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1 混凝土结构基本原理 第五章 受弯构件正截面分析 与计算 任晓丹同济大学建筑工程系 同济大学土木楼 A413

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3 受弯构件 梁

4 受弯构件工程实例 楼板 柱 楼梯 墙 地下室底板 梁 梁 墙下基础 柱下基础

5 受弯构件工程实例

6 受弯构件主要截面形式 梁截面 矩形梁 T 形梁 I 形梁花篮梁 板截面 实心板多孔板槽形板

7 受弯构件的配筋形式 P P M V

8 梁截面的配筋 弯起钢筋 架立 箍筋 弯筋 纵筋

9 梁的截面配筋构造 c c 净距 3mm 1.5 钢筋直径 d c25mm d c 净距 25mm 钢筋直径 d 净距 25mm 钢筋直径 d 2 ~ 3.5( 矩形截面 ) 2.5 ~ 4.(T 形截面 ) d 1 ~ 28mm( 桥梁中 14 ~ 4mm)

10 板的截面配筋构造 分布钢筋 c15mm d 7mm d 8 ~12mm 15mm 时, 2mm >15mm 时, 25mm 1.5 板厚的模数为 1mm

11 受弯构件试验研究 试验梁 荷载分配梁 P 外加荷载 数据采集系统 应变计 位移计 L/3 L/3 L A A

12 试验结果 适筋破坏 c c c c ( c = cu ) c (M u ) M I M cr M II M y M III <f A =f ( = u ) A < y A f y A f y A = y > y

13 试验结果 超筋破坏 c c c ( c = cu ) c M I M cr M II M u <f A A A A =f ( = u ) < y < y

14 试验结果 少筋破坏 c c M I M cr = M y <f A =f ( = u ) A

15 试验结果 M 超筋 II III 适筋 O I P 少筋 超筋 II III 适筋 O I 少筋

16 试验结论 适筋梁具有较好的变形能力, 超筋梁和少筋梁的破坏具有突然性, 设计时应予避免 在适筋和超筋破坏之间存在一种平衡破坏 其破坏特征是钢筋屈服的同时, 混凝土压碎, 是区分适筋破坏和超筋破坏的定量指标 在适筋和少筋破坏之间也存在一种 界限 破坏 其破坏特征是屈服弯矩和开裂弯矩相等, 是区分适筋破坏和少筋破坏的定量指标

17 荷载 位移曲线 M P 超筋平衡 超筋平衡 III 适筋 III 适筋 II II I 少筋 最小配筋率 I 少筋 最小配筋率 O O

18 受弯构件受力分析 平截面假定 A a c dy y A a c n (1- n ) 开裂后 : 平均应变平截面假定 c c ' y a ' (1 ) n n n

19 受弯构件受力分析 钢筋的应变和相同位置处混凝土的应变相同 假定混凝土与钢筋之间粘结可靠 P P

20 受弯构件受力分析 混凝土受压本构关系 1 n 2 ( fcu 5), 当 n 2时, 取 n 2 6 c f c 当应力较小时, 如 E c c c c.3 f c 时, 可取 c c fc 1 1 n c o cu f 51 cu.33 fcu 5 cu.2时, 取.2 cu.33时, 取 cu

21 受弯构件受力分析 混凝土受拉本构关系 f =E c o u

22 受弯构件受力分析 钢筋本构关系 f y =E u

23 受弯构件受力分析 弹性阶段 c c M n A A 采用线形的物理关系 c c E c E c E

24 受弯构件受力分析 弹性阶段 c c M n A A E E E Ec T A A E 将钢筋等效成混凝土 ( E -1)A 用材料力学的方法求解

25 受弯构件受力分析 开裂点当 = u 时认为拉区混凝土开裂并退出工作 ( 约束受拉 ) c c A n = n c M C T c n= c r A 为了计算方便用矩形应力分布代替原来的应力分布 = u f u c cr cr cr E c c c E f f.5e c u o 2

