數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) 整 數 這 個 名 稱, 避 免 混 淆 例 如 : 我 們 可 以 說, 對 於 一 切 的 完 整 數, 以 下 的 等 式 成 立 : + r + r 2 + + r = r r, 其 中 r 不 講 不 知, 生 活 在 現 代 社 會 的

EduMath 34 (2/202) 在 成 長 中 不 斷 優 化 的 數 學 定 義 梁 子 傑 循 道 中 學 在 第 三 十 三 期 的 數 學 教 育 之 中, 刊 登 了 兩 篇 涉 及 數 學 定 義 的 文 章, 刺 激 起 我 的 一 些 想 法, 故 此 也 來 湊 湊 熱 鬧, 談 談 我 對 數 學 定 義 的 看 法 在 過 去 幾 年, 的 確 多 了 一 些 數 學 教 師 ( 尤 其 是 小 學 教 師 ) 查 詢 某 些 數 學 概 念 正 確 定 義 的 問 題 雖 然 我 並 非 甚 麼 權 威 的 人 士, 對 教 育 理 論 和 認 知 心 理 學 等 也 是 一 知 半 解, 但 是 在 過 去 的 幾 年 間, 我 亦 回 答 過 好 幾 次 類 似 的 問 題 以 下 是 兩 個 最 經 常 遇 到 的 提 問, 容 許 我 在 此 為 大 家 解 釋 我 的 觀 點 問 題 一 :0 是 否 自 然 數? 顧 名 思 義, 自 然 數 (Natural Numbers) 就 是 最 自 然 而 來 的 數 字 小 孩 子 由 呱 呱 墮 地 到 學 懂 叫 爸 爸 媽 媽 之 後, 一 般 父 母 都 會 教 導 孩 子 數 數 一 二 三 四 就 是 這 樣 地 數 下 去 我 們 將 2 3 4 等 數 字 合 稱 為 自 然 數, 正 好 反 映 這 種 自 然 而 來 的 感 覺 我 估 計, 從 來 不 會 有 父 母 教 他 們 的 孩 子 從 0 數 起 罷? 因 此, 將 0 拒 諸 於 自 然 數 的 門 外, 是 合 乎 自 然 的 當 孩 子 進 入 小 學, 學 會 了 十 進 位 值 記 數 法, 又 學 會 減 法 之 後,0 的 概 念 便 會 出 現 進 入 中 學 之 後, 更 學 會 負 數 不 過, 在 整 個 過 程 中, 都 將 0 歸 類 為 一 個 特 別 的 數 字 它 既 不 是 正 數, 亦 不 是 負 數 無 損 我 們 對 數 學 的 學 習 和 理 解 事 實 上, 在 很 久 以 前, 課 本 上 曾 經 出 現 過 一 個 叫 完 整 數 (Whole Numbers) 的 概 念, 那 就 是 將 0 與 所 有 自 然 數 放 在 一 起 的 集 合 如 果 我 們 所 討 論 的 問 題, 變 數 的 取 值 範 圍 包 括 了 0, 那 麼 我 們 可 以 用 完 黃 毅 英 (202) 追 尋 定 義 之 路 數 學 教 育 33 期,3 頁 張 金 魁 毛 麗 娜 李 信 巧 (202) 教 師 對 幾 何 概 念 理 解 的 調 查 研 究 數 學 教 育 33 期,75 84 頁

