摘要 在本研究中我們討論以矩陣為係數的矩陣遞迴數列, 其中嘗試使用不同方 式求解, 並成功將其推廣至 階遞迴, 並討論矩陣遞迴數列的許多性質, 最 後藉由其歛散性討論矩陣遞迴式繪製在 X Y 平面的結果與性質 過程中我 們必須了解矩陣與實數之間的差異性, 包括矩陣沒有交換性 等, 那就 得尋找不同於實數的思路, 或者是利用方法加強其條件或輔助推演, 以尋 求我們所想要求的一般解, 並藉由我們在矩陣遞迴式求得的結論進行圖形 繪製, 了解其歛散與跳動條件與性質 研究過程中, 我們運用特徵方程式 以及方塊矩陣做為工具來討論 階遞迴的一般式, 再藉由 Geogebra 將其繪 製成圖型並研究及解釋之 0
目錄 壹 研究動機 貳 研究目的 參 研究設備與器材 肆 名詞與定義 3 伍 研究方法與過程 4 陸 研究結果與結論 9 柒 應用及未來展望 捌 參考文獻
壹 研究動機 在一次的數學段考中, 老師出了一題計算題 : 若二階矩陣序列 } È 5 3 =, = P + Q,( =,,3...) 其中 Î 3 { 滿足 0 0 È È P =, Q = 3 試求矩陣序列 的一般式為何? Î Î 因為這題只是矩陣的一階遞迴式, 因此我們馬上利用把中間 項消 去的方法解出 的一般式 而非常直觀的想法, 我馬上想到如果這個問題變成 是二階遞迴式而不是簡單的一階遞迴式時, 是否可以找出它的一般式 此外, 因 為好奇遞迴式在圖形上的遞迴關係, 我將試著將其繪製圖形並且討論及解釋其性 質 貳 研究目的 我們想要尋找出矩陣二階遞迴式的一般式, 在高中一年級所學的一般遞迴數 列中, 因為每個式子中的係數, 彼此之間存在著交換律, 因此我們只需要寫出二 階遞迴的特徵方程式, 便能夠求出特徵方程式的解並帶回原式, 求出一般遞迴數 列的一般式 不過矩陣的運算, 因為少了交換律, 所以不能使用特徵方程式的技 巧, 因此我們本研究的目的, 將在矩陣的限制下, 設法求出它的一般式寫法 並 希望能夠推廣至 階並討論其特殊的性質 另外我們在高中課程中鮮少直接討論 遞迴關係的圖形, 此研究我們希望更進一步討論矩陣遞迴式繪製在圖形上的各種 性質 參 研究設備及器材 紙 筆 電腦 athtype6 icrosoft Office Word GeoGebra4.
( ㄧ ) 矩陣基本性質 : 肆 名詞與定義 令, B,C 皆為 矩陣, 則有以下基本性質 : () + B= B+ () ( + B) + C = + ( B+ C) (3) B B (4) ( B) C = BC ( ) (5) = I, 其中 稱 的反矩陣 I 為 單位矩陣 其中我們必須特別注意的是矩陣的乘法並沒有交換律, 這將使特徵方程式 出現致命的問題, 而我們必須先熟悉矩陣基本的運算方法, 並了解其和實 數的不同, 才能順利推演我們的研究 ( 二 ) 特徵方程式 : 我們在進行一階 二階遞迴式的推導時, 會需要構造數值在等式兩邊同作加 減, 而此數值為某方程式之根, 稱此方程式為特徵方程式, 所求值為特徵值 ( 三 ) 對角化 : 0 0 Êl L ˆ Êl L ˆ Á Á 在做矩陣 的 次方時考慮主對角矩陣 Á O = Á O Á Á Ë0 L l Ë 0 L l, 所以構造 = PDP 其中 D 為一主對角矩陣, 可得 PD P = 特別地, 若有兩矩陣 B, 有可逆矩陣 P 使得 = PCP, B = PDP, 其中 CD, 皆為主對角矩陣, 稱此兩矩陣同時可對角化 ( 四 ) 同時可對角化: 若兩矩陣 B, 可對角化且存在 SS, 使得 = SC S, B = SC S, 其中 C, C 為主對角矩陣, 則稱 B, 同時可對角化 B B ( 六 ) 分塊矩陣 : 一個分塊矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣 換個方式來說, 就是以較 3
