觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒 的 年 齡 (y 歲 ) 大 28 歲, 求 x 與 y 的 關 係 式 3. 距 離 300 km, 求 平 均 時 速 x (km/h) 與 所 花 時 間 y ( 小 時 ) 的 關 係 式 正 比 y 定 義 : 兩 個 變 數 x 與 y 的 關 係 式 為 y = kx (or = k), k 0 的 形 式 x 例 題 練 習 (1) 若 x 台 斤 等 於 y 公 斤 (1 台 斤 = 0.6 公 斤 ) (a) x y 的 關 係 式 為 何? 例 題 練 習 (2) 下 列 哪 些 是 正 比 的 關 係 (a) 正 方 形 的 周 長 y 和 邊 長 x x 在 什 麼 時 候 會 跟 y 成 正 比? 就 是 當 x y 的 關 係 式 可 以 表 示 成 y=kx 的 時 候 正 比 的 性 質 就 是 當 x 變 成 n 倍 的 的 時 候, 對 應 的 y 也 會 變 成 n 倍 (b) x 與 y 是 否 成 正 比? (b) 120 公 斤 等 於 多 少 台 斤? (c) 當 x 變 為 5 倍 時,y 變 為 多 少 倍? (b) 正 方 形 的 面 積 y 和 邊 長 x (c) 圓 面 積 y 與 半 徑 r (d) 圓 周 長 y 與 半 徑 r (e) 華 氏 溫 度 y 與 攝 氏 溫 度 x (f) 如 果 x 越 大,y 也 會 越 大 的 關 係 1
反 比 1 定 義 : 兩 個 變 數 x 與 y 的 關 係 式 為 y = k (or xy = k), k 0 的 形 式 x 正 比 例 題 練 習 (1) 例 題 練 習 (2) 遊 覽 車 租 金 8000 元, 由 搭 車 的 人 平 均 分 攤 若 搭 車 的 人 數 是 x, 每 人 分 擔 的 錢 為 y (a) x 與 y 是 否 成 反 比? (b) 若 搭 車 人 數 從 20 人 變 成 40 人, 請 問 每 人 分 擔 的 錢 會 變 為 原 來 的 幾 倍? 下 列 哪 些 是 反 比 的 關 係 (a) 距 離 固 定, 行 車 速 度 和 所 花 時 間 (b) 150 頁 的 書, 看 完 和 沒 看 完 的 頁 數 (c) 如 果 x 越 大,y 就 越 小 的 關 係 相 對 於 正 比, 當 x y 的 關 係 式 可 以 表 示 成 xy=k 的 時 候,x 跟 y 成 反 比 反 比 的 性 質 就 是 當 x 變 成 n 倍 的 的 時 候, 對 應 的 y 反 而 變 成 1/n 倍 重 點 整 理 本 節 學 習 重 點 : 關 係 式 例 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 y = 60x, xy = 10, y = x + 28, 1. 會 列 出 x 跟 y 的 關 係 式 2. 判 斷 正 反 比 3. 利 用 正 反 比 的 定 義 與 性 質 來 做 計 算 正 比 ( 固 定 倍 率 ) 反 比 ( 乘 積 固 定 ) 其 他 y k y = kx or = k ( k 0) y = or xy = k ( k 0) x x 例 y = 60x 例 xy = 10 x 1 2 3 y 60 120 180 x 1 2 4 y 10 5 2.5 2
