁 有 的 資 訊 並 不 足 以 讓 他 們 推 斷 出 自 己 所 戴 的 帽 子 的 顏 色 假 設 這 時 候 突 然 有 個 天 真 的 小 孩 走 了 進 來, 看 了 一 眼 房 間 內 的 情 形 後 便 又 轉 身 離 去, 臨 走 前 向 眾 人 丟 下 一 句 話 : 這 個 房 間 裡 有 人 戴 著 紅 帽 子 這 句 話 說 了 幾 乎 等 於 沒 說, 因 為 每 個 學 生 本 來 就 都 看 得 到 其 他 兩 個 學 生 戴 的 是 紅 帽 如 果 老 師 接 下 來 再 度 依 序 詢 問 A B C 知 不 知 道 自 己 所 戴 的 帽 子 的 顏 色, 他 所 得 到 的 答 案 會 跟 之 前 的 一 樣 嗎? A 和 B 的 回 答 仍 然 會 是 不 知 道, 因 為 他 們 所 擁 有 的 資 訊 仍 然 不 夠, 不 過 這 一 次 C 卻 可 以 很 篤 定 地 回 答 說 自 己 的 頭 上 戴 的 是 紅 帽, 理 由 如 下 : 當 A B C 聽 了 小 孩 的 話 後, 每 個 人 都 知 道 ( 而 且 知 道 別 人 也 知 道 ) 他 們 三 人 當 中 一 定 有 人 戴 著 紅 帽 ; 當 B 和 C 接 著 聽 到 A 說 他 不 知 道 自 20 e ZX 數 學 天 地
己 的 帽 色 後,B 和 C 都 能 因 此 知 道 ( 而 且 都 知 道 對 方 知 道 ) 他 們 兩 人 當 中 一 定 有 人 戴 著 紅 帽, 因 為 如 果 他 們 兩 人 戴 的 都 是 白 帽 的 話,A 應 該 會 知 道 自 己 戴 的 是 紅 帽 ; 既 然 B 和 C 兩 人 當 中 一 定 有 人 戴 著 紅 帽 而 B 接 著 說 他 不 知 道 自 己 的 帽 色, 可 見 B 所 看 到 的 C 的 頭 上 戴 的 一 定 不 是 白 帽, 因 此 C 的 確 有 充 分 的 理 由 相 信 自 己 戴 的 是 紅 帽 不 約 而 同 的 行 動 某 個 房 間 裡 有 20 個 學 生 圍 著 一 張 圓 桌 而 坐, 他 們 每 個 人 都 是 推 理 高 手, 頭 上 分 別 都 戴 著 一 頂 帽 子, 其 中 有 正 好 14 個 人 戴 的 是 紅 帽, 其 他 6 人 則 戴 著 白 帽, 每 個 人 都 能 看 見 別 人 所 戴 的 帽 子 的 顏 色, 但 都 不 知 道 也 看 不 到 自 己 所 戴 的 帽 子 的 顏 色 ; 如 同 前 面 的 例 子, 他 們 被 規 定 不 許 跟 房 間 裡 的 其 他 人 交 談 或 以 任 何 方 式 交 換 資 訊 已 知 圓 桌 的 中 央 擺 放 著 一 個 計 時 器, 每 隔 十 分 鐘 就 會 發 出 一 聲 嗶 聲, 眾 人 所 得 到 的 指 令 是 : 如 果 有 任 何 人 在 接 下 來 的 任 何 時 候 能 推 斷 出 自 己 的 帽 子 的 顏 色, 他 就 可 以 ( 而 且 必 須 ) 在 其 後 的 下 一 聲 嗶 聲 響 起 時 起 身 走 出 這 個 房 間 接 著 計 時 器 被 啟 動 了, 這 群 人 就 這 樣 無 聲 無 息 地 待 在 這 個 房 間 裡, 隨 著 時 間 一 分 一 秒 過 去, 大 家 你 看 我, 我 看 你 ; 對 任 何 一 個 戴 著 紅 帽 的 學 生 來 說, 他 在 人 群 中 看 到 13 個 人 戴 著 紅 帽, 不 曉 得 房 間 裡 到 底 是 有 13 個 人 或 14 個 人 戴 著 紅 帽 ; 對 任 何 一 個 戴 著 白 帽 的 學 生 來 說, 他 在 人 群 中 看 到 14 個 人 戴 著 紅 帽, 不 曉 得 房 間 裡 到 底 