26 受弯构件受力分析 开裂点截面受压区高度 X.5.5 E ( ) A cr c cr c u cr E 设 E, Ec 2 EA 1 EA 1 2 近似认为 A u 对一般钢筋混凝土梁 A E /.5 ~ 2%, 6 ~ 7 n = n = u c c M cr c T c C n= c cr.5 r A 2 u

27 受弯构件受力分析 开裂点弯矩 c c M A n = n c M C T c n= c r A M f cr cr cr ( cr )( ) 3 cr 2 E f A ( ) 向受压合力点取矩 = u 设.92, 令 A 2 E M cr A.292(1 2.5 ) A f 2

28 受弯构件受力分析 A 开裂前期 压区混凝土处于弹性状态 压区混凝土处于弹性阶段 n = n y c c M c C A y c n M 较小时, c 可以认为是按线性分布, 忽略拉区混凝土的作用 X c (1 ).5 A E A E A n c n c n 1 n E c A 2 n E n E n 2 2

29 受弯构件受力分析 开裂前期 压区混凝土处于弹性状态 压区混凝土处于弹性阶段 c c A n = n y c M C y c n A M M.5 c n (1 n ) A (1 n ) 3 3

30 受弯构件受力分析 开裂中期 压区混凝土处于弹塑性阶段, 但 c < ( 以混凝土强度等级不大于 C5 的钢筋混凝土受弯构件为例 ) n n c c c c 2 C f 2 dy f 2 y y dy c c 2 n n 2 c c c n 2 3 f 2 n c c 1 f c c 2 2 ydy 3 12 c n 2 n n c c c f 1 c 2 dy 2 3 y A n = n y c f 1 E A 2 c c n c n 2 c 3 n c c M 2 1 c fcn 2 E 1 n 2 C c n T = A y c

31 受弯构件受力分析 开裂中期 压区混凝土处于弹塑性阶段, 但 c < ( 以混凝土强度等级不大于 C5 的钢筋混凝土受弯构件为例 ) A n = n y c c M C c y c n T = A 1 c 2 2 c c 3 12 M fcn 1 2 n 3 c c A n fy c 1 ( ) 1 3 c

32 受弯构件受力分析 开裂后期 压区混凝土处于弹塑性阶段, 但 < c < cu ( 以混凝土强度等级不大于 C5 的钢筋混凝土受弯构件为例 ) y C f c n 1 (1 ) c n 3 c c c 2 A n = n y y c c c 1 f 1 E A 3 n c n c c n 2 f cn 1 E 1n c 3 c M C f c n y c T = A

33 受弯构件受力分析 开裂后期 压区混凝土处于弹塑性阶段, 但 < c < cu ( 以混凝土强度等级不大于 C5 的钢筋混凝土受弯构件为例 ) c f c c M fcn (1 ) 1 n c 1 3 c ( ) 2 12 c A n fy c 2 A n = n y y c c M C n y c T = A

34 受弯构件受力分析 破坏阶段 c f c c 当 f 5Mpa时, cu cu n 2,.2, cu.33 A n = n y y c c M C n y c T = A f.55 E (1 ) 2 c n n 应用前面公式 M.798 f (1.412 ) A (1.412 ) ( f ) 2 u c n n n y

35 受弯构件受力分析 破坏阶段 对适筋梁, 达极限状态时,.33, f c cu y A n = n y y c c c M u C f c n y c T = A X n f f y c M M f A (1.412 ) u y n f ( ) 2 c n n

36 受弯构件正截面简化分析 A 压区混凝土等效矩形应力图形 ( 极限状态下 ) n = n cu M u n = n n = n C A M u f c C A y c n = n C 1 f c y c = 1 n 引入参数 1 1 进行简化 M u A 原则 :C 的大小和作用点位置不变

