第 卷 第 期 年 月! " #$%&$&!'& 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 的 节 点 分 析 法 李 敏 黄 庆 安 李 伟 华 东 南 大 学 教 育 部 重 点 实 验 室 南 京 摘 要 为 了 在 节 点 化 设 计 方 法 中 对 静 电 驱 动 的 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 进 行 分 析 采 用 伽 辽 金 残 余 法 建 立 了 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 的 节 点 化 模 型 在 )/' 中 构 建 了 相 应 的 等 效 电 路 模 型 & 与 有 限 元 仿 真 结 果 及 文 献 中 给 出 的 实 验 结 果 进 行 了 比 较 结 果 表 明 模 型 具 有 较 高 的 精 度 可 在 相 关 设 计 中 作 为 参 考 & 关 键 词 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 节 点 法 伽 辽 金 残 余 法 等 效 电 路 2&&55! 中 图 分 类 号 "5 文 献 标 识 码 文 章 编 号 9;5;59;, 引 言 静 电 驱 动 双 端 固 支 梁 结 构 是 系 统 中 的 常 见 结 构 在 开 关 微 加 速 度 计 压 力 传 感 器 光 开 关 等 方 面 都 有 普 遍 的 应 用 & 等 截 面 的 双 端 固 支 梁 结 构 因 其 结 构 规 则 而 得 到 广 泛 研 究 & 大 量 的 数 值 方 法 解 析 方 法 应 用 于 该 结 构 的 性 能 分 析 并 建 立 了 很 多 相 关 模 型 & 然 而 这 些 研 究 大 多 是 以 等 截 面 的 梁 结 构 作 为 研 究 对 象 在 实 际 的 结 构 中 由 于 性 能 优 化 的 需 要 往 往 很 少 采 用 这 种 简 单 的 单 一 等 截 面 梁 结 构 而 是 由 各 种 变 截 面 梁 等 截 面 梁 相 互 串 联 并 联 构 成 的 复 杂 结 构 例 如 作 者 所 研 究 的 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 & 静 电 驱 动 的 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 最 早 由 雷 声.,-'$0 公 司 的 $%*/- 研 究 小 组 应 用 于 开 关 并 获 得 成 功 & 此 后 (%*.4/0 及 $%*; /- 等 人 也 分 别 在 其 开 关 中 使 用 了 类 似 结 构 5 -'0 等 人 则 将 该 结 构 用 于 残 余 应 力 的 在 线 测 量 &6-( 等 人 在 文 献 中 对 该 结 构 进 行 了 深 入 研 究 讨 论 了 温 度 及 残 余 应 力 对 吸 合 电 压 的 影 响 其 主 要 研 究 手 段 为 有 限 元 方 法 & 但 是 由 于 有 限 元 方 法 所 建 模 型 仅 针 对 特 定 尺 度 的 结 构 无 法 具 备 通 用 性 并 用 于 系 统 级 设 计 & 因 此 有 必 要 针 对 这 类 结 构 研 究 相 应 的 模 型 & 节 点 设 计 法 是 实 现 系 统 级 仿 真 常 用 的 一 种 方 法 它 为 设 计 者 提 供 了 系 统 级 的 仿 真 环 境 & 节 点 化 的 思 想 来 源 于 电 路 在 电 路 系 统 中 8/--$%11 电 流 定 律 认 为 在 每 个 电 路 节 点 上 任 何 瞬 时 流 入 电 路 节 点 的 电 流 代 数 和 等 于 零 而 在 机 械 结 构 中 每 一 节 点 处 的 力 或 力 矩 之 和 为 零 