中華民國 第51屆中小學科學展覽會

中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 佳 作 080401 連 續 整 數 和 的 難 題 學 校 名 稱 高 雄 市 鼓 山 區 中 山 國 民 小 學 作 者 指 導 老 師 小 五 陳 書 玟 小 五 黃 鈺 媚 邱 郁 芳 許 紋 菁 小 五 方 培 蓉 小 五 許 家 哲 小 五 蔣 承 軒 關 鍵 詞 連 續 整 數 和 表 示 法 最 小 整 數

連 續 整 數 和 的 難 題 摘 要 本 研 究 探 討 各 種 示 法 的 最 小 整 數 及 其 關 係 我 們 發 現 一 個 數 的 連 續 整 數 和 表 示 法 與 該 數 的 因 數 有 關, 將 一 個 數 質 因 數 分 解 成 A1 a1 Am am, 質 因 數 2 不 列 入, 將 所 有 質 因 數 的 次 方 數 依 a 1 a 2 + a 1 + a 2 的 方 式 依 序 算 出 的 數, 即 為 該 數 示 法 的 種 數 我 們 用 Excel 試 算 表 找 出 一 些 示 法 的 最 小 整 數, 也 以 此 推 算 出 各 種 k-1 示 法 最 小 整 數 的 規 律 有 k 種 示 法, 當 k 為 奇 數 時, 種 2 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 為 A1 a1 Am am, 則 k 種 的 最 小 整 數 為 A1 a1 Am am (Am 的 下 一 k-y 個 奇 數 ); 當 k 為 偶 數 時,y=2 4 6, 依 序 計 算, 種 為 整 數 時, 其 最 小 整 數 y+1 質 因 數 分 解 為 A1 a1 Am am, 則 k 種 的 最 小 整 數 為 A1 a1 Am am (Am 的 下 一 個 質 數 ) y ; 如 果 k-y 不 是 整 數 時, 則 k 種 的 最 小 整 數 為 3 k y+1 壹 研 究 動 機 在 數 學 專 題 研 究 課 程 時, 老 師 給 我 們 一 個 題 目, 要 我 們 解 題 題 目 是 在 整 數 中, 有 用 2 個 以 上 的 連 續 整 數 ( 不 包 括 0) 的 和 來 表 示 一 個 整 數 的 方 法 例 如 9=4+5 =2+3+4 9 有 2 種 用 2 個 以 上 的 連 續 整 數 的 和 來 表 示 它 的 方 法 請 問 1 只 有 3 種 這 樣 的 表 示 方 法 的 最 小 整 數 為 多 少? 2 只 有 6 種 這 樣 的 表 示 方 法 的 最 小 整 數 為 多 少? 這 個 題 目 我 們 思 考 了 很 久, 卻 無 法 解 答, 我 們 非 常 好 奇 也 覺 得 很 有 趣, 於 是 在 老 師 的 指 導 之 下, 進 行 對 這 個 主 題 的 研 究 與 教 材 的 相 關 性 如 下 一 第 九 冊 第 三 章 倍 數 與 因 數 二 第 十 冊 第 四 章 面 積 三 第 十 冊 第 六 章 未 知 數 1

貳 研 究 目 的 一 探 討 如 何 找 出 一 個 整 數 有 幾 種 示 法 二 找 出 各 種 示 法 的 最 小 整 數 三 探 討 示 法 的 種 數 與 其 最 小 整 數 的 關 係 紙 筆 橡 皮 擦 電 腦 (Excel 檔 ) 計 算 機 我 們 定 義 下 列 名 詞 在 本 研 究 的 意 義 一 連 續 整 數 指 等 差 為 1 的 連 續 整 數 參 研 究 器 材 肆 解 釋 名 詞 二 示 法 指 一 個 數 可 以 用 2 個 以 上 的 連 續 整 數 的 和 來 表 示 它 的 方 法, 例 如 3 可 以 用 1+2 這 1 種 連 續 整 數 和 來 表 示, 我 們 就 稱 3 有 1 種 示 法 ;9 可 以 用 4+5 2+3+4 這 2 種 連 續 整 數 和 來 表 示, 我 們 就 稱 9 有 2 種 示 法 一 相 關 文 獻 分 析 伍 文 獻 探 討 為 了 瞭 解 在 示 法 這 個 主 題 的 探 究 情 形, 我 們 對 相 關 文 獻 作 了 下 列 的 分 析 文 獻 名 稱 內 容 摘 要 資 料 來 源 連 續 數 字 和 找 出 一 個 數 如 何 分 解 成 任 意 公 差 的 等 差 級 數 和 的 方 式, 並 推 廣 至 階 差 級 數 中 華 民 國 四 十 三 屆 科 展 高 中 組 數 學 科 連 續 數 字 和 探 討 哪 些 數 可 被 分 解 成 哪 些 連 續 正 整 數 和 及 可 以 被 分 解 為 連 續 的 正 整 數 n 次 方 之 和 台 北 市 立 第 一 女 子 高 級 中 學 數 理 資 賦 優 異 班 學 生 專 題 研 究 第 十 四 輯 我 ~ 加 加 加 連 續 數 字 和 的 探 討 運 用 公 式 找 出 1~100 每 個 數 可 拆 解 成 哪 些 連 續 數 字 和 97 年 台 北 縣 科 展 國 中 組 數 學 科 關 於 連 續 整 數 的 數 學 問 題 以 梯 形 公 式 找 出 一 個 數 有 哪 些 連 續 整 數 和 表 示 法 網 路 資 料 固 定 和 求 連 續 整 數 範 圍 以 電 腦 程 式 找 出 一 個 數 有 哪 些 連 續 整 數 和 表 示 法 海 洋 大 學 資 訊 科 學 系 程 式 設 計 課 程 及 實 習 說 明 二 我 們 作 品 與 其 他 文 獻 的 不 同 及 特 色 ( 一 ) 從 上 面 分 析 表 我 們 發 現, 無 論 是 以 推 算 公 式 或 是 電 腦 程 式 的 方 式, 都 是 去 找 出 一 個 數 有 哪 些 連 續 整 數 和 的 表 示 法, 雖 然 43 屆 科 展 高 中 組 作 品 有 討 論 不 同 公 差 的 連 續 整 數 和 2