37 受弯构件正截面简化分析 压区混凝土等效矩形应力图形 f c ( 极限状态下 ) 由 C 的大小不变 n = n C y c n = n C 1 f c y c = 1 n M u M u 1 C f (1 ) f 1 由 C 的位置不变 1 c n 1 c 1 n 3 cu (1 ) 1 cu cu A A cu 3 cu 6 cu yc n (1 ).5 1 n, cu

38 受弯构件正截面简化分析 压区混凝土等效矩形应力图形 ( 极限状态下 ) c (1 ) 1 cu cu cu cu 当 f 5Mpa时, cu.2, cu.33 2 n = n M u f c C A y c n = n fcu M u 1 1 cu C A 1.,.8 5Mpa 1 f c.94,.74, f 8Mpa 线性插值 ( 混凝土结构设计规范 GB51 ) y c = 1 n

39 受弯构件正截面简化分析 界限受压区高度 n n 界限受压区高度 界限受压区相对高度 n n cu cu y 平衡破坏适筋破坏 矩形应力图形的界限受压区高度 矩形应力图形的界限受压区相对高度 n 1 1 cu 1 1 cu y y fy 1 1 E cu cu y cu n 超筋破坏

40 受弯构件正截面简化分析 界限受压区高度 f cu 5Mpa 时 :.8 f y 1.33 E 平衡破坏适筋破坏 y cu n 超筋破坏 即 适筋梁 n n 即 平衡配筋梁 n n 即 超筋梁 n n

41 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力 基本公式 1 f c /2 C 1 fc A M u 1 fc( ) A ( ) 2 2 M u A

42 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力 适筋梁 1 fc fy A M u 1 fc( ) fy A ( ) 2 2 fy A fy f f 1 c 1 c M f (1.5 ) f 2 2 u 1 c 1 c A f (1.5 ) A f y y M u 截面抵抗矩系数 1 f c /2 C f y A 将 制成表格, 知道其中一个可查得另外两个 截面内力臂系数

43 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力适筋梁的最大配筋率 ( 平衡配筋梁的 配筋率 ) ma f f ma 1 c (1.5 ) 保证不发生超筋破坏 y M f (1.5 ) f 2 2 u,ma 1 c,ma 1 c 或 u M,ma M 或 u,ma M u 1 f c /2 C f y A 混凝土结构设计规范 GB51 中各种钢筋所对应的,ma 列于教材表 5-1 中

44 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力适筋梁的最小配筋率 C 配筋较少压区混凝土为线性分布 n /3 n 钢筋混凝土梁的 M y = 素混凝土梁的受弯承载力 M cr M u 2 M.292 f.292 f f 2 2 cr M f A ( ) f A.9 3 n y y y A min.36 fy f 偏于安全地 min.45 f f y f y A 具体应用时, 应根据不同情况, 进行调整 混凝土结构设计规范 GB51 中取 :A min = min

45 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力超筋梁的极限承载力 关键在于求出钢筋的应力 任意位置处钢筋的 应变和应力 ( 1) ( 1) i n i 1 i 1 i cu cu cu n i cu n =/ 1 i.8.33 E( 1) i 1 i Ecu ( 1) 只有一排钢筋 1 E ( 1) cu

46 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力 超筋梁的极限承载力 1 fc A M u 1 fc( ) A ( ) E 1 f y M u f c /2 C A 解方程可求出 M u

47 受弯构件正截面简化分析 极限受弯承载力超筋梁的极限承载力 (N/mm 2 ).8.33 E( 1).8 fy.8 = /.8.33E 1 f y 试验结果 f y = 3MPa =.55-4

48 受弯构件正截面简化分析 承载力公式的应用 既有构件正截面抗弯承载力 ( 已知 f y A, 求 M u ) M u 1 f c /2 C A, A f y A 素混凝土梁的受弯承载力 M cr 适筋梁的受弯承载力 M u min 超筋梁的受弯承载力 M u

49 受弯构件正截面简化分析 承载力公式的应用 既有构件正截面抗弯承载力 ( 已知,, f y,a, 求 M u ) M u 1 f c /2 C f y A 当采用单排钢筋时 c d / 2 当采用双排钢筋时 [ c d ma(25/ 2, d / 2)]