两 者 非 常 类 似 & 因 此 可 以 考 虑 将 系 统 划 分 为 一 些 基 本 的 子 单 元 让 其 类 似 电 路 中 的 基 本 电 子 元 件 一 样 可 以 连 接 起 来 构 成 各 种 各 样 的 复 杂 结 构 只 要 有 相 应 单 元 的 等 效 电 路 模 型 即 可 在 电 路 仿 真 系 统 中 实 现 系 统 的 性 能 分 析 & 通 过 对 大 量 器 件 结 构 进 行 分 析 发 现 很 多 器 件 确 实 可 以 由 一 些 最 基 本 的 单 元 组 合 而 成 如 锚 单 元 梁 单 元 板 单 元 质 量 块 单 元 等 & 由 此 节 点 化 的 主 要 工 作 就 是 寻 找 这 些 最 基 本 的 单 元 并 对 每 个 基 本 单 元 进 行 集 总 参 数 建 模 建 立 用 于 描 述 单 元 对 外 部 激 励 响 应 的 行 为 模 型 并 将 其 转 化 为 等 效 电 路 & 目 前 节 点 化 设 计 方 法 研 究 以 '<'; %', 5 和.0'/' '%$0 大 学 为 代 表 已 建 立 了 丰 富 的 单 元 模 型 库 可 以 对 梳 齿 驱 动 这 样 的 复 杂 结 构 进 行 仿 真 & 但 是 总 结 这 两 个 研 究 团 体 的 已 有 工 作 所 建 模 型 多 为 平 板 等 截 面 梁 等 非 常 规 则 的 结 构 对 于 渐 变 截 面 梁 这 些 稍 复 杂 的 单 元 却 没 有 研 究 因 此 无 法 对 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 进 行 分 析 这 在 很 大 程 度 上 限 制 了 节 点 法 的 应 用 范 围 & 因 此 本 文 的 目 的 是 对 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 进 行 节 点 化 的 研 究 将 节 点 分 析 法 扩 展 到 渐 变 截 面 梁 结 构 拓 展 节 点 设 计 方 法 的 适 用 范 围 & 所 采 用 的 研 究 方 法 是 直 接 从 梯 形 梁 控 制 方 程 出 发 使 用 伽 辽 金 残 余 法 对 方 程 进 行 处 理 建 立 静 电 驱 动 梯 形 梁 的 节 点 化 模 型 & 在 )/' 中 求 解 所 建 模 型 并 用 有 限 元 软 件 以 及 文 献 中 给 出 的 实 验 结 果 进 行 验 证 & - 模 型 图 为 开 关 中 常 见 的 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 上 电 极 是 一 个 蝴 蝶 结 状 的 双 端 固 支 梁 在 静 电 驱 动 下 可 以 作 垂 直 方 向 的 运 动 下 电 极 与 衬 底 固 定 & 根 据 节 点 法 的 基 本 思 想 该 结 构 可 以 划 分 为 两 种 基 本 单 元 即 等 截 面 的 梁 单 元 和 截 面 宽 度 线 性 变 化 的 梯 形 梁 单 元 而 等 截 面 梁 单 元 可 以 视 作 梯 形 梁 单 元 在 两 底 边 等 长 时 的 一 种 特 例 & 因 此 对 于 该 结 构 的 节 点 化 分 析 只 需 要 建 立 静 电 驱 动 的 梯 形 梁 单 元 模 型 即 可 实 现 整 个 结 构 的 系 统 级 仿 真 & 国 家 高 技 术 研 究 发 展 计 划 资 助 项 目 批 准 号 569 通 信 作 者 &./%-.'(&'*(&0 ;; 收 到 ;; 定 稿 中 国 电 子 学 会