數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) 整 數 這 個 名 稱, 避 免 混 淆 例 如 : 我 們 可 以 說, 對 於 一 切 的 完 整 數, 以 下 的 等 式 成 立 : + r + r 2 + + r = r r, 其 中 r 不 講 不 知, 生 活 在 現 代 社 會 的 孩 子 其 實 很 幸 福, 他 們 可 以 從 很 多 的 途 徑 感 受 到 0 的 存 在 例 如 : 從 天 氣 報 告, 或 者 乘 搭 ( 某 些 ) 升 降 機 時, 他 們 便 可 以 接 觸 到 0 這 個 概 念 對 他 們 來 說,0 並 非 一 件 抽 象 的 事 物 但 是, 在 古 時,0 是 一 個 十 分 難 懂 的 概 念, 尤 其 是 在 歐 洲, 直 到 文 藝 復 興 的 時 期, 人 們 對 0 仍 然 是 十 分 抗 拒 的 原 因 非 常 簡 單, 對 於 古 人 來 說, 手 握 一 塊 石 頭, 就 叫 做 ; 兩 塊 就 叫 做 2 而 0 則 表 示 沒 有, 沒 有 根 本 不 存 在 掌 握 之 中, 我 們 又 怎 能 夠 稱 沒 有 為 一 個 數 字 呢? 因 此, 將 0 稱 為 自 然 數, 那 是 多 麼 的 不 合 理! 那 麼, 為 何 現 在 又 會 有 人 稱 0 是 自 然 數 呢? 要 回 答 這 個 問 題, 或 者 可 以 從 集 合 論 談 起 長 話 短 說, 當 集 合 論 在 9 世 紀 提 出 之 後, 數 學 家 發 現, 基 於 某 些 原 因, 我 們 需 要 以 集 合 論 的 語 言 對 自 然 數 寫 出 一 個 明 確 的 定 義 其 中 的 一 個 方 法, 就 是 引 入 一 個 叫 做 後 繼 集 (successor) 的 集 合 : 如 果 x 是 一 個 集 合, 那 麼 它 的 後 繼 集 就 是 x { x } 這 個 定 義 初 看 十 分 嚇 人, 但 如 果 大 家 明 白 集 合 的 運 算 規 則, 細 心 地 消 化 一 下 這 定 義, 那 麼 亦 不 難 明 白 它 的 意 思 假 如 現 在 有 一 個 集 合 叫 做 A, 它 裡 面 只 有 一 個 元 素 叫 做 a, 換 言 之,A = { a } 那 麼 A 的 後 繼 集 就 是 A { A } = { a } {{ a }} = { a, { a }} 了 留 意 :A 的 後 繼 集 一 共 有 兩 個 元 素 :a 和 { a } 不 難 證 明, 這 個 後 繼 集 的 後 繼 集 將 會 有 三 個 元 素 :a { a } 和 { a, { a }} 由 此, 我 們 可 以 反 過 來 利 用 上 述 一 連 串 的 後 繼 集 來 定 義 自 然 數 即 是 說, 我 們 將 定 義 為 一 個 只 有 一 個 元 素 的 集 合, 即 前 面 提 到 的 A 由 於 的 後 繼 集 有 兩 個 元 素, 因 此 可 以 將 的 後 繼 集 定 義 為 2 2 的 後 繼 集 是 3, 如 此 類 推 從 此, 我 們 便 可 以 利 用 純 集 合 的 語 言, 定 義 所 有 的 自 然 數 了 不 過, 問 題 來 了 : 裡 面 有 一 個 元 素, 但 那 個 元 素 又 是 甚 麼 呢? 集 合 是 一 個 抽 象 的 概 念, 我 們 既 觸 不 到 亦 摸 不 到 數 學 家 為 了 要 確 保 集 合 的 存 在, 他 們 在 研 究 集 合 論 的 初 期, 已 經 做 了 一 個 假 設, 就 是 假 設 這 2

EduMath 34 (2/202) 個 世 界 上 最 少 存 在 一 個 集 合 而 一 個 順 理 成 章 的 假 設, 就 是 假 設 那 個 集 合 是 空 集 (empty set): 一 個 沒 有 任 何 元 素 的 集 合, 並 記 之 為 因 此, 如 果 我 們 問 : 前 面 提 及 的 集 合 中, 那 個 唯 一 的 元 素 是 甚 麼? 