96 課 本 習 題 解 答 習 題 - 一 基 礎 題 在 任 一 個 有 個 小 孩 的 家 庭 中, 設 每 個 小 孩 是 男 生 或 女 生 的 機 率 均 為 下 列 敘 述 何 者 正 確? 若 已 知 個 都 是 男 孩, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為. 若 已 知 老 大 和 老 二 都 是 男 孩, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為 若 已 知 個 小 孩 性 別 相 同, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為.. 若 已 知 個 小 孩 中 只 有 一 個 男 生, 則 老 三 是 男 孩 的 機 率 為 解 : 令 A 表 老 三 是 男 孩 的 事 件, B 表 個 小 孩 都 是 男 孩 的 事 件, C 表 老 大 和 老 二 都 是 男 孩 的 事 件, D 表 個 小 孩 性 別 相 同 的 事 件, E 表 個 小 孩 中 只 有 一 個 男 生 的 事 件. A {( 男, 男, 男 ),( 女, 男, 男 ),( 男, 女, 男 ),( 女, 女, 男 )}; B {( 男, 男, 男 )}; C {( 男, 男, 男 ),( 男, 男, 女 )}; D {( 男, 男, 男 ),( 女, 女, 女 )}; E {( 男, 女, 女 ),( 女, 男, 女 ),( 女, 女, 男 )}... A B {( 男, 男, 男 )}. 已 知 在 B 發 生 的 條 件 下, A 發 生 的 機 率 為 P A B n A B n B. A C {( 男, 男, 男 )}. 已 知 在 C 發 生 的 條 件 下, A 發 生 的 機 率 為 P A C n A C n C. A D {( 男, 男, 男 )}. 已 知 在 D 發 生 的 條 件 下, A 發 生 的 機 率 為 P A D n A D n D. A E {( 女, 女, 男 )}. 已 知 在 E 發 生 的 條 件 下, A 發 生 的 機 率 為 P A E n A E n E. 故 選 項 正 確.
課 本 習 題 解 答 97 設 A 與 B 為 獨 立 事 件, 下 列 選 項 何 者 正 確? P A B P A P B. P B A P B. P B A P A. P B A' P B. 解 : 根 據 獨 立 事 件 的 定 義 及 性 質, A 與 B 為 獨 立 事 件, 則 P B A P B, P A B P A P B, 習 題 且 A' 與 B 也 為 獨 立 事 件, 即 P B A' P B. 故 選 項 正 確. 設 A 與 B 為 二 事 件, 若 P A, P B, P A B 4. 求 下 列 機 率 : P B A. P B' A. P A' B'. 解 : P B A P A B P A 4. P B' A P A P A B 4 4, 因 此 P B' A P A B' 4 P A. P A B P A + P B P A B + 4 7, 故 P A' B' P A B. 5 5 P A' B' P A' B' P B' 5 8.
98 課 本 習 題 解 答 4 甲 乙 兩 人 解 同 一 問 題, 甲 解 出 這 個 問 題 的 機 率 是 0.4, 乙 解 出 這 個 問 題 的 機 率 是 0.5. 在 兩 人 解 題 互 不 影 響 下, 求 兩 人 都 解 出 此 問 題 的 機 率. 恰 有 一 人 解 出 此 問 題 的 機 率. 至 少 有 一 人 解 出 此 問 題 的 機 率. 已 知 兩 人 中 恰 有 一 人 解 出 此 問 題, 求 此 題 是 由 甲 解 出 的 機 率. 解 : 令 A, B 分 別 表 示 甲, 乙 解 出 此 問 題 的 事 件. 且 A, B 為 獨 立 事 件. P A B P A P B 0.4 0.5 0.. 恰 有 一 人 解 出 此 問 題 的 情 形 為 甲 解 出 乙 沒 解 出 或 甲 沒 解 出 乙 解 出, 機 率 為 P A B' + P A' B 0.4 0.5 + 0.6 0.5 0.5. 至 少 有 一 人 解 出 此 問 題 的 情 形 為 恰 一 人 解 出 或 兩 人 都 解 出, 且 兩 情 形 為 互 斥, 故 機 率 為 0. + 0.5 0.7. 在 恰 有 一 人 解 出 的 條 件 下, 由 甲 解 出 的 機 率 為 0.4 0.5 0.4 0.5 + 0.6 0.5 0. 0.5 0.4. 5 某 電 視 臺 舉 辦 過 關 遊 戲, 每 位 參 賽 者 要 依 序 過 三 關, 過 關 者 才 能 繼 續 參 加 下 一 關 挑 戰, 每 一 關 被 淘 汰 的 機 率 是 且 每 一 關 過 關 與 否 不 互 相 影 響,. 小 明 被 淘 汰 的 機 率 為 多 少? 若 已 知 小 明 被 淘 汰 了, 則 他 是 在 最 後 一 關 被 淘 汰 的 機 率 為 多 少? 解 : 令 A, B, C 分 別 表 示 通 過 第 一 關, 第 二 關 或 第 三 關 的 事 件, 且 A, B, C 為 獨 立 事 件. 小 明 過 三 關 的 機 率 為 P A B C P A P B P C 因 此 小 明 被 淘 汰 的 機 率 為 7 6 7. 7,