小的矩陣組合成一個矩陣 分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分 分塊矩陣中, 位在同一行 ( 列 ) 的每一個子矩陣, 都擁有相同的列數 ( 行數 ) 通過將大的矩陣通過分塊的方式劃分, 並將每個分塊看做另一個矩陣的元素, 這樣之後再參與運算, 通常可以讓計算變得清晰甚至得以大幅簡化 伍 研究方法與過程 定理一 : 若一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P 為已知 矩陣 Q, 皆為已知 m矩陣, 則 = P È ( I P) Q+ ( I P) Q Î 證明 : 令 a 為 m矩陣使得 a = Pa + Q, 且稱此式為一階矩陣遞迴數列特徵方程式, 此時原式兩邊同減 a : a = P + Q a Q a = Pa a = P ( a) a P ( a) = ( ) = P a + a ( ) a = I P Q ( ) ( ) = P È I P Q+ I P Q Î 我們可以知道在一階矩陣遞迴式中, 利用特徵方程式的解法並不會因為矩陣 的性質而有問題出現, 可直接利用已學會的一階遞迴特徵方程式解之 我們以實數遞迴式特徵方程式解法進行矩陣二階遞迴數列的討論, 但發現因 矩陣沒有交換率而無法用相同方式求得特徵方程式 所以我們給定條件使 PQ, 能使用特徵方程式解之 : 4
引理 : 兩矩陣可對角化且有交換律 兩矩陣同時可對角化證明 : fi : 先設想 可對角化為 S S = C, 其中 C 是主對角特徵值矩陣 設 C 有相異特徵值 l LL lm, 在不失一般性的原則下, 令相重特徵值緊鄰排列, 則 C 可表示成分塊矩陣直和 : ÈlIb C = = I I lmi Î bm O l b LL lm bm, 其中 j I b 是 b j 階單位矩陣, b 是特徵值 l 的相重數 j j 因為 B = B, 將 = SCS 代入上式, 得 SCS B = BSCS 令 D = È Îd ij = S BS, 則得 CD = DC, 比較等號兩邊矩陣的 (, i j ) 元, 即得 CD = DC ii ij ij jj 因為 ( C C ) D 0 =, 當 Cii Cjj, 必有 D ij = 0, 故知 D 具有下列主對角 ii jj ij ÊD ˆ Á 分塊形式 : D = O = D LL Dm, 其中 b j b j階分塊 D j 對 Á D Ë m 應特徵值 l j : 若兩矩陣同時可對角化, 則有 SS = C, SBS = D其中 CD, 皆為主對角 矩陣, 主對角矩陣符合交換律 B = S CSS DS = S CDS = S DCS = S DSS CS = B 5
定理二 : 若二階 m矩陣遞迴數列 = P + Q其中 PQ, 為已知 矩 陣,, 為已知 m矩陣, 且 PQ, 有交換律且可對角化, 且 P 陣, 則 = ( a b) È Îa ( b)b ( a) P± P + 4Q 其中 a =, b = 特別地 : 若 P 證明 : Pm P + 4Q + 4Q = 0則 a ( g) g = +, 其中 g = ag + a ( a ) + 4Q為正定矩 根據引理知, PQ, 有交換律且可對角化 PQ, 同時可對角化, 存在 S 使得 SPS 角矩陣 = C, SQS 尋找 ab, 使得 a = P± P + 4Q Pm P + 4Q b = 將 PQ, 值代入 : = D其中 CD, 皆為主對 a = a = S CS ± S CS + 4S DS ( 4 ) S CS ± S C + DS a = S S ( 4 ) C ± C + D S ( 4 ) C C D ± + as = ( ) C ± C + 4D 其中 為主對角矩陣 則我們得到 PQ,a,, b 同時可對角化 具有交換律 且此時的 a, b 滿足 P = a + b, Q = ab = ba 接著將 a, b 代回原式 6
= ( a + b) ab b = a( b ) b = a ( b ) () * = ( a + b) ba a = b( a ) a = b ( a ) (**) () * a (**) b ( a b) = a ( b )b ( a ) = ( a b) È Îa ( b)b ( a) 特別地 ; 若 P + 4Q = 0 此時 a = b = P a = a ( a) = a ( a) + a 我們將其視為矩陣一階遞迴數列解之 尋找 g 使得 g ag a ( a ) = +, 將原式兩邊同減 g : g = a + a ( a) g ( ) g = a g ( ) = g a g ( ) = + a g g 7
