國中數學基本學習內容補救教材　第四冊

一 -1 單 元 一 等 差 數 列 與 等 差 級 數 主 題 一 數 列 一 生 活 中 的 數 列 範 例 1 大 樂 透 號 碼 大 樂 透 號 碼 07,,7,30,41,46 像 這 樣 將 數 字 排 成 一 列, 無 論 有 規 律 沒 規 律 或 重 複 出 現 都 叫 做 數 列 觀 念 一 點 通 : 在 數 列 中 的 每 一 個 數 字 成 為 項, 第 一 個 數 字 稱 為 第 1 項 或 是 首 項, 第 二 個 數 字 稱 為 第 項,, 最 後 一 個 數 字 稱 為 末 項 其 中, 首 項 記 為 : 上 面 的 例 子 中 : 首 項 a 1 a 1 =, 第 項 練 習 1.1 抓 餅 價 目 表 第 項 記 為 : a 末 項 記 為 : a n a =, 末 項 a n = 抓 餅 價 目 表 原 味 0 元 原 味 加 蛋 5 元 蔬 菜 蛋 30 元 玉 米 蛋 35 元 火 腿 蛋 35 元 雙 層 起 司 總 匯 59 元 抓 餅 的 價 目 表 0,5,30,35,35,59 想 想 看, 這 也 是 數 列 嗎? 答 : 有 沒 有 甚 麼 規 律? 答 : 一 -1

一 - 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 練 習 1. 身 高 量 尺 身 高 量 尺 160,150,140,130,10,110,100,90,80,70 想 想 看, 這 也 是 數 列 嗎? 答 : 有 沒 有 甚 麼 規 律? 答 : 1. 觀 察 下 圖 牛 刀 小 試 列 出 你 看 到 的 數 列, 並 寫 出 首 項 第 項 末 項 為 何?. 試 舉 出 生 活 中 數 列 的 例 子 一 -

一 -3 二 等 差 數 列 : 將 長 方 形 個 數 與 交 點 個 數, 記 錄 下 來 並 轉 化 成 數 列 長 方 形 個 數 1 交 點 個 數 4 圖 形 可 得 以 下 關 係 : a1 4 a 6 a1 a3 8 a a4 10 a3... 我 們 發 現 其 中 任 意 相 鄰 的 兩 項, 都 等 於 例 如 : a a a 6 4 a 8 6 1 3 一 -3

一 -4 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 觀 念 一 點 通 : 由 交 點 個 數 所 形 成 的 數 列 像 這 樣 任 意 相 鄰 的 兩 項, 後 項 減 去 前 項 都 一 樣 的 數 列, 稱 為 等 差 數 列 且 以 < a n > 表 示, 而 這 個 差 稱 為 公 差 想 想 看 我 們 看 過 的 例 子 裡, 有 哪 些 是 等 差 數 列? 範 例 : 撲 克 牌 1,,3,4,5,6,7 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢? 解 : 因 為 此 數 列 任 意 相 鄰 的 兩 項, 後 項 減 去 前 項 都 為 1, 所 以, 是 等 差 數 列, 且 公 差 為 1 練 習.1: 大 樂 透 號 碼 07,,7,30,41,46 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢? 練 習.: 身 高 量 尺 160,150,140,130,10,110,100,90,80,70 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢? < 動 動 腦 > 像 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 這 樣 的 數 列, 一 -4 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢?

一 -5 牛 刀 小 試 一 觀 察 下 列 數 列 的 規 律, 填 入 適 當 的 數 字 並 回 答 問 題 1. 3, 7, 11, 15, 19,, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列. 13, 11, 9, 7,, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 3. 1,, 4, 8, 16,, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 4., 1, 3,, 1, 3,, 1,,,, 3 Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 5. 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 6. -1, 10, -3, 100, -5, 1000, -7, 10000,, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 7., a-3, a, a+3, a+6, a+9, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 8., a, a, a, a, Q: 不 是 是 ( 公 差 = ) 等 差 數 列 自 我 檢 視 表 : 1. 我 能 看 出 規 律, 並 能 將 正 確 的 數 字 填 入 數 列 是 否. 我 會 判 斷 一 個 數 列 是 否 為 等 差 數 列 是 否 3. 我 知 道 等 差 數 列 的 公 差 為 多 少 是 否 一 -5