表 示 法 ; 北 一 女 學 生 專 題 研 究 作 品 討 論 連 續 的 正 整 數 n 次 方 之 和, 但 仍 都 是 找 一 個 數 有 哪 些 連 續 整 數 和 的 表 示 法 ( 二 ) 我 們 作 品 的 特 色, 主 要 是 找 出 各 種 示 法 的 最 小 整 數, 而 不 僅 是 找 出 一 個 數 有 哪 些 示 法, 並 且 進 一 步 探 討 示 法 的 種 數 與 該 種 最 小 整 數 的 關 係 陸 研 究 過 程 結 果 與 討 論 研 究 一 按 數 字 順 序 列 出 每 個 數 的 示 法 只 有 3 種 示 法 的 最 小 整 數 為 多 少? 很 快 地, 我 們 找 到 15 為 只 有 3 種 示 法 的 最 小 整 數, 分 別 是 15=7+8 =4+5+6 =1+2+3+4+5 分 析 大 家 找 到 答 案 的 方 式, 有 以 下 2 個 方 式 ( 一 ) 按 數 字 順 序 一 個 一 個 列 出 每 個 整 數 的 示 法, 找 出 有 3 種 表 示 法 的 數 數 字 1 2 3 4 5 1+2 2+3 示 法 數 字 6 7 8 9 10 1+2+3 3+4 4+5 1+2+3+4 2+3+4 數 字 11 12 13 14 15 5+6 3+4+5 6+7 2+3+4+5 7+8 4+5+6 1+2+3+4+5 示 法 示 法 ( 二 ) 依 序 列 出 連 續 整 數 的 個 數 及 連 續 整 數 的 和, 再 找 出 現 3 次 的 和 連 續 整 數 的 個 數 連 續 整 數 的 和 2 個 3 個 4 個 5 個 6 個 1+2=3 2+3=5 3+4=7 4+5=9 5+6=11 6+7=13 7+8=15 1+2+3=6 2+3+4=9 3+4+5=12 4+5+6=15 5+6+7=18 6+7+8=21 7+8+9=24 1+2+3+4=10 2+3+4+5=14 3+4+5+6=18 4+5+6+7=22 5+6+7+8=26 6+7+8+9=30 7+8+9+10=34 1+2+3+4+5=15 2+3+4+5+6=20 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8=30 5+6+7+8+9=35 6+7+8+9+10=40 7+8+9+10+11=45 1+2+3+4+5+6=21 2+3+4+5+6+7=27 3+4+5+6+7+8=33 4+5+6+7+8+9=39 5+6+7+8+9+10=45 6+7+8+9+10+11=51 7+8+9+10+11+12=57 3

從 上 述 的 方 法 我 們 有 以 下 發 現 1. 連 續 整 數 的 個 數 為 2 個 時, 它 的 和 就 是 奇 數, 例 如 1+2=3 2+3=5, 所 以 只 要 是 奇 數 (1 除 外 ) 一 定 有 用 連 續 整 數 的 個 數 為 2 的 示 法 2. 連 續 整 數 的 個 數 即 為 連 續 整 數 和 增 加 的 數, 例 如 連 續 整 數 的 個 數 為 3 1+2+3=6 2+3+4=9 3+4+5=12 3 3 連 續 整 數 的 個 數 為 4 1+2+3+4=10 2+3+4+5=14 4 3+4+5+6=18 4 連 續 整 數 的 個 數 為 5 1+2+3+4+5=15 2+3+4+5+6=20 3+4+5+6+7=25 5 5 以 此 類 推 有 了 這 些 發 現, 我 們 決 定 用 第 一 種 及 第 二 種 方 法 發 現 的 規 律, 列 出 1~100 每 個 數 的 連 續 整 數 和 表 示 法 ( 詳 見 附 錄 一 ), 看 看 是 否 能 找 到 其 他 種 示 法 的 最 小 整 數 數 字 1 2 3 4 5 示 法 ( 連 續 整 數 的 個 數 ) 1+2(2) 2+3(2) 數 字 6 7 8 9 10 示 法 ( 連 續 整 數 的 個 數 ) 1+2+3(3) 3+4(2) 4+5(2) 2+3+4(3) 4 1+2+3+4(4) 數 字 91 92 93 94 95 示 法 ( 連 續 整 數 的 個 數 ) 45+46(2) 10+ +16(7) 1+ +13(13) 8+ +15(8) 46+47(2) 30+31+32(3) 13+ +18(6) 22+23+24+25(4) 47+48(2) 17+18+19+20+21(5) 5+ +14(10) 數 字 96 97 98 99 100 示 法 ( 連 續 整 數 的 個 數 ) 研 究 結 果 31+32+33(3) 48+49(2) 23+24+25+26(4) 11+ +17(7) 1. 只 要 是 2 的 次 方 數, 就 沒 有 任 何 的 示 法 2. 除 了 1 以 外, 奇 數 一 定 有 2 個 數 的 示 法 3. 示 法 好 像 跟 一 個 數 的 因 數 倍 數 有 關 係 (1) 從 6 開 始,3 的 倍 數 一 定 有 3 個 數 的 示 法 (2) 從 15 開 始,5 的 倍 數 一 定 有 5 個 數 的 示 法 (3) 從 28 開 始,7 的 倍 數 一 定 有 7 個 數 的 示 法 49+50(2) 32+33+34(3) 14+ +19(6) 7+ +15(9) 4+ +14(11) 18+19+20+21+22(5) 9+ +16(8)

