1.3 指 數 應 用 算 年 齡 與 水 晶 球 讀 心 術 2

有 趣 的 數 學 遊 戲 吳 秉 鋒 老 師 一 數 學 遊 戲 與 電 腦 應 用 的 連 結 1.1 三 山 崩 (Nim) 遊 戲 ( 學 生 分 組 淘 汰 賽, 產 生 冠 軍, 再 解 釋 二 進 位 原 理 ) 練 習 : 火 材 棒 的 遊 戲 中, 抓 到 最 後 一 根 的 人 輸, 下 列 比 賽 過 程 中, 輪 到 你 了, 把 你 的 取 法 直 接 畫 在 上 面 : 1.2 二 進 位 象 棋 ( 挑 戰 賽 ) 1

1.3 指 數 應 用 算 年 齡 與 水 晶 球 讀 心 術 2

1.4 威 氏 遊 戲 (Wythoff's Game) 銅 板 只 有 兩 列, 每 列 的 枚 數 隨 玩 者 任 意 規 定, 兩 人 輪 流 取 銅 板, 取 的 時 候, 需 要 任 一 列 中 取 一 枚 或 多 枚 銅 板, 或 者 同 時 在 兩 列 取 同 樣 枚 數 的 銅 板, 直 到 最 後 將 銅 板 取 光 的 人 贏 1.5 因 數 倍 數 的 遊 戲 1.5.1 正 因 數 的 遊 戲 請 依 下 列 步 驟 進 行 : 請 寫 出 36 的 所 有 正 因 數 (36 除 外 ) 將 上 題 的 所 有 的 正 因 數 相 加 而 成 另 一 數 A; 其 次, 請 寫 出 A 的 所 有 正 因 數 (A 除 外 ) 再 將 上 題 的 所 有 正 因 數 相 加 而 成 另 一 數 B, 再 次 寫 出 B 的 所 有 正 因 數 (B 除 外 ) 重 覆 上 面 的 步 驟, 繼 續 作 下 去, 請 問 最 後 的 結 果 會 是 如 何? 仿 照 上 面 的 做 法, 請 檢 驗 72,220 是 否 有 相 同 的 結 果? 1.5.2 倍 數 的 遊 戲 請 畫 出 一 個 邊 長 為 4 單 位 的 正 方 形, 並 將 此 正 方 形 折 出 16 個 邊 長 為 1 單 位 的 小 正 方 形 請 將 0,1,2,,9 這 九 個 數 分 別 填 入 小 正 方 形 空 格 上, 每 個 空 格 只 能 填 一 個 數 字, 且 不 得 重 覆 ; 再 將 0,1,2,6 填 入 其 餘 四 個 空 格 內, 最 後 兩 個 空 格 分 別 填 上 4,5 將 上 面 所 得 的 四 個 數 ( 每 一 橫 列 表 示 一 個 數 ) 相 加, 並 求 其 總 和 在 總 和 中 任 意 兩 個 數 字 中 間 ( 或 頭, 或 尾 ) 插 入 自 10,11,,17 中 的 一 個 數 字, 並 將 此 新 的 數 列 (5 個 數 ) 告 知 老 師, 那 麼 老 師 很 快 會 告 訴 你 所 加 入 的 數 字 是 多 少, 請 問 老 師 為 什 麼 會 知 道? 試 說 明 理 由 1.5.3 開 關 門 遊 戲 有 1000 位 學 生 與 1000 扇 關 著 的 門, 皆 從 1 編 號 至 1000 今 1 號 學 生 將 所 有 的 門 打 開, 接 著 2 號 學 生 把 編 號 2 的 倍 數 的 門 再 關 起 來,3 號 學 生 再 把 編 號 3 的 倍 數 的 門 作 相 反 的 動 作 ( 開 著 的 關 上 關 著 的 打 開 ), 依 此 類 推, 直 到 1000 號 學 生 做 完 請 問 最 後 哪 幾 號 門 是 打 開 的? 3

