摘 要 們 主 要 研 究 一 個 趣 的 數 學 摺 紙 遊 戲 透 過 割 6 解 中 空 卡 創 4 款 12 解 中 空 卡 - 長 方 形 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 逆 斜 中 空 卡 斜 中 空 卡 們 是 最 先 發 明 12 解 中 空 卡 遊 戲 的 4 款 12 解

中 華 民 國 第 55 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 最 佳 團 隊 合 作 獎 080418- 封 面 翻 轉 世 界 -12 解 遊 戲 學 校 名 稱 : 新 北 市 三 峽 區 三 峽 國 民 小 學 作 者 : 指 導 老 師 : 小 六 黃 羚 芝 小 六 吳 宛 芸 陳 素 敏 楊 曜 源 小 六 張 子 亭 關 鍵 詞 : 平 面 斜 魔 方 斜 中 空 卡

摘 要 們 主 要 研 究 一 個 趣 的 數 學 摺 紙 遊 戲 透 過 割 6 解 中 空 卡 創 4 款 12 解 中 空 卡 - 長 方 形 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 逆 斜 中 空 卡 斜 中 空 卡 們 是 最 先 發 明 12 解 中 空 卡 遊 戲 的 4 款 12 解 中 空 卡 都 值 得 深 入 研 究 本 研 究 小 組 先 選 定 12 解 斜 中 空 卡 作 深 入 研 究 至 研 究 結 束 找 到 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 組 合 數 4760 個 創 作 6 解 中 空 卡 無 法 的 12 生 肖 12 星 等 主 題 12 解 斜 中 空 卡 們 12 解 斜 中 空 卡 給 同 學 玩 同 學 玩 到 連 走 路 都 捨 不 得 停 來 於 是 們 繼 續 創 了 幾 何 卡 乘 法 卡 數 小 數 卡 等 值 數 卡 法 卡 等 12 解 斜 中 空 卡 將 12 解 斜 中 空 卡 應 用 於 數 學 學 習 進 一 統 計 法 卡 和 數 4~48 的 摺 法 共 計 521 種 壹 研 究 動 機 玩 過 老 師 介 紹 的 多 邊 形 6 解 中 空 卡 們 發 現 24 個 格 子 部 使 用 最 多 可 摺 出 6 個 解 答 解 的 數 量 只 6 個 無 法 應 用 於 日 常 生 活 中 許 多 12 為 單 位 的 主 題 例 如 12 星 卡 12 生 肖 卡 等 於 是 們 想 改 良 6 解 中 空 卡 發 明 12 解 中 空 卡 假 設 將 每 1 格 割 圖 一 多 邊 形 解 中 空 卡 2 格 就 48 格 每 4 格 摺 1 解 就 會 12 解 的 中 空 卡 但 假 設 能 真 嗎? 心 動 不 如 馬 行 動 翻 轉 世 界 化 不 可 能 為 可 能 的 精 神 讓 假 設 為 真 實 油! 貳 研 究 目 的 一 應 用 不 同 的 割 方 法 創 出 12 解 中 空 卡 析 探 討 12 解 斜 中 空 卡 之 特 性 摺 法 規 則 尋 找 12 解 斜 中 空 卡 摺 方 形 之 可 能 組 合 四 創 多 元 12 解 斜 中 空 卡 提 供 給 同 學 挑 戰 五 法 斜 中 空 卡 和 數 4~48 的 可 能 摺 法 組 合 1

參 研 究 問 題 一 應 用 不 同 的 割 方 法 能 創 出 幾 款 12 解 中 空 卡? 12 解 斜 中 空 卡 何 特 性 摺 法 規 則? 同 型 組 合 四 元 數 的 同 位 元 之 數 間 無 規? 四 12 解 斜 中 空 卡 摺 方 形 之 可 能 組 合? 五 法 斜 中 空 卡 和 數 4~48 的 可 能 摺 法 組 合? 肆 文 獻 探 討 國 中 小 學 科 展 6 解 摺 紙 中 空 卡 的 相 關 研 究 四 篇 - 拼 拼 湊 湊 都 是 畫 > 麥 當 勞 的 難 題 - 轉 折 拼 湊 > 792 魔 術 卡 填 來 填 去 都 是 > 12 解 摺 紙 中 空 卡 是 本 研 究 小 組 的 創 新 發 明 伍 研 究 設 備 器 材 紙 色 筆 美 刀 尺 電 腦 印 表 機 陸 名 詞 解 釋 一 12 解 斜 中 空 卡 將 6 解 中 空 卡 右 交 叉 斜 割 反 面 共 48 格 每 4 格 等 腰 直 角 角 形 摺 方 形 為 1 解 恰 12 解 因 命 名 為 12 解 斜 中 空 卡 簡 稱 斜 中 空 卡 如 圖 同 型 組 合 斜 中 空 卡 摺 方 形 之 4 元 數 間 的 相 對 位 置 相 同 稱 為 同 型 組 合 例 如 面 (4 5 16 17) (10 11 22 23) 反 面 (28 29 40 41) (34 35 46 47) 四 組 4 元 數 間 的 相 對 位 置 相 同 就 稱 四 組 為 同 型 組 合 編 號 請 參 考 圖 圖 每 一 格 右 方 灰 階 數 字 表 反 面 編 碼 基 準 型 同 型 組 合 4 元 數 中 的 第 一 個 元 數 數 字 最 小 者 稱 為 基 準 型 第 一 個 元 數 相 同 則 比 較 第 個 元 數 例 如 (1 5 10 20) 和 (1 11 16 20) 第 一 個 元 數 為 1 所 比 較 第 個 元 數 因 為 5 11 所 (1 5 10 20) 為 同 型 組 合 的 基 準 型 2