那 麼 我 們 亦 很 自 然 地 就 會 說 它 是, 即 = { } 不 單 如 此, 因 為 { } = { } =, 所 以 亦 是 的 後 繼 集 由 此 我 們 可 以 進 一 步 定 義 0 =, 並 且 令 0 成 為 所 有 自 然 數 的 起 點 要 知 道, 0 表 示 沒 有, 亦 是 空 無 一 物, 將 兩 者 等 同, 也 是 一 件 很 合 理 和 自 然 的 事 情 以 此 眼 光 來 看,0 亦 很 自 然 地 變 成 自 然 數 的 一 分 子 了 如 果 大 家 認 為 集 合 論 實 在 太 抽 象, 難 以 理 解, 那 麼 我 亦 有 一 個 簡 單 的 例 子, 解 釋 為 何 自 然 數 可 以 從 0 開 始 相 信 大 家 都 知 道, 由 於, 3, 6, 0, 5, 等 自 然 數 可 以 配 對 成 三 角 形 ( 見 圖 一 ), 故 此 我 們 稱 它 們 為 三 角 形 數 3 6 0 5 圖 一 從 觀 察 可 知, 第 個 三 角 形 數 其 實 等 於 由 起 首 個 自 然 數 之 和, 即 第 個 三 角 形 數 = + 2 + 3 + + 不 過, 如 果 我 們 採 用 這 個 原 始 定 義 來 計 算 三 角 形 數, 那 麼 計 算 量 將 會 很 巨 大 ( 試 想 想 : 第 00 個 三 角 形 等 於 多 少 呢?) 幸 好, 我 們 可 以 透 過 圖 二 所 展 示 的 步 驟 找 到 一 個 計 算 三 角 形 數 的 簡 單 公 式 3

數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) a b c d 圖 二 首 先 我 們 可 以 將 三 角 形 變 成 像 圖 二 a 般 的 樣 子, 然 後 將 三 角 形 複 製 成 圖 二 b, 再 將 兩 個 三 角 形 拼 合 成 圖 二 c 中 的 長 方 形 明 顯 地, 長 方 形 的 高 為, 闊 為 +, 故 此 長 方 形 的 面 積 為 ( + ) 又 由 於 長 方 形 的 大 小 是 原 ( ) 圖 的 兩 倍, 因 此 第 個 三 角 形 數 = 而 這 個 公 式 又 和 計 算 如 圖 2 二 d 中, 一 個 上 底 為 下 底 為 高 為 的 梯 形 面 積 公 式 相 若 可 是, 問 題 來 了 : 我 們 明 明 在 計 算 三 角 形 數, 為 何 現 在 卻 出 現 梯 形 面 積 公 式 呢? 為 何 不 是 三 角 形 面 積 公 式 呢? 或 者 可 以 轉 一 轉 我 們 的 目 光, 與 其 說 三 角 形 數 是 將 自 然 數 由 加 起 的 和, 不 如 將 它 視 為 由 0 加 起, 即 三 角 形 數 = 0 + + 2 + 3 + + 留 意 這 個 改 變 對 三 角 形 數 的 數 值 是 沒 有 影 響 的 不 過, 前 面 圖 二 a 對 三 角 形 數 的 圖 像 表 述 便 要 改 變 成 如 圖 三 a 般 的 模 樣 採 用 類 似 的 方 法, 我 們 不 難 發 現, 今 次 求 得 的 和, 可 以 用 一 個 高 + 底 長 的 三 角 形 來 理 解 ( 如 圖 三 d) 原 來, 只 要 從 0 開 始, 三 角 形 數 的 計 算 公 式, 便 會 和 三 角 形 面 積 公 式 一 樣! 依 此 想 法, 我 們 將 0 定 為 第 一 個 三 角 形 數, 也 是 非 常 合 理 的 也 由 此, 我 們 可 以 稱 0 是 第 一 個 自 然 數! + + a b c d 圖 三 4