例 題 練 習 例 題 1. 正 反 比 判 斷 閱 讀 下 列 敘 述 後 回 答 問 題 : (A) 一 天 24 小 時 中, 白 天 有 x 小 時, 晚 上 有 y 小 時 (B) 半 徑 為 x 公 分, 面 積 為 y 平 方 公 分 的 圓 形 (C) 超 市 中 1 瓶 飲 料 25 元, 媽 媽 買 x 瓶, 共 付 y 元 (D) x y 是 不 為 0 的 整 數, 滿 足 x:2=y:5 (E) x y 是 不 為 0 的 整 數, 滿 足 x:2=5:y (F) 長 方 形 的 長 x 公 分, 寬 y 公 分, 面 積 20 平 方 公 分 (G) 當 小 華 1 歲 時, 他 媽 媽 26 歲 ; 當 小 華 x 歲 時, 他 媽 媽 y 歲 請 問 : (1) x y 成 正 比 的 選 項 有 哪 些? 答 : (2) x y 成 反 比 的 選 項 有 哪 些? 答 : 1. 正 反 比 要 由 x 和 y 的 關 係 式 來 做 判 斷 2. 先 列 出 關 係 式, 就 能 判 斷 是 否 成 正 比 或 反 比 1. 若 長 方 形 中, 寬 的 長 度 不 變, 則 其 面 積 與 長 成 比 2. 一 台 斤 等 於 0.6 公 斤, 如 果 x 台 斤 能 折 合 y 公 斤, 則 x y 成 比 3. 媽 媽 花 了 200 元 買 蘋 果, 若 蘋 果 一 個 x 元, 買 了 y 個, 則 x y 成 比 例 題 2. 正 反 比 判 斷 1. 下 列 各 表 中, 何 者 y 與 x 成 正 比? ( 甲 ) ( 乙 ) x 4 5 6 7 y 16 20 24 28 x 3 4 5 6 y 15 20 22 24 1. 當 y=kx 時,y 跟 x 成 正 比 2. y=kx 也 可 以 表 示 成 y/x=k 3. 所 以 當 y/x 是 一 個 固 定 值 時,y 跟 x 2. 下 列 各 表 中, 何 者 y 與 x 成 反 比? ( 甲 ) ( 乙 ) x 2 3 4 6 y 12 8 5 4 x 6 8 12 16 y 8 6 4 3 也 會 成 正 比 下 表 是 長 30 公 分 的 彈 簧, 掛 著 一 個 重 量 x 公 克 的 砝 碼 後, 彈 簧 長 度 變 為 y 公 分, 彈 簧 伸 長 z 公 分, 則 下 列 何 者 正 確? (A) y 與 x 成 正 比 x 3 6 9 12 15 (B) y 與 x 成 反 比 y 32 34 36 38 40 (C) z 與 x 成 正 比 (D) z 與 x 成 反 比 z 2 4 6 8 10 3
例 題 3. 正 比 計 算 1. 已 知 y 與 x 成 正 比, 且 當 x=3 時,y=8, 則 當 x=12 時,y=? 2. 設 (y 4) 隨 著 (x+3) 正 變, 且 當 x=3 時,y= 5, 則 (1) x y 的 關 係 式 為 何? (2) 當 x=1 時, y=? 1. 設 y 與 x 成 正 比, 已 知 x= 8 時,y=4, 則 當 x= 時,y=8 2. 若 (y+2) 與 (x 3) 成 正 比, 當 x=5 時,y=4, 則 x y 的 關 係 式 為 何? 3. 已 知 y 與 (x+a) 成 正 比, 當 x=4 時,y=15; 當 x=2 時,y=5, 則 當 x=1 時,y=? 4. 若 y 與 (x+1) 成 正 比, 且 y 是 (x+1) 的 6 倍, 若 y+b=6x+2, 則 b=? 1. 當 y 跟 x 成 正 比,x 和 y 的 關 係 式 當 然 可 以 表 示 成 y=kx 2. 將 已 知 的 一 組 x y 值 代 入 關 係 式 中, 就 可 求 出 k 值, 並 得 到 x 和 y 的 關 係 式 3. 接 著 只 要 代 入 x 值 做 計 算, 就 能 得 到 對 應 的 y 值 例 題 4. 反 比 計 算 1. 設 y 與 x 成 反 比, 已 知 當 x=5 時,y=12, 則 當 x=6 時,y=? 2. 設 (y 1) 與 (x+2) 成 反 比, 當 x=2 時,y=3, 則 : (1) x y 的 關 係 式 為 何? (2) 當 y=12 時,x=? 1. 設 y 與 x 成 反 比, 且 當 x= 5 時,y=6, 則 (1) 當 x=10 時,y= (2) 當 x= 時,y= 4 2. 已 知 y 與 (x+a) 成 反 比, 當 x=4 時,y=6; 當 x=5 時, y=4, 則 當 x=3 時,y=? 3. 已 知 y 與 x 成 反 比, 若 x 值 增 加 20% 時, 則 y 值 如 何 變 化? (A) 減 少 20% (B) 減 少 40% (C) 變 為 原 來 的 5 倍 (D) 減 少 原 來 的 5 倍 6 6 1. y 跟 x 成 反 比, 所 以 xy=k 2. 將 已 知 的 一 組 x y 值 代 入 式 子 中, 可 求 出 k 值,x 和 y 的 關 係 式 就 出 現 了 3. 接 著 只 要 代 入 x 值 做 計 算, 就 能 得 到 對 應 的 y 值 4