柒 研 究 過 程 和 方 法 一 一 一 們 嘗 試 用 右 右 斜 右 斜 右 交 叉 斜 右 交 叉 斜 方 式 進 行 等 割 發 現 些 割 可 創 出 12 解 中 空 卡 些 則 不 行 並 且 優 劣 之 茲 說 明 如 ( 一 ) 等 如 圖 3-1 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 等 每 一 格 為 長 寬 比 1 2 之 長 方 形 4 格 組 1 解 解 答 呈 現 也 為 長 方 形 種 割 等 法 使 格 1 2 3 4 11 12 13 14 之 組 合 變 化 數 量 較 少 且 基 本 格 為 長 方 形 對 稱 性 不 如 方 形 佳 卡 極 大 改 良 空 間 圖 3-1 等 ( ) 右 等 如 圖 3-2 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 右 等 每 一 格 為 長 寬 比 2 1 之 長 方 形 4 格 組 1 解 解 答 呈 現 也 為 長 方 形 種 割 等 法 使 格 1 8 9 10 11 18 19 20 之 組 合 變 化 數 量 較 少 且 基 本 格 為 長 方 形 對 稱 性 不 如 方 形 佳 卡 等 卡 極 為 相 似 將 基 本 格 改 良 方 形 卡 可 合 而 為 一 修 長 方 形 12 解 中 空 卡 圖 3-2 右 等 3

( ) 右 斜 等 如 圖 3-3 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 右 斜 割 每 一 格 變 為 等 腰 直 角 角 形 格 組 一 個 平 行 四 邊 形 個 平 行 四 邊 形 無 法 組 方 形 割 方 式 較 不 適 宜 ( 四 ) 右 斜 等 圖 3-3 右 斜 等 圖 3-4 右 斜 等 右 斜 等 如 圖 3-4 右 斜 等 相 似 者 斜 的 方 向 相 對 稱 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 右 斜 割 每 一 格 變 為 等 腰 直 角 角 形 格 組 一 個 平 行 四 邊 形 個 平 行 四 邊 形 無 法 組 方 形 割 方 式 也 不 適 宜 ( 五 ) 右 交 叉 斜 等 如 圖 3-5 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 右 交 叉 斜 割 每 一 格 變 為 等 腰 直 角 角 形 中 格 1 8 14 20 位 於 4 個 角 落 雖 可 透 過 翻 轉 他 格 組 方 形 但 右 交 叉 斜 相 較 較 無 規 故 割 法 立 但 不 是 首 選 因 為 右 交 叉 斜 等 且 格 1 2 而 割 所 命 名 為 逆 斜 中 空 卡 圖 3-5 右 交 叉 斜 等 ( ) 右 交 叉 斜 等 如 圖 3-6 將 原 本 的 1 格 方 形 虛 線 右 交 叉 斜 割 每 一 格 也 是 變 為 等 腰 直 角 角 形 因 為 右 交 叉 斜 等 且 格 1 2 而 割 所 命 名 為 斜 中 空 卡 本 研 究 將 針 對 斜 中 空 卡 做 深 入 研 究 4

圖 3-6 右 交 叉 斜 等 改 良 變 形 等 和 右 等 中 空 卡 之 基 本 格 為 長 方 形 長 方 形 之 對 稱 性 不 如 方 形 佳 將 長 方 形 改 良 方 形 應 會 更 好 將 想 法 付 諸 行 動 如 圖 4-1 基 本 格 修 方 形 中 空 卡 變 了 長 方 形 等 和 右 等 變 了 同 一 款 因 改 良 變 形 外 觀 為 長 方 形 所 將 卡 命 名 為 長 方 形 中 空 卡 圖 4-1 長 方 形 中 空 卡 之 改 良 長 方 形 中 空 卡 格 1 8 9 10 11 18 19 20 之 組 合 變 化 數 量 較 少 們 思 考 如 何 增 格 1 8 9 10 11 18 19 20 組 方 形 之 組 合 數 如 圖 4-2 從 條 虛 線 處 開 即 可 增 格 1 8 9 10 11 18 19 20 組 方 形 之 組 合 數 卡 命 名 為 長 方 形 割 中 空 卡 各 款 中 空 卡 創 作 圖 4-2 長 方 形 割 中 空 卡 ( 一 ) 長 方 形 中 空 卡 雖 然 長 方 形 中 空 卡 格 1 8 9 10 11 18 19 20 之 組 合 變 化 數 量 較 少 但 只 要 用 心 5

思 考 變 化 亦 非 常 多 值 得 深 入 研 究 本 研 究 每 4 格 摺 一 個 方 形 48 格 使 用 共 12 解 為 原 則 先 設 計 一 種 長 方 形 中 空 卡 如 圖 5-1 12 解 數 字 1~12 表 示 即 要 將 4 格 數 字 相 同 者 摺 在 一 起 為 方 形 面 反 面 解 答 形 式 圖 5-1 長 方 形 中 空 卡 ( ) 長 方 形 割 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 是 從 長 方 形 中 空 卡 改 革 而 來 將 格 19 20 格 21 24 中 間 和 格 9 10 格 22 23 中 間 別 割 開 格 1 8 9 10 11 18 19 20 之 組 合 變 化 數 量 增 了 故 長 方 形 割 中 空 卡 組 字 型 的 組 合 變 化 會 比 長 方 形 中 空 卡 更 多 中 空 卡 更 值 得 深 入 研 究 本 研 究 一 樣 先 設 計 一 種 長 方 形 割 中 空 卡 作 為 研 究 開 端 ( 圖 5-2) ( ) 逆 斜 中 空 卡 面 反 面 解 答 形 式 圖 5-2 長 方 形 割 中 空 卡 圖 5-3 逆 斜 中 空 卡 面 反 面 解 答 形 式 旋 轉 45 6