是 有 14 個 人 或 15 個 人 戴 著 紅 帽 無 論 如 何, 每 個 人 都 不 能 確 定 自 己 所 戴 的 帽 子 是 紅 帽 還 是 白 帽, 因 此 大 家 只 好 在 房 間 裡 無 止 盡 地 耗 下 去, 期 待 情 況 會 有 什 麼 變 化 很 幸 運 地, 在 漫 長 的 等 待 過 程 中 突 然 有 個 小 孩 走 了 進 來, 看 了 一 眼 房 間 內 的 情 形 後 便 又 轉 身 離 去, 臨 走 前 向 眾 人 丟 下 一 句 話 : 這 個 房 間 裡 有 人 戴 著 紅 帽 子 就 像 前 面 的 例 子 一 樣, 這 句 話 似 乎 說 了 等 於 沒 說, 因 為 每 個 學 生 本 來 就 都 看 得 到 房 間 裡 有 很 多 學 生 戴 著 紅 帽, 可 是 事 實 上 這 群 人 卻 可 以 因 為 小 孩 的 這 句 話 而 得 救, 當 小 孩 說 完 話 後 的 第 14 聲 嗶 聲 響 起 時, 所 有 14 個 戴 著 紅 帽 的 學 生 將 會 不 約 而 同 地 同 時 起 身 走 出 這 個 房 間, 而 當 第 15 聲 嗶 聲 響 起 時, 剩 下 的 6 個 學 生 也 會 同 時 起 身 走 出 這 個 房 間 我 們 先 從 最 簡 單 的 情 形 開 始 考 慮 : 假 設 房 間 裡 一 開 始 只 有 一 個 學 生 戴 著 紅 帽, 其 他 19 人 戴 的 都 是 白 帽, 如 果 是 這 樣 的 話, 在 小 孩 講 完 話 後 的 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時, 這 個 戴 著 紅 帽 的 學 生 應 該 就 會 起 身 離 開, 因 為 他 舉 目 所 見 盡 是 白 帽, 所 以 很 容 易 能 推 斷 出 自 己 是 房 間 裡 唯 一 戴 著 紅 帽 的 人 接 著 我 們 考 慮 稍 微 複 雜 一 點 的 情 形 : 假 設 房 間 裡 一 開 始 有 A 和 B 兩 個 學 生 戴 著 紅 帽, 其 他 人 戴 的 都 是 白 帽, 如 果 是 這 樣 的 話, 當 小 孩 講 完 話 後 的 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時, 由 於 房 間 裡 的 每 個 人 都 看 到 一 頂 或 兩 頂 紅 帽 但 無 法 確 定 自 己 的 帽 子 的 顏 色, 因 此 沒 有 人 起 身 離 開 ;A 接 著 這 麼 想 : 如 果 我 戴 的 是 白 帽, 那 麼 這 個 房 間 裡 B 是 唯 一 戴 著 紅 帽 的 人, 他 應 該 會 在 剛 才 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 就 走 了, 既 然 他 沒 走, 可 見 我 戴 的 是 紅 帽 B 和 A 的 想 法 類 似, 因 此 在 小 孩 講 完 話 後 的 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時,A 和 B 將 同 時 起 身 離 開 房 間 如 果 房 間 裡 一 開 始 有 A B C 三 個 學 生 戴 著 紅 帽, 其 他 人 戴 的 都 是 白 帽 的 話, 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時,A 看 到 B 和 C 兩 人 沒 有 離 開 房 間 就 知 道 房 間 裡 不 只 B 和 C 兩 人 戴 著 紅 帽, 可 見 自 己 也 戴 著 紅 帽 ;B 和 C 也 有 類 似 的 想 法, 因 此 他 們 三 人 在 第 三 聲 嗶 聲 響 起 時 將 同 時 離 開 房 間 依 此 第 34 期 e 21