6 小 明 是 在 最 後 一 關 被 淘 汰 的 機 率 為 P A B C' 因 此 已 知 小 明 被 淘 汰 的 條 件 下, 他 是 在 最 後 一 關 被 淘 汰 的 機 率 為 課 本 習 題 解 答 99 7. 7 6. 7 某 盞 吊 燈 上 並 聯 個 燈 泡, ( 並 聯 時, 只 要 有 一 燈 泡 發 光 吊 燈 就 會 亮 ). 已 知 通 電 時 燈 泡 能 正 常 發 光 的 機 率 都 是 0.7, 求 此 吊 燈 能 亮 的 機 率. 習 題 解 : 若 此 吊 燈 能 亮, 則 個 燈 泡 中 至 少 有 一 個 燈 泡 發 光. 個 燈 泡 都 不 發 光 的 機 率 為 0. 0. 0. 0.07, 因 此 此 吊 燈 能 亮 的 機 率 為 0.07 0.97. 二 進 階 題 7 設 甲 袋 內 有 4 個 銀 幣 和 個 金 幣, 乙 袋 內 有 個 銀 幣. 今 由 甲 袋 取 出 4 個 錢 幣 放 入 乙 袋, 再 從 乙 袋 中 取 出 5 個 錢 幣 放 回 甲 袋, 求 金 幣 在 乙 袋 的 機 率. 解 : 設 A 表 示 從 甲 袋 中 取 出 金 幣 的 事 件, B 表 示 從 乙 袋 中 取 出 金 幣 的 事 件. 若 最 後 金 幣 在 乙 袋 裡, 表 示 從 甲 袋 取 出 的 4 個 錢 幣 中 有 個 金 幣, 且 從 乙 袋 中 取 出 的 5 個 錢 幣 沒 有 金 幣, 機 率 為 P A B'. P A B' P A P B' A C 4 C C 5 4 C 6 5 C 7 5 4 5 6 8 5.
00 課 本 習 題 解 答 8 根 據 統 計, 5% 的 男 性 及 0.% 的 女 性 為 色 盲, 且 臺 灣 地 區 的 新 生 兒 中 男 女 比 率 為. :, 求 臺 灣 地 區 新 生 兒 色 盲 者 中 男 女 的 比 率. 解 : 依 題 意 畫 樹 狀 圖 如 下 :. 男 0.95 0.05 正 常 不 正 常 女 0.997 0.00 正 常 不 正 常 因 此, 新 生 兒 色 盲 男 女 的 比 率 為. 0.05 : 0.00 55 :. 9 設 兩 事 件 A 與 B 滿 足 P A 0.5, P A B 0.8. 已 知 A 與 B 為 互 斥 事 件, 求 P B. 已 知 A 與 B 為 獨 立 事 件, 求 P B. 解 : 因 為 A 與 B 為 互 斥 事 件, 所 以 P A B 0. 根 據 排 容 原 理 得 知, P A B P A + P B P A B 0.8 0.5 + P B 0, 解 得 P B 0.. 因 為 A 與 B 為 獨 立 事 件, 所 以 P A B P A P B 0.5 P B. 根 據 排 容 原 理 得 知, P A B P A + P B P A B 0.8 0.5 + P B 0.5 P B, 解 得 P B 0.6.
課 本 習 題 解 答 0 0 下 列 電 路 圖 中 有 個 開 關, 電 流 通 過 各 開 關 的 機 率 均 為 操 作 獨 立. 求 電 流 從 左 端 流 到 右 端 的 機 率. 5, 且 各 開 關 的 習 題 解 : 設 電 流 分 別 通 過 上 端 左 方 的 開 關, 上 端 右 方 的 開 關, 下 端 的 開 關 的 事 件 為 A, B, C. 由 圖 知, 電 流 可 從 左 端 流 到 右 端 的 機 率 為 P A B C. 因 為 各 開 關 的 操 作 獨 立, 所 以 P A B P A P B 5 P A B C 5 5 5 5. 7 5 9 5, 故 P A B C P A B + P C P A B C 9 5 + 5 7 5 9 5. 袋 中 有 個 紅 球 4 個 白 球, 甲 乙 兩 人 輪 流 取 球, 每 次 取 一 球, 約 定 先 取 到 紅 球 者 勝. 若 球 取 出 後 不 放 回, 則 甲 獲 勝 的 機 率 為 多 少? 若 球 取 出 後 均 再 放 回, 則 甲 獲 勝 的 機 率 為 多 少? 解 : 若 甲 要 獲 勝, 可 能 的 情 形 有 以 下 的 樹 狀 圖 : 第 一 回 合 第 二 回 合 第 三 回 合 甲 紅 甲 白 乙 白 甲 紅 甲 白 乙 白 甲 白 乙 白 若 球 取 出 後 不 放 回, 甲 獲 勝 的 機 率 為 6 + 4 6 5 4 + 4 6 5 4 甲 紅 6 + 5 + 5 5.