逆 斜 中 空 卡 因 為 格 1 8 14 20 獨 立 位 於 4 個 角 落 所 斜 中 空 卡 相 較 之 較 無 規 但 摺 方 形 之 組 合 數 量 亦 非 常 可 觀 也 值 得 深 入 研 究 本 研 究 因 時 間 關 係 只 先 設 計 一 種 逆 斜 中 空 卡 ( 圖 5-3) ( 四 ) 斜 中 空 卡 斜 中 空 卡 是 本 研 究 選 定 深 入 探 討 的 12 解 中 空 卡 四 斜 中 空 卡 們 期 望 能 盡 可 能 的 找 到 斜 中 空 卡 4 格 等 腰 直 角 角 形 摺 一 個 意 義 方 形 解 的 數 量 如 便 可 很 容 易 設 計 出 很 多 種 斜 中 空 卡 可 是 要 如 何 做 才 能 快 找 到 呢 老 師 建 議 們 先 了 解 斜 中 空 卡 的 特 性 再 來 想 辦 法 說 明 斜 中 空 卡 之 特 色 如 ( 一 ) 對 稱 性 斜 中 空 卡 為 線 對 稱 圖 形 四 條 對 稱 軸 X Y Z W 圖 6-1 斜 中 空 卡 之 線 對 稱 性 格 1 之 對 稱 格 為 格 2 8 14 20 格 2 之 對 稱 格 為 格 1 7 13 19 格 3 之 對 稱 格 為 格 6 12 18 24 格 4 之 對 稱 格 為 格 5 11 17 23( 圖 6-1) 斜 中 空 卡 也 是 旋 轉 對 稱 圖 形 透 過 旋 轉 又 可 得 格 1 格 7 13 19 對 稱 格 2 格 8 14 20 對 稱 格 3 格 9 15 21 對 稱 格 4 格 10 16 22 對 稱 ( 圖 6-2) 原 圖 向 旋 轉 90 向 旋 轉 180 向 旋 轉 270 圖 6-2 斜 中 空 卡 之 旋 轉 對 稱 性 ( ) 格 1 2 3 4 讚! 為 了 效 率 地 尋 找 斜 中 空 卡 意 義 方 形 解 的 可 能 摺 法 本 研 究 發 現 應 用 斜 中 空 卡 的 對 稱 性 只 要 先 找 到 格 1 2 3 4 的 摺 法 組 合 便 可 應 用 對 稱 性 找 到 許 多 之 對 稱 的 摺 法 組 7

合 但 要 如 何 才 能 仔 細 地 找 到 格 1 2 3 4 的 摺 法 組 合 呢? 真 是 個 人 傷 腦 筋 的 問 題 靈 感 來 了 4 階 魔 術 方 塊 組 面 中 心 的 方 法 是 先 轉 直 線 或 橫 線 再 將 直 線 或 橫 線 組 大 方 形 圖 七 而 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 方 法 可 先 將 格 小 等 腰 直 角 角 形 摺 大 等 腰 直 角 角 形 再 用 個 大 等 腰 直 角 角 形 合 在 一 起 變 方 形 ( 圖 ) 所 已 將 問 題 先 縮 小 至 可 格 1 2 3 4 摺 大 等 腰 直 角 角 形 的 命 題 討 論 驟 一 格 轉 一 直 線 驟 直 線 轉 方 形 中 心 圖 七 四 階 魔 術 方 塊 組 面 中 心 的 方 法 驟 一 格 小 等 腰 直 角 角 形 翻 轉 摺 大 等 腰 直 角 角 形 驟 個 大 等 腰 直 角 角 形 翻 轉 摺 方 形 圖 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 方 法 命 題 1 取 斜 中 空 卡 中 2 格 摺 大 等 腰 直 角 角 形 的 組 合 用 x y 表 中 x y 例 格 1 格 4 組 合 大 等 腰 直 角 角 形 用 1 4 表 示 命 題 2 反 面 相 差 24 必 不 能 摺 大 等 腰 直 角 角 形 例 1 25 2 26 因 反 面 相 差 24 為 對 面 命 題 3 格 1 可 面 除 格 2 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 4 格 1 可 反 面 除 格 25 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 5 格 2 可 面 除 格 1 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 6 格 2 可 反 面 除 格 26 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 7 格 3 可 面 除 格 4 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 8 格 3 可 反 面 除 格 27 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 8

命 題 9 格 4 可 面 除 格 3 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 10 格 4 可 反 面 除 格 28 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 應 用 命 題 先 尋 找 斜 中 空 卡 格 1 2 3 4 組 大 等 腰 直 角 角 形 的 可 能 組 合 再 他 格 組 合 方 形 命 題 11 取 斜 中 空 卡 中 4 格 摺 方 形 的 組 合 用 x y z w 表 中 x y z w 例 格 1 4 5 10 組 方 形 用 1 4 5 10 表 示 確 定 斜 中 空 卡 格 1 2 3 4 的 摺 法 規 則 和 特 色 們 開 始 依 照 述 的 命 題 尋 找 包 含 格 1 2 3 4 摺 方 形 的 組 合 真 是 個 大 程 們 花 了 6 個 多 的 時 間 一 開 始 數 量 就 十 驚 人 但 到 了 期 還 會 偶 爾 發 現 幾 個 新 的 直 至 研 究 結 束 們 共 找 到 格 1 2 3 4 摺 方 形 的 組 合 數 量 是 1437 個 ( ) 旋 轉 規 則 找 到 斜 中 空 卡 格 1 2 3 4 摺 方 形 的 組 合 們 透 過 斜 中 空 卡 的 對 稱 性 尋 找 斜 中 空 卡 4 格 摺 方 形 的 可 能 組 合 一 開 始 們 透 過 實 際 操 作 斜 中 空 卡 寫 出 同 型 組 合 發 現 同 型 組 合 數 量 可 能 為 4 8 或 16 個 命 題 12: 斜 中 空 卡 每 一 個 可 摺 方 形 的 4 個 元 數 組 合 經 一 般 旋 轉 和 對 稱 旋 轉 轉 換 旋 轉 的 數 量 3 種 可 能 16 8 4 個 最 多 16 個 組 合 可 摺 方 形 最 少 4 個 組 合 人 奮 的 是 面 對 些 平 凡 無 奇 的 數 字 當 們 寫 到 快 一 百 組 時 了 不 平 凡 的 發 現 命 題 13: 同 型 組 合 四 元 數 間 的 同 位 元 之 數 形 差 為 6 的 等 差 數 列 例 1. (1 4 5 10) 為 例 請 參 考 圖 之 編 號 從 表 1 可 觀 察 出 面 / 反 面 一 般 旋 轉 / 對 稱 旋 轉 的 4 個 同 型 4 元 數 同 位 元 之 數 形 等 差 ( 差 為 6) 面 為 1~24 的 循 環 所 22 6 循 環 回 到 4 反 面 則 為 25~48 的 循 環 46 6 回 到 28 見 表 1 中 黃 綠 底 數 一 般 旋 轉 表 1. (1 4 5 10) 同 型 的 16 個 4 元 數 組 合 面 反 面 (1 4 5 10) (25 28 29 34) (7 10 11 16) (31 34 35 40) (13 16 17 22) (37 40 41 46) (19 22 23 4) (43 46 47 28) 9

