第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik 模和 K 泛函得到了一类积分型 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子点态逼近的正 逆定理以及等价定理. 关键词 : 积分型 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子 ;DitziaṉTotik 模 ;K 泛函 ; 正逆定理中图分类号 :O74.4 文献标志码 :A 文献 [] 给出了 MeyeṟKig-Zeler 算子, 文献 [] 引入了该算子的 Durrmeyer 变形. 本文所研究的积 分型 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子定义为 Lἀ(f,x)= C - m(t)f(t)dt(j α -J +) α [4] 则 L,(f,x)=L(f,x). 受文献 [3] 研究方法的启发, 本文应用一阶光滑模和 K 泛函的等价性得到了 该积分型 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子 Lἀ(f,x) 的点态逼近定理 : 定理 令 f C[,], φ = x(-x),δ=φ ( x)+,< <,, 则 成立的充要条件是 ω φ 正定理 Lἀ(f,x)-f=O δ- 引理 [,5-6] ()L ( ( t-x ), x ) = x (-x) +O( - ) C - δ; ()L (-t), x 3 (-x) ; (3) t (u)du 4t-x ( x φ- φ - +x - (-t) - ). 定理 对于 f C[,], φ = x(-x),δ=φ ( x)+,, 有 Lἀ(f,x)-f Cω φ f, δ- 由 K 泛函的定义, 对固定的,x 及, 我们可以选择适当的 g=g,x,, 使得 收稿日期 : 7 9 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (656). 作者简介 : 赵晓娣 (988 ), 女, 宁夏盐池人, 硕士研究生, 主要从事函数逼近论的研究.
西南大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.c 第 35 卷 因为 f-g + δ- φ g + δ - - g Cω φ f, δ- Lἀ(f,x) α L(f,x) α f Lἀ(f,x)-f (α+) f-g + Lἀ(g,x)-g 应用 g(t)=g+ t x g (u)du, 我们有 Lἀ(g,x)-g= Lἀ ( t g (u)du, x) x 当 x E =, - ù ú 时,δ~φ ( x), 则 δ g Lἀ t x ( δ - (u)du, x) Lἀ(g,x)-g C δ g φ - Lἀ( t-x,x)+x - t-x Lἀ (-t), ù x ú C δ g δ- 当 x E c =, -, ù ú 时,δ~ 则, Lἀ(g,x)-g δ g αl t x - du, x C δ g δ- Lἀ(f,x)-f C f-g + δ- φ g + δ- g Cω φ f, δ- 逆定理 引理 对 f W, φ = x(-x),δ=φ ( x)+,, 我们有 () δl ἀ(f,x) C δ - f ; () δ L ἀ(f,x) C δ f. () 易 L ἀ(f,x) α f 当 x E =, - ù ú 时, 有 ] J + + ( [J α- J α- m ) α f (K +K) δk ( +)δ φ 当 x E c =, -, ù ú 时, 有 对于 K, 我们有 k +k+ -x m+,k (+)δ φ [ M+((t-x),x)] C δ - δk ( +)δ (-x) C ( +)δ (-x) (m+,k-+m+,k) m+,k C δ - =
第 期 赵晓娣, 等 : 一类积分型 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子的点态逼近 3 K J α- J - ++ J α- J α- m δ K δ K C δ - x [,] () 当 x E c =, -, ù ú 时, 由 t x δ L ἀ(f,x) - du = ( ) t-x, 得 C δ f C - m(t)t-x dt { ( J α- -J α- +(x )J ++J α- m (x ) } = C δ f (R +R) 经过简单计算得 而 R + (-x) C - m(t) t-x dt(m+,k-+m+,k) C R C - k= m(t)t-x dtj α- J - C - m(t)t-x dtj α- m C - C - k= m(t) t-x dtj α- J +I R () +I C 故当 x E c 时, 有 另外, 当 x E =, - ù ú 时, 有 δ L ἀ(f,x) δ L ἀ(f,x) C δ f m(t)t-x dtj α- +J ++ C δ f C - m(t)t-x dt { ( J α- -J α- +(x )J ++J α- m (x ) } + C δ f C - m(t)t-x φ x - (-t) - dt { ( J α- -J α- +(x )J ++J α- m (x ) } = C δ f (I +I +I3 +I4) 由文献 [] 中引理 6, 有 类似可 I + φ c φ ( x) 故当 x E 时, 有 [ C - m(t)(t-x) dtm+,k(x )] [ C - m(t)(t-x) 4 dtm+,k(x )] I C I3 C I4 C δ L ἀ(f,x) C δ f k +k+ - x m+,k(x + k m(x ) ù ú ) ù ú C 引理 3 设 <t<, x± t [,],, 对 φ ( x)= x(-x),δ=φ ( x)+, 我 们有 t δ - t - (x+u)du Ctδ -
4 西南大学学报 ( 自然科学版 ) htp://xbbjb.swu.c 第 35 卷 定理 3 设 f C[,], φ = x(-x),δ=φ ( x)+,,< <, 则由 可得到 ω φ Lἀ(f,x)-f=O δ- 设 <tφ < ț φ x -t φ, 则利用引理 引理 3 及文献 [3] 的明方法, 得 Δtφ f Δtφ C δ- δ - tφ + + Ct δ - 对每个 x 和 t(x > t ), 以及对任意的 <h <, 得到 - tφ ω φ L ἀ(f,x+u) du f, δ- ω φ (f,t) C h + t h ω ( ) φ f,h [7] 利用 Beres-Loretz 引理可得 ω φ 由定理 和定理 3 可得到等价定理. 参考文献 : [] CHEN Weṉzhog.OtheItegralType MeyeṟKig-ZelerOperators [J].ApproximatioTheoryadItsApplicatios,986,(3):7. [] MEYER-KÖNIG W,ZELLER K.BersteischePotezreihe [J].StudiaMath,96,9():89-94. [3] 梁玲玲, 孙渭滨. 一类推广的 KatorovicẖBzier 型算子的点态逼近 [J]. 西南大学学报 : 自然科学版,,33(): 3-6. [4] DITZIANZ,TOTIK V.ModuliofSmoothess[M].New York:SprigeṟVerlag,987. [5] BECKER M,NESSELRJ.AglobalApproximatioTheoremfortheMeyeṟKig-ZelerOperators[J].MathI,978, 6:95-6. [6] 蒋红标. 关于 MeyeṟKig-ZeleṟBzier 算子逼近定理的研究 [D]. 石家庄 : 河北师范大学,7. [7] BERENS H,LORENTZ G.IverseTheoremsforBersteiPolyomials [J].Idiaa Uiv MathJ,97,(8): 693-78. PoitwiseApproximatioforaItegralTypeof Meyer-KiḡZeler-BzierOperators ZHAO Xiaoḏi, SUN Weiḇi ColegeofMathematicsadComputerSciece,NigxiaUiversity,Yichua75,Chia Abstract:Ithisote,wegivethedirectadiverseapproximatiotheoremsadequivalettheoremsby itegraltypemeyeṟkig-zeleṟbzieroperatorswiththefirstorderditziaṉtotik modulusadk-fuctioal. Keywords:itegraltypeMeyeṟKig-ZeleṟBzieroperator;DitziaṉTotikmodulus;K-fuctioal;direct adiversetheorem 责任编辑廖坤
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