二 介 紹 一 些 趣 味 的 數 魯 斯 - 阿 倫 數 對 (Ruth-Aaron pairs) 史 密 斯 數 : 起 源 於 一 個 電 話 號 碼 卡 布 列 克 常 (Kaprekar) 數 四 位 卡 布 列 克 怪 數 黑 洞 數 貝 林 卓 米 克 (palindromic) 數 冰 雹 問 題 (3n+1 problem) Automorphic 數 Trimorphic 數 快 樂 數 (Happy Numbers) 自 戀 數 水 仙 花 數 完 美 數 perfect number 雙 生 質 數 (Twin Prime Problem) 梅 森 數 / 梅 森 質 數 (Mersenne number) 冰 雹 問 題 (3n+1 problem) 三 邏 輯 推 理 遊 戲 (1) 海 盜 分 寶 石 (2) IQ Test 四 數 形 組 合 遊 戲 4.1 數 字 的 遊 戲 整 數 分 組 4

將 2 2 2 1,2,,2011 這 些 數 中 間 用 加 號 或 減 號 連 起 來, 試 問 其 結 果 為 最 小 的 非 負 正 整 數 為 多 少? 4.2 拉 密 磚 塊 牌 (Rummikub) 全 球 三 大 最 暢 銷 家 庭 遊 戲 之 一, 沒 有 年 齡 及 語 言 限 制 的 數 學 家 庭 遊 戲, 不 僅 是 訓 練 邏 輯 思 維, 加 強 對 數 字 的 敏 感 度, 更 可 提 昇 解 決 問 題 之 能 力 4.3 河 內 塔 相 傳 古 時 的 河 內 ( Hanoi ) 有 一 座 寺 廟, 廟 中 有 一 處 所 豎 立 著 三 根 銀 棒, 其 中 一 根 銀 棒 上 依 大 盤 在 下, 小 盤 在 上 之 順 序 套 有 64 個 大 小 都 不 同 的 金 盤 ( 每 個 金 盤 正 中 央 都 有 一 個 小 孔 ) 造 物 主 命 僧 侶 把 64 個 金 盤 移 置 另 外 一 根 銀 棒 上, 並 且 規 定 : 每 一 次 只 能 移 動 一 個 金 盤, 被 移 動 的 金 盤, 必 須 套 在 另 一 銀 棒 上, 在 移 動 過 程 中, 較 大 的 金 盤 不 可 套 在 較 小 的 金 盤 上 造 物 主 預 言 : 當 金 盤 全 數 搬 完, 世 界 末 日 將 降 臨 令 a n 表 示 搬 完 n 個 金 盤 所 需 最 少 的 次 數 (1) 試 求 a 1=,a 2=,a 3=, a 3= (2) 若 已 知 a 5 的 值, 如 何 利 用 a 5 求 a 6 的 值 呢? (3) 試 找 出 a n -1 與 a n 的 關 係 ( 其 中 n 2 ) (4) 一 般 式 a n = 請 各 位 同 學 拿 出 1 元 5 元 10 元 50 元 的 硬 幣 來 試 試 看 有 何 訣 竅, 才 可 以 得 到 移 動 金 盤 的 最 少 次 數 (5) a 64=, 如 果 搬 一 個 金 盤 需 要 1 秒, 則 64 個 搬 完 大 概 需 要 幾 年? 5

4.4 扭 大 象 在 大 象 逃 脫 SpinOut 中, 逃 出 n 隻 大 象 的 最 佳 步 驟 記 為 a n (1) 試 求 a 1=,a 2=,a 3=, a 3= 和 (2) 若 已 知 a 3 和 a 4 的 值, 如 何 求 出 a 5 的 值 呢? (3) 當 你 想 旋 轉 第 n 號 大 象 時, 你 需 要 將 它 移 至 凹 槽, 此 時 其 他 大 象 的 方 向 應 該 如 何 呢? 動 動 腦 : 第 n 號 大 象 轉 左 後, 會 影 影 第 n-1 號 大 象 轉 左 嗎? (4) 該 如 何 讓 第 n-1 號 大 象 有 空 間 可 以 旋 轉? 動 動 腦 : 第 n-1 號 大 象 轉 左 後, 會 影 影 第 n-2 號 大 象 轉 左 嗎? (5) 一 般 式 a n = 五 細 說 數 學 ( 許 志 農 教 授 團 隊 ) 6