二階矩陣遞迴數列若以特徵方程式的想法去討論, 除了定理條件中 PQ, 必須 有交換率且可對角化的條件外, P + 4Q必須為可以進行開根號的矩陣, 也 就是 P + 4Q必須是正定矩陣 那對於二階矩陣遞迴是否有方式能夠找到一般解? 我們從另一種解題方式去討論 : 定理三 : 若二階 m矩陣遞迴數列 = P + Q其中 PQ, 為已知 矩 È ÈP Q È ÈP 陣,, 為已知 m矩陣, 則 = I 0, 其中 Î Î Î ÎI Q 0 為以 È 矩陣表示的 分塊矩陣, Î 證明 : 令 X È = Î 為以 m矩陣表示的 分塊矩陣 此時的 X 可視為 + 與 組合成的分塊矩陣, 同時在運算上等價於一個 m的矩陣 X + È+ ÈP + Q = = + 0 Î Î X + ÈP QÈ ÈP Q = X I 0 = I 0 Î Î Î ÈP Q 其中 I 0 為 P,Q, I, 0 所組成的分塊矩陣, 可視為一 矩陣 Î X ÈP Q = I 0 Î X È ÈP Q È = I 0 Î Î Î 本問題中以分塊矩陣的方式列式, 而利用普通矩陣的方式運算, 關於矩陣的 次方我們可以藉由對角化解之, 若遇到矩陣不可對角化時, 也可使用 Jorda Form 解矩陣的 次方 使用這方法其 P,Q 將不再受到限制, 且可以將其推廣至 階 8
定理四 : 給定 階 m矩陣遞迴數列 i = Â P j i j其中 P 為已知 矩陣, ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L i 為已知 m矩陣, 則 = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 討論 : 令 j= i X i Èi = i + Î i m X i+ È P j i j P P P Â + È L L L È i+ j= i I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = = = 0 i + O i + i + O Î i + i + i 0 0 I 0 Î Î L L Î i ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 9
定理五 : 一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q收斂, 其中 P 為已知 矩陣 Q, 為已知 m矩陣, 且令 P 之對角化形式 SPS = D則 D 之特徵值 { } l, Œ,... 滿足 < < l 證明 : 若此矩陣遞迴數列收斂 由定理一得 = È ( ) + ( ) 若, {,... } P I P Q I P Q Î l Œ 滿足 < < 則 SPS = D, 且 ( ) l SP S = D = 0 as Æ limp È I P Q = 0 Æ Î ( ) lim = I P Q Æ ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 定理六 : i =  P j i j收斂, 且 之對角化形式 j= 0 O O Î0 0 L L I 0 ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 S S = D中 D 為主對角矩陣, 則 D 的特徵值 0 O O Î0 0 L L I 0 { } x lt, tœ,... 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t 證明 : 在此先以矩陣二階遞迴為例 : 給定一 m矩陣數列 = P + Q, 若此矩陣遞迴數列收斂, t 令 lim Æ =, 則 = lim = lim( P + Q) = P+ Q, Æ Æ 所以 ( P+ Q I) = 0 假若 P+ Q I可逆, 則 = 0 0
接著了解收斂矩陣的性質 : È ÈP Q È 由定理三得 = I 0 Î Î Î ÈP 令 ÎI Q 0 的對角化形式為 S DS, 其中 D 為特徵值構成的主對角矩陣 ÈP 冪矩陣 ÎI Q 0 ÈP Q 可表示成 = S I 0 Î DS 其中 D Èl = O l Î 若每一特徵值都滿足 < l i <, li Æ 0,, 則可知 將這性質推廣到 階矩陣遞迴數列 D 收歛 給定一 階 m矩陣數列 i =  P j i j, 其中 P 為已知 矩陣, i j= 為已知 m矩陣, 若此矩陣數列收斂, 先由定理四得 : i ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 令 = S 0 O O Î0 0 L L I 0 則, {,... } Èl DS, D = O Î l x lt tœ 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t t