第 期 李 敏 等 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 的 节 点 分 析 法 图 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 /&%'/.%,.(.'*+$:;/'-.)'*1/'*;1/'*+'. 图 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 模 型 /&$*'%$1'%'/.%,.(.'*.)'2/1$+'.'%''0 节 点 化 划 分 后 的 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 结 构 如 图 所 示 上 电 极 为 一 等 腰 梯 形 梁 可 以 在 激 励 电 压 + 驱 动 下 作 垂 直 方 向 运 动 & 梯 形 的 上 下 底 边 长 分 别 为 和 高 为 厚 为 $- 下 电 极 固 定 与 上 电 极 初 始 间 距 为 其 形 状 与 大 小 根 据 实 际 开 关 结 构 有 所 不 同 & 通 过 对 绝 大 多 数 实 际 开 关 的 考 察 下 电 极 的 形 状 通 常 为 矩 形 并 且 其 尺 寸 往 往 大 于 或 等 于 上 电 极 的 对 应 部 分 这 里 为 了 建 模 方 便 将 下 电 极 视 作 与 上 电 极 同 样 尺 寸 并 用 平 板 电 容 表 征 上 下 电 极 间 的 电 容 & 在 结 构 中 由 于 梁 单 元 高 跨 比 通 常 很 小 即 梁 的 截 面 厚 度 与 梁 长 度 相 比 小 很 多 因 而 弯 曲 变 形 是 主 要 的 剪 切 变 形 与 转 动 惯 量 的 影 响 很 小 可 以 忽 略 & 由 此 采 用 欧 拉 梁 理 论 对 结 构 进 行 分 析 是 合 理 的 & 坐 标 系 的 选 择 如 图 所 示 坐 标 原 点 位 于 梯 形 梁 左 底 面 中 心 轴 沿 中 性 轴 方 向 轴 垂 直 向 上 根 据 结 构 动 力 学 基 本 理 论 并 考 虑 边 缘 场 效 应 可 得 到 梯 形 梁 在 静 电 力 驱 动 下 的 运 动 方 程 为 &, 4) /4 + -. 4 ) / +. 和 + 式 分 别 表 示 横 向 运 动 的 控 制 方 程 和 轴 向 运 动 的 控 制 方 程 式 中 4 / / $,/ $ )/& 式 中 参 数 & 为 梯 形 梁 材 料 的 有 效 杨 氏 模 量 对 于 窄 梁 &/& 宽 梁 &/&> & 为 梁 材 料 的 杨 氏 模 量 为 泊 松 比 由 于 这 里 是 渐 变 截 面 梁 可 以 近 似 认 为 在 $ 时 是 宽 梁 表 示 梁 在 位 置 处 的 宽 度 为 横 截 面 积, 为 截 面 惯 性 矩 ) 是 梁 垂 直 运 动 引 起 的 非 线 性 轴 向 拉 伸 力 分 别 是 梁 的 材 料 密 度 介 质 层 介 电 常 数 挤 压 膜 阻 尼 系 数 及 滑 膜 阻 尼 系 数 为 梁 在 轴 方 向 的 位 移 为 梁 在 轴 方 向 的 位 移 & 梁 的 边 界 条 件 为 $ / 2. / 2 + # /. /. + % 9 /,. 9 /,+ 式 中 2. 2 + 为 梯 形 梁 单 元 左 右 两 端 节 点 在 轴 方 向 的 位 移... + 为 两 节 点 在 轴 方 向 的 位 移,.,+ 则 表 示 两 节 点 处 的 角 位 移 & 下 面 用 伽 辽 金 残 余 法 对 梁 的 运 动 方 程 进 行 处 理 得 到 梯 形 梁 单 元 的 刚 度 矩 阵 质 量 矩 阵 及 阻 尼 矩 阵 & 首 先 考 虑 垂 直 运 动 的 控 制 方 程 令 位 移 矢 量 为 " #,.. +,+ ) 取 试 探 函 数 / " 将 边 界 条 件 式 代 入 上 式 可 解 得 形 函 数 矢 量! 