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六 頭 腦 體 操 ( 一 般 傳 統 數 學 趣 問 題 ) 6.1 數 字 方 塊 先 在 最 大 正 方 形 的 四 個 角 落, 任 寫 四 個 數 字, 每 一 邊 的 中 點 寫 出 左 右 相 鄰 兩 數 的 差, 重 複 做 下 去, 觀 察 最 後 結 果, 再 更 換 最 起 始 數 字 看 看, 有 何 新 的 發 現 6.2 利 益 分 配 有 甲 乙 丙 三 家 航 空 公 司, 若 各 自 獨 立 營 運, 則 甲 航 空 公 司 每 年 可 賺 4 億 元, 乙 航 空 公 司 每 年 可 賺 3 億 元, 丙 航 空 公 司 每 年 可 賺 2 億 元 若 甲 乙 兩 航 空 公 司 聯 營 則 每 年 可 共 同 賺 10 億 元 ; 若 甲 丙 兩 航 空 公 司 聯 營 則 每 年 可 共 同 賺 9 億 元 ; 若 乙 丙 兩 航 空 公 司 聯 營 則 每 年 可 共 同 賺 8 億 元 若 甲 乙 丙 三 家 航 空 公 司 聯 營 則 每 年 可 共 同 賺 16 億 元 假 定 甲 乙 丙 三 家 航 空 公 司 公 共 同 聯 營, 您 如 何 幫 他 們 公 平 的 分 配 利 益, 使 得 三 家 航 空 公 司 都 願 意 參 加 聯 營? 6.3 假 鈔 風 波 甲 拿 一 張 500 元 大 鈔 向 鐘 錶 店 老 闆 購 買 一 支 130 元 的 手 錶, 因 鐘 錶 店 老 闆 沒 零 錢, 所 以 拿 這 張 500 元 大 鈔 向 鄰 居 乙 換 錢, 然 後 找 370 元 給 甲 事 後, 乙 發 現 這 張 500 元 大 鈔 是 假 的, 於 是 向 鐘 錶 店 老 闆 要 回 真 的 500 元 請 問 在 這 場 交 易 當 中, 老 闆 總 共 損 失 多 少 元?( 假 設 手 錶 原 價 就 是 130 元 ) 8

6.4 老 黃 鋪 磚 老 黃 家 後 院 有 塊 地 ( 如 右 圖 ), 鋪 滿 了 地 磚 今 年 春 天 由 於 地 磚 壞 了 不 少, 所 以 老 黃 決 定 全 部 挖 起 來, 重 新 鋪 上 新 磚 原 來 的 地 磚 是 正 方 形 的, 共 用 了 40 塊, 如 右 圖 新 地 磚 是 長 方 形 的, 一 個 正 好 等 於 原 先 兩 個 正 方 形, 於 是 買 了 20 個 老 黃 生 性 小 心 謹 慎, 他 要 確 定 新 地 磚 能 撲 滿 空 地 才 敢 敷 上 水 泥, 他 試 了 幾 次, 發 現 無 論 怎 麼 排, 當 用 了 19 塊 新 地 磚 後, 剩 下 的 兩 個 空 格 總 是 連 不 在 一 起 由 於 他 不 想 把 最 後 一 塊 地 磚 分 成 兩 小 塊, 所 以 非 常 苦 惱 聰 明 的 各 位, 你 們 能 幫 老 黃 嗎?( 如 果 可 排 出 來, 請 將 排 法 畫 出, 如 不 能, 請 解 釋 原 因 ) 延 伸 題 左 圖 是 一 個 8 8 的 正 方 格, 今 欲 以 1 3 的 長 方 格 來 鋪 滿 它, 由 於 64=3 21+1, 所 以 最 多 應 可 以 鋪 上 21 塊 長 方 格, 而 剩 下 一 格 請 問 : (1) 可 以 鋪 上 21 塊 長 方 格 嗎? (2) 如 果 可 以, 那 剩 下 的 一 格 會 在 哪 些 位 置? 試 說 明 原 因! 4.5 合 理 分 配 (1) 甲 乙 兩 人 去 爬 山, 遇 見 一 位 山 難 者, 甲 拿 出 6 條 麵 包, 乙 也 拿 出 同 樣 款 式 同 樣 價 格 的 4 條 麵 包, 三 人 平 分 這 10 條 麵 包 吃 完 後, 山 難 者 拿 1000 元 給 甲, 這 時, 乙 對 甲 說 : 你 出 6 條 麵 包, 我 出 4 條, 所 以 你 分 600 元, 我 分 400 元 請 問 這 樣 合 理 嗎? (2) 甲 乙 兩 人 賭 博, 甲 作 莊, 每 次 甲 都 從 52 張 撲 克 牌 中 抽 出 一 張, 讓 乙 猜 顏 色 為 紅 或 黑, 因 此 雙 方 每 次 獲 勝 的 機 率 皆 為 1/2 雙 方 各 拿 出 400 元, 約 定 先 贏 得 5 次 的 人 可 將 這 800 元 取 走, 當 甲 贏 3 次 乙 贏 2 次 時, 此 賭 局 因 故 中 斷, 這 時 乙 對 甲 說 : 因 你 已 贏 3 次, 我 贏 2 次, 所 以 你 可 得 到 800 元 的 3/5, 而 我 該 拿 800 元 的 2/5, 即 你 拿 480 元, 我 拿 320 元 請 問 這 樣 合 理 嗎? 9