若此矩陣遞迴數列 Â j= P j ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 I 可逆, 則 0 O O Î0 0 L L I 0 i 收斂至 0 圖形討論 : 給定一階 矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P,Q 為已知 矩 陣, 為 矩陣, 試求 在 X 討論 : Y 平面上圖形? 根據定理五, = È ( ) + ( ) 將 P 對角化得 P = SDS P I P Q I P Q Î 由對角矩陣 D 之特徵值可知其歛散性 ( 一 ) 假若矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l < 則此遞迴數列收斂 因特徵值若為負值, 其 次方將正負跳動 我們可歸類出三種圖形如下 : 情形一 : l, l <0 因為兩特徵值皆正負跳動使得 呈螺旋狀收斂, 並向 ( ) I P Q收斂 ( 圖.) 情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得 摺疊跳動, 並向 ( ) I P Q收斂
情形三 : l, l >0 直接收斂不會有跳動現象 ( 圖.) ( 圖.3) ( 二 ) 假若矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l 或 l < 則此遞迴數列發散 因特徵值若為負值, 其 次方將正負跳動 我們可歸類出三種圖形如下 : 情形一 : l, l <0 因為特徵值的正負跳動使得 呈螺旋向外發散 ( 圖.) 3
情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得 摺疊跳動發散 情形三 : l, l >0 直接發散不會有跳動現象 ( 圖.) ( 圖.3) È6 30 È57 90 例子一 : 給定一 矩陣二階遞迴數列 = + 36 57, Î Î È8 5 È 3 =, 3 = 7 4 求 =? Î Î 討論 :( 特徵方程式 ) È6 30 È5 3È 0È 3 = 3 0 4 3 5 Î Î Î Î È57 90 È5 3È3 0 È 3 = 36 57 3 0 3 3 5 Î Î Î Î 兩矩陣同時可對角化, 利用特徵方程式求 ab, È6 30 È6 30 È57 90 4 ± + 36 57 Î Î Î a = ( 取正 ) 4
b = È6 30 È6 30 È57 90 4 m + 36 57 Î Î Î ( 取負 ) a = È6 30 È4 80 + 7 04 Î Î b = È6 30 È4 80 7 04 Î Î a = È6 30 È5 3 È6 0È 3 + 3 0 4 3 5 Î Î Î Î b = È6 30 È5 3 È6 0È 3 3 0 4 3 5 Î Î Î Î 6 0 a = È Î È38 60 b = 4 38 Î È6 0 È38 60 È6 0È38 60 = ( ) + 4 38 4 38 Î Î Î Î È38 60 È6 0 È38 60 = ( ) 4 38 4 38 Î Î Î È38 60 È6 0 È 3 È38 60È8 5 = ( ) 4 38 7 4 4 38 3 Î Î Î Î Î () * È6 0 È38 60 È38 60È6 0 = ( ) + 4 38 4 38 Î Î Î Î È6 0 È38 60 È6 0 ( ) = 4 38 Î Î Î 5