(4) 從 45 開 始,9 的 倍 數 一 定 有 9 個 數 的 示 法 (5) 從 66 開 始,11 的 倍 數 一 定 有 11 個 數 的 示 法 (6) 從 21 開 始, 示 法 中, 有 2 和 3 個 數 的 示 法 時, 就 一 定 有 6 個 數 的 示 法 (7) 從 55 開 始, 有 2 和 5 個 數 的 示 法 時, 就 有 10 個 數 的 示 法 (8) 從 78 開 始, 有 3 和 4 個 數 的 示 法 時, 就 有 12 個 數 的 示 法 4. 在 1~100 中, 我 們 找 到 了 1 2 3 4 5 種 示 法 的 最 小 整 數, 如 下 表 種 最 小 整 數 種 最 小 整 數 1 3 2 9 3 15 4 81 5 45 6 討 論 雖 然 我 們 沒 找 到 6 種 的 最 小 整 數, 但 從 上 表 中 我 們 發 現 2 種 的 是 9 也 就 是 3 2 ;4 種 的 是 81, 是 3 4 ; 因 此 我 們 推 論 6 種 的 最 小 整 數 為 3 6, 也 就 729 現 在, 我 們 需 要 證 明 729 只 有 6 種 示 法, 而 且 是 6 種 的 最 小 整 數 研 究 二 用 梯 形 公 式 找 出 一 個 數 的 示 法 我 們 從 網 路 上 查 到 用 梯 形 公 式 可 以 找 到 一 個 數 有 哪 些 示 法, 方 法 如 下 假 設 有 n 個 連 續 整 數, 開 始 的 整 數 為 a 且 不 得 為 0, 和 為 X, 用 梯 形 公 式 列 出 X= [a+(a+n-1)] n 2, 所 以 2X/n=2a+n-1 n 為 2X 的 因 數, 如 果 a 為 整 數 並 不 是 0, 則 有 連 續 整 數 個 數 為 n 個 的 示 法, 舉 例 如 下 例 121 有 幾 種 示 法? 21 2=42, 找 出 42 的 所 有 的 因 數 2 3 6 7 14 21 42 242/2=2a+(2-1),a=10, 因 此 有 連 續 整 數 個 數 為 2 個 的 示 法,10+11=21 342/3=2a+(3-1),a=6, 示 法 為 6+7+8=21 642/6=2a+(6-1),a=1, 示 法 為 1+2+3+4+5+6=21 742/7=2a+(7-1),a=0,a 不 得 為 0, 因 此 不 成 立 1442/14=2a+(14-1),3 不 夠 減 13, 因 此 不 成 立 5

2142/21=2a+(21-1),2 不 夠 減 20, 因 此 不 成 立 4242/42=2a+(42-1),1 不 夠 減 41, 因 此 不 成 立 答 21 有 3 種 示 法 例 290 有 幾 種 示 法? 90 2=180, 找 出 180 的 所 有 因 數 2 3 4 5 6 9 10 12 15 18 20 30 36 45 60 90 180 2180/2=2a+(2-1),a=44.5, 不 是 整 數, 因 此 不 成 立 3180/3=2a+(3-1),a=29, 示 法 為 29+30+31=90 4180/4=2a+(4-1),a=21, 示 法 為 21+22+23+24=90 5180/5=2a+(5-1),a=16, 示 法 為 16+17+18+19+20=90 6180/6=2a+(6-1),a=12.5, 不 是 整 數, 因 此 不 成 立 9180/9=2a+(9-1),a=6, 示 法 為 6+ +14=90 10180/10=2a+(10-1),a=4.5, 不 是 整 數, 因 此 不 成 立 12180/12=2a+(12-1),a=4, 示 法 為 4+ +15=90 15180/15=2a+(15-1),12 不 夠 減 14, 因 此 不 成 立 從 例 1 得 知, 若 出 現 不 夠 減 的 因 數 時, 之 後 的 因 數 也 全 部 都 不 夠 減, 因 數 15 已 經 不 夠 減, 因 此 之 後 的 因 數 一 定 都 不 夠 減, 不 需 再 計 算 答 90 有 5 種 示 法 知 道 了 用 梯 形 公 式 計 算 示 法, 我 們 就 可 以 檢 查 3 6 也 就 729 是 否 有 6 種 連 續 整 數 和 表 示 法, 驗 證 如 下 729 2=1458,1458 的 因 數 有 2 3 6 9 18 27 54 81 162 243 486 729 1458 21458/2=2a+(2-1),a=364, 示 法 即 為 364+365=729 31458/3=2a+(3-1),a=242, 示 法 即 為 242+243+244=729 61458/6=2a+(6-1),a=119, 示 法 即 為 119+120+121+122+123+124=729 91458/9=2a+(9-1),a=77, 示 法 即 為 77+ +85=729 181458/18=2a+(18-1),a=32, 示 法 即 為 32+ +49=729 271458/27=2a+(27-1),a=14, 示 法 即 為 14+ +40=729 541458/54=2a+(54-1),27 不 夠 減 53, 因 此 不 成 立 ( 之 後 因 數 都 不 夠 減, 不 再 計 算 ) 答 729 有 6 種 示 法 6

