7.6 散射与吸收 色散 全书七章 1 麦氏方程总论,2 静电场,3 静磁场, 4 电磁波的传播,5 电磁波的辐射,6 狭义相对论, 7 带电粒子和电磁场的相互作用, 附录 I 矢量分析 本章六节 1 运动带电粒子的势及辐射场,2 高速运动带电粒子的辐射, 3 辐射的频谱分析,4 切仑柯夫辐射,5 带电粒子的自场反作用, 6 电磁波的散射与吸收 色散 本节内容, 束缚电子的散射, 电磁波的吸收, 介质的色散 1-16
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1) They did not consider the physics of waveguides only, as most of their colleagues did, but also the material properties; 2)...stimulated by Kao who was not only an inspired physicist but also a good communicator of his vision. 3-16
设一电磁波照射到自由电子上, 入射波电场 E = E 0 e iωt, 忽略磁场的影响, 电子在电场的偏振方向上受迫振动 again? e x 2... x = e E 6πε 0 c 3 0 e iωt (1) m m 此方程稳态解 x e iωt,... x ω 2 x( 注意条件 ), 注 x + γ x = e m E 0 e iωt, γ = ω2 e 2 e 2 4πǫ 0mc r 2 e 10 15 m, γ = ω2 r e c x = e E 0 e iωt m(ω 2 + iωγ) 6πε 0 mc 3 (2) = ω re λ ω 受迫振动电子发出辐射 此为自由电子散射电磁波的经典动力学图景 (3) 物理图像 计算细节 4-16
散射波的场强和能流密度周期均值分别为 E = e 4πε 0 c 2 rˆr (ˆr x), S = 1 2 ε 0E 2 0 cr2 e r 2 sin2 αˆr (4) 散射波的总功率和入射波能流密度之比有面积的量纲 自由电子对电磁波的散射截面 σ = 散射波总功率 入射波能流密度 = 8πr2 e 3 分母 S in = 1 2 ε 0E0 2c, 分子 P = Sr 2 dω. 带电粒子对电磁波的散射截面衡量该粒子堵截电磁波并对所获得的能量在空间按它自己的意愿重新分配的能耐. 显然, 微分截面能够向我们提供更多关于散射体内部结构的信息 (5) 物理图像 计算细节 5-16
例 : 分别从经典电动力学和量子力学角度, 考察自由电子对电磁波的散射, 做出微分截面对散射角的关系曲线 解 : 经典电动力学角度, 忽略磁场影响, 自由电子在外加电磁波电场的作用下受迫振动, 辐射电磁波. 对单向偏振入射, 电子运动局限在偏振线上, 辐射功率角分布 该直线上的偶极子 S sin 2 α (6) 物理图像 计算细节 α 辐射方向跟电子运动方向之间的夹角. 对偏振程度为零的入射波 ( 大多数自然光波 ), 为求出辐射功率角分布, 应该先对入射波偏振方式求和, 再求平均 6-16
S 1 ˆ 2π dβsin 2 α (7) 2π 0 β 标志入射波的偏振方向. 辐射方向跟偏振方向的夹角可由两方向上单位矢量之内积确定 cosα = ˆr ˆβ, ˆr = (sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) ˆβ = (cosβ,sinβ,0) = sinθcosφcosβ + sinθsinφsinβ sinθcosβ (8) 最后一步使用了轴对称性致辐射功率角分布与 φ 无关的事实, 令 φ = 0, 即把 φ = 0 面上的角功率当作任意 φ 面上的角功率 y β x θ z 物理图像 计算细节 S 1 2 (1 + cos2 θ), dσ dω 1 2 (1+cos2 θ) (9) 7-16
dσ dω p γ p e p e 0 π θ 从量子力学角度, 将电磁波看成一束每个成员能量皆为 ω 的光子流, 电磁波照射电子看做各成员光子轮番轰击电子, 对每次轰击 p γ + p e p γ + p e (p γ + p e p γ )2 = p 2 e (10) E γ = E γ mc 2 (11) E γ + mc 2 E γ cosθ 单次轰击 末态光子随机出射, 多次轰击统计, 末态光子的方向性流量跟入射光子的数流密度之比 dσ dω E γ mc 2 = (12) E γ E γ + mc 2 E γ cosθ 据此可作出微分散射截面的角度依赖曲线 θ p γ 物理图像 计算细节 8-16