對 稱 旋 轉 (4 5 8 23) (10 11 14 5) (16 17 20 11) (22 23 2 17) (28 29 32 47) (34 35 38 29) (40 41 44 35) (46 47 26 41) 命 題 14 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 同 型 數 量 種 可 能 4 個 8 個 16 個 請 參 考 例 1~3 例 2: (1 4 17 20) 為 例 它 恰 8 個 同 型 的 4 元 數 組 合 因 對 稱 旋 轉 一 般 旋 轉 相 同 一 般 旋 轉 表 2. (1 4 17 20) 同 型 的 8 個 4 元 數 組 合 面 反 面 (1 4 17 20) (25 28 41 44) (7 10 23 2) (31 34 47 26) (13 16 5 8) (37 40 29 32) (19 22 11 14) (43 46 35 38) 例 3: (1 8 13 20) 為 例 它 恰 4 個 同 型 的 4 元 數 組 合 面 個 反 面 個 一 般 旋 轉 表 3. (1 8 13 20) 同 型 的 4 個 4 元 數 組 合 面 反 面 (1 8 13 20) (25 32 37 44) (7 14 19 2) (31 38 43 26) (13 20 1 8) 重 複 透 過 斜 中 空 卡 的 對 稱 性 尋 找 摺 方 形 的 可 能 組 合 直 至 研 究 結 束 們 共 找 到 4760 種 組 合 請 參 考 附 件 一 斜 中 空 卡 基 準 型 同 型 數 量 統 計 表 ( 四 ) 斜 中 空 卡 的 創 作 應 用 將 總 組 合 數 4760 種 5 類 如 表 4 觀 察 多 數 人 玩 斜 中 空 卡 的 經 驗 發 現 一 反 和 一 反 的 難 高 於 反 反 的 難 高 於 四 和 四 反 中 數 量 最 多 的 是 反 1872 個 次 是 四 四 反 都 是 988 個 數 量 最 少 的 是 一 反 和 一 反 數 量 都 為 456 個 請 參 考 圖 九 表 4. 反 面 組 合 數 量 類 表 類 別 四 一 反 反 一 反 四 反 合 計 組 合 數 988 456 1872 456 988 4760 10

組 合 數 2000 1500 1000 500 0 四 一 反 反 一 反 四 反 圖 九 反 面 組 合 數 量 類 統 計 長 條 圖 類 別 要 如 何 設 計 各 種 不 同 難 的 12 解 斜 中 空 卡 呢? 要 設 計 一 張 12 解 斜 中 空 卡 必 須 從 5 類 選 12 組 使 恰 能 填 滿 48 格 從 恰 能 填 滿 48 格 的 條 件 來 思 考 條 件 1 面 ( 編 號 1~24) 需 占 24 格 反 面 ( 編 號 25~48) 需 占 24 格 條 件 2 編 號 1~48 不 可 重 複 於 組 合 的 方 法 多 所 們 決 定 先 縮 小 問 題 的 範 圍 先 考 量 必 定 會 滿 足 條 件 一 的 可 能 情 形 將 四 四 反 搭 配 第 一 類 反 為 第 類 一 反 和 一 反 配 第 類 如 無 論 選 定 哪 一 類 反 面 使 用 的 格 子 數 量 均 會 相 同 3 類 不 同 反 組 合 中 任 取 6 個 組 一 張 斜 中 空 卡 圖 九 可 得 知 3 類 的 數 量 均 不 小 於 6 故 可 重 複 選 取 如 表 5 共 28 種 組 合 方 法 表 5 3 類 任 取 6 個 可 重 複 選 取 組 一 張 斜 中 空 卡 的 28 種 組 合 方 法 四 四 反 的 數 量 ( 組 ) 反 一 反 和 一 反 的 配 對 數 量 組 合 方 法 ( 種 ) 6 1 5 (1 0)(0 1) 2 4 (2 0)(1 1)(0 2) 3 3 (3 0)(2 1)(1 2)(0 3) 4 2 (4 0)(3 1)(2 2)(1 3)(0 4) 5 1 (5 0)(4 1)(3 2)(2 3)(1 4)(0 5) 6 0 (6 0)(5 1)(4 2)(3 3)(2 4)(1 5)(0 6) 7 總 計 28 命 題 15 用 (x y z) 表 選 定 ( 四 四 反 的 數 量 反 的 數 量 一 反 和 一 反 的 數 量 ) 的 組 合 方 法 面 28 種 組 合 方 法 設 計 出 來 的 斜 中 空 卡 難 不 同 一 般 而 言 (6 0 0) 的 組 合 方 法 是 最 簡 單 的 混 雜 3 類 組 合 的 方 法 比 較 挑 戰 性 例 如 (2 2 2) (1 2 3) 另 外 一 樣 11