類 推, 可 知 原 來 的 問 題 中 當 小 孩 說 完 話 後 的 第 14 聲 嗶 聲 響 起 時, 所 有 14 個 戴 著 紅 帽 的 學 生 將 會 同 時 起 身 離 開 房 間, 而 其 他 沒 趕 上 這 一 波 出 走 潮 的 人 將 明 白 自 己 戴 的 是 白 帽, 因 此 在 第 15 聲 嗶 聲 響 起 時, 剩 下 的 6 個 人 將 同 時 起 身 走 出 這 個 房 間 無 形 的 合 作 某 位 老 師 將 A 和 B 兩 個 推 理 能 力 很 強 的 學 生 找 到 一 個 房 間 裡 來, 分 別 隱 密 地 交 給 每 個 人 一 張 紙 條, 每 張 紙 條 上 各 寫 著 一 個 正 整 數, 老 師 告 訴 他 們 寫 在 這 兩 張 紙 條 上 的 數 是 兩 個 連 續 的 正 整 數, 但 不 知 道 是 多 少, 也 不 知 道 誰 的 較 大 誰 的 較 小, 並 要 求 這 兩 人 不 許 交 談 或 以 任 何 方 式 交 換 資 訊 這 個 房 間 裡 擺 著 一 個 計 時 器, 每 隔 十 分 鐘 就 會 發 出 一 聲 嗶 聲,A 和 B 得 到 的 指 令 是 : 如 果 有 任 何 人 在 任 何 時 刻 能 推 斷 出 對 方 拿 到 的 數 是 多 少 的 話, 他 就 可 以 ( 而 且 必 須 ) 在 其 後 的 下 一 聲 嗶 聲 響 起 時 走 出 這 個 房 間 這 一 次 如 果 沒 有 前 面 例 子 中 的 小 孩 的 幫 助 的 話, 這 兩 人 有 沒 有 可 能 可 以 離 開 房 間 呢? 前 面 的 例 子 中, 小 孩 看 似 無 心 的 話 觸 發 了 我 們 一 連 串 的 推 論 而 使 得 問 題 得 以 解 決, 現 在 這 個 問 題 中, 題 目 提 到 每 個 人 拿 到 的 數 都 是 正 整 數, 這 項 看 起 來 不 大 起 眼 的 資 訊 同 樣 扮 演 了 關 鍵 的 角 色, 足 以 讓 我 們 由 最 小 的 正 整 數 開 始, 以 由 小 而 大 的 順 序 來 說 明 隨 著 時 間 的 流 逝,A 和 B 一 定 都 能 在 特 定 時 刻 推 斷 出 對 方 拿 到 的 正 整 數 是 多 少 首 先, 假 設 兩 人 拿 到 的 連 續 正 整 數 是 1 和 2, 在 計 時 器 發 出 第 一 聲 嗶 聲 時, 拿 到 1 的 學 生 將 會 走 出 房 間, 因 為 與 1 相 鄰 的 正 整 數 只 能 是 2, 因 此 他 知 道 另 一 個 學 生 一 定 是 拿 到 2 如 果 這 兩 人 一 開 始 拿 到 的 數 是 2 和 3 呢? 他 們 在 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 因 為 資 訊 不 足 而 仍 會 留 在 房 間 裡, 不 過 拿 到 2 的 人 接 下 來 在 心 裡 這 麼 想 : 既 然 我 拿 到 2, 對 方 一 定 是 拿 到 1 或 3, 可 是 如 果 對 方 拿 到 的 是 1 的 話, 他 在 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 應 該 就 已 經 走 了, 既 然 他 沒 走, 可 見 他 一 定 是 拿 到 3 因 此 這 個 拿 到 2 的 學 生 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時 將 會 走 出 房 間 如 果 兩 人 一 開 始 拿 到 的 數 是 3 和 4 呢? 