È6 0 È38 60 È 3 È6 0È8 5 ( ) = 4 38 7 4 3 Î Î Î Î Î (**) () * a (**) b È6 0 È38 60 ( ) = 4 38 Î Î È6 0 È 3 È38 60È8 5 È38 60 È 3 È6 0È8 5 ( ) ( ) 7 4 4 38 3 4 38 7 4 3 Î Î Î Î Î Î Î Î È 5 8 Ê È6 0 È86 367 È5 3È( ) 0 È 3È46 33 ˆ = 3 Á 3 38 3 0 3 5 5 ËÎ Î Î Î Î Î Î 4 8 È 5 8 È3 6 535 ( ) + 489 367 6 660 ( ) + 67 = Î ( ) ( ) Î 4 8 3 3 6 3 + 63 38 6 396 + 09 È357 535 467 37 65 88 6 ( ) 6 ( ) 8 8 8 4 8 = 67 3 4 99 463 6 ( ) 5 6 ( ) Î 8 8 8 8 È 3 9 È 例子二 : 給定一 矩陣二階遞迴數列 = 3 +, Î 9 3 Î È9 7 6 3 È, = 4 = 8 求 =? Î Î 討論 : 利用分塊矩陣 令 X È + = Î 6
È È 3 9 È 3 9 È 3 9 È 3 + + È 9 3 + Î 9 3 È+ 9 3 \ X 3 3 + = = X = + = Î Î 0 0 0 0 0 0 Î 0 0 0 È È + + 0 0 0 ÎÎ Î Î0 0 0 Î0 0 0 X È 3 9 9 3 = 3 0 0 0 Î0 0 0 X È 3 9 È+ 9 3 fi 3 È = Î 0 0 0 Î Î0 0 0 È 3 3 6 6 6 6 È 3 9 3 3 5 3 3 0 0 0 È È 0 0 0 5 9 3 3 9 3 0 0 0 對角化得 3 = 5 0 0 3 0 8 8 8 8 0 0 0 Î3 3 Î0 0 0 3 9 7 3 7 0 0 0 Î Î80 8 80 È 3 3 6 6 6 6 È5 3 3 È 0 0 0 3 3 È6 3 0 3 9 3 0 0 0 0 0 5 8 È + = Î 5 0 0 3 0 9 7 3 3 0 0 0 3 8 8 8 8 Î Î Î 4 9 7 3 7 Î80 8 80 È 55 9 633 65 7 7 579 3 ( 3) + 3 + ( 3) 6 5 8 8 5 8 80 93 9 39 7 7 93 + + + + 6 5 8 8 5 8 80 = 55 9 65 7 7 93 3 + 3 + 3 3 6 5 8 8 5 8 80 93 9 39 7 7 93 Î 6 5 8 8 5 8 80 ( ) ( ) + + 3 3 3 3 ( ) ( ) + 3 ( 3) + + 3 + ( 3) 7
È55 9 65 7 7 93 3 + ( 3) + 3 ( 3) 6 5 8 8 5 8 80 = 93 9 39 7 7 93 + 3 ( 3) + + 3 + ( 3) Î 6 5 8 8 5 8 80 例子三 : 從矩陣等比級數和討論矩陣遞迴數列級數和討論矩陣的等比數列合 :( 此處的公比同為矩陣 ) S = B + B + LLL + B 其中 B = KB S = B + KB + LLL + K B KS = KB + K B + LLL + K B 兩式相減得 : S KS = B K B ( I K) S ( = I K ) B ( ) ( ) S = I K I K B 考慮一階矩陣遞迴 = P + Q, 利用特徵方程式解之 : 尋找一 矩陣 a 使得 a = Pa + Q a = P + Q a Q a = Pa ( a) a = P a P ( a) = ( ) = P a + a S = Â = Â È ÎP ( a) + a = = S = Â P ( a) + a = 此時可將問題視為矩陣 ( a ) 的等比數列合, 其中公比為 P 8
( ) ( )( a) S = I P I P + a ( ) ( ) S = I P I P È Î ( I P) Q + ( I P) Q 我們另外可討論當矩陣等比數列收斂到 0 時, 其數列合也會收斂 : ( ) ( ) S = I Q I Q B ( ) lim S = I Q B Æ 接著我好奇矩陣二階遞迴數列合, 由定理三知 : = P + Q 若 令 X + ÈP Q È È = = I 0 Î Î Î S X + ÈP Q ÈS È = S =  = I 0 Î Î Î S X + ÈP Q ÈS 0 È 0 = S 0 =  = I 0 0 Î Î Î 套用矩陣等比級數和公式 ÈS+ 0 Ê ÈP Qˆ Ê ÈP Q ˆÈ 0 SX = I I S 0 = Á I 0 Á I 0 0 Î Ë Î Ë Î Î 即可得 S =  = 陸 研究結果與結論 ( ㄧ ) 一階矩陣遞迴式 = P + Q, 可求得 之一般式 : ( ) ( ) = P È I P Q+ I P Q Î ( 二 ) 二階矩陣遞迴式 = P + Q若 PQ, 有交換律, 可求得 之一般式 : = ( a b) È Îa ( b)b ( a) 9