的 組 合 方 法 選 取 可 摺 方 的 組 合 不 同 亦 會 影 響 12 解 斜 中 空 卡 的 難 (6 0 0) 的 組 合 方 法 為 例 四 四 反 各 988 組 假 設 每 一 個 四 可 四 反 的 988 個 配 對 如 便 988*988=976144 種 配 對 從 976144 種 配 對 選 取 6 組 的 方 法 數 也 非 常 多 製 作 出 的 12 解 斜 中 空 卡 的 難 也 都 不 相 同 當 然 要 能 製 作 12 解 斜 中 空 卡 還 必 須 滿 足 條 件 為 3 張 不 同 難 之 (6 0 0) 組 合 方 法 的 斜 中 空 卡 選 取 的 可 摺 方 的 組 合 4 格 越 散 難 越 高 圖 十 面 3 張 (6 0 0) 斜 中 空 卡 難 而 右 變 難 雖 然 透 過 參 考 4760 種 組 合 要 設 計 一 張 12 解 斜 中 空 卡 不 再 那 麼 困 難 了 但 最 的 4 格 無 法 摺 方 形 則 必 須 回 到 一 驟 重 新 選 取 因 設 計 斜 中 空 卡 最 大 的 困 難 是 選 定 的 6 組 配 對 常 無 法 滿 足 條 件 過 程 中 經 歷 無 數 次 的 失 敗 面 圖 十 一 (2 2 2) 混 雜 3 類 組 合 的 斜 中 空 卡 對 失 敗 的 解 決 之 是 往 前 修 不 負 心 人 們 了 1 張 2 張 3 張 作 品 源 源 不 絕 例 如 圖 十 一 為 (2 2 2) 混 雜 3 類 組 合 的 不 同 難 的 斜 中 空 卡 析 表 6 (2 2 2) 斜 中 空 卡 之 難 析 表 ( 編 號 請 參 考 圖 十 一 ) 類 別 四 四 反 反 一 反 和 反 一 編 號 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 難 較 易 普 較 難 要 設 計 包 含 3 類 組 合 之 不 同 難 12 解 斜 中 空 卡 應 把 握 什 麼 原 則 呢? 因 一 反 和 反 一 的 組 合 數 量 最 少 的 所 先 從 類 開 始 著 手 設 計 並 且 盡 量 避 開 格 1 的 對 稱 格 2 7 12

8 13 14 19 20 因 格 1 的 對 稱 格 他 格 摺 方 形 的 機 率 最 大 接 著 填 入 四 和 四 反 的 組 合 最 才 考 慮 反 的 組 合 因 組 合 數 量 最 多 所 最 考 慮 們 將 設 計 好 的 斜 中 空 卡 提 供 給 同 學 玩 沒 想 到 他 們 玩 得 好 認 真 喔! 連 走 路 的 時 間 都 捨 不 得 浪 費 隔 壁 班 的 同 學 看 到 了 也 來 詢 問 可 不 可 給 們 玩 玩 看? 同 學 熱 烈 的 反 應 讓 們 好 開 心 喔! 接 著 們 回 到 初 衷 創 了 12 生 肖 12 星 斜 中 空 卡 和 許 多 不 同 主 題 的 12 解 斜 中 空 卡 例 如 語 英 文 字 母 斜 中 空 卡 如 圖 十 12 星 斜 中 空 卡 12 生 肖 斜 中 空 卡 英 文 字 母 斜 中 空 卡 語 卡 斜 中 空 卡 圖 十 多 元 的 斜 中 空 卡 捌 研 究 討 論 一 6 解 中 空 卡 12 解 斜 中 空 卡 之 比 較 6 解 中 空 卡 趣 好 玩 可 惜 解 的 數 量 少 應 用 受 到 限 制 例 如 認 識 數 字 只 能 認 識 1~6 是 12 解 一 次 便 可 認 識 到 12 較 符 合 學 習 的 需 求 另 外 認 識 平 面 圖 形 而 言 12 解 也 較 6 解 能 滿 足 使 用 者 的 需 求 因 平 面 圖 形 方 形 長 方 形 角 形 圓 形 平 行 四 邊 形 梯 形 13

菱 形 箏 形 橢 圓 形 五 邊 形 邊 形 心 形 6 解 實 在 少 了 於 日 常 生 活 中 許 多 12 為 單 位 的 主 題 也 只 12 解 斜 中 空 卡 可 滿 足 需 求 整 理 6 解 12 解 之 異 同 如 表 7 表 7 6 解 中 空 卡 12 解 斜 中 空 卡 之 比 較 表 名 稱 解 的 數 量 基 本 單 位 解 的 形 式 變 化 應 用 6 解 中 空 卡 6 個 較 12 解 少 1. 適 合 用 於 6 解 的 主 題 2. 無 法 應 用 於 日 常 生 活 中 許 多 12 為 單 位 的 主 題 1. 能 應 用 於 日 常 生 活 中 許 多 12 為 單 位 的 主 題 例 如 12 星 卡 12 解 斜 中 空 卡 12 個 或 較 6 解 多 12 生 肖 卡 12 節 慶 卡 2. 解 的 數 量 是 6 解 的 2 倍 應 用 的 範 圍 較 為 廣 泛 多 元 凡 解 12 的 主 題 可 應 用 5 類 選 取 12 個 的 組 合 討 論 在 研 究 過 程 中 因 12 解 斜 中 空 卡 的 組 合 方 法 非 常 多 為 簡 化 問 題 所 將 5 類 配 對 3 類 確 保 能 滿 足 條 件 一 反 面 各 需 占 24 格 但 四 四 反 一 反 一 反 不 能 單 獨 存 在 嗎? 假 設 選 取 四 a 組 一 反 b 組 反 c 組 一 反 d 組 四 反 e 組 則 面 聯 立 方 程 式 a b c d e 之 非 負 整 數 解 能 滿 足 條 件 一 解 共 86 組 請 參 考 表 8 編 號 a b c d e 編 號 a b c d e a+b+c+d+e=12 4a+3b+2c+d=24 b+2c+3d+4e=24 表 8. 12 解 斜 中 空 卡 之 可 能 組 合 方 法 編 號 a b c d e 14 編 號 a b c d e 編 號 a b c d e 1 0 0 12 0 0 19 0 8 0 0 4 37 1 6 0 2 3 55 2 4 2 0 4 73 4 0 1 6 1 2 0 1 10 1 0 20 1 0 9 2 0 38 1 6 1 0 4 56 2 5 0 1 4 74 4 0 2 4 2 3 0 2 8 2 0 21 1 0 10 0 1 39 2 0 6 4 0 57 3 0 3 6 0 75 4 0 3 2 3