EduMath 34 (2/202) 由 以 上 的 例 子 可 以 知 道,0 是 否 自 然 數, 完 全 取 決 於 我 們 用 甚 麼 眼 光 來 觀 察 一 個 數 學 問 題, 當 然 亦 要 留 意 我 們 對 象 的 認 知 能 力 如 果 我 們 面 對 著 一 群 小 學 生, 那 麼 0 當 然 不 是 自 然 數 如 果 我 們 正 在 談 論 一 些 類 似 上 述 的 數 學 問 題, 那 麼 將 0 設 定 為 自 然 數, 反 而 會 帶 來 方 便, 為 何 不 可? 問 題 二 : 正 方 形 是 否 一 個 長 方 形? 每 當 遇 到 一 些 與 幾 何 圖 形 定 義 有 關 的 問 題 時, 很 多 人 都 會 立 刻 訴 諸 權 威, 例 如 : 他 們 會 拿 出 歐 幾 里 得 的 幾 何 原 本 (Euclid s Elemets) 來 查 個 究 竟 可 是, 當 他 們 找 到 幾 何 原 本 中 的 定 義 後, 又 會 發 覺 當 中 的 定 義 寫 得 非 常 古 怪, 難 以 令 他 們 釋 懷 幾 何 原 本 第 一 卷 第 22 個 定 義 是 這 樣 寫 的 : 在 四 邊 形 中, 四 邊 相 等 並 且 四 個 角 都 是 直 角 的, 叫 做 正 方 形 ; 角 是 直 角, 但 四 邊 並 不 完 全 相 等 的, 叫 做 長 方 形 如 果 我 們 緊 隨 幾 何 原 本 中 的 定 義, 那 麼 非 常 明 顯, 由 於 長 方 形 的 邊 長 並 不 完 全 相 等, 因 此 正 方 形 不 可 能 是 長 方 形 但 是, 如 果 我 們 完 全 接 受 了 這 個 的 定 義, 那 麼 以 下 的 一 道 習 題 便 會 出 現 一 個 奇 怪 的 答 案 : ABCD 為 一 長 方 形, 周 界 為 32 cm, 並 設 AB = x cm 求 x 的 值 使 ABCD 的 面 積 為 極 大 大 家 不 要 以 為 這 習 題 的 答 案 為 8 事 實 上, 當 x = 8 時,ABCD 會 變 成 一 個 正 方 形, 由 於 正 方 形 不 是 長 方 形, 因 此 這 問 題 的 答 案 應 該 是 無 解! 當 然, 以 無 解 作 為 答 案 實 在 難 以 接 受, 因 此 如 果 我 們 希 望 上 述 問 題 有 一 個 合 乎 情 理 的 答 案, 那 麼 我 們 便 要 將 正 方 形 歸 類 為 長 方 形 的 一 種 了 但 接 受 了 這 個 說 法, 又 是 否 表 示 幾 何 原 本 的 定 義 是 錯 的 呢? 跟 前 面 問 題 一 的 見 解 一 樣, 我 認 為 判 別 正 方 形 是 否 為 一 個 長 方 形 之 前, 我 們 必 須 先 看 看 我 們 的 對 象 眾 所 周 知, 小 孩 子 一 般 都 思 想 單 純 黑 白 分 明, 抗 拒 一 些 含 糊 其 詞 的 描 述 如 果 我 們 對 一 個 小 學 生 說 : 一 個 正 方 形 同 時 也 是 一 個 長 方 形, 那 麼 相 信 只 會 令 他 們 感 到 極 不 舒 服, 無 助 於 他 們 對 有 關 圖 形 的 理 解 因 此, 在 小 學 階 段, 我 們 將 正 方 形 與 長 方 形 區 分, 有 利 學 生 學 習, 亦 可 以 配 合 他 們 的 心 智 發 展 可 是, 當 學 生 升 上 中 學 之 後, 藍 紀 正 朱 恩 寬 譯 (992) 歐 幾 里 得. 幾 何 原 本 台 北 : 九 章 出 版 社 ( 本 書 原 本 由 陝 西 科 學 技 術 出 版 社 於 990 年 出 版 ) 第 2 頁 5