0 課 本 習 題 解 答 若 球 取 出 後 均 再 放 回, 甲 獲 勝 的 機 率 為 6 + ( 4 6 ) 6 + ( 4 6 ) 4 6 + 6 ( 4 6 ) 5. 歐 美 許 多 國 家 的 法 庭 通 常 設 有 陪 審 團 制 度. 假 設 被 選 中 參 加 一 項 刑 案 審 判 的 陪 審 團, 不 論 被 告 有 罪 或 無 罪, 都 有 95% 的 機 會 做 出 正 確 的 判 決. 另 外, 當 地 警 方 執 法 嚴 謹, 在 接 受 法 庭 審 判 的 被 告 當 中 有 99% 是 真 正 有 罪 的. 若 已 知 陪 審 團 判 某 被 告 無 罪, 則 該 名 被 告 真 的 無 罪 的 機 率 為 多 少? 解 : 依 題 意 畫 樹 狀 圖 如 下 : 0.99 0.0 0.95 真 正 有 罪 0.05 0.05 真 正 無 罪 0.95 被 判 有 罪 被 判 無 罪 被 判 有 罪 被 判 無 罪 設 A 為 被 告 真 正 無 罪 的 事 件, B 為 被 告 被 判 無 罪. 因 為 A 與 B 互 為 獨 立 事 件, 所 以 陪 審 團 判 被 告 無 罪 的 機 率 P B P A' B + P A B 0.99 0.05 + 0.0 0.95 0.059. 若 已 知 陪 審 團 判 被 告 無 罪, 則 該 名 被 告 真 的 無 罪 的 機 率 為 P A B P A B P B 0.0 0.95 0.059 0.0095 0.059 9 8.
課 本 習 題 解 答 0 習 題 - 在 重 複 丟 一 個 硬 幣 0 次 的 試 驗 中, 下 列 敘 述 何 者 是 正 確 的? 可 能 出 現 0 次 正 面. 恰 出 現 0 次 正 面 的 機 率 為. 出 現 正 面 次 數 的 期 望 值 為 0 次. 出 現 6 次 正 面 的 機 率 等 於 出 現 4 次 正 面 的 機 率. 習 題 解 : 恰 出 現 0 次 正 面 的 機 率 為 C 0 0 ( ) 0 ( ) 0 出 現 正 面 次 數 的 期 望 值 為 0 0( 次 ). 出 現 6 次 正 面 的 機 率 為 C 0 6 ( ) 6 ( ) 4,. 出 現 4 次 正 面 的 機 率 為 C 0 4 ( ) 4 ( ) 6, 兩 者 相 等. 故 答 案 為. 設 某 人 射 飛 鏢 時 射 中 靶 面 的 機 率 是 直 到 第 四 次 才 射 中 靶 面 的 機 率. 恰 好 射 中 靶 面 次 的 機 率. 4, 他 連 續 射 了 4 次. 求 解 : 直 到 第 四 次 才 射 中 靶 面 的 機 率 為 ( 4 ) ( 4 ) 7 56. 恰 好 射 中 靶 面 次 的 機 率 為 C 4 ( 4 ) ( 4 ) 7 8.
04 課 本 習 題 解 答 阿 南 每 天 走 同 一 條 路 上 學, 共 需 經 過 6 個 紅 綠 燈. 設 阿 南 在 每 個 路 口 會 碰 到 紅 燈 的 機 率 是 而 6 個 路 口 的 紅 綠 燈 是 互 相 獨 立 的,. 求 至 少 碰 到 4 次 紅 燈 的 機 率. 阿 南 每 天 上 學 時, 會 碰 到 紅 燈 次 數 的 期 望 值. 解 : 至 少 碰 到 4 次 紅 燈 的 情 況 為 : 碰 到 4 次, 碰 到 5 次 或 碰 到 6 次, 機 率 為 C 6 4 ( ) 4 ( ) + C 6 5 ( ) 5 ( ) + C 6 6 ( ) 6 ( ) 0 0 4 + 4 4 + 79 79. 7 會 碰 到 紅 燈 次 數 的 期 望 值 為 6 ( 次 ). 4 甲 乙 兩 隊 進 行 5 戰 勝 制 的 棒 球 比 賽, 前 場 中 甲 隊 以 勝 敗 暫 時 落 後. 已 知 過 去 兩 隊 的 比 賽 中, 單 場 比 賽 甲 隊 勝 的 機 率 是 0.7, 求 最 終 甲 隊 獲 勝 的 機 率. 解 : 甲 最 終 會 贏 的 可 能 情 形 是 連 勝 局, 機 率 為 (0.7) 0.49. 習 題 - 下 表 是 某 系 研 究 所 統 計 歷 年 來 不 同 血 型 的 研 究 生 所 得 學 位 的 雙 向 表 : A B O AB 博 士 8 0 6 碩 士 84 57 90 4 獲 得 博 士 學 位 的 人 中, O 型 者 占 多 少 百 分 比? 各 血 型 的 研 究 生 中, 各 有 多 少 百 分 比 的 人 獲 得 博 士 學 位?