4 0 2 9 0 1 22 1 1 7 3 0 40 2 0 7 2 1 58 3 0 4 4 1 76 4 0 4 0 4 5 0 3 6 3 0 23 1 1 8 1 1 41 2 0 8 0 2 59 3 0 5 2 2 77 4 1 0 5 2 6 0 3 7 1 1 24 1 2 5 4 0 42 2 1 4 5 0 60 3 0 6 0 3 78 4 1 1 3 3 7 0 4 4 4 0 25 1 2 6 2 1 43 2 1 5 3 1 61 3 1 1 7 0 79 4 1 2 1 4 8 0 4 5 2 1 26 1 2 7 0 2 44 2 1 6 1 2 62 3 1 2 5 1 80 4 2 0 2 4 9 0 4 6 0 2 27 1 3 3 5 0 45 2 2 2 6 0 63 3 1 3 3 2 81 4 2 1 0 5 10 0 5 2 5 0 28 1 3 4 3 1 46 2 2 3 4 1 64 3 1 4 1 3 82 5 0 0 4 3 11 0 5 3 3 1 29 1 3 5 1 2 47 2 2 4 2 2 65 3 2 0 6 1 83 5 0 1 2 4 12 0 5 4 1 2 30 1 4 1 6 0 48 2 2 5 0 3 66 3 2 1 4 2 84 5 0 2 0 5 13 0 6 0 6 0 31 1 4 2 4 1 49 2 3 0 7 0 67 3 2 2 2 3 85 5 1 0 1 5 14 0 6 1 4 1 32 1 4 3 2 2 50 2 3 1 5 1 68 3 2 3 0 4 86 6 0 0 0 6 15 0 6 2 2 2 33 1 4 4 0 3 51 2 3 2 3 2 69 3 3 0 3 3 16 0 6 3 0 3 34 1 5 0 5 1 52 2 3 3 1 3 70 3 3 1 1 4 17 0 7 0 3 2 35 1 5 1 3 2 53 2 4 0 4 2 71 3 4 0 0 5 18 0 7 1 1 3 36 1 5 2 1 3 54 2 4 1 2 3 72 4 0 0 8 0 斜 中 空 卡 組 合 數 量 析 ( 一 )4760 個 組 合 數 量 析 直 至 研 究 結 束 們 共 找 到 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 組 合 數 為 4760 個 中 包 含 格 1 2 3 4 的 基 準 型 318 個 基 準 型 同 型 且 含 格 1 2 3 4 的 數 量 1437 個 基 準 型 318 個 中 四 元 數 中 第 一 元 數 為 1 者 267 個 第 一 元 數 為 2 者 0 個 第 一 元 數 為 3 者 44 個 第 一 元 數 為 4 者 7 個 請 參 考 表 9 表 9. 基 準 型 的 第 一 元 數 析 表 格 1 2 3 4 合 計 數 量 267 0 44 7 318 為 什 麼 基 準 型 四 元 數 中 第 一 元 數 為 2 數 量 是 0 個 呢? 因 為 格 1 2 7 8 13 14 19 20 為 對 稱 格 所 含 格 2 的 組 合 同 型 組 合 必 含 格 1 基 準 型 之 定 義 為 第 一 個 元 數 數 字 最 小 者 基 準 型 不 會 格 2 乃 屬 確 另 一 個 值 得 討 論 的 問 題 是 第 一 元 數 為 4 者 只 7 個 因 格 4 格 1 必 能 組 等 腰 直 角 角 形 所 第 一 元 數 為 1 的 基 準 型 裡 43 個 的 元 數 為 4 所 第 一 元 數 為 4 的 7 個 組 合 是 包 含 格 4 但 不 含 格 1 的 組 合 推 論 發 現 格 1 2 3 4 中 格 1 的 對 稱 格 最 容 易 他 格 組 方 形 15

同 型 數 量 四 元 數 的 反 組 合 關 係 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 同 型 數 量 會 因 四 元 數 的 布 位 置 不 同 而 數 量 不 同 四 元 數 的 反 組 合 同 型 數 量 關 係 如 1. 四 和 四 反 同 型 數 量 種 可 能 4 個 8 個 16 個 2. 一 反 和 一 反 同 型 數 量 必 為 16 個 3. 反 同 型 數 量 種 可 能 8 個 16 個 四 EXCEL 的 應 用 發 現 同 型 四 元 數 間 等 差 數 列 面 為 1~24 的 循 環 反 面 為 25~48 的 循 環 對 們 的 研 究 很 大 的 助 益 因 為 要 用 手 寫 出 318 個 基 準 型 的 所 同 型 組 合 必 須 花 費 很 多 時 間 但 將 件 應 用 EXCEL 的 總 和 函 數 能 來 處 理 就 快 許 多 總 使 用 =B1+6 的 相 似 設 定 另 外 面 使 用 IF 函 數 為 =IF(B12>24,B12-24,B12) 反 面 使 用 IF 函 數 為 =IF(C11>48,C11-24,C11) 相 似 設 定 另 外 們 也 應 用 EXCEL 來 繪 製 統 計 長 條 圖 和 折 線 圖 五 數 學 學 習 的 應 用 同 學 對 於 斜 中 空 卡 表 現 出 欲 罷 不 能 的 學 習 態 們 十 感 動 們 是 否 應 將 研 究 的 果 好 好 應 用 來 幫 助 同 學 學 習 數 學 呢? 答 案 是 肯 定 的 所 們 開 始 回 憶 前 學 過 的 數 學 知 識 於 是 法 卡 乘 法 卡 數 小 數 卡 等 值 數 卡 幾 何 卡 紛 紛 出 籠 了 別 介 紹 如 ( 一 ) 幾 何 卡 16

