Topic # 3 恒定电流的电场 (Steady lectric Currents) Part I 概述 基本方程 电功率 电动势 不同媒质分界面上的边界条件 静电比拟 (Duality)
概述 恒定电流 恒定电流 电荷对观察者来说有相对运动, 但这些规则运动在导电媒质中的电荷及所形成的电流, 其分布都是不随时间变化的
概述 场效应 静止电荷 静电场 不随时间变化, 只是空间坐标的函数 没有伴随的磁效应和磁场 恒定电流 恒定电流场 恒定磁场 不随时间变化, 只是空间坐标的函数 没有耦合 可分别予以研究 3
概述 维持恒定电流的条件 沿电流流动方向的任一段导体存在电位差 r J r = γ r U = ϕ ϕ ϕ ϕ 4
概述 维持恒定电流的条件 导体内表面的电场强度平行于切线方向 r n = 否则导体表面将聚集无穷电荷 ϕ ϕ 5
概述 场源 导体两端电位差 电源极板上处于动态平衡的自由电荷 电源外部力维持 γ = γ ( ) U 6
概述 场源 导体两端电位差极板上自由电荷产生的电场 ( 定性 ) ε 对称 ε P ε P P P 7
概述 场源 导体两端电位差极板上自由电荷产生的电场 ( 定性 ) 仅仅极板上电荷产生的场, 并不能保证导体内表面 r n = ε ε P ε P P 对称 P 8
概述 场源 沿着导线表面上的感应驻定电荷 处于不断交替与更换的运动态中, 保持其分布特性不变 γ = P γ P γ = 9
概述 场源 合成电场 γ = J 线 J 线 ( = γ ) γ ( ) P U
概述 存在空间 导电媒质中的电场 恒定电流的电场 库仑电场 由自由电荷产生的电场 局外电场 定义电源内部作用于电荷的局外力与电荷量的比值为局外场强
概述 存在空间 导电媒质中的电场 恒定电流的电场 无源部分 有源部分 J = γ = J J = γ ( ρ ) ( ) q e γ ---- 含源部分导电媒质的电导率 (S/m) q 极板上自由电荷激励的库仑场场强 d F e e 局外场强 ( 非电场强 ) e = d q
概述 存在空间 导电媒质外电介质或空气中的恒定电场 t << n 导电体近似位等位体 可按第 章的静电场进行分析 计算 本章只研究导电媒质无源部分的电场 3
基本方程 : 无源 ( 散 ) 无旋场 积分形式 由电荷守恒定律 S J d q S. C. F. ds = ==== d t Kirchhoff s current law 在不含源的导体内 S dl = 4
基本方程 : 无源 ( 散 ) 无旋场 微分形式 由电荷守恒定律 S J S = J = G. T. d 在不含源的导体内 S l = = S. T. d 5
基本方程 : 无源 ( 散 ) 无旋场 构成关系 (Constitutie relations) J = γ 位函数 = ϕ ϕ = ϕ = 6
基本方程 : 无源 ( 散 ) 无旋场 电阻 电导 r r R V I = S a dl b r r σ ds G I r r σ ds S = = a r r V b dl R 7
电功率 电动势 电功率 在恒定电流场中, 沿电流流动方向取一元电流管, 如右图, 则电场力做功为 dw = dud q dq ds (t) 等位面 ds γ dl du = J d t (t dt) 等位面 外源提供的功率 d W dp = = dudi = ( dl )( J ds ) = Jd V d t 8
电功率 电动势 电功率 恒定电流的电场 电功率密度 d P p = = J = γ = d V J γ (W/m ) p = J Joule s Law 一般情况 9
电功率 电动势 电动势 (electromotie force emf) 局外场强沿极板的负极到极板正极的线积分 e d l = e ( 电源内 ) 把单位正电荷从电源负极通过电源内部移动到电源正极时, 局外场强所作的功
电功率 电动势 电动势 (electromotie force emf) In general, for a closed circuits containing many resistors and emf sources e = I R Kirchhoff s oltage law
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 两种不同导电媒质分界面上的 B. C. l d l = t = t d S = ρ d V S V S l D D = σ D n n dl = = t J ds = J = J n t n 静电场 恒定电流场
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 两种不同导电媒质分界面上的 B. C. tg α tg α = γ γ 电流场中的折射定律 3
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 良导体与不良导体分界面上的 B. C. 设良导体为第一种媒质 γ >> γ e n J α tg α γ = tg α γ J, P α γ γ ( 良导体 ) 只要 o α 9 总有 α o 4
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 导体与理想介质 ( γ =) 分界面 U n t t γ γ 线 J c J c (a) J γ = J cn = J cn = n = J n = n 但是 n ( 为什么 ) 导体表面感应电荷 n J cn = = γ 5
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 导体与理想介质 ( γ =) 分界面 U n t t γ γ 线 J c J c (b) J 边界条件 t = J e t t = = t t << n J γ t n 分析时, 可忽略切向分量的影响, 以静电场分析的方法处理导体 等位体 6
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 导体与理想介质 ( γ =) 分界面 n n t n t 导体表面电场强度分布示意图 n 7
不同媒质分界面上的边界条件 (B. C.) 两种有损电介质分界面上的 B. C. e n J J n = J n 即 γ n = γ n () γ, ε P σ Dn Dn = εn ε n = σ () γ, ε J ε ε σ = γ γ J n ε γ ε = σ = γ 8
例 3 有损耗的平板电容器 问题 ε, γ d U ε, γ d 求 :() 有损电介质中的 () 介质交界面上的自由电荷面密度 9
例 3 有损耗的平板电容器 分析 ε, γ d U ε, γ d () 平行平面场 () 电流密度 电场强度 电位移仅有法向分量 (3) 不同媒质中的电流密度相同 3