50 受弯构件正截面简化分析 承载力公式的应用基于承载力的截面设计 ( 已知 f y M, 求 A ) 1 fc fy A M M u 1 fc( ) fy A ( ) 2 2 A min A, A min ξ ξ OK! M u 先求 再求 A 1 f c /2 C f y A 加大截面尺寸重新进行设计 ( 或先求出 M u,ma, 若 M >M u,ma, 加大截面尺寸重新进行设计 )

51 受弯构件正截面简化分析 承载力公式的应用 基于承载力的截面设计 ( 已知 f y M, 求 A ) 当采用单排钢筋时 35(mm) 当采用双排钢筋时 6(mm) 对钢筋混凝土板 2(mm)

52 双筋矩形截面受弯构件 截面的弯矩较大, 高度不能无限制地增加 A A 对箍筋有一定要求防止纵向凸出 截面承受正 负变化的弯矩

53 双筋矩形截面受弯构件 试验研究 由于钢筋配置较多, 一般不会发生少筋破坏 A A 和单筋矩形截面受弯构件类似分三个工作阶段

54 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 弹性阶段 A c c ( E -1)A A M n A A c ( E -1)A 用材料力学的方法按换算截面进行求解

55 M 双筋矩形截面受弯构件 cr ' 正截面受力性能分析 开裂弯矩.292(1 2.5 ) f 1 ' A '( cr a ') 3 cr a cr cr ' cr a ' f 2 E c u A M cr 2 A A cr c c = u c M cr.292( ') A A f 2 c C T c A n= c r A A A ' ' 2 E( )

56 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 带裂缝工作 A c c A c A A n c M C n M C n A A c 荷载较小时, 混凝土的应力可简化为直线型分布 荷载增大时, 混凝土的应力由为直线型分布转化为曲线型分布 和单筋矩形截面梁类似

57 A 双筋矩形截面受弯构件 A 正截面受力性能分析 破坏阶段 n c c M c C A n M c C A A A n = n n M u A c = c c = cu C y c A (f y A ) c 压区混凝土的压力 C C 的作用位置 y c 和单筋矩形截面梁的受压区相同

58 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 破坏阶段 当 f cu 5Mpa 时, 根据平截面假定有 : '.33 E( 1) n 以 E =21 5 Mpa,a =.5.8 n 代入上式, 则有 : =- 396Mpa 结论 : a ' n = n M u f y A c = c c = cu C y c A (f y A ) 当 n 2 a /.8 时,HPB3 HRB335 HRB4 及 RRB4 钢均能受压屈服

59 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 破坏阶段 当 f cu 5Mpa 时, 根据平衡条件则有 : f y y n 1.253( ' ) c c f a M f A (1.412 ) f A (.412 ) ' ' ' u y n y n a ( ) (1 ) ' 2 ' ' c n n fy A n = n M u f y A c = c c = cu C y c A (f y A )

60 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 简化计算 1 1 的计算方法和单筋矩形截面梁相同 n = n M u f y A f c C y c A (f y A ) c = cu n = n M u f y A 1 f c C y c A (f y A ) ' ' 1 fc fy A fy A ' M u 1 fc( ) fy ' A '( a ) 2

61 双筋矩形截面受弯构件 1 f c 正截面受力性能分析简化计算 A 1 M u1 C A f y A 1 f c f y A 1 A M u C A f y A f y A A A A 1 2 A 2 M u f y A 2

62 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 简化计算 承载力公式的适用条件 1. 保证不发生少筋破坏 : > min ( 可自动满足 ) 2. 保证不发生超筋破坏 :, 或 A M 1 1 c 1 ma fy f 2 1,ma 1 c f, 或