显 然 试 探 函 数 是 满 足 梁 单 元 边 界 条 件 的 由 近 似 解 引 起 的 残 差 为 2 / &, 4) + - 根 据 伽 辽 金 残 余 法 权 函 数 取 形 函 数 2 @ 95 残 差 的 加 权 积 分 为 零 可 以 得 到 微 分 方 程 的 等 效 积 分 形 式 2 ) / 将 式 及 式 代 入 式 再 对 其 中 的 线 性 回 复 力 项 及 拉 伸 力 引 起 的 非 线 性 力 项 进 行 两 次 分 部 积 分 可 以 得 到 等 效 积 分 的 弱 形 式 消 去 边 界 力 项 后 可 解 得 相 应 的 线 性 刚 度 矩 阵 质 量 矩 阵 阻 尼 矩 阵 和 集 总 的 非 线 性 拉 伸 力 与 非 线 性 静 电 力 项 & 解 得 的 线 性 刚 度 矩 阵 为
第 卷 4 / &$ 4 4 4 4 4! 显 然 在 / 时 梯 形 梁 即 成 为 等 截 面 梁 其 刚 度 矩 义 为 跨 量 力 项 定 义 为 穿 量 根 据 电 路 理 论 中 8 8# 定 律 所 描 述 的 穿 量 及 跨 量 关 系 可 以 直 接 构 建 相 应 的 等 效 电 路 & 其 中 线 性 项 可 以 直 接 用 无 源 器 件 电 阻 电 容 来 表 示 非 线 性 项 可 以 用 受 控 源 表 示 & 阵 也 成 为 等 截 面 梁 的 刚 度 矩 阵 & 同 样 可 验 证 相 应 的 质 量 矩 阵 阻 尼 矩 阵 集 总 非 线 性 拉 伸 力 以 及 非 线 性 静 电 力 项 也 与 等 截 面 时 结 果 一 致 & 对 于 轴 向 运 动 方 程 同 样 采 用 伽 辽 金 残 余 法 进 行 处 理 & 位 移 矢 量 取 为 " 2. 2 + ) 试 探 函 数 取 / " 通 过 类 似 横 向 运 动 方 程 的 处 理 过 程 后 可 得 到 相 应 于 轴 向 运 动 的 线 性 刚 度 矩 阵 质 量 矩 阵 阻 尼 矩 阵 与 集 总 非 线 性 轴 向 力 & 将 以 上 解 得 的 横 向 运 动 和 轴 向 运 动 的 线 性 刚 度 矩 阵 阻 尼 矩 阵 质 量 矩 阵 非 线 性 机 械 力 及 静 电 力 项 进 行 综 合 即 可 得 到 描 述 六 自 由 度 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 的 二 阶 非 线 性 常 微 分 方 程 组 "# :" # %" # " 0$0>%/0'. " ' # 式 中 矩 阵 :% 都 是 = 的 正 定 矩 阵 分 别 表 示 六 自 由 度 梯 形 梁 单 元 的 线 性 刚 度 矩 阵 阻 尼 矩 阵 和 质 量 矩 阵 六 维 向 量 "#" #" 分 别 表 示 梁 两 端 节 点 在 个 自 由 度 方 向 上 的 位 移 速 度 和 加 速 度 向 量 " 0$0>%/0'. # 表 示 集 总 的 非 线 性 机 械 力 部 分 体 现 了 横 向 运 动 对 轴 向 的 影 响 向 量 " ' # 表 示 集 总 的 非 线 性 静 电 力 由 于 静 电 力 的 集 总 无 法 直 接 积 分 这 里 对 积 分 项 进 行 了 泰 勒 展 开 并 取 五 阶 近 似 & / 等 效 电 路 根 据 梯 形 梁 单 元 运 动 方 程 推 导 得 到 的 二 阶 非 线 性 常 微 分 方 程 组 可 以 用 多 种 方 式 进 行 求 解 如 硬 件 描 述 语 言 等 效 电 路 " 等 其 中 硬 件 描 述 语 言 及 等 效 电 路 可 以 更 方 便 地 实 现 与 电 路 系 统 的 混 合 仿 真 & 本 文 采 用 语 言 建 立 等 效 电 路 实 现 静 电 驱 动 梁 单 元 模 型 以 电 路 仿 真 软 件 )/' 为 仿 真 平 台 & 将 式 改 写 为 "# :" # %" # " 0$0>%/0'. # "4 ' 令 "0 #@" #"0 实 质 上 是 节 点 的 速 度 向 量 则 式 可 等 效 为 % 0 % : " # 4 % 0 " # " 0$0> # %/0'. 