例 3 有损耗的平板电容器 Dilemma () 应用静电场 D 和 间的关系计算? () 还是应用恒定电流场 J 和 间的关系计算? 3
例 3 有损耗的平板电容器 计算 不同媒质中的电流密度相同 电场强度 γ = γ d d = U 两极板间电压已知 = e n n 电流密度 电场强度 电位移仅有法向分量 = e n n 3
例 3 有损耗的平板电容器 计算 D D = ε ε = σ n n 电荷密度 γ = γ J = γ ε γ ε γ ε γ ε γ σ = J ===== U γγ γd γ d 33
静电比拟 (Duality) 定义 数学上 物理上 恒定电流的电场 两种不同的物理场, 只要描述他们的微分方程相同, 则只要边界条件 ( 不同的场量 ) 类似, 二者的解答形式是完全相同 将恒定电场与无源区中的静电场相比较, 得出二者场量之间的对应关系 34
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流场 ( 电源外 ) 静电场 ( ρ = 处 ) ϕ = ϕ = = ϕ = ϕ = J = c J c γ J c = γ D = ε D ε = D = 35
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流的电场 J c I I J d S = c S D q = ψ q = ψ D = D d S S 36
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流的电场 I G I = U S r r σ ds b a r r dl q = ψ C q = = U S S S r r ε ds r r dl G C 37
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流的电场 S. C. F. ( 电源外 ) J ϕ I γ G c. F.( ρ = 处 ) D ϕ q ε C 38
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流的电场 从场的唯一性定理出发, 基于微分方程的相似性 ϕ =, 故只要二种场的 B. C. 相似 它们的解答也必相似 静电比拟方法 39
静电比拟 (Duality) 静电比拟 B. C. 的相似 恒定电流的电场 () 几何相似 : 即两种场的电极 ( 导体 ) 几何形状 尺寸和相对位置相似 计算区域 ( 包括不同媒质所在的区域 ) 成比例放大或缩小 () 电极处的 B. C. 相似 电极表面均为等位面 4
静电比拟 (Duality) 静电比拟 恒定电流的电场 B. C. 的相似 γ ε i i (3) 物理参数相似 : = γ ε (4) 媒质的分布满足几何相似 j j 保证分界面上 D 线与 J 线折射相似 4
4 恒定电流的电场 静电比拟 (Duality) 静电比拟利用静电比拟, 由相似的场的分布可进一步求得相似的电参数的关系为 d d S l S I G U l γ = = d d S l S q C U l ε = = G C γ ε =
静电比拟 (Duality) Merits 恒定电流的电场 () 两种场在计算 分析上 合二为一 a. 求解结果直接抄用 b. 求解方法直接引用 () 在实验研究中, 由于电流场中的电流 电位分布易于测定, 故可用相应的电流场模型来研究待求的静电场问题 ( 静电场造型 ), 此种方法亦称电流场模拟 固体模拟 铁板 导电纸模拟 液体模拟 电解槽方法 43
静电比拟 (Duality) 例 3 3 求因其绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其绝缘电阻 L 44
静电比拟 (Duality) 例 3 3 简化模型 γ γ R R o ϕ = U 45
静电比拟 (Duality) 例 3 3 分析 ) 漏电流的路径由内导体 绝缘介质 外导体 ) 漏电流的方向由结构的对称性可知为径向 (ρ 方向 ) 3) 场的对称性轴对称 46
静电比拟 (Duality) 例 3 3 直接计算 : 根据 G = I U 计算 恒定电场, 设电缆的轴向长度为 L 漏电流为 I, 则 J r d S = I r r ( J ) S 为圆柱表面 S πρ LJ = I γ γ R R o J = I πρ L ϕ = 47 U
静电比拟 (Duality) 例 3 3 直接计算 : 根据 G = I U 计算 恒定电场, 设电缆的轴向长度为 L 漏电流为 I, 则 I J = r r ( J ) πρ L R r r r = I r e πγρ L ρ U dl eρ d R R R γ I r r I R ρ ln πγρ L πγ L R = = = γ R R o ϕ = 48 U
静电比拟 (Duality) 例 3 3 直接计算 : 根据 G = I U 计算 恒定电场, 设电缆的轴向长度为 L 漏电流为 I, 则 R r r R I r r I R = = ρ = ln πγρl πγ L R U dl e R R ρ d U R = = G I γ γ r r ( J ) R R o R = R ln πγ L R ϕ = U 49
静电比拟 (Duality) 例 3 3 应用静电比拟方法 等价于 γ γ R R o ϕ = U R r R = = r C l ε r r o ϕ = 5 U
静电比拟 (Duality) 例 3 3 应用静电比拟方法 静电场的解答 D ds = ρ d V = q S V ε r r ( D ) r r o πρld = q = τ l ϕ = U D = τ πρ 5
静电比拟 (Duality) 例 3 3 应用静电比拟方法 静电场的解答 D = τ πρ ε r r ( D ) r r o r = τ r περ e ρ ϕ = U r r r U dl eρ d r R R τ r r τ ρ ln περ πε = = = r r 5
静电比拟 (Duality) 例 3 3 应用静电比拟方法 静电场的解答 r r r U dl eρ d r R R τ r r τ ρ ln περ πε = = = Q = τ l C Q = U Q τ l C = = = U τ r r ln ln πε r πε l r r r ε r r ( D ) r r o ϕ = 53 U
静电比拟 (Duality) 例 3 3 应用静电比拟方法 G C = γ ε L l r ( i =, ) i R ( i =, ) i G γ γ = C = = ε ε R R ln ln πε L R πγ L R πγ L G =, R = / G R ln R 54