課 本 習 題 解 答 05 解 : 獲 得 博 士 學 位 的 人 共 有 + 8 + 0 +6 75 人. 0 O 型 者 所 占 百 分 比 為 75 40%. 各 血 型 的 研 究 生 中 獲 得 博 士 學 位 的 比 例 : A 型 : + 84 0%, B 型 : 8 8 + 57 4%, O 型 : 0 0 + 90 5%, AB 型 : 6 6+4 0%. 某 學 校 的 教 師 中 已 婚 男 老 師 有 8 人, 已 婚 女 老 師 0 人, 未 婚 男 老 師 習 題 人, 未 婚 女 老 師 0 人. 列 出 該 校 教 師 的 性 別 和 婚 姻 狀 況 雙 向 表. 該 校 的 教 師 中, 性 別 和 婚 姻 狀 況 是 否 有 關? 今 加 入 新 進 男 老 師 0 名 後, 性 別 和 婚 姻 狀 況 仍 為 獨 立 狀 態, 試 問 新 進 0 名 男 老 師 中, 有 幾 人 為 未 婚 狀 態? 解 : 性 別 和 婚 姻 狀 況 雙 向 表 如 下 : 已 婚 未 婚 男 性 8 女 性 0 0 8 男 性 中 已 婚 者 的 比 例 為 8 + 0.6, 0 女 性 中 已 婚 者 的 比 例 為 0 + 0 0.6, 兩 者 相 同, 故 性 別 和 婚 姻 狀 況 為 獨 立 事 件. 設 有 x 人 為 未 婚 狀 態, 則 已 婚 未 婚 男 性 8 + 0 x + x 女 性 0 0 此 時 男 性 中 已 婚 者 的 比 例 應 等 於 女 性 中 已 婚 者 的 比 例, 即 8 + 0 x 8 + + 0 0.6, 得 x 4.
06 課 本 習 題 解 答 某 藥 品 測 試 欲 徵 求 試 用 者 5 人, 其 性 別 與 國 籍 雙 向 表 如 下 : 本 國 籍 外 國 籍 男 性 50 x 女 性 y 0 若 欲 使 性 別 與 國 籍 獨 立, x, y 應 各 取 多 少 人? 解 : 依 題 意, 50 + x + y +05, 得 x + y 65. 性 別 與 國 籍 獨 立 時, 男 性 中 本 國 籍 的 比 例 等 於 女 性 中 本 國 籍 的 比 例, 即 50 50 + x y 整 理 得 xy 000 y +0,. x + y 65, 解 聯 立 方 程 組 得 x 5 xy 000, y 40 或 x 40, y 5.. 習 題 -4 一 基 礎 題 右 圖 表 兩 組 數 據 X 與 Y 的 散 布 圖. 試 問 其 相 關 係 數 r 最 接 近 下 列 何 值?.. 0.5. 0.5.. 解 : 圖 形 為 高 度 正 相 關, 答 案 為.
課 本 習 題 解 答 07 右 圖 所 示 有 5 筆 資 料 ( X, Y ) 的 散 布 圖. 試 問 去 掉 哪 一 筆 資 料 後, 剩 下 來 4 筆 資 料 的 相 關 係 數 最 大? A. B. C. D. 習 題 E. 解 : 去 掉 D 所 餘 的 各 點, 最 接 近 一 直 線. 答 案 為. 某 數 學 老 師 算 出 學 生 的 學 期 成 績 後, 將 每 位 同 學 的 成 績 先 加 0 分 再 乘 以 0.8, 設 X, Y 分 別 表 示 學 生 的 原 始 成 績 與 調 整 後 成 績, 求 X 與 Y 的 相 關 係 數. 解 : 依 題 意, Y 0.8 X +0 0.8X +4. 因 X 與 Y 為 線 性 關 係, 點 的 分 布 均 在 同 一 直 線 上, 相 關 係 數 為. 4 右 圖 是 位 學 生 某 數 學 競 試 得 分 的 散 布 圖. 其 中 X 表 選 擇 題 的 得 分, Y 表 非 選 擇 題 的 得 分. 設 Z X + Y 為 各 生 在 該 測 驗 的 總 分. 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的? X 的 中 位 數 > Y 的 中 位 數. X 的 標 準 差 > Y 的 標 準 差. X 的 全 距 > Y 的 全 距. Z 的 中 位 數 X 的 中 位 數 + Y 的 中 位 數. 若 以 最 小 平 方 法 決 定 迴 歸 直 線, 則 該 直 線 的 斜 率 小 於 0.