研 究 結 果 利 用 梯 形 公 式, 我 們 可 以 算 出 一 個 數 有 幾 種 示 法, 也 證 明 了 我 們 的 推 論, 729(3 6 ) 有 6 種 示 法 雖 然 我 們 知 道 729 確 實 是 有 6 種 示 法, 但 是 我 們 並 不 能 證 明 729 是 否 為 6 種 示 法 的 最 小 整 數, 在 100~729 之 間 難 道 沒 有 其 他 有 6 種 示 法 的 數 嗎? 因 此, 我 們 需 要 再 進 一 步 的 探 究 研 究 三 用 Excel 試 算 表 輔 助 找 出 各 種 示 法 的 最 小 整 數 為 了 證 明 729 是 6 種 示 法 的 最 小 整 數, 我 們 在 老 師 的 指 導 下 以 Excel 試 算 表 輔 助 找 出 各 種 示 法 的 最 小 整 數 ( 一 ) 推 算 奇 數 種 示 法 的 最 小 整 數 我 們 以 研 究 一 之 ( 二 ) 列 出 連 續 整 數 的 個 數 及 連 續 整 數 的 和 的 方 法, 將 每 個 連 續 整 數 個 數 及 其 和 建 立 資 料 至 1000 示 法 再 以 函 數 FREQUENCY 計 算 1~1000 每 個 數 出 現 的 次 數, 即 為 該 數 有 幾 種 7

研 究 結 果 1. 一 個 數 如 果 是 一 個 質 數 的 次 方 數 ( 除 了 2 以 外,2 的 次 方 數 都 是 0 種 ), 則 幾 次 方 就 代 表 該 數 有 幾 種 示 法, 如 上 圖 紅 圈 所 示,27(3 3 ) 就 有 3 種 ; 121(11 2 ) 就 有 2 種 ;625(5 4 ) 就 有 4 種, 但 他 們 不 一 定 是 該 種 的 最 小 整 數 2. 在 1~1000 中, 我 們 找 到 了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 15 種 示 法 的 最 小 整 數, 如 下 表 種 最 小 整 數 種 最 小 整 數 1 3 2 9 3 15 4 81 5 45 6 729 7 105 8 225 9 405 10 11 315 12 13 14 15 945 16 從 上 表 我 們 發 現,729(3 6 ) 果 然 為 6 種 示 法 的 最 小 整 數, 但 按 照 我 們 的 推 論 8 種 的 最 小 整 數 應 該 為 3 8 (6561), 結 果 卻 是 225, 從 研 究 一 與 研 究 二 知 道 示 法 與 因 數 有 關, 因 此 將 上 表 所 得 的 各 種 最 小 整 數 做 質 因 數 分 解, 以 進 一 步 探 究 與 推 論 8

種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 1 3 3 2 9 3 2 3 15 3 5 4 81 3 4 5 45 3 2 5 6 729 3 6 7 105 3 5 7 8 225 3 2 5 2 9 405 3 4 5 10 11 315 3 2 5 7 12 13 14 15 945 3 3 5 7 (3 5 7 9) 16 討 論 1. 奇 數 種 的 最 小 整 數 變 化 規 律 與 偶 數 種 的 不 同 a 2. 假 設 k 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m, 則 2k+1 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 a 為 A 1 a 1 A m m (A m 的 下 一 個 奇 數 ), 舉 例 如 下 例 (1)3 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 5, 而 3 2+1=7,7 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 5 7(5 的 下 一 個 奇 數 為 7) 例 (2)7 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 5 7, 而 7 2+1=15,15 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 5 7 9(7 的 下 一 個 奇 數 為 9) 3. 我 們 可 以 用 上 述 的 方 法 反 推 出 各 奇 數 種 的 最 小 整 數,k 為 奇 數,k 種 示 法 的 k-1 a 最 小 整 數 為, 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m, 則 k 種 的 最 小 整 數 質 2 a 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m (A m 的 下 一 個 奇 數 ), 例 如 例 (1)13 種 的 最 小 整 數 是 多 少? (13-1)/2=6,6 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 6, 則 13 種 最 小 整 數 為 3 6 5=3645 答 13 種 的 最 小 整 數 為 3645 例 (2)17 種 的 最 小 整 數 是 多 少? (17-1)/2=8,8 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 2 5 2, 則 17 種 最 小 整 數 為 3 2 5 2 7=1575 答 17 種 的 最 小 整 數 為 1575 以 此 推 論 各 奇 數 種 的 最 小 整 數 9