例 題 5. 正 反 比 計 算 已 知 x 與 y 成 正 比,y 與 z 成 反 比, 且 當 z=3 時,y= 6,x= 12, 則 (1) x 與 z 的 關 係 式 為 何? (2) 當 x=6 時,y 及 z 分 別 為 多 少? 1. 設 y 與 x 成 反 比, 且 z 與 y 成 正 比, 若 x=2 時, 可 推 得 y=12,z=3, 則 當 x=3 時,y=,z= 1. 已 知 x 跟 y 成 正 比,y 跟 z 成 反 比, 就 可 以 知 道 y=kx,yz=l 2. 接 著 將 已 知 的 一 組 x y z 值 代 入 計 算, 就 能 得 到 兩 組 關 係 式 3. 再 利 用 代 入 消 去 法 將 y 消 去, 就 能 得 到 x 跟 z 的 關 係 式 1 2. 若 x 與 y 成 正 比, 且 當 x=3 時, y = ; 若 z 與 y 成 反 比, 2 1 且 當 y=3 時, z =, 則 x z 的 關 係 式 為 何? 2 例 題 6. 正 比 應 用 已 知 在 彈 性 限 度 內, 彈 簧 的 伸 長 量 與 拉 力 成 正 比 若 一 彈 簧 在 無 受 力 的 情 況 下 長 度 為 15 公 分, 在 拉 力 6 公 克 時 彈 簧 的 長 度 變 為 17 公 分, 則 在 彈 性 限 度 內, 當 彈 簧 受 24 公 克 的 拉 力 時, 彈 簧 的 長 度 變 為 多 少 公 分? 1. 因 為 成 正 比, 所 以 拉 力 =k. 伸 長 量 2. 又 伸 長 量 = 彈 簧 長 度 -15 3. 所 以 拉 力 =k.( 彈 簧 長 度 -15) 4. 接 著 可 利 用 已 知 的 一 組 拉 力 與 彈 簧 長 度, 來 求 出 關 係 式 然 後 再 代 入 拉 力, 就 能 求 出 對 應 的 彈 簧 長 度 已 知 在 彈 性 限 度 內, 彈 簧 的 伸 長 量 與 拉 力 成 正 比 大 雄 拿 一 個 彈 簧 秤, 吊 起 一 本 小 說, 彈 簧 秤 增 加 了 3 公 分, 接 著 他 吊 起 一 本 國 語 字 典, 彈 簧 秤 增 加 了 8 公 分, 若 已 知 小 說 重 量 為 720 公 克, 則 國 語 字 典 重 量 為 多 少 公 克? 5
例 題 7. 正 比 應 用 寶 石 的 價 格 隨 其 整 塊 重 量 的 平 方 成 正 比, 小 明 有 重 50 克 的 寶 石 一 塊, 價 值 為 100 萬 元 (1) 他 不 慎 摔 裂 成 兩 塊, 重 量 比 為 2:3, 求 此 兩 塊 寶 石 總 價 多 少 元? (2) 小 明 損 失 多 少 元? 若 自 由 落 體 落 下 的 距 離 與 時 間 的 平 方 成 正 比, 已 知 2 秒 內 落 下 1960 公 分, 則 落 下 7840 公 分 需 要 多 少 秒? 1. 價 格 與 重 量 的 平 方 成 正 比, 所 以 就 可 知 道 價 格 =k ( 重 量 ) 2 2. 且 已 知 50 克 的 寶 石 價 值 100 萬 元, 可 將 其 代 入, 並 算 出 價 格 與 重 量 的 關 係 式 3. 利 用 此 關 係 式 可 算 出 摔 裂 後 的 兩 塊 寶 石 的 總 價, 並 得 知 損 失 多 少 元 例 題 8. 