08 課 本 習 題 解 答 解 : 在 散 布 圖 中, 由 左 而 右 可 看 出 X 的 中 位 數 為 第 6 個 點 的 X 坐 標 約 為 5, 由 下 往 上 可 看 出 Y 的 中 位 數 為 第 6 個 點 的 Y 坐 標 約 為 8. 故 X 的 中 位 數 > Y 的 中 位 數. 散 布 圖 中 X 的 數 據 約 散 布 在 5 到 48 之 間, Y 的 數 據 約 散 布 在 到 6 之 間, 所 以 Y 的 數 據 資 料 比 X 的 數 據 資 料 集 中, 故 Y 的 標 準 差 < X 的 標 準 差. X 的 全 距 約 為 48 5, Y 的 全 距 約 為 6 4. 故 X 的 全 距 > Y 的 全 距. Z X + Y 但 Z 的 中 位 數 不 一 定 等 於 X 的 中 位 數 + Y 的 中 位 數. 檢 查 散 布 圖 中 位 同 學 的 總 分 Z 由 左 而 右 約 為 7, 46, 57, 5, 57, 70, 6, 7, 70, 78, 84. 由 小 而 大 重 新 排 列 為 7, 46, 5, 57, 57, 6, 70, 70, 7, 78, 84. 中 位 數 為 6 8 + 5. 可 看 出 斜 率 為 正. 答 案 為. 5 某 肥 皂 廠 商 欲 推 出 一 種 新 產 品, 在 上 市 前 以 不 同 的 單 價 x( 單 位 : 十 元 ) 調 查 市 場 的 需 求 量 y( 單 位 : 萬 盒 ). 調 查 結 果 如 下 : x 8 9 0 y 0 8 9 求 x 和 y 的 相 關 係 數. 解 : 平 均 數 x 8+9+0++ 5 0, y ++0+8+9 5 0.
課 本 習 題 解 答 09 計 算 各 值 : x x y y ( x x ) ( y y ) ( x x )(y y ) 8, 4 9, 4 0, 0 0 0 0 0 0, 8 4 習 題, 9 4 總 和 0 0 8 相 關 係 數 r n i ( x i x )(y i y ) n n ( x i x ) ( y i y ) i i 8 0 0 8 0 0.8. 6 科 學 家 在 同 一 地 區 先 後 發 現 了 5 個 陪 葬 的 銅 製 人 體 模 型, 它 們 的 共 同 特 徵 是 身 體 長 度 遠 大 於 手 臂 長 度. 科 學 家 為 了 判 定 這 5 個 銅 人 是 否 屬 於 同 一 文 化, 測 量 得 到 下 列 數 據 : 銅 人 編 號 A B C D E 體 長 X( 公 分 ) 7 4 5 59 60 臂 長 Y( 公 分 ) 5 6 9 7 繪 製 這 5 個 銅 人 身 體 長 度 與 手 臂 長 度 的 散 布 圖. 求 這 5 個 銅 人 身 體 長 度 與 手 臂 長 度 的 相 關 係 數. 求 手 臂 長 度 對 身 體 長 度 的 迴 歸 直 線 方 程 式.
0 課 本 習 題 解 答 解 : 散 布 圖 如 下 : 平 均 數 x 7+4+5+59+60 5 計 算 各 值 50, y 5+6+9++7 5 0. x x y y ( x x ) ( y y ) ( x x )(y y ) A 5 69 5 65 B 7 4 49 6 8 C D 9 8 9 7 E 0 7 00 49 70 相 關 係 數 r n n 總 和 400 00 89 i ( x i x )(y i y ) i ( x i x ) Y 對 X 的 迴 歸 直 線 為 n i ( y i y ) y 0 89 400 x 50, 整 理 得 y 89 400 x 09 8. 89 400 00 89 00 0.945.
