對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,, ) 是對稱多項式, 當然也可以寫成,,, 的多項式 本篇文章的主要工作, 是由對稱多項式的 h恆等式 出發, 將一系列的 h 恆等式所成的聯立方程組, 用矩陣的乘法表示, 再用 克拉瑪公式 求解, 將 h(,,, ) 用,,, 的行列式來表示, 例如 : h4 ( d,,, ), 4 ( d,,, ) 展開之後, 即為,,, 的多項式 ( 參考資料 []) 這樣的表示法有個應用 : 由於費氏數列的一般項, 可表示為完全齊次對稱多 項式, 於是可用,,, 的行列式加以表達, 得到費氏數列一般項的行列式表 達式 : F ( 此行列式為 階, ) ( 參考資料 [5])
貳 本文 : 一 定義 記號與已知公式 :. L V 轉換公式 : ( L : 拉格朗日,V : 范德蒙 ) x ( ) j j j x x x ( 證明見參考資料 []) 例 : 取,,,, 有 x ( ) j j j x ( )( ) x ( )( ) x ( )( ) x x x 例 : L (,,, d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) d ( d )( d )( d ) d d d d d
推論 : L (,,, ) ( ) j j j 說明 : 在 L V 例 : L (,, ) 轉換公式中, 取 x ( )( ), 其中,,, ( )( ) ( )( ) ( )( ) 例 : L ( d,,, ) ( )( )( d) d ( )( )( d ) ( )( )( d) ( )( )( d) ( d )( d )( d ) d d d d d d 例 : L ( d,,, ) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) ( )( )( d) d ( d )( d )( d )
d d d d d d 例 : L L L L ( 個變數,,, ) 證明 : L (,,, ) 由 ( ) j j j 即可得. 費氏數列 (Fo Nurs): 定義 : 滿足 F, F, 以及遞迴關係 F F F, 其中,, 的數列, 稱為 費氏數列 (Fo Nurs), 此數列的前幾項為 :,,,,5,8, 設 α 與 β 為方程式 x x 的兩根, 且 α > β, 則費氏數列的一般項為 F 5 5 5 α β ( 參考資料 [6]) α β α β 注意到 α α β αβ β h α β (, ) α β, 於是可得 F h (, ) α β, 即費氏數列的一般項, 可表示為完全齊次對稱多項式 4
二 將 h 用 的行列式表示 : ( 一 )4 個變數 : f ( x) ( x)( x)( x)( xd) 4 4 4 4 4 4 4 d d d d 4 d x x x x 4 4 -----------() -----------() -----------() -----------(4) () ( )( )( d) () ( )( )( d) () 可得 : L 4 L L L 4 L 取 : L 4 L L L 4 L 取 : L 5 L 4 L L 4 L 取 : L 6 L 5 L 4 L 4 L 取 : L 7 L 6 L 5 L 4 4 L ( )( )( d) (4) ( d )( d )( d ), 由 L V 轉換公式及其推論, 有 L L L ( 參見第,,4 頁 ), 可得 : : L 4 L : L 5 L 4 L : L 6 L 5 L 4 L : L 7 L 6 L 5 L 4 4 L 由 h L轉換公式, 可得 : ( 註 ) : h h : h h h : h h h h : h 4 h h h 4 h ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,,, 此時規定 ( 註 ), 可將以上四式改成 : : h h h h : h h h h : h h h h : h h h 4 h h 4 ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,, 與 4 ( ) 4 h h4 5
改寫成等價的矩陣乘法 : h h, h 4 h h4 由 克拉瑪公式, 可得 h d( A) h 4 ( 其中 A ) 4 d( A) h 4 h4 ( 對第 行展開而得 ) d( A) d( A) h 4 h h d( A) 4 4 d( A) h h d( A) 4 4 註 : 由 h L轉換公式, 有 L( d,,, ) h (4) ( d,,, ) h( d,,, ), 同理, L 有 4 h, L 5 h, L 6 h 與 L7 h4 註 : 規定, 目的是使得四個方程式的形式一致, 即等號的左邊都有 四項, 以便於用矩陣的乘法來表示 6