对多数固体材料, 组成原子可认为是固定的, 而电子则绕各原子中心作固有频率为 ω 0 的振动, 考虑一电磁波入射, 其电场 E 0 e iωt, x + γ x + ω 2 0 x = e m E 0 e iωt (13) γ 仍表示辐射阻尼系数. 此方程的稳态解 x e iωt, 由待定系数法 x = e 1 mω0 2 E ω2 iωγ 0 e iωt (14) 此为一典型受迫谐振子, 其辐射电场及能流密度 E = e ˆr (ˆr x), S = 1 4πε 0 c 2 r 2 ε 0E0 2 cr2 e r 2f ω,ω 0 sin 2 αˆr(15) ω 4 f ω,ω0 = (ω0 2 (16) ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 介质的色散 9-16
相应的散射截面散射波能流总量 σ = 入射波能流密度 = 8πr2 e 3 ω 4 (ω 2 0 ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 (17) (1) ω 0 ω, σ = 8πr2 e 3 自由电子散射截面, 被照射电子可看作自由粒子 (18) (2) ω ω 0, σ = 8πr2 e 3 ω0 4 (19) Rayleigh 散射的基本特征, 问题 : 天空为什么是蓝色的? (3) ω = ω 0, σ = 8πr2 e 3 ω 4 ω 2 共振散射, 注意 γ = ω re λ, 所以 σ 8πr2 e 3 γ 2 (20) λ 2 r 2 e 8πr2 e 3 介质的色散 10-16
无云的天空为何呈蓝色? 地平线附近的天空为何总是看起来泛白? 阳光进入大气层时被大气分子中的电子散射, 把这些电子看作一些持续振荡的振子, 则这些振子的 介质的色散 固有频率远小于可见光波的频率, 因此它们散射阳光的能赖 ω4. 由于蓝光 ( 波长 4800Å ) 的频率基本上相当 ω0 4 于红光 ( 波长 6400Å ) 频率的 1.6 倍, 所以蓝光被散射的几率比红光大 1.6 4 倍. 11-16
色散现象的本质是介质中不同频的光有不同速度 sinθ 0 sinθ 1 = v 0 v 1, sinθ 0 sinθ 2 = v 0 v 2, 由于 v = (ǫµ) 1 2, 要从根本上理解色散, 应探讨介电现象的微观模型. 按定义 D = ε 0 E + P ε E P 极化强度, 介质内偶极矩排列有序度的衡量. 把介质内电子看作一些固有频率为 ω 0 的振子, 受外电场 E 0 e iωt 的作用, 这些电子受迫振动, 设每个电子平均位移 x, P = Ne x, x = e E 0 e iωt mω0 2 (21) ω2 iωγ γ ω 2re c re λ ω, 通常情况下 r e λ θ 0 介质的色散 12-16
按介电参数的定义 P = (ε ε 0 ) E ε = ε 0 + Ne2 m 1 ω 2 0 ω2 iωγ (22) ε i ε r 1 由于光速 v = (ǫµ) 1 2, 此式 1) 能解释介质中光速的频率依赖性 色散现象,2) 介电参数为复数 电磁波在介质中传播时, 衰减是无法避免的 E = E 0 e i( k x ωt), k = ωv = k r + ik i (23) = E 0 e k i x+i( k r x ωt) 衰减的根源, 电磁波的能量被介质内的电子吸收, 并使之跑到更高能级的轨道上运动. 谐振子 ( 频率和电子回转频率一一对应 ) 模型为介质内电子的运动提供了很好的描述 ω 介质的色散 13-16
但事实上, 和谐振子频率对应的是电子的可能回转频率之差 ( 越近核的那些电子回转频率越高 ) 而非回转频率本身, ω 0 ν 0 ν ω 1 ν 1 ν ω 01 ν 0 ν 1, ω 02 ν 0 ν 2 即电子跃迁需补充的能量, 由于跃迁可能的多样性 ε = ε 0 + Ne 2 f i i m ωi 2 ω2 iωγ (24) 通过实验测量可做出色散关系曲线 组成材料的分子 ( 原子 ) 能级结构 ν 0 ν 1 介质的色散 14-16
在现代凝聚态和高能物理中, 色散关系泛指联系任意波 ( 电磁波, 物质波, 材料内部的元激发, 譬如声子 ) 的频率与波矢量之间关系的等式 ω = ω(k) (25) 这种关系蕴含了所研究的物质波或元激发的关键属性, 之所以将其称做色散关系, 缘于, w wave, w = w 0 e i( k x ωt), v p = ω k, v g = dω dk (26) 已知 ω(k), 就等于知道了这种波的波速 - 频率关系, 而按我们的说法, 色散的本质就是不同频率的波有不同传播速度的现象. 介质的色散 15-16
本节 : 自由电子散射, 经典电动力学方法, 忽略磁场的影响, 电子受迫振动, 发出类似于偶极振荡的辐射 S sin 2 α, dσ dω 1 2 (1 + cos2 θ) (27) 量子力学方法, 把电磁波看作光子序列, 把照射看作轮番轰炸, 由四动量守恒即可得微分截面 p γ + p e p γ + p e (28) 束缚电子散射 : 电子受迫振动, 可能有共振 x + γ x+ω 0 2 x = e E 0 e iωt, x = e E 0 e iωt m mω0 iωγ (29) 色散 : 把材料看作束缚电子的堆积, 光入射导致受迫振荡 P = Ne x, ε = ε 0 + Ne2 1 m ω0 2 ω2 iωγ (30) 作业 :7.3 16-16