課 本 習 題 解 答 7 十 位 同 學 的 性 向 測 驗 ( X ) 與 成 就 測 驗 ( Y ) 的 資 料 如 下 : 性 向 測 驗 X 4 4 5 7 9 6 成 就 測 驗 Y 8 4 6 5 8 9 繪 製 性 向 測 驗 及 成 就 測 驗 的 散 布 圖. 求 出 性 向 測 驗 及 成 就 測 驗 的 相 關 係 數. 習 題 求 出 迴 歸 直 線 方 程 式 並 在 散 布 圖 上 畫 出 迴 歸 直 線. 解 : 散 布 圖 如 下 :
課 本 習 題 解 答 平 均 數 x 7, y 5. ( x, y ) x x y y ( x x ) ( y y ) ( x x )(y y ), 8 4 6 9 4, 9 4 6 4, 4 9 6 5,4 4, 6 4 6 4 7,5 0 0 0 0 0 9,8 4 9 6, 5 5 4 0 6, 4, 9 4 4 6 6 6 總 和 00 64 70 相 關 係 數 r n n i ( x i x )(y i y ) i ( x i x ) n i ( y i y ) Y 對 X 的 迴 歸 直 線 為 y 5 70 00 x 7, 整 理 得 y 7 0 x + 0. 70 00 64 70 80 0.875.
課 本 習 題 解 答 第 章 總 習 題 一 概 念 題 擲 一 個 公 正 骰 子 二 次, 選 出 正 確 的 選 項. 第 一 次 出 現 偶 數 點 的 機 率 是. 點 數 和 是 7 的 機 率 是 6. 若 已 知 點 數 和 是 7, 則 第 一 次 出 現 偶 數 點 機 率 是. 若 已 知 第 一 次 出 現 偶 數 點, 則 點 數 和 是 7 的 機 率 是 6. 習 題 解 : 令 A 表 第 一 次 出 現 偶 數 點 的 事 件, B 表 二 次 點 數 和 為 7 的 事 件. 依 題 意, P A 6, P B 6 6 6 6, P A B 6 6. 若 已 知 點 數 和 是 7, 則 第 一 次 出 現 偶 數 點 的 機 率 為 P A B. 6 若 已 知 第 一 次 出 現 偶 數 點, 則 點 數 和 是 7 的 機 率 為 P B A 6. 答 案 為.
4 課 本 習 題 解 答 已 知 三 事 件 A, B, C 為 獨 立 事 件, 其 發 生 的 機 率 分 別 為 正 確 的 選 項. 三 事 件 均 發 生 的 機 率 為 4. 三 事 件 均 不 發 生 的 機 率 為 4. 恰 有 一 事 件 發 生 的 機 率 為 4. 恰 有 二 事 件 發 生 的 機 率 為 4.,, 選 出 4. 解 : 因 為 三 事 件 A, B, C 為 獨 立 事 件, 所 以 三 事 件 均 發 生 的 機 率 為 P A B C P A P B P C 4 4. 因 為 三 事 件 A, B, C 為 獨 立 事 件, 所 以 三 事 件 均 不 發 生 的 機 率 為 P A' B' C' P A' P B' P C' 4 4. 恰 有 事 件 發 生 的 情 形 為 A 發 生, B, C 不 發 生, B 發 生, A, C 不 發 生 或 C 發 生, A, B 不 發 生, 且 三 情 形 彼 此 為 互 斥 事 件. 因 為 三 事 件 A, B, C 為 獨 立 事 件, 所 以 恰 有 事 件 發 生 的 機 率 為 P A B' C' + P A' B C' + P A' B' C 4 + 4 + 4 4. 恰 有 事 件 發 生 的 情 形 為 A, B 發 生, C 不 發 生, B, C 發 生, A 不 發 生 或 C, A 發 生, B 不 發 生, 且 三 情 形 彼 此 為 互 斥 事 件. 又 因 為 三 事 件 A, B, C 為 獨 立 事 件, 所 以 恰 有 事 件 發 生 的 機 率 為 P A B C' + P A' B C + P A B' C 答 案 為. 4 + 4 + 4 +6+ 4 4.
課 本 習 題 解 答 5 擲 一 枚 勻 稱 的 硬 幣 0 次, 恰 好 出 現 n 次 正 面 的 機 率 記 為 p n, 選 出 正 確 的 選 項. p 5. p p 7. p 0, p, p,, p 0 中 的 最 大 值 是 p 5. p 0, p, p,, p 0 的 平 均 值 為 0.5. 習 題 解 : p 5 C 0 5 5 0 04. p C 0 0 C 0 7 0 p 7. p i C 0 i 0 i 0 C 其 中 i 0,,,, 0 04,. p 0, p, p,, p 0 分 母 皆 為 0 04, 而 分 子 以 C 0 5 最 大, 故 最 大 值 為 p 5. p 0, p, p,, p 0 的 平 均 值 為 p 0 + p + p + + p 0 C 0 0 + C 0 + C 0 + + C 0 0 0 04 04. 答 案 為. 二 程 序 題 4 某 公 司 有 60% 的 員 工 是 男 性. 男 性 員 工 中 有 40% 的 人 抽 菸, 女 性 員 工 中 有 0% 的 人 抽 菸, 今 隨 意 抽 出 一 人, 若 已 知 此 人 為 抽 菸 者, 求 此 人 是 男 性 的 機 率. 解 : 令 A 表 此 人 為 男 性 的 事 件, B 表 此 人 抽 菸 的 事 件. 依 題 意, P A 0.6, P A B 0.6 0.4 0.4. 因 為 抽 菸 的 人 可 能 是 男 性, 也 可 能 是 女 性, 所 以 抽 出 的 人 抽 菸 的 機 率 為 P B 0.6 0.4 + 0.4 0. 0.. 根 據 貝 氏 定 理, P A B P A P B B 0.4 0. 4.