情 況 很 類 似, 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 後, 拿 到 3 的 人 心 裡 這 麼 想 : 既 然 我 拿 到 3, 對 方 一 定 是 拿 到 2 或 4, 可 是 如 果 對 方 拿 到 的 是 2 的 話, 他 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時 應 該 就 已 經 走 了, 既 然 他 沒 走, 可 見 他 一 定 是 拿 到 4 因 此 這 個 拿 到 3 的 學 生 在 第 三 聲 嗶 聲 響 起 時 將 會 走 出 房 間 一 般 而 言, 如 果 這 兩 個 學 生 拿 到 的 數 是 n 和 n+1, 那 麼 在 第 n 聲 嗶 聲 響 起 時, 拿 到 n 的 學 生 將 因 為 知 道 另 一 個 學 生 拿 到 的 數 是 n+1 而 走 出 房 間, 而 當 第 n+1 聲 嗶 聲 響 起 時, 房 間 裡 唯 一 留 下 的 學 生 將 因 為 知 道 剛 才 離 開 的 學 生 拿 到 的 數 是 n 而 走 出 房 間 這 個 問 題 還 可 以 改 寫 成 一 個 更 有 趣 的 版 本, 這 個 新 版 本 不 是 靠 計 時 器 而 是 透 過 兩 人 的 對 話 來 讓 問 題 推 進 假 設 老 師 發 完 紙 條 後, 開 始 問 這 兩 人 看 誰 能 猜 出 對 方 的 數 是 多 少 A 答 : 我 猜 不 到 B 也 答 : 我 猜 不 到 A 想 了 想 之 後 說 : 我 還 是 猜 不 到 B 想 了 想 之 後 說 : 我 也 還 是 猜 不 到 A 再 想 了 想 之 後 說 : 我 仍 是 猜 不 到 B 再 想 了 想 之 後 說 : 我 也 仍 是 猜 不 到 22 e ZX 數 學 天 地
突 然,A 興 奮 地 大 叫, 說 自 己 猜 到 了! 而 B 也 緊 接 著 大 叫, 說 自 己 也 猜 到 了! 請 問 : 這 兩 人 拿 到 的 連 續 正 整 數 分 別 是 多 少? 答 案 是 :A 拿 到 7,B 拿 到 8 這 樣 的 題 目 是 不 是 有 點 禪 味 呢? 實 數 的 推 測 某 位 老 師 將 A 和 B 兩 名 推 理 能 力 很 強 的 學 生 找 到 一 個 房 間 裡 來, 分 別 在 每 個 人 的 前 額 貼 上 一 張 紙 片, 上 面 各 寫 著 一 個 非 負 實 數, 並 告 訴 他 們 這 兩 個 非 負 實 數 的 和 可 能 是 6 或 7; 這 兩 人 互 相 看 得 到 對 方 額 頭 上 的 數, 但 都 不 知 道 也 看 不 到 自 己 額 頭 上 的 數, 兩 人 也 被 要 求 不 許 交 談 或 以 任 何 方 式 交 換 資 訊 這 個 房 間 裡 擺 著 一 個 計 時 器, 每 隔 十 分 鐘 就 會 發 出 一 聲 嗶 聲, 他 們 得 到 的 指 令 是 : 如 果 有 任 何 人 在 任 何 時 刻 能 猜 到 自 己 額 頭 上 的 數 是 多 少 的 話, 他 就 可 以 ( 而 且 必 須 ) 在 其 後 的 下 一 聲 嗶 聲 響 起 時 走 出 這 個 房 間 以 下 我 們 將 說 明 : 隨 著 時 間 的 流 逝,A 和 B 一 定 有 人 可 以 打 破 僵 局, 能 在 特 定 時 刻 推 斷 出 自 己 額 頭 上 的 實 數 是 多 少 假 設 A 和 B 額 頭 上 的 非 負 實 數 分 別 是 x 和 y, 我 們 已 知 xm0,ym0 而 且 x+y=6 或 x+y=7 如 果 x 大 於 6 的 話, 當 