種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 1 3 3 3 15 3 5 5 45 3 2 5 7 105 3 5 7 9 405 3 4 5 11 315 3 2 5 7 13 3645 3 6 5 15 945 3 3 5 7(3 5 7 9) 17 1575 3 2 5 2 7 19 2835 3 4 5 7 21 10 種 的 最 小 整 數 仍 不 確 定 23 3465 3 2 5 7 9=3 4 5 7( 為 19 種 不 符 合 ), 推 論 乘 以 再 下 一 個 奇 數,3 2 5 7 11 25 12 種 的 最 小 整 數 仍 不 確 定 27 25515 3 6 5 7 29 14 種 的 最 小 整 數 仍 不 確 定 31 10395 3 3 5 7 9=3 5 5 7( 為 23 種 不 符 合 ), 推 論 乘 以 再 下 一 個 奇 數,3 3 5 7 11 在 推 論 中 發 現, 如 果 乘 以 的 下 一 個 奇 數 不 是 質 數 ( 例 如 9) 時, 則 需 注 意 該 數 連 續 整 數 和 表 示 法 的 種 數 為 多 少, 如 果 種 數 不 符 合, 則 需 乘 以 再 下 一 個 奇 數, 直 到 種 數 符 合 為 止 為 了 快 速 判 斷 該 數 的 種 數 是 否 符 合, 我 們 應 用 前 述 研 究 結 果 一 個 質 數 的 次 方 數 ( 除 了 2) 即 為 該 數 有 幾 種 示 法, 將 一 個 數 以 質 因 數 分 解 後, 將 各 質 因 數 的 次 方 數 排 列 組 合 計 算, 即 可 算 出 該 數 示 法 的 種 數, 方 法 如 下 假 設 X 有 k 種 示 法,X 的 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A 2 a 2 ( 質 因 數 2 不 列 入 計 算, 因 為 2 的 次 方 數 是 0 種 ),A 1 a 1 有 a 1 種 示 法,A 2 a 2 有 a 2 種, 以 排 列 組 合 方 式 計 算, 則 k = a 1 a 2 +a 1 +a 2 如 果 質 因 數 分 解 式 較 長 為 A1 a1 Am am, 則 將 算 出 的 a1 a2 + a1 + a2 再 跟 下 一 個 次 方 數 以 此 公 式 再 算 一 次, 直 到 全 部 的 質 因 數 算 完, 即 為 該 數 示 法 的 種 數 例 1315=3 2 5 7,3 2 有 2 種 5 有 1 種, 則 2 1+2+1=5;7 也 是 1 種,5 1+5+1=11, 因 此 315 有 11 種 示 法 例 23600=2 4 3 2 5 2,2 4 不 列 入 計 算,3 2 有 2 種 5 2 也 有 2 種,2 2+2+2=8, 因 此 3600 有 8 種 示 法 以 此 方 法, 我 們 可 以 很 快 地 知 道 一 個 數 有 幾 種 示 法, 也 可 以 很 快 地 測 定 我 們 所 推 論 的 最 小 整 數 的 示 法 的 種 數 是 否 正 確, 例 如 31 種, 我 們 推 論 了 2 個 數 10

分 別 為 8508=3 5 5 7 及 10359=3 3 5 7 11, 以 此 法 計 算 8508 為 23 種 (5 1+5+1=11,11 1+11 +1=23), 而 10359 確 實 為 31 種 (3 1+3+1=7,7 1+7+1=15,15 1+15+1=31), 所 以 31 種 的 最 小 整 數 應 該 為 10359 ( 二 ) 推 算 偶 數 種 示 法 的 最 小 整 數 為 了 證 明 我 們 在 奇 數 種 的 推 論, 及 偶 數 種 的 資 料 還 太 少, 變 化 規 律 看 不 出 來, 我 們 再 用 Excel 試 算 表 建 資 料 至 10000, 並 算 出 每 個 數 有 幾 種 示 法, 由 於 資 料 較 多, 我 們 用 FREQUENCY 再 次 計 算 出 每 一 種 出 現 的 最 小 整 數 落 在 哪 一 段 數 中, 如 下 圖 研 究 結 果 1. 在 1~10000 中, 我 們 找 到 了 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 14 15 17 19 23 種 示 法 的 最 小 整 數, 如 下 表 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 1 3 3 2 9 3 2 3 15 3 5 4 81 3 4 5 45 3 2 5 6 729 3 6 7 105 3 5 7 8 225 3 2 5 2 9 405 3 4 5 10 11 315 3 2 5 7 12 13 3645 3 6 5 14 2025 3 4 5 2 11

15 945 3 3 5 7 16 17 1575 3 2 5 2 7 18 19 2835 3 4 5 7 20 21 22 23 3465 3 2 5 7 11 24 2 從 上 表 可 知 13 17 19 23 種 的 最 小 整 數 跟 我 們 的 推 論 相 符 合 3. 在 偶 數 種 新 出 現 了 14 種 的 最 小 整 數 為 2025(3 4 5 2 ) 10 種 和 12 種 的 都 沒 出 現, 根 據 我 們 的 推 論 21 與 25 種 跟 10 種 和 12 種 的 最 小 整 數 相 關, 而 21 與 25 種 也 都 未 出 現, 因 此 符 合 我 們 在 奇 數 種 的 推 論 4. 每 種 最 小 整 數 的 質 因 數 一 定 不 可 能 有 2, 因 為 2 的 次 方 數 為 0 種, 不 能 增 加 種 數 討 論 1. 偶 數 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 一 定 是 乘 以 某 質 數 (2 除 外 ) 的 偶 數 次 方, 因 為 乘 以 奇 數 次 方 會 等 於 奇 數 種 2. 偶 數 種 的 最 小 整 數 計 算 方 法 為, 假 設 k 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A k,y=2 4 6 ( 偶 數 序 列 ), 且 k y, 依 序 計 算,k (y+1)+y 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A k (A 的 下 一 個 質 數 ) y, 舉 例 如 下 6 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 6 y=2,6 (2+1)+2=20 因 此 20 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 6 5 2 (3 的 下 一 個 質 數 為 5) y=4,6 (4+1)+4=34 因 此 34 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 6 5 4 y=6,6 (6+1)+6=48 因 此 48 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 6 5 6 y=8, 因 為 需 k y, 而 6<8, 所 以 不 成 立 3. 我 們 也 可 以 用 上 述 的 方 法 反 推 出 各 偶 數 種 的 最 小 整 數,k( 偶 數 ) 種 示 法 的 最 小 整 數 為,y=2 4 6, 依 序 計 算 k-y, 而 且 k-y>y+1, 當 k-y 種 為..y+1..y+1 a 整 數 時, 其 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m, 則 k 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 a A 1 a 1 A m m (A m 的 下 一 個 質 數 ) y 例 如 26 種 的 最 小 整 數 是 多 少? y=2,(26-2)/3=8,8 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 2 5 2, 26 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 2 5 2 7 2 =11025 (7 為 5 的 下 一 個 質 數 ) 12