一 -6 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 二 算 算 看 多 少 錢 1 以 下 是 台 中 地 區 日 間 時 間 ( 早 上 6 點 ~ 晚 上 10 點 ) 的 計 程 車 計 費 表 里 程 1.5km 內 1.75km km.5km.5km.75km 3km 車 資 85 元 90 元 95 元 100 元 105 元 110 元 115 元 (1) 由 車 資 所 列 出 的 數 列 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢? () 小 之 搭 計 程 車 回 家, 到 家 時 計 程 車 上 的 表 顯 示 為 4km, 請 問 他 要 付 多 少 錢 給 司 機 呢? 以 下 是 小 之 本 週 的 記 帳 表 週 一 週 二 週 三 週 四 週 五 週 六 週 日 花 費 ( 元 ) 00 00 00 00 00 00 00 剩 餘 ( 元 ) 1300 1100 900 700 500 300? (1) 如 果 小 之 一 個 禮 拜 的 零 用 錢 是 1500 元, 每 天 固 定 花 00 元, 請 問 小 之 過 一 個 禮 拜 後, 剩 下 多 少 零 用 錢? () 由 每 日 剩 餘 的 錢 所 列 出 的 數 列 是 等 差 數 列 嗎? 如 果 是, 公 差 是 多 少 呢? 一 -6 觀 念 一 點 通 : 公 差 的 值 可 以 為 正, 可 以 為 負, 可 以 為 0, 事 實 上, 公 差 可 以 是 任 意 實 數 公 差 為 正 時 : 數 列 的 值 依 序 遞 增 公 差 為 負 時 : 數 列 的 值 依 序 遞 減 公 差 為 0 時 : 各 項 維 持 不 變

一 -7 主 題 二 等 差 數 列 的 一 般 項 活 動 一 每 人 有 1~10 號 的 號 碼 卡 片 各 一 張 步 驟 一 : 請 把 有 數 字 那 面 朝 下, 打 散 後 任 意 抽 取 卡 片, 翻 開 且 擺 在 < 表 一 > 的 首 項 與 公 差 的 欄 位 上 步 驟 二 : 計 算 由 此 首 項 及 公 差 形 成 的 等 差 數 列, 第 3 項 的 值 為 何 步 驟 三 : 重 複 步 驟 一 到 步 驟 二 共 3 次, 並 將 結 果 記 錄 在 < 表 二 > < 表 一 > 首 項 公 差 第 3 項 例 : 5 1 < 表 二 > 首 項 公 差 第 3 項 計 算 過 程 例 : 5 1 +5+5=1 同 樣 的 遊 戲 規 則, 若 改 為 計 算 第 5 項 之 值, 請 完 成 < 表 三 > < 表 三 > 首 項 公 差 第 5 項 計 算 過 程 例 : 5 +5+5+5+5= 一 -7

一 -8 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 活 動 二 : 由 老 師 隨 機 從 1~10 號 抽 出 3 張 卡 片, 分 別 擺 在 下 表 三 個 位 置 10 首 項 公 差 第 項 例 : 5? 請 同 學 舉 手 搶 答, 表 格 中 的? 應 是 何 值? 並 將 結 果 記 錄 下 來 首 項 公 差 第 項 首 項 公 差 第 項 首 項 公 差 第 項 一 -8

一 -9 < 思 考 > 有 沒 有 什 麼 比 較 快 速 的 方 法 能 處 理 這 個 問 題 呢? 我 們 將 這 個 問 題 用 數 學 的 表 示 法 寫 下 來, 公 差 d = 5 首 項 第 項 第 3 項 第 4 項 第 5 項 第 n 項 a 1= a = + 1 x5 = 7 a 3 = + x5 = 1 a 4 = + 3 x5 = 17 a 5 = + 4 x5 = a n = + (n-1) x5 故 若 n=10 則 a 10 =+(10-1)x5 = +9x5 = 47 觀 念 一 點 通 : 公 差 d 首 項 a 1 第 項 第 3 項 第 4 項 第 5 項 第 n 項 a = a 3 = a 4 = a 5 = a n = a 1 + 1 x d = a 1 + x d = a 1 + 3 x d = a 1 + 4 x d = a 1 + (n-1) x d a 1 + (-1) x d a 1 + (3-1) x d a 1 + (4-1) x d a 1 + (5-1) x d 一 -9