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時,B 就 能 走 出 房 間 了, 例 如 當 B 看 到 A 額 頭 上 的 x 為 6.3 時, 他 就 知 道 x+y 的 值 一 定 是 7 而 不 會 是 6, 因 此 自 己 額 頭 上 的 y 一 定 是 0.7 反 過 來 的 情 形 也 類 似 : 如 果 y>6, 那 麼 A 就 會 在 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 走 出 房 間 圖 一 中, 我 們 將 (x, y) 看 作 平 面 上 的 點 的 坐 標, 由 於 x 和 y 都 是 非 負 實 數, 因 此 我 們 只 須 考 慮 直 線 x+y=6 和 x+y=7 在 第 一 象 限 中 的 部 分 即 可, 線 上 的 每 個 點 都 對 應 到 老 師 交 給 學 生 的 一 組 可 能 的 非 負 實 數 如 果 x>6 或 y>6, 當 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 就 有 人 可 以 離 開 房 間, 我 們 在 圖 中 將 這 種 情 形 對 應 到 的 點 以 藍 色 顯 示, 並 在 旁 邊 標 上 1 來 表 示 這 些 點 是 對 應 到 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 有 人 可 以 走 出 房 間 的 情 形 圖 一 圖 二 如 果 在 第 一 聲 嗶 聲 響 起 時 兩 人 都 沒 有 走 出 房 間, 那 麼 A 和 B 兩 人 都 知 道 0NxN6 且 0NyN6 ( 而 且 都 知 道 對 方 知 道 ) 如 果 x 是 一 個 小 於 1 的 數 的 話, 當 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時,B 就 能 走 出 房 間 了, 例 如 當 B 看 到 A 額 頭 上 的 x 為 0.4 時, 他 就 知 道 自 己 額 頭 上 的 y 一 定 是 5.6, 因 為 x+y 的 值 一 定 是 6 而 不 會 是 7 反 過 來 的 情 形 也 類 似 : 如 果 y 小 於 1, 那 麼 A 就 會 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時 走 出 房 間 圖 二 中, 我 們 將 圖 一 的 兩 條 直 線 上 還 未 被 著 色 的 點 中 滿 足 0Nx<1 或 0Ny<1 的 點 以 紅 色 顯 示, 並 在 旁 邊 標 上 2 來 表 示 這 些 點 是 對 應 到 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時 有 人 可 以 走 出 房 間 的 情 形 第 34 期 e 23
如 果 在 第 二 聲 嗶 聲 響 起 時 兩 人 都 沒 有 走 出 房 間, 那 麼 A 和 B 兩 人 都 知 道 1NxN6 且 1NyN6 如 果 x 是 一 個 介 於 5 到 6 之 間 的 數, 那 麼 當 第 三 聲 嗶 聲 響 起 時,B 就 能 走 出 房 間 了, 例 如 當 B 看 到 A 額 頭 上 的 x 為 5.7 時, 他 就 知 道 自 己 額 頭 上 的 y 一 定 是 1.3, 因 為 x+y 的 值 一 定 是 7 而 不 會 是 6 反 過 來 的 情 形 也 類 似 : 如 果 y 是 介 於 5 到 6 之 間 的 數, 那 麼 A 就 會 在 第 三 聲 嗶 聲 響 起 時 走 出 房 間 圖 三 中, 我 們 將 圖 二 的 兩 