24 種 的 最 小 整 數 是 多 少? y=2,(24-2)/3=7.3, 不 是 整 數 不 成 立 y=4,(24-4)/5=4,4 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 4, 24 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 4 5 4 =50625 4. 依 序 計 算 至 k- y<y +1 則 不 成 立, 如 果 全 部 的 k-y 種 都 不 是 整 數 時,k 種 的 最 小 整..y +1 數 即 為 3 的 次 方 數, 幾 種 就 幾 次 方, 例 如 22 種 的 最 小 整 數 是 多 少? y=2,(22-2)/3=6.66, 不 是 整 數 y=4,(22-4)/5=3.6, 不 是 整 數 y=6,(22-6)/7=2.29, 不 是 整 數 y=8,(22-8)/9=1.56, 不 是 整 數 y=10,(22-10)/11=1.09, 不 是 整 數 y=12,22-12<12+1, 因 此 不 成 立 ( 之 後 偶 數 都 不 夠 除 不 再 計 算 ) 因 為 各 偶 數 都 不 成 立, 所 以 22 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 3 22 以 此 推 論 如 下 ( 最 小 整 數 數 值 超 過 10 萬 的 仍 以 質 因 數 分 解 式 表 示 ) 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 種 最 小 整 數 質 因 數 分 解 1 3 3 2 9 3 2 3 15 3 5 4 81 3 4 5 45 3 2 5 6 729 3 6 7 105 3 5 7 8 225 3 2 5 2 9 405 3 4 5 10 59049 3 10 11 315 3 2 5 7 12 3 12 3 12 13 3645 3 6 5 14 2025 3 4 5 2 15 945 3 3 5 7 16 3 16 3 16 17 1575 3 2 5 2 7 18 3 18 3 18 19 2835 3 4 5 7 20 18225 3 6 5 2 21 3 10 5 3 10 5 22 3 22 3 22 23 3465 3 2 5 7 11 24 50625 3 4 5 4 25 3 12 5 3 12 5 26 11025 3 2 5 2 7 2 27 25515 3 6 5 7 28 3 28 3 28 29 14175 3 4 5 2 7 30 3 30 3 30 31 10395 3 3 5 7 11 32 3 10 5 2 3 10 5 2 33 3 16 5 3 16 5 34 3 6 5 4 3 6 5 4 35 17325 3 2 5 2 7 11 36 3 36 3 36 37 3 18 5 3 18 5 38 3 12 5 2 3 12 5 2 39 31185 3 4 5 7 11 40 3 40 3 40 13

( 三 ) 推 算 各 種 示 法 的 最 小 整 數 為 了 證 明 我 們 的 推 論, 我 們 用 Excel 試 算 表 建 資 料 至 33000, 用 FREQUENCY 算 出 每 個 數 有 幾 種 示 法, 再 用 FREQUENCY 再 次 計 算 出 每 一 種 出 現 的 最 小 整 數 落 在 哪 一 段 數 中, 如 下 圖 研 究 結 果 如 上 圖 所 示, 用 Excel 試 算 表 中 計 算 10000~33000 中, 出 現 最 小 整 數 的 種 數 為 20 種 26 種 27 種 29 種 31 種 35 種 39 種, 其 出 現 的 數 值 也 符 合 我 們 所 推 論 的 數 值 討 論 綜 合 以 上 奇 數 種 與 偶 數 種 最 小 整 數 的 推 算 方 法, 我 們 可 以 推 出 各 種 示 法 的 最 小 整 數 舉 例 如 下 99 種 的 最 小 整 數 是 多 少? (99-1)/2=49;(49-1)/2=24;(24-4)/5=4,4 種 的 最 小 整 數 為 3 4 則 24 種 為 3 4 5 4 ;49 種 為 3 4 5 4 7;99 種 為 3 4 5 4 7 11 答 99 種 的 最 小 整 數 為 3 4 5 4 7 11 我 們 以 此 方 法 推 論 出 1~100 種 示 法 的 最 小 整 數 ( 見 附 錄 二 ) 14