圖 十 幾 何 卡 1. 遊 戲 介 紹 幾 何 卡 是 用 圖 形 類 的 概 念 設 計 的 包 含 12 種 圖 形 : 方 形 長 方 形 角 形 圓 形 平 行 四 邊 形 梯 形 菱 形 箏 形 橢 圓 形 五 邊 形 邊 形 心 形 把 同 一 類 的 圖 形 4 格 摺 在 一 起 為 方 形 即 過 關 2. 遊 戲 方 法 將 幾 何 圖 名 稱 格 大 小 不 同 的 形 狀 格 摺 在 一 起 為 方 形 即 過 關 ( ) 等 值 數 卡 1. 遊 戲 介 紹 等 值 數 卡 ( 圖 十 四 ) 可 用 來 練 習 並 精 熟 等 值 數 的 學 習 建 議 你 先 做 好 等 值 數 類 再 開 始 進 行 挑 戰 喔! 2. 遊 戲 方 法 本 卡 48 格 容 別 為 1 2 2 4 3 6 4 1 8 3 2 6 3 4 1 9 12 13 等 值 數 摺 在 一 起 為 方 形 即 過 一 關 共 12 關 喔! 油! 2 26 3 39 4 將 4 格 52 圖 十 四 等 值 數 卡 17

( ) 數 小 數 卡 1. 遊 戲 介 紹 小 數 的 學 習 是 從 圖 像 表 徵 和 數 連 結 引 入 卡 用 種 圖 像 表 徵 和 數 小 數 等 值 作 為 設 計 的 理 念 ( 圖 十 五 ) 1 2 3 4 12 2. 遊 戲 方 法 本 卡 48 格 容 別 為 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10 10 10 10 10 1 1.1 1.2 和 圓 形 長 方 形 割 所 占 之 量 的 圖 像 表 徵 將 4 格 等 值 之 量 摺 在 一 起 為 方 形 即 過 一 關 共 12 關 喔! 油! 圖 十 五 數 小 數 卡 ( 四 ) 乘 法 卡 1. 遊 戲 介 紹 乘 法 卡 是 數 相 乘 等 積 的 想 法 設 計 而 除 了 可 幫 助 同 學 精 熟 乘 法 外 還 可 讓 同 學 了 解 哪 幾 組 數 是 乘 法 好 朋 友 2. 遊 戲 方 法 將 等 值 的 4 格 摺 在 一 起 為 方 形 即 過 關 ( 圖 十 ) 圖 16-1 乘 法 卡 18

圖 16-2 乘 法 卡 解 答 範 例 ( 五 ) 法 卡 ( 圖 十 七 ) 1. 遊 戲 介 紹 法 卡 變 化 多 元 包 含 同 一 數 摺 在 一 起 數 的 合 解 遊 戲 是 一 張 挑 戰 性 的 卡 喔! 2. 遊 戲 方 法 玩 法 一 將 相 同 數 字 摺 方 形 共 12 組 解 玩 法 4 格 摺 方 形 的 和 數 可 為 4~48 直 至 研 究 結 束 們 摺 出 來 521 種 組 合 將 和 數 組 合 數 整 理 表 10 並 繪 製 折 線 圖 請 參 考 圖 十 和 數 4 和 數 5 圖 十 七 法 卡 種 玩 法 一 是 將 相 同 數 字 組 在 一 起 12 解 是 4 格 組 在 一 起 和 數 可 為 4~48 和 數 10 和 數 22 表 10. 和 數 組 合 數 之 數 量 和 數 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 組 合 數 1 1 2 3 4 4 8 5 7 6 8 13 10 17 14 和 數 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 組 合 數 14 20 19 20 22 26 21 22 25 21 17 25 20 16 19 和 數 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 組 合 數 21 13 12 12 10 11 6 5 7 4 3 3 2 1 1 圖 十 可 發 現 斜 中 空 法 卡 的 和 數 愈 小 或 愈 大 則 組 合 數 量 愈 少 和 數 接 近 中 數 組 合 數 量 較 多 例 說 明 和 數 4 只 1 組 組 合 (1.1.1.1) 和 數 48 也 只 1 組 組 合 (12.12.12.12) 和 數 26 22 組 組 合 (4.4.8.10) (2.6.6.12) (2.2.4.8) (4.7.7.8) (2.7.8.9) (4.4.9.9) (3.4.9.10) (2.7.7.10) 19

(1.6.7.12)(1.7.7.11)(3.3.9.11)(3.3.8.12)(4.5.7.10) (3.5.6.12) (4.6.6.10) (1.3.11.11) (2.4.8.12)(3.4.8.11)(2.5.7.12)(2.5.9.10)(2.3.9.12)(4.4.7.11) 細 資 料 請 考 附 件 法 斜 中 空 卡 和 數 4~48 摺 法 組 合 表 組 合 數 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 和 數 圖 十 和 數 組 合 數 量 關 係 圖 玖 研 究 結 果 一 本 研 究 透 過 割 6 解 中 空 卡 發 明 了 12 解 中 空 卡 - 長 方 形 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 逆 斜 中 空 卡 斜 中 空 卡 等 四 款 12 解 中 空 卡 遊 戲 斜 中 空 卡 之 特 色 ( 一 ) 斜 中 空 卡 為 線 對 稱 圖 形 四 條 對 稱 軸 X Y Z W 格 1 之 對 稱 格 為 格 2 8 14 20 格 2 之 對 稱 格 為 格 1 7 13 19 對 應 格 3 之 對 稱 格 為 格 6 12 18 24 對 應 格 4 之 對 稱 格 為 格 5 11 17 23 對 應 ( ) 斜 中 空 卡 也 是 旋 轉 對 稱 圖 形 透 過 旋 轉 又 可 得 格 1 格 7 13 19 相 對 稱 格 2 格 8 14 20 相 對 稱 格 3 格 9 15 21 相 對 稱 格 4 格 10 16 22 相 對 稱 ( ) 格 1 2 3 4 摺 大 等 腰 直 角 角 形 之 命 題 命 題 1 取 斜 中 空 卡 中 2 格 摺 大 等 腰 直 角 角 形 的 組 合 用 x y 表 中 x y 例 格 1 格 4 組 合 大 等 腰 直 角 角 形 用 1 4 表 示 命 題 2 反 面 相 差 24 必 不 能 摺 大 等 腰 直 角 角 形 例 1 25 2 26 因 反 面 相 差 24 為 對 面 20