一 -10 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 < 數 學 溝 通 橋 --- 小 遊 戲 > 同 學 回 家 可 仿 照 上 述 遊 戲 規 則, 一 副 撲 克 牌, 兩 人 比 賽, 輪 流 抽 三 張 牌, 分 別 代 表 首 項 公 差 及 所 形 成 的 等 差 數 列 第 某 項 的 值, 先 把 答 案 回 答 出 來 的 人, 能 拿 回 三 張 牌, 待 5 張 牌 都 抽 完, 由 擁 有 牌 數 最 多 的 人 獲 勝 在 上 面 的 活 動, 我 們 的 號 碼 卡 片 是 從 1~10 號, 這 些 號 碼 都 是 正 的 < 動 動 腦 > 首 項 公 差 項 數 可 以 是 怎 樣 的 數 字, 連 連 看 首 項 正 數 公 差 0 項 數 負 數 牛 刀 小 試 1. 設 一 等 差 數 列 的 首 項 為 -, 公 差 為 5, 則 此 數 列 的 第 3 項 為. 設 一 等 差 數 列 的 首 項 為, 公 差 為 -5, 則 此 數 列 的 第 3 項 為 3. 設 一 等 差 數 列 的 首 項 為 -, 公 差 為 -5, 則 此 數 列 的 第 3 項 為 4. 已 知 一 等 差 數 列 1, 4, 7, 10, 13,, 則 此 數 列 的 第 n 項 為 5. 已 知 一 等 差 數 列 -5, -, 1, 4, 7,, 則 此 數 列 的 第 n 項 為 6. 設 一 等 差 數 列 的 首 項 為, 公 差 為 5, 則 此 數 列 的 第 100 項 為 一 -10

一 -11 觀 念 一 點 通 : 如 果 一 個 數 列 總 共 有 n 項, 首 項 為 則 n 稱 為 這 個 數 列 的 項 數, a n = a 1+ (n-1) x d 則 稱 為 此 數 列 的 一 般 項 a 1, 末 項 為 a n, 公 差 為 d 主 題 三 等 差 級 數 一 級 數 範 例 3: 下 表 是 麻 糬 專 賣 店 的 價 目 表 麻 糬 價 目 表 芝 麻 花 生 抹 茶 紅 豆 楓 漿 酒 釀 養 生 炭 10 元 10 元 15 元 15 元 15 元 0 元 由 麻 糬 的 價 目 表 形 成 的 數 列 為 10, 10, 15, 15, 15, 0 若 各 種 口 味 都 想 買 一 個 來 吃 吃 看, 則 總 共 要 付 多 少 錢? 解 : 10+10+15+15+15+0 =85 元 一 -11

一 -1 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 觀 念 一 點 通 : 將 一 個 數 列 的 各 項 依 次 用 + 號 連 接 起 來, 就 稱 為 一 個 級 數 二 如 上 例 : 10, 10, 15, 15, 15, 0 是 一 個 數 列 三 等 差 級 數 10 +10 +15 +15 +15 + 0 是 一 個 級 數 首 項 第 項 末 項 範 例 4: 下 表 是 小 華 的 背 單 字 進 度 表 星 期 星 期 一 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星 期 五 星 期 六 星 期 日 單 字 數 3 個 5 個 7 個 9 個 11 個 13 個 15 個 由 每 天 所 背 的 單 字 數 形 成 的 數 列 為 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 則 小 華 一 週 能 背 幾 個 單 字? 解 : 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 一 -1