6 課 本 習 題 解 答 5 有 0 筆 資 料 x i, y i, i,,, 0. 其 平 均 x, y 5, x 與 y 的 相 關 係 數 r 0.8, 且 y 對 x 的 迴 歸 直 線 過 點 (, 0). 選 出 正 確 的 選 項. 迴 歸 直 線 過 點 (, 5). 迴 歸 直 線 的 斜 率 為 0.8. 迴 歸 直 線 過 點 (4, 0). x 的 標 準 差 小 於 y 的 標 準 差. 解 : 迴 歸 直 線 必 過 ( x, y )(,5). 已 知 迴 歸 直 線 通 過 ( x, y )(,5) 及 (,0), 因 此 直 線 斜 率 為 5 0 5. 故 迴 歸 直 線 的 方 程 式 為 y 5 5 x y 5x 0. 將 x 4 代 入 迴 歸 直 線 方 程 式 得 5 4 00, 迴 歸 直 線 過 點 (4,0). S 因 為 迴 歸 直 線 的 斜 率 為 r y S S, 所 以 0.8 y 5 S x S y 5 x 4 S x. 因 此 x 的 標 準 差 小 於 y 的 標 準 差. 故 選 項 正 確. 6 甲 打 靶 平 均 每 發 中 發, 今 對 同 一 靶 射 擊 4 發, 假 設 每 次 射 擊 互 不 影 響, 求 靶 面 剛 好 被 射 中 發 的 機 率. 靶 面 被 射 中 次 數 的 期 望 值. 解 : 靶 面 剛 好 被 射 中 發 的 機 率 為 C 4 ( ) ( ) 8 7. 靶 面 被 射 中 次 數 的 期 望 值 為 4 8. 7 擲 個 公 正 的 骰 子 一 次, 在 至 少 出 現 一 個 6 點 的 條 件 下, 求 恰 好 出 現 個 6 點 的 機 率. 解 : 令 A 表 至 少 出 現 一 個 6 點 的 事 件, B 表 恰 好 出 現 個 6 點 的 事 件.
課 本 習 題 解 答 7 依 題 意, P A ( 5 6 ) 9 6, P B C ( 6 ) ( 5 6 ) 5 因 此, P B A P A B P A 三 數 學 解 題 8 5 6 9 6 5 9. 6, P A B P B. 袋 中 有 個 一 樣 大 小 的 球, 分 別 標 示 0 分, 0 分 和 0 分. 重 複 自 袋 中 習 題 每 次 抽 出 一 球, 記 錄 分 數 後 放 回. 求 抽 次 後 總 分 超 過 60 分 的 機 率. 解 : 若 抽 次 總 分 超 過 60 分, 則 次 分 數 可 為 (0,0,0),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0) 四 種. 因 此 機 率 為 ( ) +!!! ( ) +!!! ( ) +!!! ( ) 0 7. 9 英 國 某 實 驗 室 研 究 一 金 屬 圓 柱 ( 原 高 70.5 英 寸 ) 在 不 同 負 重 下 對 柱 高 的 影 響, 其 實 驗 結 果 如 下 : (0,70.5),(,69.4),(4,68.4),(6,67.),(8,66.), (0,65.5),(,64.4). 其 中 測 量 單 位 分 別 為 英 噸 和 英 寸. 將 此 筆 資 料 的 相 關 係 數 記 為 r, 以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 記 為 m. 現 為 提 供 臺 灣 廠 商 資 料, 將 單 位 轉 換 為 公 噸 ( 英 噸.06 公 噸 ) 及 公 分 ( 英 寸.54 公 分 ), 若 單 位 換 算 後 該 資 料 的 相 關 係 數 記 為 R, 以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 記 為 M. 下 列 關 係 有 哪 些 是 正 確 的? rm >0. r >0. r R. m M. 解 : 設 英 國 實 驗 室 研 究 所 得 資 料 中, 兩 組 標 準 差 分 別 為 S x, S y ; 提 供 臺 灣 廠 商 的 資 料 中, 兩 組 標 準 差 分 別 為 S x ', S y '. 以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 m 為 r S y S x, 因 此 rm r r S y S x r S y S x, 因 為 S x, S y 都 大 於 0, 所 以 rm >0.