條 直 線 上 還 未 被 著 色 的 點 中 滿 足 5<xN6 或 5<yN6 的 點 以 紅 色 顯 示, 並 在 旁 邊 標 上 3 來 表 示 這 些 點 是 對 應 到 第 三 聲 嗶 聲 響 起 時 有 人 可 以 走 出 房 間 的 情 形 依 此 類 推 可 得 圖 四 的 結 果, 圖 中 顯 示 了 隨 著 時 間 的 流 逝, 各 階 段 嗶 聲 響 起 時 有 人 可 以 走 出 房 間 的 情 形 所 對 應 到 的 點, 我 們 看 到 只 有 當 (x,y)=(3,3) 時 才 需 等 到 第 八 聲 嗶 聲 響 起 才 有 人 走 出 房 間, 如 果 是 其 他 情 形 的 話 都 會 在 更 早 的 嗶 聲 響 起 時 就 有 人 可 以 走 出 房 間 圖 三 圖 四 結 語 當 我 們 要 對 某 件 事 做 出 判 斷 或 決 策 時, 所 根 據 的 常 是 我 們 自 身 對 那 件 事 情 瞭 解 的 程 度, 由 本 文 的 幾 個 例 子 可 知 對 某 些 事 而 言, 我 們 在 做 出 判 斷 或 決 策 時 最 好 也 要 將 別 人 對 那 件 事 的 瞭 解 程 度 列 入 考 慮, 甚 至 還 要 考 慮 別 人 對 我 們 對 那 件 事 的 瞭 解 程 度 我 們 對 別 人 對 我 們 對 那 件 事 的 瞭 解 程 度 等 本 文 的 幾 個 問 題 的 論 述 方 式 其 實 都 很 接 近 數 學 歸 納 法, 數 學 上 有 一 個 關 於 考 試 日 期 的 趣 題 也 可 以 用 類 似 的 方 法 來 說 明, 問 題 說 的 是 有 一 位 老 師 向 班 上 學 生 宣 布 : 在 下 星 期 的 五 天 ( 星 期 一 到 星 期 五 ) 當 中 的 某 一 天, 我 們 將 舉 行 一 次 考 試, 至 於 是 哪 一 天 我 現 在 不 說, 你 們 也 不 可 能 知 道, 只 有 到 了 考 試 當 天 早 上 八 點 鐘 我 才 會 通 知 你 們 下 午 一 點 要 考 試 老 師 的 話 聽 起 來 似 乎 稀 鬆 平 常, 但 是 如 果 他 所 說 的 話 是 真 的, 那 麼 這 場 考 試 根 本 不 會 舉 行, 為 什 麼? 首 先, 考 試 不 可 能 在 星 期 五 舉 行, 因 為 如 果 到 了 星 期 四 都 還 沒 舉 行 考 試 的 話, 整 個 星 期 的 上 課 日 只 剩 一 天, 學 生 們 就 會 知 道 一 定 是 星 期 五 要 考 試, 這 將 與 老 師 事 先 承 諾 的 你 們 不 可 能 知 道 相 牴 觸 既 然 星 期 五 已 被 排 除, 星 期 四 就 成 了 有 可 能 舉 行 考 試 的 最 後 日 期, 但 是 考 試 也 不 可 能 在 星 期 四 舉 行, 因 為 如 果 到 星 期 三 都 還 沒 考 試, 學 生 們 就 會 知 道 一 定 是 星 期 四 要 考 試, 同 樣 又 與 老 師 的 承 諾 牴 觸 ; 依 此 類 推, 考 試 在 星 期 三 星 期 二 星 期 一 舉 行 的 可 能 性 都 將 被 一 一 排 除 以 致 根 本 無 法 舉 行 隨 著 2012 年 的 接 近, 末 日 預 言 想 必 又 會 掀 起 一 番 討 論 ; 從 過 去 一 段 時 間 裡 媒 體 的 報 導 看 來, 世 界 各 地 的 先 知 們 對 什 麼 日 子 會 是 世 界 末 日 似 乎 仍 莫 衷 一 是, 或 許 正 會 是 個 令 人 無 法 預 料 事 先 不 可 能 知 道 的 日 子, 果 真 如 此 的 話, 我 們 還 有 什 麼 好 擔 心 的 呢? 24 e ZX 數 學 天 地