柒 結 論 與 建 議 一 結 論 ( 一 ) 2 的 次 方 數 沒 有 示 法, 其 他 質 數 的 次 方 數 即 為 該 數 示 法 的 種 數 ( 二 ) 將 一 個 數 質 因 數 分 解 成 A1 a1 A2 a2, 質 因 數 2 不 列 入, 則 有 a1 a2 + a1 + a2 種 連 續 整 數 和 表 示 法 如 果 質 因 數 分 解 式 較 長 為 A1 a1 Am am, 則 將 算 出 的 a1 a2 + a1 + a2 再 跟 下 一 個 次 方 數 以 此 公 式 再 算 一 次, 直 到 全 部 的 質 因 數 算 完, 即 為 該 數 示 法 的 種 數 ( 三 ) 各 種 示 法 最 小 整 數 的 質 因 數 中 一 定 沒 有 2 ( 四 ) k 種 示 法 的 最 小 整 數 為 1. k 為 奇 數 時, k-1 a 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m, 則 k 種 的 最 2 a 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m (A m 的 下 一 個 奇 數 ), 如 果 乘 以 的 奇 數 不 是 質 數 時, 將 其 質 因 數 分 解 後, 計 算 是 否 為 該 種 數, 如 果 不 是, 則 乘 以 再 下 一 個 奇 數 k-y 2. k 為 偶 數 時,y=2 4 6 ( 偶 數 序 列 ), 依 序 計 算..y+1 而 且 k-y>y+1, (1) k-y a 種 為 整 數 時, 其 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m, 則..y+1 a k 種 的 最 小 整 數 質 因 數 分 解 式 為 A 1 a 1 A m m (A m 的 下 一 個 質 數 ) y (2) 依 序 計 算 至 k-y<y+1, k-y 種 都 不 是 整 數 時, 則 k 種 的 最 小 整..y+1 數 為 3 k ( 五 ) 一 個 數 的 示 法 與 該 數 的 因 數 有 關, 將 一 個 數 質 因 數 分 解 後, 以 上 述 的 方 法, 我 們 可 以 算 出 該 數 有 幾 種 示 法, 也 可 以 從 示 法 的 種 數 算 出 該 種 的 最 小 整 數 二 建 議 ( 一 ) 因 為 時 間 的 限 制, 我 們 只 討 論 了 等 差 為 1 的 各 種 示 法 及 其 最 小 整 數, 建 議 未 來 可 以 研 究 等 差 為 2 3 4 的 各 種 示 法 及 其 最 小 整 數 之 間 的 關 係 ( 二 ) 因 為 Excel 的 項 目 最 多 到 IV, 連 續 整 數 個 數 為 257, 和 為 33153, 我 們 只 能 建 資 料 至 33000 做 計 算, 最 多 找 到 39 種 示 法 的 最 小 整 數 為 31185, 在 網 路 15

上 我 們 有 看 到 輸 入 一 個 固 定 和, 即 可 顯 示 這 個 數 有 哪 些 示 法 的 程 式, 如 果 到 國 高 中 學 會 撰 寫 程 式 的 語 言 及 方 法 後, 建 議 未 來 研 究 可 朝 程 式 設 計 方 面 進 行, 以 輸 入 示 法 的 種 數, 即 可 知 道 該 種 表 示 法 的 最 小 整 數, 以 檢 驗 所 推 算 的 更 大 數 值, 使 研 究 更 為 完 善 捌 參 考 資 料 一 丁 培 毅 (1999) 固 定 和 求 連 續 整 數 範 圍 2011 年 2 月 18 日 取 自 http//squall.cs.ntou.edu.tw/cprog/assignments/99fall/findgivensum.html 二 吳 燦 銘 (2007) Excel 2007 輕 鬆 快 樂 學 入 門 與 實 作 新 北 市 博 碩 文 化 三 我 ~ 加 加 加 連 續 數 字 和 的 探 討 2011 年 2 月 18 日 取 自 http//www.lcjh.tpc.edu.tw/office/academic/equip/1/1-1/11.pdf 四 連 續 數 字 和 2011 年 2 月 18 日 取 自 http//activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/43/pdf/e/040403.pdf 五 連 續 數 字 和 2011 年 2 月 18 日 取 自 http//nas.fg.tp.edu.tw/research/15/ 數 學 科 /29.pdf 六 國 家 教 育 研 究 院 籌 備 處 (2010) 數 學 五 上 台 南 翰 林 七 關 於 連 續 整 數 的 數 學 問 題 2010 年 12 月 27 日 取 自 http//tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1607110809671 16

附 錄 一 1~100 每 個 數 的 示 法 數 字 1 2 3 4 5 1+2(2) 2+3(2) 數 字 6 7 8 9 10 1+2+3(3) 3+4(2) 4+5(2) 2+3+4(3) 1+2+3+4(4) 數 字 11 12 13 14 15 5+6(2) 3+4+5(3) 6+7(2) 2+3+4+5(4) 7+8(2) 4+5+6(3) 1+2+3+4+5(5) 數 字 16 17 18 19 20 8+9(2) 5+6+7(3) 3+4+5+6(4) 9+10(2) 2+3+4+5+6(5) 數 字 21 22 23 24 25 10+11(2) 6+7+8(3) 1+2+ +5+6(6) 4+5+6+7(4) 11+12(2) 7+8+9(3) 12+13(2) 3+4+5+6+7(5) 數 字 26 27 28 29 30 5+6+7+8(4) 13+14(2) 8+9+10(3) 2+3+ +6+7(6) 1+2+ +6+7(7) 14+15(2) 9+10+11(3) 6+7+8+9(4) 4+5+6+7+8(5) 數 字 31 32 33 34 35 15+16(2) 16+17(2) 10+11+12(3) 3+4+ +7+8(6) 7+8+9+10(4) 17+18(2) 5+6+7+8+9(5) 2+3 +7+8(7) 數 字 36 37 38 39 40 11+12+13(3) 1+2+ +7+8(8) 18+19(2) 8+9+10+11(4) 19+20(2) 12+13+14(3) 4+5+ +8+9(6) 6+7+8+9+10(5) 數 字 41 42 43 44 45 20+21(2) 13+14+15(3) 9+10+11+12(4) 3+4+ +8+9(7) 21+22(2) 2+3+ +8+9(8) 22+23(2) 14+15+16(3) 7+8+9+10+11(5) 5+6+ +9+10(6) 1+2+ +8+9(9) 數 字 46 47 48 49 50 10+11+12+13(4) 23+24(2) 15+16+17(3) 24+25(2) 4+5+ +9+10(7) 11+12+13+14(4) 8+9+10+11+12(5) 數 字 51 52 53 54 55 25+26(2) 16+17+18(3) 6+7+ +10+11(6) 3+4+ +9+10(8) 26+27(2) 17+18+19(3) 12+13+14+15(4) 2+3+ +9+10(9) 27+28(2) 9+ +13(5) 1+2+ +9+10(10) 17