8 課 本 習 題 解 答 由 資 料 可 發 現, 當 負 重 越 大, 柱 高 有 變 小 的 趨 勢, 因 此 r <0. 因 為 相 關 係 數 與 資 料 的 單 位 無 關, 所 以 r R. 因 為 英 噸.06 公 噸, 所 以 S x '.06 S x. 因 為 英 寸.54 公 分, 所 以 S y '.54 S y. 因 此, M R S y '.54 S y S y r r m S x '.06 S x S. x 故 選 項 正 確. 0 甲 袋 中 有 個 紅 球, 個 白 球, 乙 袋 有 個 紅 球, 個 白 球, 丙 袋 有 5 個 白 球. 擲 一 骰 子 次, 若 出 現 點 數 為, 則 從 甲 袋 抽 出 球, 若 出 現 點 數 或, 則 從 乙 袋 抽 出 球, 若 出 現 點 數 4, 5 或 6, 則 從 丙 袋 抽 出 球. 若 已 知 取 出 的 球 為 同 色, 求 此 球 來 自 乙 袋 的 機 率. 解 : 取 出 的 個 同 色 球 可 能 來 自 甲 袋, 乙 袋 或 丙 袋. C 從 甲 袋 可 能 取 出 個 紅 球 或 個 白 球, 機 率 為 + C 4 0 5. C 從 乙 袋 可 能 取 出 個 紅 球 或 個 白 球, 機 率 為 + C 4 0 5. 從 丙 袋 可 能 取 出 個 白 球, 機 率 為. 根 據 貝 氏 定 理, 已 知 取 出 的 球 為 同 色, 此 球 來 自 乙 袋 的 機 率 為 P 出 現 或 點 P 乙 P 出 現 點 P 甲 + P 出 現 或 點 P 乙 + P 出 現 4 或 5 或 6 點 P 丙 6 5 5 6 5 + 6 5 + 7. 4 6 0 C 5 C 5
歷 屆 試 題 77 歷 屆 試 題 第 章 某 國 中 男 生 占 全 部 學 生 的 五 分 之 三, 其 中 有 五 分 之 二 的 男 生 戴 眼 鏡, 有 三 分 之 一 的 女 生 戴 眼 鏡. 今 任 選 一 位 戴 眼 鏡 的 學 生, 則 該 生 是 男 生 的 機 率 為. ( 以 最 簡 分 數 表 示 ) 87 推 甄 ( ) 如 圖 所 示 有 5 筆 x, y 資 料. 試 問 去 掉 哪 一 筆 資 料 後, 剩 下 來 4 筆 資 料 的 相 關 係 數 最 大? A B C D E. 89 推 甄 歷 屆 ( ) 醫 療 主 管 機 關 在 持 續 追 蹤 某 傳 染 病 多 年 後, 發 現 如 果 體 檢 受 檢 人 感 染 該 傳 染 病, 就 一 定 可 以 檢 測 出 來. 但 是 卻 有 4% 的 機 率, 將 一 不 患 有 該 傳 染 病 之 受 檢 者 誤 檢 為 患 有 該 病. 已 知 全 部 男 性 人 口 中 有 0.% 的 機 率 患 有 此 病. 現 於 兵 役 體 檢 時 進 行 檢 測, 若 該 梯 次 役 男 共 有 十 萬 人 受 檢, 而 且 某 役 男 被 告 知 患 有 該 病. 請 問 下 列 哪 些 敘 述 為 真? 該 役 男 確 實 染 病 的 機 率 大 於 % 該 役 男 確 實 染 病 的 機 率 大 於 4% 該 役 男 確 實 染 病 的 機 率 大 於 5% 該 役 男 確 實 染 病 的 機 率 大 於 90%. 9 指 甲 某 次 數 學 測 驗 共 有 5 題 單 一 選 擇 題, 每 題 都 有 五 個 選 項, 每 答 對 一 題 可 得 4 分, 答 錯 倒 扣 分. 某 生 確 定 其 中 6 題 可 答 對 ; 有 6 題 他 確 定 五 個 選 項 中 有 兩 個 選 項 不 正 確, 因 此 這 6 題 他 就 從 剩 下 的 選 項 中 分 別 猜 選 一 個 ; 另 外 題 只 好 亂 猜, 則 他 這 次 測 驗 得 分 之 期 望 值 為 分. ( 計 算 到 整 數 為 止, 小 數 點 以 後 四 捨 五 入. ) 9 學 測 9 4 68 答 案