63 双筋矩形截面受弯构件 正截面受力性能分析 简化计算 承载力公式的适用条件 3. 保证受压钢筋屈服 : >2a, 当该条件不满足时, 应按下式求承载力 ' ' 1 fc A fy A ' M u 1 fc( ) ' A '( a ) 2 ' ' 1a Ecu ( 1) ' a M u fy A (1 ) 或近似取 =2a 则, A A M u f y A 1 f c C f y A

64 双筋矩形截面受弯构件 1 f c 承载力公式的应用既有构件正截面抗弯承载力 A ' ' 2 A f y f y, / A A A 1 2 A 1 M u1 C f y A 1 M f A ( a ) ' ' ' ' u y A f y A 求 A 2 M u f y A 2 M ' a f A (1 ) u y 适筋梁的受弯承载力 M u1 2a 超筋梁的受弯承载力 M u1

65 双筋矩形截面受弯构件 承载力公式的应用 基于承载力的构件截面设计 I A 未知 A 1 M 1 1 f c C f y A 1 A f / f, M A f (.5 ) 1 1 c y 1 1 y A f y A M ' M M, A M '/ ( a ) f, A A f / f ' ' ' 1 2 y 2 y y A 2 M f y A 2

66 双筋矩形截面受弯构件 承载力公式的应用 基于承载力的构件截面设计 II A 已知 A A f / f, M ' A f ( a ) ' ' ' 2 y y 2 y A 1 M 1 1 f c C f y A 1 M 1 M M', 求 A f y A A 2 M 按单筋截面适筋梁求 A, 但应进行最小配筋率验算 按适筋梁求 A 1 2a 按 A 未知重新求 A 和 A f y A 2

67 T 形截面受弯构件 翼缘的计算宽度 1 f c f 见教材表 5-2

68 T 形截面受弯构件 简化计算方法 两类 T 形截面判别 f f M u 1 f c /2 C A f y A a f A f y 1 ' ' c f f, 或 ' ' ' f M 1 fcff( ) 2 I 类 否则 中和轴位于翼缘 II 类 中和轴位于腹板

69 T 形截面受弯构件 简化计算方法 I 类 T 形截面 f f 1 f c 按 f 的矩形截面计算 A M u f y A 1 fc fy A ' M u 1 fcf ( ) fy A ( ) 2 2 a A min T 形截面开裂弯矩同截面为腹板的矩形截面的开裂弯矩几乎相同

70 T 形截面受弯构件 简化计算方法 II 类 T 形截面和双筋矩形截面类似 f 1 f c f A M u f y A A A A 1 2 a ( f -)/2 ( f -)/2 1 f c 1 f c f f A 1 M u1 f y A 1 A 2 M fu f y A 2 a a

71 T 形截面受弯构件 简化计算方法 1 f c II 类 T 形截面和双筋矩形截面类似 ' ' 1 fc 1 fc( f ) f fy A ' M u M u1 M fu 1 fc( ) 2 ' ' ' f 1 fc( f ) f( ) 2 A 1 ( f -)/2 a ( f -)/2 f M u1 A 2 M fu f y A 1 1 f c f y A 2 f a

72 T 形截面受弯构件 简化计算方法 II 类 T 形截面和双筋矩形截面类似 1 f c min, 一般可自动满足, 但需要验算 A 1 M u1 f y A 1, 或 A f 1 1 c 1,ma fy, 或 ( f -)/2 a ( f -)/2 f 1 f c f M f 2 1,ma 1 c A 2 M f f y A 2 a

73 T 形截面受弯构件 简化计算方法既有构件正截面抗弯承载力 f 1 f c f A f ' ' y 1 c f f f M u I 类 T 形截面 A a f y A 按 f 的矩形截面计算构件的承载力 若 A min 按 的矩形截面的开裂弯矩计算构件的承载力

74 T 形截面受弯构件 简化计算方法 既有构件正截面抗弯承载力 f A f ' ' y 1 c f f A 1 M u1 1 f c f y A 1 II 类 T 形截面 a ' ' ' ' f M uf 1 fc( f ) f ( ) 2 按 的单筋矩形截面计算 M u1 ( f -)/2 A 2 ( f -)/2 f a M uf 1 f c f y A 2 f