4" # / 这 是 一 组 一 阶 非 线 性 常 微 分 方 程 将 式 中 速 度 向 量 "0 # 与 位 移 向 量 "# 组 成 的 维 向 量 的 零 阶 项 定 0 模 型 验 证 以 图 所 示 的 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 开 关 和 文 献 给 出 的 光 栅 为 例 通 过 对 吸 合 电 压 及 吸 合 位 置 的 求 解 来 验 证 模 型 的 仿 真 精 度 并 与 $4'0$.' 软 件 仿 真 结 果 及 文 献 给 出 的 实 验 结 果 进 行 比 较 & 对 于 图 所 示 蝴 蝶 状 结 构 为 便 于 观 察 梁 的 最 大 节 点 位 移 将 该 结 构 划 分 为 图 9 所 示 的 5 个 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 左 右 两 端 梯 形 梁 分 别 对 应.).)5 单 元 中 间 等 截 面 梁 部 分 划 分 为 等 长 的 两 个 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元.) 和.)9& 由 于 两 端 梯 形 梁 部 分 没 有 对 应 的 下 电 极 可 将 其 作 为 机 械 梁 来 处 理 令 其 驱 动 电 压 为 即 可 & 梁 的 结 构 参 数 为 总 长 9 梯 形 梁 部 分 长 等 截 面 梁 部 分 长 5 左 右 两 端 宽 窄 梁 部 分 宽 梁 厚 上 下 极 板 初 始 间 距 下 极 板 与 上 极 板 等 截 面 梁 部 分 完 全 重 合 & 梁 材 料 为 多 晶 硅 杨 氏 模 量 取. 泊 松 比 取 9& 为 了 更 合 理 地 反 映 所 建 模 型 本 身 的 精 确 度 这 里 的 锚 区 是 作 为 理 想 锚 单 元 来 处 理 的 & 同 样 在 $4'0$ 软 件 中 也 不 考 虑 非 理 想 锚 的 影 响 & 有 限 元 网 格 划 分 如 图 5 所 示 上 极 板 采 用 "'.-'*.% 网 格 单 元 进 行 划 分 下 极 板 为 规 则 矩 形 可 选 用.0-.$0+/< 单 元 进 行 分 网 &(%;/0 分 析 的 结 果 如 图 所 示 梯 形 梁 模 型 解 得 的 吸 合 电 压 为 9# 吸 合 位 置 位 于 >9 处 $4'0$ 软 件 中 $$%4' 求 解 器 解 得 的 吸 合 电 压 为 9# 吸 合 位 置 位 于 >9 处 & 梯 形 梁 模 型 除 了 适 用 于 蝴 蝶 结 状 梁 结 构 对 普 通 的 等 截 面 梁 结 构 同 样 适 用 第 二 个 实 例 将 对 此 进 行 验 证 & 图 9 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 的 节 点 化 模 型 /&9$*.%$*'%$1+$:;/'-.)'*1/'*;1/'*+'. 图 5 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 网 格 化 模 型 /&5'-$*'%$1+$:;/'-.)'*1/'*;1/'*+'.
第 期 李 敏 等 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 的 节 点 分 析 法 同 一 台 计 算 机 上 $4'0$ 软 件 的 仿 真 时 间 需 要 - 以 上 & 1 结 论 图 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 吸 合 电 压 分 析 /&(%;/0.0.%,/$1+$:;/'-.)'*1/'*;1/'*+'. 图 多 色 谱 仪 光 栅 结 构 /&$%,-$.