數 學 教 育 第 三 十 四 期 (2/202) 正 方 形 與 長 方 形 的 界 線 便 應 變 得 模 糊 了 否 則, 前 面 提 及 過 的 極 值 問 題, 便 沒 有 解 答 至 於 幾 何 原 本, 極 有 可 能 歐 幾 里 得 在 當 年 並 沒 有 想 過 上 述 的 極 值 問 題, 亦 有 可 能 他 希 望 從 最 對 稱 最 簡 單 的 圖 形 來 建 構 他 的 幾 何 空 間, 因 此 便 先 引 入 正 方 形, 然 後 才 定 義 長 方 形, 從 而 產 生 正 方 形 不 是 長 方 形 的 結 論 當 然, 先 引 入 正 方 形, 然 後 才 到 長 方 形, 亦 是 一 般 小 學 生 學 習 幾 何 圖 形 的 進 程 歐 幾 里 得 的 寫 法 與 一 般 小 孩 子 的 認 知 發 展, 是 一 致 的 事 實 上, 幾 何 原 本 對 正 方 形 的 定 義 並 不 精 確 懂 得 一 點 初 中 幾 何 知 識 的 學 生 都 可 以 證 明, 一 個 四 邊 相 等 並 且 其 中 一 個 角 是 直 角 的 四 邊 形, 它 其 餘 的 三 個 角 也 都 是 直 角 故 此, 幾 何 原 本 中 四 個 角 都 是 直 角 的 要 求, 其 實 是 過 多 的 了 說 也 奇 怪, 歐 幾 里 得 在 處 理 幾 何 原 本 中 每 一 個 命 題 的 邏 輯 關 係 時, 會 盡 量 減 少 命 題 中 假 設 條 件 的 數 量, 但 對 圖 形 的 定 義, 卻 往 往 會 出 現 一 些 從 今 天 看 是 多 餘 的 條 件 不 過, 我 們 不 應 責 怪 歐 幾 里 得 現 在 我 們 能 夠 指 出 他 的 錯 誤, 純 粹 是 因 為 數 學 家 經 過 2 千 多 年 的 努 力 後, 知 道 了 比 歐 幾 里 得 更 多 的 知 識 所 致 這 亦 只 不 過 反 映 出, 我 們 可 以 通 過 不 斷 增 長 的 數 學 知 識 來 優 化 我 們 的 數 學 定 義, 從 而 減 少 我 們 所 需 的 數 學 假 設, 但 這 並 不 表 示 最 初 的 粗 疏 定 義 是 錯 誤 的, 不 可 以 用 來 教 導 學 生 類 似 的 知 識 發 展 歷 程, 其 實 亦 出 現 在 其 他 的 學 科 之 中 例 如 : 愛 因 斯 坦 的 相 對 論 推 翻 了 牛 頓 力 學 的 一 些 假 設, 但 我 們 絕 對 不 可 能 對 一 個 初 學 速 度 時 間 距 離 關 係 的 小 學 生, 直 接 教 授 愛 因 斯 坦 的 理 論 罷? 我 必 須 強 調, 沒 有 足 夠 的 數 學 知 識 支 持, 只 是 單 單 追 求 一 個 最 準 確 的 定 義, 那 是 不 合 情 理 的 故 此 我 不 同 意 對 一 個 初 學 幾 何 的 小 學 生 說 : 在 四 邊 形 中, 四 邊 相 等 並 且 其 中 一 個 角 是 直 角 的, 叫 做 正 方 形 亦 不 同 意 要 一 般 的 小 學 生 接 受 正 方 形 是 長 方 形 的 一 種 這 類 說 法 我 們 應 該 先 從 一 個 較 粗 疏 的 定 義 開 始, 讓 學 生 學 會 了 之 後, 再 隨 著 他 們 年 紀 的 增 長, 不 斷 優 化 那 些 定 義 讓 學 生 經 歷 定 義 轉 變 和 優 化 的 過 程, 是 學 生 學 習 和 成 長 的 一 個 重 要 環 節, 亦 是 教 學 的 一 部 分 一 開 始 就 對 學 生 提 供 最 嚴 謹 的 定 義, 不 單 會 嚇 怕 他 們, 亦 會 扼 殺 他 們 將 來 尋 找 和 發 現 更 佳 定 義 的 樂 趣 作 者 電 郵 :jckleug@etvigator.com 6