6.6 換 個 角 度 看 (1) 超 級 蒼 蠅 美 國 大 鼻 子 和 俄 國 大 鼻 子 相 向 行 走, 相 距 10 公 尺, 速 度 分 別 為 3 公 尺 / 秒 及 4 公 尺 / 秒 有 隻 超 級 蒼 蠅, 以 速 度 9 公 尺 / 秒, 來 往 於 兩 個 大 鼻 子 之 間 請 問 當 兩 個 大 鼻 子 夾 住 時, 此 蒼 蠅 一 共 飛 了 多 少 公 尺? (2) 單 淘 汰 賽 有 37 人 參 加 桌 球 比 賽, 比 賽 採 單 淘 汰 制 : 抽 籤 捉 對 廝 殺, 若 掛 單 就 自 然 晉 級 問 須 賽 多 少 場 才 能 產 生 冠 軍? (3) 酒 水 混 合 相 同 杯 子 兩 隻, 甲 杯 裝 清 水 半 杯, 乙 杯 裝 純 酒 精 半 杯 現 自 乙 杯 取 酒 精 一 湯 匙 倒 入 甲 杯, 混 合 後, 自 甲 杯 再 取 一 湯 匙 倒 回 乙 杯, 試 比 較 乙 杯 所 含 的 水 量 與 甲 杯 所 含 的 酒 精 量 何 者 為 多? 6.7 牛 奶 裝 箱 一 個 裝 牛 奶 瓶 的 箱 子 分 成 4 6 格, 在 這 個 箱 子 中 放 18 瓶 牛 奶 ( 每 格 最 多 只 能 放 一 瓶 ), 要 使 各 行 各 列 的 奶 瓶 數 都 成 偶 數, 應 該 怎 樣 放? 6.8 金 幣 (1) 9 個 金 幣 中 有 一 枚 是 假 幣, 但 不 知 較 輕 或 較 重, 在 不 用 砝 碼 的 情 況 下, 至 少 需 用 天 平 秤 幾 次 才 能 得 知 何 者 為 假 幣? (2) 12 個 金 幣 中 有 一 枚 是 假 幣, 但 不 知 較 輕 或 較 重, 在 不 用 砝 碼 的 情 況 下, 至 少 需 用 天 平 秤 幾 次 才 能 得 知 何 者 為 假 幣? (3) 13 個 金 幣 中 有 一 枚 是 假 幣, 但 不 知 較 輕 或 較 重, 在 不 用 砝 碼 的 情 況 下, 至 少 需 用 天 平 秤 幾 次 才 能 得 知 何 者 為 假 幣? 6.9 分 蛋 糕 一 塊 正 方 形 的 蛋 糕, 上 面 與 側 面 均 勻 地 塗 了 奶 油 如 何 將 蛋 糕 切 成 九 塊, 使 每 塊 的 體 積 相 同, 奶 油 也 一 樣 多? 10