一 -13 觀 念 一 點 通 : 將 一 個 等 差 數 列 的 各 項 依 次 用 + 號 連 接 起 來, 就 稱 為 一 個 等 差 級 數 如 上 例 : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 是 一 個 等 差 數 列 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 是 一 個 等 差 級 數 首 項 第 項 末 項 四 等 差 級 數 的 和 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 的 值 稱 為 此 等 差 級 數 的 和 小 故 事 相 傳 數 學 家 高 斯 (Carl Friedrich Gauss) 在 10 歲 時, 老 師 在 數 學 課 上 出 了 一 道 難 題 : 1++3+ +99+100=? 給 學 生 計 算, 老 師 心 想 趁 學 生 做 題 時, 可 以 休 息 一 下, 但 不 到 幾 秒 鐘, 高 斯 就 舉 手 說 出 答 案 是 5050, 讓 老 師 吃 了 一 驚 高 斯 是 用 甚 麼 方 法 算 出 來 的 呢? 高 斯 的 算 法 如 下 : 假 設 S = 1 + + 3 + + 99 + 100 則 : S = 1 + + 3 + + 99 + 100 +) S = 100 + 99 + 98 + + + 1 S = 101 + 101 + 101 + + 101 + 101 = 100 X 101 所 以 S= 100 101 = 5050 動 動 腦 : 請 仿 照 高 斯 計 算 和 的 方 法, 求 1+3+5+ +97+99 =? 一 -13

一 -14 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 活 動 : 用 高 斯 的 想 法, 在 方 格 上 畫 畫 看 範 例 5: 1 + + 3 塗 色 的 共 有 4 x 3 = 1 格 方 格 所 以 塗 藍 色 與 塗 紅 色 的 部 分 各 有 6 格, 為 1 的 一 半 3 + + 1 < 思 考 > 4 x 3 是 怎 麼 來 的? 與 想 知 道 的 1++3 的 和 有 甚 麼 關 係 呢? 範 例 6: 1 + 3 + 5 塗 色 的 共 有 6 x 3 = 18 格 方 格 所 以 塗 藍 色 與 塗 紅 色 的 部 分 各 有 9 格, 為 18 的 一 半 5 + 3 + 1 < 思 考 > 6 x 3 是 怎 麼 來 的? 跟 想 知 道 的 1+3+5 的 和 有 甚 麼 關 係 呢? 請 仿 照 上 面 的 方 式, 在 方 格 上 塗 塗 看 一 -14

一 -15 練 習 6.1: 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 1++3+4+5+6 = 共 塗 了 格 方 格 = 練 習 6.: 1 + 4 + 7 + 10 共 塗 了 格 方 格 一 -15

一 -16 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 1+4+7+10 = = 觀 念 一 點 通 : 1. Ex: 等 差 級 數 1+4+7+10 項 數 n = 4, 首 項 S a a a a a 1=1, 公 差 d = 3, 末 項 4 1 3 4 1 4 7 10 a n = a 4 = 10 等 差 級 數 習 慣 上, 我 們 用 Sn 來 代 表 這 個 級 數 的 和, 也 就 是 說 : S a a a n 1... n. 由 共 3 項 1 + 3 (1 3) 3 1 3 等 差 級 數 的 和 S n 1 n a1 a... an ( a a ) n ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 一 -16

一 -17 範 例 7: 求 等 差 級 數 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 的 和 解 : S 7 ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 (1 13) 7 1 3 5 7 9 11 13 49 練 習 7.1: 求 等 差 級 數 + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 + 14 的 和 練 習 7.: 求 等 差 級 數 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 的 和 範 例 8 : 9 + 5 + 1 + (-3) + (-7) + (-11) 的 和 解 : S 6 9 5 1 ( 3) ( 7) ( 11) ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 [9 ( 11)] 6 ( ) 6 6 練 習 8.1: 求 等 差 級 數 13 + 10 + 7 + 4 + 1 + (-) + (-5) 的 和 練 習 8.: 求 等 差 級 數 (-6) + (-1) + 4 + 9 + 14 + 19 的 和 一 -17

一 -18 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 觀 念 一 點 通 : 1. 回 想 小 學 學 的 種 樹 問 題, 長 35 公 尺 的 道 路 上, 從 3 公 尺 處 開 始 種 樹, 每 隔 5 公 尺 種 一 棵 樹, 請 問 共 種 了 幾 棵 樹? 0 3 8 13 18 3 8 33 35 解 : 5 5 5 5 5 5 說 明 : 第 一 棵 樹 與 最 後 一 棵 樹 的 距 離 為 30 公 尺, 每 隔 5 公 尺 種 一 棵, 且 都 有 種 所 以 共 有 7 棵. 當 等 差 級 數 項 數 很 多, 無 法 用 數 的 數 出 來 的 時 候, 我 們 可 以 採 用 上 述 種 樹 的 想 法 來 思 考 Ex: +6+10+ +4 此 等 差 級 數 共 有 幾 項? 解 : 項 數 = = 11 3. 也 可 以 用 等 差 數 列 一 般 項 = + (n-1) x d 來 求 得 項 數 n 即 4 = + (n-1)x4 項 數 n = =11 一 -18