正 比 應 用 奶 茶 每 500 毫 升 中 含 糖 量 25 毫 克, 如 果 x 毫 升 的 奶 茶 含 糖 量 y 毫 克, 請 問 (1) y 與 x 是 否 成 正 比? (2) 當 x=1200 時,y 值 為 多 少? 已 知 每 35 公 克 的 雞 腿 含 有 55 卡 的 熱 量 若 x 公 克 的 雞 腿 含 有 熱 量 y 卡, (1) 求 x y 的 關 係 式? (2) y 與 x 是 否 成 正 比? (3) 請 問 2100 公 克 的 雞 腿 含 有 熱 量 多 少 卡? 1. 每 500 毫 升 的 奶 茶 中 含 糖 量 25 毫 克, 所 以 每 1 毫 升 中, 含 糖 量 是 25/500= 1/20 毫 克 2. 由 此 可 知 奶 茶 體 積 x 與 含 糖 量 y 的 關 係 式 為 x=(1/20).y 3. 由 此 關 係 式 可 判 斷 y 與 x 是 否 成 正 比, 並 算 出 當 x=1200 時, 所 對 應 的 y 值 6
例 題 9. 反 比 應 用 班 上 租 一 部 遊 覽 車 出 遊, 並 由 登 記 參 加 的 同 學 平 均 分 擔 租 車 費 用 8000 元, 若 以 x 表 示 參 加 同 學 人 數,y 表 示 每 人 分 擔 的 錢, 請 問 : (1) x 與 y 是 否 成 反 比? (2) 若 有 20 人 參 加, 請 問 每 人 分 擔 多 少 錢? (3) 當 x 變 為 2 倍 時,y 變 為 多 少 倍? 1. 租 車 費 用 = 同 學 人 數 x 每 人 分 擔 的 錢 y 2. 所 以 可 得 關 係 式 :xy=8000 3. 由 此 關 係 式 可 算 出 各 小 題 的 答 案 已 知 有 一 平 行 四 邊 形 面 積 為 2 平 方 公 尺, 若 設 底 長 度 為 x 公 尺, 高 的 長 度 為 y 公 尺, 則 : (1) x 與 y 是 否 成 反 比? (2) 若 高 為 0.5 公 尺, 則 底 的 長 度 為 公 尺 (3) 若 底 的 長 度 為 6 公 尺, 則 高 的 長 度 為 公 尺 例 題 10. 反 比 應 用 有 一 工 程, 小 王 每 天 工 作 8 小 時,30 天 可 完 工 今 欲 在 20 天 內 趕 完, 則 小 王 每 天 應 增 加 多 少 小 時? 1. 同 一 個 人 做 同 一 項 工 程, 總 工 作 時 數 不 變 2. 總 工 作 時 數 = 每 天 工 作 時 數 工 作 天 數 3. 所 以 如 果 把 新 的 每 天 工 作 時 數 設 為 x, 就 可 以 得 到 x 20=8 30, 解 方 程 式 可 得 x, 接 著 可 算 出 每 天 要 增 加 多 少 小 時 1. 大 雄 的 暑 假 作 業 計 畫 每 天 作 3 小 時,15 天 可 完 成, 但 全 家 臨 時 要 出 國 旅 遊, 欲 在 9 天 內 完 成, 則 每 天 應 該 增 加 多 少 小 時? 2. 有 一 工 程,15 人 合 作 24 日 可 完 工, 現 想 提 早 6 天 完 工, 則 應 增 加 多 少 名 工 人? 7
例 題 11. 反 比 應 用 有 一 路 程, 甲 花 4 小 時 走 完, 乙 花 3.5 小 時 走 完, 求 甲 乙 速 率 比 為 何? 1. 同 一 路 程 的 距 離 相 同 2. 且 距 離 = 速 率 時 間 3. 所 以 甲 的 速 率 4= 乙 的 速 率 3.5, 由 此 等 式 可 求 出 甲 乙 的 速 率 比 1. 甲 乙 兩 人 行 駛 相 同 的 距 離, 若 甲 乙 分 別 保 持 3:5 的 速 率 比, 則 他 們 所 花 費 的 時 間 比 為 何? 2. 兩 兄 弟 就 讀 同 一 學 校, 某 天 早 上 兩 人 沿 同 一 路 徑 不 同 時 間 出 門 上 學, 哥 哥 7:02 出 發,7:14 到 達 學 校 ; 弟 弟 7:05 出 發,7:15 到 達 學 校, 則 兩 人 的 速 率 比 為 何? 8