6.10 無 限 房 間 之 太 空 旅 館 某 天 下 午, 所 有 銀 河 都 派 來 宇 宙 動 物 學 家, 因 此 有 無 限 多 位, 統 統 住 進 這 間 無 限 太 空 旅 館, 每 人 住 一 間 而 將 旅 館 住 滿 沒 想 到 晚 上, 一 群 無 限 多 位 的 宇 宙 植 物 學 家 也 要 住 進 這 家 旅 館, 請 問 這 間 太 空 旅 館 的 老 闆 怎 麼 辦? 6.11 孤 獨 的 八 6.12 孤 獨 的 七 6.13 質 數 問 題 三 個 質 數, 其 積 為 和 的 17 倍, 則 此 三 質 數 為 何? 11

6.14 你 辦 得 到 嗎? 用 0,1,2,3,4,,9 填 入 下 列 空 格 內, 每 個 空 格 只 能 填 一 個 數 字 : 1. 6.15 容 器 分 裝 的 問 題 (1) 油 桶 中 裝 滿 油 一 斗 ( 十 公 升 ), 今 另 有 七 公 升 及 三 公 升 的 容 器 二 個, 試 問 如 何 使 用 此 三 個 容 器 將 十 公 升 的 油 平 分 成 各 五 公 升? (2) 設 有 三 個 沒 有 刻 度 的 容 器, 其 容 量 分 別 為 3 公 升, 5 公 升, 及 8 公 升, 現 在 只 有 8 公 升 容 器 中 已 裝 滿 了 純 水, 請 利 用 這 三 個 容 器 進 行 操 作 ( 可 以 將 一 個 容 器 中 的 純 水 倒 到 另 一 個 或 二 個 容 器 中 ), 是 否 可 以 使 得 其 中 某 一 個 容 器 中 的 純 水 恰 為 4 公 升? 如 果 可 以, 請 列 出 操 作 過 程 並 說 明 之 如 果 不 可 以, 請 說 明 理 由 承 上 題 ( 只 有 8 公 升 容 器 中 裝 滿 了 水 ), 試 運 用 上 述 三 個 容 器 能 否 量 出 1 至 8 公 升 的 各 個 容 量, 請 分 別 寫 出 可 以 量 出 和 無 法 量 出 的 容 量 承 上 題, 三 個 沒 有 刻 度 的 容 器, 其 容 量 分 別 為 a 公 升,b 公 升, 及 c 公 升 ( 只 有 a 公 升 容 器 中 裝 滿 了 水 ),, 請 討 論 可 能 量 出 的 情 形 6.16 三 個 數 已 知 三 個 數 3 12 89, 進 行 下 面 一 次 的 操 作 : 首 先 任 取 其 中 的 二 個 數 求 其 和, 再 除 以 ; 另 外, 求 這 二 數 的 差 再 除 以 根 號 2, 而 得 到 新 的 二 個 數 試 問 : 能 否 經 過 若 干 次 上 述 的 操 作, 最 後 得 到 10 14 90? 試 說 明 理 由 6.17 走 樓 梯 設 有 十 級 階 梯 ( 自 樓 板 面 算 起 ), 今 要 求 上 樓 時 每 一 步 走 一 階 或 二 階, 試 問 共 有 少 種 不 同 的 上 樓 方 式? 6.18 火 柴 棒 能 否 利 用 12 根 長 為 1 單 位 的 火 柴 棒 拼 成 面 積 分 別 為 2,3,4,5,6 平 方 單 位 的 圖 形? 6.19 火 柴 棒 一 個 鈍 角 三 角 形 至 少 可 以 分 割 成 多 少 個 銳 角 三 角 形? 一 個 直 角 三 角 形 至 少 可 以 分 割 成 多 少 個 銳 角 三 角 形? 12