75 T 形截面受弯构件 简化计算方法 基于承载力的截面设计 ' ' ' f M 1 fcff( ) 2 f f M 1 f c A f y A I 类 T 形截面 a 按 f 单筋矩形截面进行设计 A min

76 T 形截面受弯构件 简化计算方法 1 f c 基于承载力的截面设计 ' ' ' f M 1 fcff( ) 2 A 1 a M u1 f y A 1 II 类 T 形截面 ( f -)/2 ( f -)/2 f 1 f c f 与 A 已知的 双筋矩形截面类似进行设计 A 2 a M uf f y A 2

77 深受弯构件 P P l / 5 深受弯构件 l l / 2.( 简支 ), l / 2.5 ( 连续梁 ) 2.(2.5) l / 5 短梁 深梁

78 深受弯构件 仓筒侧壁 转换层 片筏基础梁 拉结筋 箍筋 水平分布筋 纵向受力筋

79 深受弯构件 深梁的受力性能和破坏形态 平截面假定不再适用梁的弯曲理论不适用 受力机理 拱机理 破坏形态弯曲破坏和剪切破坏 ( 不是此处讨论的内容 ) P P P P 正截面弯曲破坏 斜截面剪切破坏

80 深受弯构件 深梁的受力性能和破坏形态 原因 : 纵筋很少 P P < m 时 弯曲破坏 以多排受拉钢筋屈服弯矩 M y 作为其极限承载力 M u P P > m 时剪切破坏 ( 此处略 ) = m 时 弯剪界限破坏

81 深受弯构件 深梁的受力性能和破坏形态 由统计回归得出 : 简支梁 m f.19 f c y P P 计算剪跨比 : 集中荷载 :=a/ 均布荷载 : =a/( a =l /4) 约束梁连续梁 m f f c y 支座弯矩与跨中最大弯矩的比值绝对值的最大值

82 深受弯构件 深梁的受弯承载力 深梁发生弯曲破坏时, 截面下部 /3 范围内的多排钢筋均屈服 由统计回归得出 : P P M ( f A.33 f ) y y y 水平分布筋的配筋率 l f f f f y 1 (1.1 )(.5 ) y y c A v v 范围内水平分布筋的全部截面积 水平分布筋的竖向间距 折算内力臂

83 深受弯构件 深梁的受弯承载力 钢筋混凝土深梁设计规程 (CECS39:92) 简化公式 M f A z u y P P 深梁的内力臂, 取受拉钢筋合力作用点和混凝土受压合力作用点间的距离 简支梁和连续梁的跨中截面 z.1( l 5.5) ( l 时, z.65l ) 连续梁的支座截面 z.1( l 5) ( l 时, z.6l ) 计算跨度 l min( l,1.15 l ) c n

84 深受弯构件 短梁的受弯承载力 P P 和一般梁比较接近, 平截面假定适用 破坏类型 : 少筋 适筋 超筋 适筋梁的受弯承载力 M f A (.9.33 ) y y

85 深受弯构件 规范公式 1 fc fy A M u fy A d (.5 ) P P 截面有效高度 深受弯构件的内力臂修正系数 l 跨中 a.1 2时, 支座 a.2 l a 2时, a受拉纵向钢筋合力 作用点至受拉区边缘的距离 d l.8.4

86 受弯构件延性的基本概念 延性 反映截面 构件 结构钢筋屈服以后的变形能力 M u M y M 以截面为例 : 用延性系数表示截面的延性 u y O y u

87 受弯构件延性的基本概念 A A 1 2 u1 u2 y1 y2 cu cu y1 u1 1 2 y1 u2 y2 A 1 u1 u2 A 2 A 1 y2 A 2 结构的延性 取决于 构件的延性 取决于 截面的延性 y 取决于 配筋量 y