( 二 ) 一般情形 ( ): ( 註 ) f x x x x ( ) ( )( ) ( ) x x x ( ) ( ) --------( ), 其中 ( ) ( ),,, () j j j : ( 將第 式乘以 ( ) j j 再加總 ) ( ) L L ( ) L ( ) L j 取 : L L ( ) L ( ) L 取 : L L ( ) L ( ) L 取 j: L L ( ) L ( ) L j j j j 取 : L L ( ) L ( ) L 由 L V 轉換公式及其推論, 有 L L L L ( 參見第 4 頁 ), 可得 : : L L : L L L j j: L L ( ) L j j j : L L ( ) L ( ) L 7
由 h L轉換公式, 即得 ( 註 ) : h h : h h h j: h h ( ) h j j j j : h h ( ) h ( ) h ( ) 亦即 ( ) ( ) h, 其中,,,, 規定 ( ), 亦即, 當,,, ( ) ( 註 ) 可將以上 個式子改寫成 ( ) ( ) ( ) h, 其中,,,, 與 在 之中分別提出並消去 ( ) 與 ( ) 後, 可得 ( ) ( ) h, 其中,,,, 改寫成等價的矩陣乘法 : 與 ( ) h h ( ) h ( ) h h 4 h 5 4 h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) h 8
4 5 4 令 A, 由 克拉瑪公式, 可得 h d( A) ( ) 4 5 4 h d( A) ( ) ( ) h 4 5 4 h d( A) 4 4 9
h d( A) 4 h d( A) d( A) h d( A) h h h d( A) 4 5 4 4 至此, 已將 h(,,, ) 用,,, 的行列式來表示 例 : ( ) ( )( )
( )( ) h(,, ) 註 : 當 時, 一方面, h (, ) 另一方面, ( ), 所以有 h (, ) 註 : 由 h L轉換公式, 有 L (,,, ) h (,,, ) h (,,, ), 同理, 有 L h, L ( ) h,, L h 與 L h 註 : 規定 ( ), 目的是使得 個方程式的形式一致, 即等 號的左邊都有 項, 以便於用矩陣的乘法來表示 三 應用 : h (,,, ) 在 4 之中, ( ) 取 α, β, 4, 則 h( α, β,,,,) h( α, β), 個 ( α, β,,,,) ( α, β) α β, 個
且 可得 ( α, β,,,,) ( α, β) αβ, 個 ( α, β,,,,) 4 ( α, β,,,,) ( α, β,,,,) 個 h (, ) α β 個 個, α β αβ α β αβ α β αβ α β α β αβ α β αβ α β 特別地, 取 α 與 β 為方程式 x α β h( αβ, ) F α β x 的兩根, 則 α β, αβ, 且 ( 參見第 4 頁 ), 可得 F, 其中右邊為 階 ( ) 的行列式 至此, 得到了費氏數列一般項的行列式表達式 ( 參考資料 [5]) 參 結語 : 對於 個變數,,,, 對稱多項式的 h恆等式 其實不只有一式, 而是有 一組, 同一組的 h恆等式所成的聯立方程組可用矩陣乘法表示, 進而將 h(,,, ) 以,,, 的行列式來表示, 印證了 對稱多項式基本定理 作為此表達式的一個應用, 在文末得到了費氏數列一般項的行列式表達式 綜合上下兩篇文章, 可看出組合數 C 與費氏數 F 的性質是表象, 而對稱多項式 的性質可作為它們共同的理論基礎, 因此顯示了對稱多項式是更為根本的一個數學概念
參考資料 :. 陳建燁, 完全齊次對稱多項式 ( 起 )( 承 )( 轉 )( 合 ), 高中數學學科中心電子報第 期,6 年 8 月. I.G.Mdold,Syr Fuos d Hll Polyols,P~4,P. 陳建燁, 推廣的 Vdrod 行列式 ( 最右行升次型 ), 高中數學學科中心電子報第 4 期,6 年 9 月,P6,,,4 4. 楊維哲, 湖濱高中資優數學講義之二 --- 代數, 五南出版社, 年 4 月,P9 ~94 5. 吳振奎, 斐波那契數列, 九章出版社, 民國 8 年 7 月初版,P~6 6. 陳建燁, 推導費氏數列性質三部曲 ( 中 ): 用根與係數關係, 高中數學學科中心電子報第 9 期,6 年 4 月,P 作者聯絡方式 : 陳建燁 : wjjr@yhoo.o.w