一 -19 範 例 9 : 求 等 差 級 數 4+9+14+ +49 的 和 49-4 45 項 數 n = +1 = +1 = 10 5 5 解 : S 10=4 9 14... 49 ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 (4 49) 10 53 10 = 65 練 習 9.1 : 求 等 差 級 數 1+7+13+ +55 的 和 練 習 9. : 求 等 差 級 數 3+7+11+ +87 的 和 範 例 10 : 求 等 差 級 數 (-8)+(-3)++ +37 的 和 解 : 37-(-8) 45 項 數 n = +1 = +1 = 10 5 5 S =(-8) (-3)... 37 10 ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 [(-8) 37] 10 9 10 = 9 5 = 145 一 -19

一 -0 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 練 習 10.1 : 求 等 差 級 數 (-6)+(-)++ +70 的 和 練 習 10. : 求 等 差 級 數 (-10)+(-4)+()+ +50 的 和 範 例 11 : 等 差 級 數 的 首 項 為 3, 公 差 為 4, 求 前 十 五 項 的 和 解 : 第 15 項 a = 3+(15-1) 4 = 3+14 4 = 59 15 ( 首 項 + 末 項 ) 項 數 (3 59) 15 6 10 S 15 = 310 練 習 11.1 : 等 差 級 數 的 首 項 為 5, 公 差 為 3, 求 前 十 項 的 和 一 -0

一 -1 練 習 11. : 等 差 級 數 的 首 項 為 10, 公 差 為 4, 求 前 二 十 項 的 和 四 等 差 級 數 應 用 問 題 吧 有 了 等 差 級 數 的 觀 念 後, 我 們 來 看 看 它 能 解 決 怎 樣 有 趣 的 問 題 問 題 1 : 大 賣 場 常 會 將 飲 料 罐 排 成 ( 如 下 圖 ), 來 做 促 銷, 在 賣 場 打 工 的 阿 家 打 算 以 每 層 差 一 罐 的 方 式 排 10 層, 需 用 幾 罐 飲 料? 一 -1

一 - 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 四 冊 問 題 : 阿 火 家 是 賣 火 材 棒 的, 他 看 大 賣 場 用 特 別 的 排 法 來 促 銷 飲 料, 也 想 幫 店 裡 做 點 特 別 的 擺 設, 於 是 他 把 火 材 人 的 進 化 過 程 排 出 來, 以 下 是 他 想 排 成 的 圖 形, 請 問 需 要 用 幾 根 火 材 棒 呢? 問 題 3 : 我 們 常 常 看 到 廣 告 上 面 寫 著 : 總 獎 金 高 達 xxx 元! 某 遊 戲, 能 拿 到 獎 金 的 名 次 有 十 名, 已 知 第 十 名 有 1000 元, 每 往 前 一 名 多 得 000 元, 請 問 總 獎 金 有 多 少 元? 一 -

一 -3 問 題 4: 阿 西 想 把 杯 子 裡 的 水 瀝 乾, 於 是 將 杯 子 倒 著 放, 而 為 了 美 觀 省 空 間, 他 將 杯 子 排 成 如 大 賣 場 在 促 銷 飲 料 時 的 排 法, 例 如 : 有 6 個 杯 子 則 擺 成 如 < 圖 一 >, 有 10 個 杯 子 則 擺 成 如 < 圖 二 >, 阿 西 今 天 有 10 個 杯 子, 請 問 他 最 底 層 要 排 幾 個 杯 子? 才 能 剛 好 排 成 如 圖 一 二 中 由 下 往 上 每 多 一 層 則 少 一 個 杯 子, 最 高 層 僅 剩 一 個 杯 子 的 規 律 排 法 < 圖 一 > < 圖 二 > 一 -3