數 字 56 57 58 59 60 5+6+ +10+11(7) 28+29(2) 18+19+20(3) 7+8+ +11+12(6) 13+14+15+16(4) 29+30(2) 19+20+21(3) 10+ +14(5) 4+5+ +10+11(8) 數 字 61 62 63 64 65 30+31(2) 14+15+16+17(4) 31+32(2) 20+21+22(3) 8+9+ +12+13(6) 6+7+ +11+12(7) 3+4+ +10+11(9) 32+33(2) 11+ +15(5) 2+3+ +10+11 (10) 數 字 66 67 68 69 70 21+22+23(3) 15+16+17+18(4) 1+2+ +10+11 (11) 33+34(2) 5+6+ +11+12(8) 34+35(2) 22+23+24(3) 9+ +14(6) 16+17+18+19(4) 12+ +16(5) 7+8+ +12+13(7) 數 字 71 72 73 74 75 35+36(2) 23+24+25(3) 4+5+ +11+12(9) 36+37(2) 17+18+19+20(4) 37+38(2) 24+25+26(3) 13+ +17(5) 10+ +15(6) 3+ +12(10) 數 字 76 77 78 79 80 6+7+ +12+13(8) 38+39(2) 8+9+ +13+14(7) 2+ +12(11) 25+26+27(3) 18+19+20+21(4) 1+2+ +11+12 (12) 39+40(2) 14+ +18(5) 數 字 81 82 83 84 85 40+41(2) 26+27+28(3) 11+ +16(6) 5+ +13(9) 19+20+21+22(4) 41+42(2) 27+28+29(3) 9+ +15(7) 7+ +14(8) 42+43(2) 15+ +19(5) 4+ +13(10) 數 字 86 87 88 89 90 20+21+22+23(4) 43+44(2) 28+29+30(3) 12+ +17(6) 3+ +13(11) 44+45(2) 29+30+31(3) 21+22+23+24(4) 16+ +20(5) 6+ +14(9) 2+ +13(12) 數 字 91 92 93 94 95 45+46(2) 10+ +16(7) 1+ +13(13) 8+ +15(8) 46+47(2) 30+31+32(3) 13+ +18(6) 22+23+24+25(4) 47+48(2) 17+ +21(5) 5+ +14(10) 數 字 96 97 98 99 100 31+32+33(3) 48+49(2) 23+24+25+26(4) 11+ +17(7) 49+50(2) 32+33+34(3) 14+ +19(6) 7+ +15(9) 4+ +14(11) 18+ +22(5) 9+ +16(8) 18

附 錄 二 1~100 種 示 法 的 最 小 整 數 種 最 小 整 數 的 質 因 數 分 解 式 種 最 小 整 數 的 質 因 數 分 解 式 1 3 2 3 2 3 3 5 4 3 4 5 3 2 5 6 3 6 7 3 5 7 8 3 2 5 2 9 3 4 5 10 3 10 11 3 2 5 7 12 3 12 13 3 6 5 14 3 4 5 2 15 3 3 5 7 16 3 16 17 3 2 5 2 7 18 3 18 19 3 4 5 7 20 3 6 5 2 21 3 10 5 22 3 22 23 3 2 5 7 11 24 3 4 5 4 25 3 12 5 26 3 2 5 2 7 2 27 3 6 5 7 28 3 28 29 3 4 5 2 7 30 3 30 31 3 3 5 7 11 32 3 10 5 2 33 3 16 5 34 3 6 5 4 35 3 2 5 2 7 11 36 3 36 37 3 18 5 38 3 12 5 2 39 3 4 5 7 11 40 3 40 41 3 6 5 2 7 42 3 42 43 3 10 5 7 44 3 4 5 2 7 2 45 3 22 5 46 3 46 47 3 2 5 7 11 13 48 3 6 5 6 49 3 4 5 4 7 50 3 16 5 2 51 3 12 5 7 52 3 52 53 3 2 5 2 7 2 11 54 3 10 5 4 55 3 6 5 7 11 56 3 18 5 2 57 3 28 5 58 3 58 59 3 4 5 2 7 11 60 3 60 61 3 30 5 62 3 6 5 2 7 2 63 3 3 5 7 11 13 64 3 12 5 4 65 3 10 5 2 7 66 3 66 67 3 16 5 7 68 3 22 5 2 19

69 3 6 5 4 7 70 3 70 71 3 2 5 2 7 11 13 72 3 72 73 3 36 5 74 3 4 5 4 7 2 75 3 18 5 7 76 3 10 5 6 77 3 12 5 2 7 78 3 78 79 3 4 5 7 11 13 80 3 2 5 2 7 2 11 2 81 3 40 5 82 3 82 83 3 6 5 2 7 11 84 3 16 5 4 85 3 42 5 86 3 28 5 2 87 3 10 5 7 11 88 3 88 89 3 4 5 2 7 2 11 90 3 12 5 6 91 3 22 5 7 92 3 30 5 2 93 3 46 5 94 3 18 5 4 95 3 3 5 2 7 11 13 96 3 96 97 3 6 5 6 7 98 3 10 5 2 7 2 99 3 4 5 4 7 11 100 3 100 20

評 語 080401 連 續 整 數 和 的 問 題 已 有 不 少 人 探 究, 但 本 作 品 能 進 一 步 探 討 連 續 整 數 和 表 示 法 的 種 類 與 該 種 最 小 整 數 的 關 係, 進 而 推 算 出 各 種 連 續 整 數 和 表 示 法 的 最 小 整 數, 相 當 不 錯 可 惜 的 是 此 推 算 法 目 前 只 能 由 大 量 的 數 據 驗 證, 還 可 以 再 接 再 厲