P± P + 4Q 其中 a =, b = 特別地 : 若 P Pm P + 4Q + 4Q = 0則 a ( g) g ( 三 ) 階 m矩陣遞迴數列 = +, 其中 g = ag + a ( a ) i j i j j= =  P 其中 P 為已知 矩陣, ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L i 為已知 m矩陣, 則 = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 並由此得 i i ( 四 ) 一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q收斂, 其中 P 為已知 矩陣 Q, 為已知 m矩陣, 且令 P 之對角化形式 SPS = D則 D 之特徵值 { } l, Œ,... 滿足 < < l ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 ( 五 ) i =  P j i j收斂, 且 之對角化形式 j= 0 O O Î0 0 L L I 0 P P L L L P È I 0 0 L L L 0 I L L L 0 0 O O Î0 0 L L I 0 S S = D 中 D 為主對角矩陣, 若且唯若 D 的特徵 值, {,... } x lt tœ 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t t 0
( 六 ) 一階 矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P,Q 為已知 矩陣, 為 矩陣, 在 X Y 平面上圖形可分類為以下 : 收斂 : 假若矩陣 P 之對角化形式 SDS, 其中主對角矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l <, 則此遞迴數列收斂, 依 l 值正負又分以下三類情形 : 情形一 : l, l <0 因為兩特徵值皆正負跳動使得 情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得 情形三 : l, l >0 直接收斂不會有跳動現象 呈螺旋狀收斂, 並向 ( ) I P Q收斂 摺疊跳動, 並向 ( ) I P Q收斂 發散 : 假若矩陣 P 之對角化形式 SDS, 其中主對角矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l 或 l <, 則此遞迴數列發散, 依 l 值正負又分以下三類情形 : 情形一 : l, l <0 因為特徵值的正負跳動使得 情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得 情形三 : l, l >0 直接發散不會有跳動現象 呈螺旋向外發散 摺疊跳動發散 柒 應用及未來展望 本研究討論矩陣的遞迴數列其運算與性質, 渴望在其他情境例子上可使用, 研究解果也能減少對於矩陣遞迴數列的運算, 未來希望能夠討論更多這方面的性 質 圖形上我們討論一階矩陣遞迴式得疊代圖形, 未來希望能夠更進一步討論二 階或是高階遞迴式之圖形. 南一版高中數學第 4 冊 捌 參考文獻.. G. Kostyucheo,K.. irzoev Threeterm recurrece relatios with matrix coefficiets. The completely idefiite case 3.Stephe H. Friedberg Liear lgebra 4. http://ccjou.wordpress.com/( 線代啟示錄 ) 5. http://mathworld.wolfram.com/