$./0((' 文 献 给 出 的 多 色 谱 仪 光 栅 结 构 如 图 所 示 上 电 极 是 一 个 等 截 面 的 双 端 固 支 梁 梁 长 梁 宽 梁 厚 下 电 极 由 两 个 极 板 组 成 对 称 位 于 结 构 两 端 每 个 下 电 极 长 宽 上 下 电 极 初 始 间 距 为 9& 固 支 梁 材 料 为 多 晶 硅 由 于 文 献 中 没 有 给 出 相 应 工 艺 条 件 下 的 多 晶 硅 材 料 参 数 这 里 杨 氏 模 量 取 常 用 的. 泊 松 比 9 残 余 应 力 在 文 中 工 艺 条 件 下 控 制 的 很 小 ). 以 内 可 以 近 似 取 为 & 用 静 电 驱 动 梯 形 梁 模 型 对 其 进 行 仿 真 同 样 节 点 化 划 分 为 5 个 基 本 单 元 每 个 梯 形 梁 单 元 的 两 底 边 设 为 等 长 中 间 两 个 单 元 驱 动 电 压 设 为 零 &)/' 仿 真 结 果 与 文 献 给 出 的 实 验 结 果 比 较 如 图 所 示 梯 形 梁 模 型 解 得 的 吸 合 电 压 为 55# 吸 合 位 置 位 于 > 处 实 验 测 得 的 吸 合 电 压 约 为 9# 而 作 者 认 为 吸 合 位 置 至 少 在 > 处 & 与 有 限 元 及 实 验 的 比 较 结 果 表 明 所 建 模 型 具 有 很 高 的 精 确 度 此 外 模 型 的 仿 真 速 度 要 远 远 高 于 有 限 元 实 例 中 两 个 结 构 的 (%;/0 仿 真 时 间 都 在 左 右 而 在 图 多 色 谱 仪 光 栅 结 构 吸 合 电 压 分 析 /&(%;/0.0.%,/$1)$%,-$.$./0((' 建 立 了 静 电 驱 动 梯 形 梁 单 元 的 节 点 化 模 型 构 建 了 模 型 的 等 效 电 路 可 以 方 便 地 实 现 静 电 驱 动 蝴 蝶 结 状 双 端 固 支 梁 结 构 的 节 点 化 分 析 该 模 型 同 样 也 适 用 于 等 截 面 的 梁 结 构 & 与 有 限 元 及 实 验 结 果 吻 合 较 好 仿 真 速 度 快 可 以 显 著 提 高 相 关 结 构 系 统 的 设 计 效 率 & 模 型 中 已 经 考 虑 非 线 性 轴 向 拉 伸 及 边 缘 场 效 应 对 相 关 结 构 的 设 计 有 一 定 参 考 价 值 & 参 考 文 献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王 文 亮 张 文 罗 惟 德 等 & 结 构 动 力 学 & 上 海 复 旦 大 学 出 版 社 9
第 卷.*'-/.0 '2.2.*'- '+' &))%/./$0$1-' '0'.%/2'**/11''0/.%(.*.(''-$*$-'(*,$1)(%;/0 )-'0$'0.$1:/-'&$(0.%$1/$'%'$'-.0/;.%,'995.0(-'0&/0/''%''0'-$*&'//0 "/0-(.0/4'; /,'9/0 -/0'' 王 勖 成 & 有 限 单 元 法 & 北 京 清 华 大 学 出 版 社 9 ('0(.0-'0B/(&))%/./$0$1:'/-'*'/*(.%'-$* /0(('.0.%,/&'//0 -/0../%:., (+%/-/0 $(' /0 -/0'' 徐 文 焕 陈 虬 & 加 权 余 量 法 在 结 构 分 析 中 的 应 用 & 北 京 中 国 铁 道 出 版 社 //0(.0B/0.0/'/-(.&0$*.%.0.%,/'-$*1$.0'%'/.%,.(.'* /$+'.& -/0''$(0.%$1'0$.0*(.$95/0 -/0'' 李 敏 黄 庆 安 李 伟 华 & 静 电 驱 动 微 梁 的 节 点 分 析 法 & 传 感 技 术 学 报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