命 題 3 格 1 可 面 除 格 2 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 4 格 1 可 反 面 除 格 25 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 5 格 2 可 面 除 格 1 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 6 格 2 可 反 面 除 格 26 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 7 格 3 可 面 除 格 4 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 8 格 3 可 反 面 除 格 27 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 9 格 4 可 面 除 格 3 外 之 奇 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 命 題 10 格 4 可 反 面 除 格 28 外 之 偶 數 摺 大 等 腰 直 角 角 形 ( 四 ) 斜 中 空 卡 取 4 格 摺 方 形 之 命 題 命 題 11 取 斜 中 空 卡 中 4 格 摺 方 形 的 組 合 用 x y z w 表 中 x y z w 例 格 1 4 5 10 組 方 形 用 1 4 5 10 表 示 命 題 12: 斜 中 空 卡 每 一 個 可 摺 方 形 的 4 個 元 數 組 合 經 一 般 旋 轉 和 對 稱 旋 轉 轉 換 同 型 數 量 3 種 可 能 16 8 4 個 最 多 16 個 組 合 最 少 4 個 組 合 命 題 13: 同 型 組 合 四 元 數 間 的 同 位 元 之 數 形 差 為 6 的 等 差 數 列 直 至 研 究 結 束 們 找 到 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 組 合 數 為 4760 個 包 含 格 1 2 3 4 的 基 準 型 318 個 含 格 1 2 3 4 的 同 型 數 量 1437 個 四 斜 中 空 卡 一 反 和 一 反 的 難 高 於 反 反 的 難 高 於 四 和 四 反 中 數 量 最 多 的 是 反 1872 個 次 是 四 四 反 都 是 988 個 數 量 最 少 的 是 一 反 和 一 反 數 量 都 為 456 個 五 斜 中 空 卡 摺 方 形 的 同 型 數 量 會 因 四 元 數 的 布 位 置 不 同 而 數 量 不 同 四 和 四 反 同 型 數 量 4 8 16 個 種 可 能 一 反 和 一 反 同 型 數 量 必 為 16 個 反 同 型 數 量 8 16 個 種 可 能 設 計 包 含 3 類 組 合 的 12 解 斜 中 空 卡 之 原 則 ( 一 ) 開 始 盡 量 先 避 開 格 1 的 相 對 應 格 2 7 8 13 14 19 20 21

( ) 先 填 一 反 和 反 一 的 組 合 最 才 考 慮 反 的 組 合 發 揮 化 不 可 能 為 可 能 的 精 神 讓 假 設 為 真 實 翻 轉 改 良 6 解 中 空 卡 創 日 常 生 活 中 許 多 12 為 單 位 的 斜 中 空 卡 例 如 12 星 斜 中 空 卡 12 生 肖 斜 中 空 卡 等 九 同 學 對 於 斜 中 空 卡 表 現 出 欲 罷 不 能 的 學 習 態 們 十 感 動 所 繼 續 創 了 幾 何 卡 乘 法 卡 數 小 數 卡 等 值 數 卡 法 卡 等 應 用 斜 中 空 卡 於 數 學 學 習 十 直 至 研 究 結 束 們 摺 出 法 卡 的 521 種 組 合 和 數 愈 小 或 愈 大 組 合 數 量 較 少 較 中 間 的 和 數 組 合 數 量 較 多 未 來 發 展 一 探 討 逆 斜 中 空 卡 長 方 形 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 之 特 性 摺 法 規 則 創 多 元 逆 斜 中 空 卡 長 方 形 中 空 卡 長 方 形 割 中 空 卡 窮 盡 斜 中 空 卡 之 所 可 能 的 組 合 壹 參 考 資 料 一 解 摺 紙 卡 參 考 資 料 ( 一 ) 國 中 小 學 科 展 第 31 屆 初 小 組 數 學 科 第 一 名 作 品 拼 拼 湊 湊 都 是 畫 > ( ) 國 中 小 學 科 展 第 32 屆 高 小 組 數 學 科 第 一 名 作 品 麥 當 勞 的 難 題 - 轉 折 拼 湊 > ( ) 國 中 小 學 科 展 第 41 屆 初 小 組 數 學 科 第 一 名 作 品 792 魔 術 卡 ( 四 ) 國 中 小 學 科 展 第 47 屆 國 小 組 作 品 數 學 科 佳 作 作 品 填 來 填 去 都 是 > 他 參 考 資 料 ( 一 ) 五 數 學 課 本 線 對 稱 圖 形 南 一 書 局 ( ) 五 數 學 課 本 統 計 圖 形 南 一 書 局 ( ) 國 中 數 學 第 四 冊 等 差 數 列 康 軒 出 版 社 22

評 語 080418 從 遊 戲 出 發, 透 過 數 學 探 究, 進 而 創 造 更 多 引 人 入 勝 的 遊 戲 組 合, 值 得 肯 定 其 團 員 對 於 探 究 專 題 的 細 節 均 熟 悉 理 解, 並 能 深 刻 互 相 討 論, 深 具 團 隊 精 神 080418- 評 語